QS kirjoitti: ↑22 Elo 2023, 20:37
...
Yleisessä tapauksessa nopeuksien järjestys on merkitsevä, sillä yleisesti \(\mathbf{u}\oplus \mathbf{v} \neq \mathbf{v}\oplus \mathbf{u} \).
Jännä yksityiskohta, että euklidiset nopeusvektorit eivät toteuta vektoriavauuden aksioomia, ja eivät siten muodosta vektoriavaruutta silloin, kun ne tuodaan osaksi Minkowskiavaruutta.
...
Sain osin selvyyden, kun tutustuin temppeliritarien salaseuraan, jonka loitsuissa esim. lehmä + papukaija + 42 on sallittu laskutoimitus. Heillä on numeroiden lisäksi pseudonumeroita, tarkemmin pseudoskalaareita. Pseudoja summaavat loitsuihin, jos laskutoimitus on ilman niitä liian ymmärrettävä. Loitsujen laadintaa kutsuvat nimellä geometrinen algebra.
En pysty lyhyesti kirjoittamaan, mutta eräs laskutoimitus on kahden vektorin \(\mathbf{a},\mathbf{b} \in V\) geometrinen tulo \(\mathbf{ab} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\), missä ∧ on kiilatulo ja · on sisätulo, molemmat vektoriavaruudesta V. Kun a ja b ovat ortogonaaliset, geometrinen tulo
ab =
a ∧
b. Ortogonaalisessa tapauksessa (
a ∧
b)
2 = -a
2b
2.
Minkowskiavaruuden ortonormaali kanta on {e
0,e
1,e
2,e
3}, ja vastaava duaalikanta {e
0,e
1,e
2,e
3}. Geometrisessa algebrassa ei yleensä merkitä duaalikantaa notaatiota dx
μ. Kiilatulon nimitys on n-terä, engl. n-blade, esim a ∧ b ∧ c ∧ d on 4-terä.
Minkowskiavaruuden geometrisen algebran kantavektorit sisältävät skalaarin, neljä vektoria, kuusi bivektoria (2-terä), neljä trivektoria (3-terä) ja pseudoskalaarin. Kantavektorit ovat
1,
{ e
μ },
{ e
μ ∧ e
ν },
{ I e
μ } ja
I,
missä I on pseudoskalaari, jota käyttäen on muodostettu trivektorit. Yksityiskohdat jääkööt nyt. Algebran alkiot lausutaan edellisten lineaarikombinaatioina. Periaateessa yhtä mystistä tai epämystistä kuin polynomin 7 + 2x + 15x
2 + 4x
3 lausuminen.
Havaitsijan nelinopeus määritellään
\(\dot{x} = \frac{dx(\tau)}{d\tau}\),
missä x(τ) on polku, ja parametrina havaitsijan itseisaika τ. Nelinopeuden invariantti neliö \(v^2=\dot{x}^2=1\).
Kun havaitsija on levossa omassa kehyksessään, voidaan ajansuuntainen kantavektori kirjoittaa e
0 = v. Havaitsijaa kutsutaan nimellä havaitsija v. Notaationa x on nelivektori ja
x on 3-dimensoinen objekti. Vektori x jaetaan aika- ja avaruuskomponentteihin (c=1)
\(x = x^0e_0 + x^ie_i\) ,
missä i={1,2,3}. Vektorin x, joka on siis 1-terä, invariantti neliö on \(x^2 = (x^0)^2 - ((x^1) ^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2)\). Aika-koordinaatti saadaan x:n ja kantavektorin e
0 sisätulona
x
0 = x · e
0 = x · v,
ja avaruus-koordinaatit vastaavasti
x
i = x · e
i,
missä e
i, jotta koordinaatit + merkkisiä.
Otuksen \(x^ie_i \) ominaisuudet selviävät, kun se lasketaan aika-avaruuden algebralla. Lepokoordinaatistossa, missä siis e
0 = v, saadaan
\(x^i e_i \\ = x - (x \cdot e^0)e_0 \\ = x - (x\ \cdot v) v \\ = xvv - (x \wedge v)v \\ = [xv-(x\ \cdot v)]v \\ =(x \wedge v)v\)
Viimeisellä rivillä on 2-terän x ∧ v ja nelivektorin v geometrinen tulo, joka on 1-terä kuten on myös vasen puoli x
ie
i.
Konkreettisesti kohde tapahtumassa x=(5,5,5,5)ᵀ
x
i e
i = x - (x·e
0)e
0 = (0,5,5,5)ᵀ,
missä on neljä komponenttia. Tämä ei siis ole 3d-vektori, vaan tapahtuman projektio avaruudellisille kanavektoreille siten, että aika-komponentti on nolla. Kanta on minkowskiavaruuden kanta {e
μ}, ei {e
i}.
Temppeliritarit ovat hokanneet, että on kuitenkin olemassa otus
x = x ∧ v, jonka nimi on suhteellinen vektori, ja notaationa lihavointi. Tällä on 3-dimensioisia ominaisuuksia, kuten se, että tuota otusta käyttämällä intervalli voidaan kirjoittaa
x
2 = t
2 -
x2,
missä suhteellinen vektori
x ilmaisee avaruudelliset komponentit. Tuo
x on 2-terä, vaikka nimitys on 'vektori', ja kantavektoreita otuksella on kuusi.
Paikka ei tässä nyt ole 3d-vektori, eikä ole kolminopeuskaan 3d-vektori. Paikka onkin 2-terä ja kolminopeus sen aikaderivaatta \( \mathbf{v}=\frac{d}{dt} \mathbf{x}\).
Tämä selittää osaltaan sen, että kolminopeusvektorit menettävät vektoriominaisuutensa Minkowksiavaruudessa, kun ne eivät ole vektoreita laisinkaan. Mutta tuo 2-terä on niin outo vekotin, että samalla koen jonkinalisen eksistentiaalisen kriisin.
