Neliöjuurien kompleksinen maailma

[Disputator]

Useimmat tuntevat neliöjuuren ja mitä sillä tarkoitetaan, ainakin reaaliluvuilla, se on yhtälön y=x² positiivinen ratkaisu x, kun y>0. Kun y<0 siirrytään kompleksilukujen maailmaan.

Neliöjuuri voidaan siis määritellä myös kompleksiluvuilla ja neliöjuurella (monesti) tarkoitetaan yhtälön w= z² ratkaisuita, joita on kaksi kappaletta (ihan kuten reaalitapauksen yhtälöllä y=x² on kaksi ratkaisua x ja -x, missä sopimuksen mukaan x>0). Voidaan siis valita toinen näistä kompleksijuurista ja määritellä neliöjuurifunktio sqrt(w) = \(\sqrt{w}\) annetulla kompleksiluvulla
w = x+ iy, siis sqrt : \( \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) eli nyt on määritelty neliöjuurifunktio.

Merkintä sqrt = neliöjuurifunktio (en onnistunut kirjoittamaan LaTeXilla oikein tyhjää neliöjuurta ilman argumenttia)

Positiivisten reaalilukujen a ja b neliöjuuri toteuttaa yhtälön:

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\),

mutta kompleksilukujen neliöjuuri ei aina toteuta tätä ehtoa, sillä jos se toteuttaisi, saataisiin:

\(-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1) (-1)}=\sqrt{1}=1\),

missä on käytetty tuttua määritelmää i = \(\sqrt{-1}\), missä siis i on imaginaariyksikkö, joka toteuttaa määritelmän mukaan i² = -1.

Eli jotain on meneillään, siis miksi tuo kaava ei toimi?

LISÄYS: tuo tulon neliöjuuren kaava:

\(\sqrt{w_1 w_2}=\sqrt{w_1}\sqrt{w_2}\),

on ihan pätevä kaava myös tuolle määrittelemälleni kompleksiarvoiselle neliöjuurifunktiolle melkein aina, ei siis aina kuten tuo ylläoleva esimerkki osoittaa, mutta melkein aina. Jostain syystä kaava menee rikki, kun käytetään tuota lukua w₁ = w₂ = -1.

[QS]

Ainakin voin todeta, että funktio f(z)=z² ei ole bijektio eikä siten myöskään kääntyvä. Erityisesti f(i) = i² = -1, mutta myös f(-i) = (-i)² = -1.

Määritelmä\( \sqrt{-1} = i\) perustuu siihen, että f(z) olisi bijektio, mitä se ei ole.

[Disputator]

Ainakin voin todeta, että funktio f(z)=z² ei ole bijektio eikä siten myöskään kääntyvä. Erityisesti f(i) = i² = -1, mutta myös f(-i) = (-i)² = -1.

Määritelmä\( \sqrt{-1} = i\) perustuu siihen, että f(z) olisi bijektio, mitä se ei ole.

Hmm, tuossa on kyllä ajatusta, mutta ihan niin tuo ei ratkea, käsittääkseni, tai siis vaatii pientä argumentoinnin täsmennystä... Toki f(z) ei ole bijektio, mutta tuo neliöjuurifunktio voitiin määritellä kuitenkin koko kompleksitasossa, eli jos w = f(z) =z² niin on olemassa funktio \(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) siten, että f(g(w))=w ja tämä g on siis se neliöjuurifunktio. Kuitenkaan tälle funktiolle ei päde se g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) aina.

Voidaan valita g siten, että g(-1) = i tai g(-1) = -i, se on sopimusasia, mun kaavani yllä käytti sopimusta g(-1) = i, mutta tuo kaava g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) ei päde aina edes valinnalla g(-1) = -i. Tein epähuomiossa tuon valinnan g(-1) = i, mainitsin vain tuon haaran valinnan, sorry epäselvästä kuvailusta.

edit: vähän korjailtu

[QS]

Ainakin voin todeta, että funktio f(z)=z² ei ole bijektio eikä siten myöskään kääntyvä. Erityisesti f(i) = i² = -1, mutta myös f(-i) = (-i)² = -1.

Määritelmä\( \sqrt{-1} = i\) perustuu siihen, että f(z) olisi bijektio, mitä se ei ole.

Hmm, tuossa on kyllä ajatusta, mutta ihan niin tuo ei ratkea, käsittääkseni, tai siis vaatii pientä argumentoinnin täsmennystä... Toki f(z) ei ole bijektio, mutta tuo neliöjuurifunktio voitiin määritellä kuitenkin koko kompleksitasossa, eli jos w = f(z) =z² niin on olemassa funktio \(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) siten, että f(g(w))=w ja tämä g on siis se neliöjuurifunktio. Kuitenkaan tälle funktiolle ei päde se g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) aina.

Voidaan valita g siten, että g(-1) = i tai g(-1) = -i, se on sopimusasia, mun kaavani yllä käytti sopimusta g(-1) = i, mutta tuo kaava g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) ei päde aina edes valinnalla g(-1) = -i. Tein epähuomiossa tuon valinnan g(-1) = i, mainitsin vain tuon haaran valinnan, sorry epäselvästä kuvailusta.

edit: vähän korjailtu

Totta, että lyhyt toteamukseni ei ratkaise varsinaista ongelmaa, jonka esitit. Mutta imaginaariyksikön määritelmästä i² = -1 on hyvä lähteä. Määritelmästä seuraa, että \( \pm i = \sqrt{-1}\), missä ± on ongelmallinen.

Yhtälön w=z² vasen puoli voidaan kirjoittaa \(w=re^{i\phi}\), mihin lisätään ehto r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π].

On kuitenkin kaksi ratkaisua

\(z=+\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) ja
\(z=-\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\),

jotka toteuttavat yhtälön silloinkin, kun ehdot r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π) ovat voimassa. Näistä \( +\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) on positiivisella imaginaariakselilla, ja \(-\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) negatiivisella.

Funktion \(g(w)=\sqrt w\) päähaara on kuvaus

\(re^{i\phi} \rightarrow +\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}, r>0,\phi\in (-\pi,\pi)\).

Tässä siis \(w \in \mathbb{C} \backslash(-\infty,0]\). Kompleksiluku w=-1 ei ole tässä haarassa, mutta w=1 on. Ei voida kirjoitaa \(\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1}\), koska vasemman puolen -1 ja oikean puolen 1 ovat eri haaroissa. Sen sijaan pitäisi kirjoittaa

\(\sqrt{(-1)(-1)}\)
\(=\sqrt{-1} \sqrt{-1} \)
\(=\sqrt{e^{i\pi}} \sqrt{e^{i\pi}} \)
\(=(-\sqrt{1} \, e^{\frac{i\pi}{2}})(-\sqrt{1} \, e^{\frac{i\pi}{2}}) \)
\(= (-i)^2=-1\).

[Disputator]

... Toki f(z) ei ole bijektio, mutta tuo neliöjuurifunktio voitiin määritellä kuitenkin koko kompleksitasossa, eli jos w = f(z) =z² niin on olemassa funktio \(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) siten, että f(g(w))=w ja tämä g on siis se neliöjuurifunktio. Kuitenkaan tälle funktiolle ei päde se g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) aina.

Voidaan valita g siten, että g(-1) = i tai g(-1) = -i, se on sopimusasia, mun kaavani yllä käytti sopimusta g(-1) = i, mutta tuo kaava g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) ei päde aina edes valinnalla g(-1) = -i. Tein epähuomiossa tuon valinnan g(-1) = i, mainitsin vain tuon haaran valinnan, sorry epäselvästä kuvailusta.

edit: vähän korjailtu

Totta, että lyhyt toteamukseni ei ratkaise varsinaista ongelmaa, jonka esitit. Mutta imaginaariyksikön määritelmästä i² = -1 on hyvä lähteä. Määritelmästä seuraa, että \( \pm i = \sqrt{-1}\), missä ± on ongelmallinen.

Yhtälön w=z² vasen puoli voidaan kirjoittaa \(w=re^{i\phi}\), mihin lisätään ehto r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π].

On kuitenkin kaksi ratkaisua

\(z=+\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) ja
\(z=-\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\),

jotka toteuttavat yhtälön silloinkin, kun ehdot r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π) ovat voimassa. Näistä \( +\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) on positiivisella imaginaariakselilla, ja \(-\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) negatiivisella.

Kyllä, näin se menee. Tuossa toki pitää olla erikoistapauksessa \( \phi=\pi\), jotta nuo juuret ovat imaginaariakselilla.

Funktion \(g(w)=\sqrt w\) päähaara on kuvaus

\(re^{i\phi} \rightarrow +\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}, r>0,\phi\in (-\pi,\pi)\).

Tässä siis \(w \in \mathbb{C} \backslash(-\infty,0]\). Kompleksiluku w=-1 ei ole tässä haarassa, mutta w=1 on. Ei voida kirjoitaa \(\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1}\), koska vasemman puolen -1 ja oikean puolen 1 ovat eri haaroissa. Sen sijaan pitäisi kirjoittaa

\(\sqrt{(-1)(-1)}\)
\(=\sqrt{-1} \sqrt{-1} \)
\(=\sqrt{e^{i\pi}} \sqrt{e^{i\pi}} \)
\(=(-\sqrt{1} \, e^{\frac{i\pi}{2}})(-\sqrt{1} \, e^{\frac{i\pi}{2}}) \)
\(= (-i)^2=-1\).

Tämä on nähdäkseni oikein päätelty, ei siinä mitään ole mulla huomauttamista, kun haarat ja funktiot asetetaan kuten teit.

Mutta. Tuo päähaaran ja sen toisen haaran määritely on joskus monella tapaa hieman horjuvaa, sullakin on yllä tuo ehto r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π] ja toisella rivillä r > 0 ja ϕ ∈ (−π, π). Toisessa siis tuo kulma ϕ kuuluu avoimeen väliin ja toisella puoliavoimeen väliin. Jos käyttää tuota avointa väliä kulmalle eli ϕ ∈ (−π, π), jää silloin \(\sqrt{-1}\) kokonaan määrittelemättä, käyttää sitten tuolla kulmavälillä päähaaraa tai sitä toista haaraa, joten mun kysymys ei ole silloin edes mielekäs!

Myös se neliöjuurifunktio (päähaara tai toinen) ei ole määritelty kaikilla kompleksiluvuilla \(w\in \mathbb{C}\), mikä oli mulla se olettamus, koska negatiivisen reaaliakselin neliöjuuret jäävät määrittelemättä.

Mutta jos käyttää sitä toista antamaasi määritelmää, missä ϕ ∈ (−π, π] ja r ≥ 0, niin silloin \(\sqrt{-1}\) = i päähaaralle ja \(\sqrt{-1}\) = -i sille toiselle haaralle. Nyt se mun kysymys on mielekäs.

Luultavasti määritelmää r > 0 ja ϕ ∈ (−π, π) suositaan silloin, kun ollaan kiinnostuneita neliöjuurifunktion analyyttisyydestä ja jatkuvuudesta. Noilla spekseillä päähaara (tai se toinen) on derivoituva kun r>0 eli päähaaraneliöjuuri on analyyttinen funktio ja siis myös jatkuva. Se on myös jatkuva, kun r = 0, mutta ei derivoituva. Käyttäen arvoja ϕ ∈ (−π, π] ja r ≥ 0, ei nyt määritelty päähaarafunktio ole edes jatkuva, kun ϕ = π ja siten ei analyyttinen (kun ϕ = π), mutta silloin tuo (päähaara/toinen haara) neliöjuuri on määritelty kaikilla kompleksiluvuilla \(w\in \mathbb{C}\), tämä on kai sitten sellainen algebrallisempi määritelmä, kun ei vaadita, että saadut lausekkeet olisivat analyytisiä funktioita, kun edellinen olisi analyysin määritelmä tms.

Joo, onhan tuossa nyt taas mulla pilkunviilausta. Tuohon ylläolevaan kannattaa suhtautua ns. varauksella, koska mun pitää aina opiskella tämä neliöjuuriasia uudestaan ja uudestaan, koska tuollaiset unohtuu helposti.

Lisäksi, boldaukset tuossa mun tekstissä näyttää vaan niin hienolta, etten voinut vastustaa kiusausta käyttää niitä..

edit: lisätty pieni detalji.

[QS]

... Toki f(z) ei ole bijektio, mutta tuo neliöjuurifunktio voitiin määritellä kuitenkin koko kompleksitasossa, eli jos w = f(z) =z² niin on olemassa funktio \(g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) siten, että f(g(w))=w ja tämä g on siis se neliöjuurifunktio. Kuitenkaan tälle funktiolle ei päde se g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) aina.

Voidaan valita g siten, että g(-1) = i tai g(-1) = -i, se on sopimusasia, mun kaavani yllä käytti sopimusta g(-1) = i, mutta tuo kaava g(w₁w₂) = g(w₁) g(w₂) ei päde aina edes valinnalla g(-1) = -i. Tein epähuomiossa tuon valinnan g(-1) = i, mainitsin vain tuon haaran valinnan, sorry epäselvästä kuvailusta.

edit: vähän korjailtu

Totta, että lyhyt toteamukseni ei ratkaise varsinaista ongelmaa, jonka esitit. Mutta imaginaariyksikön määritelmästä i² = -1 on hyvä lähteä. Määritelmästä seuraa, että \( \pm i = \sqrt{-1}\), missä ± on ongelmallinen.

Yhtälön w=z² vasen puoli voidaan kirjoittaa \(w=re^{i\phi}\), mihin lisätään ehto r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π].

On kuitenkin kaksi ratkaisua

\(z=+\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) ja
\(z=-\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\),

jotka toteuttavat yhtälön silloinkin, kun ehdot r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π) ovat voimassa. Näistä \( +\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) on positiivisella imaginaariakselilla, ja \(-\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}\) negatiivisella.

Kyllä, näin se menee. Tuossa toki pitää olla erikoistapauksessa \( \phi=\pi\), jotta nuo juuret ovat imaginaariakselilla.

Funktion \(g(w)=\sqrt w\) päähaara on kuvaus

\(re^{i\phi} \rightarrow +\sqrt r \, e^{i\frac{\phi}{2}}, r>0,\phi\in (-\pi,\pi)\).

Tässä siis \(w \in \mathbb{C} \backslash(-\infty,0]\). Kompleksiluku w=-1 ei ole tässä haarassa, mutta w=1 on. Ei voida kirjoitaa \(\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1}\), koska vasemman puolen -1 ja oikean puolen 1 ovat eri haaroissa. Sen sijaan pitäisi kirjoittaa

\(\sqrt{(-1)(-1)}\)
\(=\sqrt{-1} \sqrt{-1} \)
\(=\sqrt{e^{i\pi}} \sqrt{e^{i\pi}} \)
\(=(-\sqrt{1} \, e^{\frac{i\pi}{2}})(-\sqrt{1} \, e^{\frac{i\pi}{2}}) \)
\(= (-i)^2=-1\).

Tämä on nähdäkseni oikein päätelty, ei siinä mitään ole mulla huomauttamista, kun haarat ja funktiot asetetaan kuten teit.

Mutta. Tuo päähaaran ja sen toisen haaran määritely on joskus monella tapaa hieman horjuvaa, sullakin on yllä tuo ehto r ≥ 0 ja ϕ ∈ (−π, π] ja toisella rivillä r > 0 ja ϕ ∈ (−π, π). Toisessa siis tuo kulma ϕ kuuluu avoimeen väliin ja toisella puoliavoimeen väliin. Jos käyttää tuota avointa väliä kulmalle eli ϕ ∈ (−π, π), jää silloin \(\sqrt{-1}\) kokonaan määrittelemättä, käyttää sitten tuolla kulmavälillä päähaaraa tai sitä toista haaraa, joten mun kysymys ei ole silloin edes mielekäs!

Myös se neliöjuurifunktio (päähaara tai toinen) ei ole määritelty kaikilla kompleksiluvuilla \(w\in \mathbb{C}\), mikä oli mulla se olettamus, koska negatiivisen reaaliakselin neliöjuuret jäävät määrittelemättä.

Mutta jos käyttää sitä toista antamaasi määritelmää, missä ϕ ∈ (−π, π] ja r ≥ 0, niin silloin \(\sqrt{-1}\) = i päähaaralle ja \(\sqrt{-1}\) = -i sille toiselle haaralle. Nyt se mun kysymys on mielekäs.

Luultavasti määritelmää r > 0 ja ϕ ∈ (−π, π) suositaan silloin, kun ollaan kiinnostuneita neliöjuurifunktion analyyttisyydestä ja jatkuvuudesta. Noilla spekseillä päähaara (tai se toinen) on derivoituva kun r>0 eli päähaaraneliöjuuri on analyyttinen funktio ja siis myös jatkuva. Se on myös jatkuva, kun r = 0, mutta ei derivoituva. Käyttäen arvoja ϕ ∈ (−π, π] ja r ≥ 0, ei nyt määritelty päähaarafunktio ole edes jatkuva, kun ϕ = π ja siten ei analyyttinen (kun ϕ = π), mutta silloin tuo (päähaara/toinen haara) neliöjuuri on määritelty kaikilla kompleksiluvuilla \(w\in \mathbb{C}\), tämä on kai sitten sellainen algebrallisempi määritelmä, kun ei vaadita, että saadut lausekkeet olisivat analyytisiä funktioita, kun edellinen olisi analyysin määritelmä tms.

Joo, onhan tuossa nyt taas mulla pilkunviilausta. Tuohon ylläolevaan kannattaa suhtautua ns. varauksella, koska mun pitää aina opiskella tämä neliöjuuriasia uudestaan ja uudestaan, koska tuollaiset unohtuu helposti.

Lisäksi, boldaukset tuossa mun tekstissä näyttää vaan niin hienolta, etten voinut vastustaa kiusausta käyttää niitä..

edit: lisätty pieni detalji.

Joo, huomasit olennaisenkin virheen. Mulla jäi jälkimmäiseen määritelmä r > 0 ja ϕ ∈ (−π, π), kun jouduin kertaamaan miten nämä haarat ylipäänsä menee. Lähteen punaisena lankana oli kai juurikin tutkia onko funktio analyyttinen. Sitten palasin alkuperäiseen ajatukseeni, ja meni nuo välit miten sattuu.

Siinä toisen rivin alla pitäisi olla \(w \in \mathbb{C}\). Puoliavomella välillä negatiivinen reaaliakseli ei ole poistettu. Avoimella välillä olisi poistettu.

Tämä "-1=1 todistus" on sotku, jonka olen vain kerran elämässäni pintapuolisesti selannut. No, tulipahan edes vähän syvemmin ajateltua.

[Disputator]

Neliöjuurien maailman tuskaa lisää se mahdollisuus, että neliöjuuret voidaan määritellä potenssina analogisesti positiivisten reaalilukujen kanssa myös kompleksilukujen joukossa kaavalla:

\(\sqrt{w}\equiv w^{1/2}\)

Tämäkään kaava oikeaoppisesti kompleksiluvuilla määriteltynä ei anna yksikäsitteistä neliöjuurta, vaan ne kaksi haaraa. Jotta tähän päästään on ensin määriteltävä kompleksiluvun w = x + iy potenssiinkorotus luvulla 1/2 (tai yleisempi potenssi). Pointti on se, että a priori merkinnät \(\sqrt{w}\) ja w^1/2 viittaavat eri asioihin, joten määrittely-yhtälöni ei ole suoraan yhtensopiva. Siis jos vasen puoli määritellään oikean puolen avulla, niin onko heti selvää, että tuo vasemmanpuolinen otus on sama kuin aikaisempien viestien neliöjuuret. On se, mutta mutta tämän yhteyuden rakentamiseen vaaditaan taas sitten kompleksisen eksponenttifuntion ja sen "käänteisfunktion" log kanssa pelaamista ja räpläämistä.

Tämä neliöjuuribisnes on kuitenkin mielenkiintoinen aihepiiri siksi, että vaikka neliöjuuri on tavallaan "simppeli", niin se tuo esiin sellaista problematiikkaa, joka esiintyy monilla analyyttisillä kompleksiarvoisilla funktioilla.

[Disputator]

...

Tämä "-1=1 todistus" on sotku, jonka olen vain kerran elämässäni pintapuolisesti selannut. No, tulipahan edes vähän syvemmin ajateltua.

Tämä on kyllä sellainen hieman sotkuinen aihe, varsinkin jos ei päivätyökseen laske kompleksilukujen neliöjuuria. Minä olen monta kertaa kerrannut nämä asiat uudestaan ja uudestaan. Kompleksiluvut ja niiden erilaiset funktiot ovat kyllä mielenkiintoisia, koska monet reaalifunktiot yleistyvät kompleksialueelle sellaisenaan, esimerkiksi sin w ja cos w ja exp w jne. Joku reaalisen kulman kosini on ihan ymmärrettävä geometrisesti, mutta joku cos w tms.

[Disputator]

Hei QS, kun luet varmaankin tätä, niin sellainen tuli mieleen, että joskus vanhalla palstalla käytiin läpi sitä Schwartzchildin metriikkaa jossain keskusteluissa läpi ja laskettiin jotain dr/dt vs. DR/DT jne eli koordinaattinopeuksien ja todellisten havaitsijan mittaamien nopeuksien välisiä suhteita (tai mitä lie), niin siitä olisi mielenkiintoista jatkaa, koska itse laskeskelin niitä jälkeenpäin ja mulla oli joku sun kaava "referenssinä", johon yritin verrata omia laskelmiani. Sain kyllä lopulta jotain samanlaista aikaiseksi, mutta aihe jäi vähän kesken.

[QS]

Muistan hämärästi dr/dt -jutut joita laskettiin. Niissä tuli vastaan juttuja, joita en itse ollut tiedostanut. Nyt vaan lahopäänä oon unohtanut että mihin kohti se juttu jäi.

Kaivelen jostain, ja palaan, kun öydän paperikasojen sisältä. Raapustin yleensä kynällä johonkin ja ne voi olla tallessa.

...
Pointti on se, että a priori merkinnät \(\sqrt{w}\) ja w^1/2 viittaavat eri asioihin, joten määrittely-yhtälöni ei ole suoraan yhtensopiva. Siis jos vasen puoli määritellään oikean puolen avulla, niin onko heti selvää, että tuo vasemmanpuolinen otus on sama kuin aikaisempien viestien neliöjuuret. On se, mutta mutta tämän yhteyuden rakentamiseen vaaditaan taas sitten kompleksisen eksponenttifuntion ja sen "käänteisfunktion" log kanssa pelaamista ja räpläämistä.

Mulla painunut jo muistin takimmaisiin nurkkiin nämä. Jos nyt pitäisi ilman kertaamista ja lähteitä rakentaa alusta alkaen, niin tekemättä jäisi multa. Kompleksianalyysi on kieltämättä kiehtova matematiikan haara (joo, haara) ja tärkeä. Ja Riemannin pinnat! Jos herra Riemann tietäisi miten upesti nuo saa tietokoneella visualisoitua, niin olisi haltioissaan. Samoja pintoja, mitä hänen aivonsa ajattelivat sulkakynän voimin.