Fysiikan kaavalotto

[QS]

Otetaan kierojen kaavojen tunnistus-lotto. Kun fyysikko lausuu

\(\sum_a T_a (Tr_{XR}[(\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\otimes \mathbb{I^B}]) = \rho_R\)

niin mitäpä hän kaavallaan koettaa kertoa?

[Varaktori]

Otetaan kierojen kaavojen tunnistus-lotto. Kun fyysikko lausuu

\(\sum_a T_a (Tr_{XR}[(\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\otimes \mathbb{I^B}]) = \rho_R\)

\(\sum_a T_a (Tr_{XR}[(\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\otimes \mathbb{I^B}]) = \rho_R\)

niin mitäpä hän kaavallaan koettaa kertoa?

Kovasti siinä jotain kvanttimekaniikkaa koitetaan vääntää, mutta ei kyllä maallikolle täysin aukea.

[QS]

Oikein päätelty, kvanttimaailmasta on kyse . Myönnän ettei ole helppo lottokaava, jos arvausta haluaa tarkentaa.

[Disputator]

Hello QS, me ollaankin käyty sillä vanhalla foorumilla monen monta keskustelua..

Tuossa notaatio jotenkin muistuttaa jotain lomittumisjuttua, jossa esimerkiksi kahden hiukkasen 1 ja 2 tila-avaruuksien H₁ ja H₂ tensoritulo H=H₁ \(\otimes\) H₂.

Koko avaruuteen H voidaan liittää tiheysoperaattori \(\rho\) ja vastaavasti sama voidaan kai määritellä avaruuksille H₁ ja H₂, antaen \(\rho_1\) ja \(\rho_2 \). Tuo sun kaavassa oleva Tr (=trace) jotenkin viittaisi siihen että jotain kvanttimekaniikan tiheysoperaattoria \(\rho_{R}\) ollaan rakentamassa hiukkasten omien (??) tiheysoperaattorien \(\rho\) ja \(\sigma\) avulla. Mutta niissä on jotain ihmeellisiä indeksejä, X,A,B,R,a ! Onko tuossa enemmän hiukkasia, 3 kpl?
Sitten siellä on \(T_{a}\), joka jossain fyssan kirjoissa on Lie-algebran kantavektori. Jos niin on, niin se F on konnektiokerroimen vastine LIe-algebrajutuissa.

Tuo mun lottoarvaus menee kyllä varmasti metsään, tuli vaan tuosta Tr-merkinnästä mieleen, koska jossain lomittumisjutuissa lienee on sellainen käsite kuin partial trace, joka antaa systeemin toiselle hiukkaselle tietynlaisen tiheysoperaattorin..

Onko tuo antamasi kaava jotenkin, rikki koska en kyllä hahmota mitä siinä tapahtuu siinä F-symbolin vasemmalla vs. oikealla puolella, miten ne linkittyy, tai en oikeastaan hahmota enää mitään...

Eli lukitaan ylläoleva ja laitetaan jakoon tämä lottorivi.

Edit: vähän muokattu

[QS]

Hello QS, me ollaankin käyty sillä vanhalla foorumilla monen monta keskustelua..

Tuossa notaatio jotenkin muistuttaa jotain lomittumisjuttua, jossa esimerkiksi kahden hiukkasen 1 ja 2 tila-avaruuksien H₁ ja H₂ tensoritulo H=H₁ \(\otimes\) H₂.

Koko avaruuteen H voidaan liittää tiheysoperaattori \(\rho\) ja vastaavasti sama voidaan kai määritellä avaruuksille H₁ ja H₂, antaen \(\rho_1\) ja \(\rho_2 \). Tuo sun kaavassa oleva Tr (=trace) jotenkin viittaisi siihen että jotain kvanttimekaniikan tiheysoperaattoria \(\rho_{R}\) ollaan rakentamassa hiukkasten omien (??) tiheysoperaattorien \(\rho\) ja \(\sigma\) avulla. Mutta niissä on jotain ihmeellisiä indeksejä, X,A,B,R,a ! Onko tuossa enemmän hiukkasia, 3 kpl?
Sitten siellä on \(T_{a}\), joka jossain fyssan kirjoissa on Lie-algebran kantavektori. Jos niin on, niin se F on konnektiokerroimen vastine LIe-algebrajutuissa.

Tuo mun lottoarvaus menee kyllä varmasti metsään, tuli vaan tuosta Tr-merkinnästä mieleen, koska jossain lomittumisjutuissa lienee on sellainen käsite kuin partial trace, joka antaa systeemin toiselle hiukkaselle tietynlaisen tiheysoperaattorin..

Onko tuo antamasi kaava jotenkin, rikki koska en kyllä hahmota mitä siinä tapahtuu siinä F-symbolin vasemmalla vs. oikealla puolella, miten ne linkittyy, tai en oikeastaan hahmota enää mitään...

Eli lukitaan ylläoleva ja laitetaan jakoon tämä lottorivi.

Edit: vähän muokattu

Katsos. Onkin hetki vierähtänyt, kun ollaan aiheiden kimpussa oltu. Nimimerkkisi vivahde on sama kuin taannoin, mikä on hyvä asia .

Analyysisi on oikean vastauksen arvoinen, koska päättelit huomattavan paljon, vaikka notaation selitteet puuttuivat.

Ja huomasit sen, minkä itsekin näen kun katson eilisen jälkeen uusin silmin, että onneton kaavani on rikki. Oikealla puolella pitää olla \(\rho_X\) eikä \(\rho_R\). Ja osittaisjälki pitää olla \(Tr_{XA}\). En voi viestiä enää editoida, pahoittelut mokastani.

Korjattuna: \(\sum_{a} T_a (Tr_{XA}[(\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\otimes \mathbb{I^B}]) = \rho_X\).

Vaikka olisin kirjoittanut oikein, on kaava lähes mahdoton ellei ole nähnyt aiemmin. Asian voisi lausua konkreettisestikin purkamalla osiinsa sekä käyttämällä braket-notaatiota ja sanallisia selitteitä.

Notaatiossa \(\rho_X\) ja \(\sigma_{AB}\) ovat tosiaan tiheysmatriiseja, missä X = lähettäjä, A = Alice, B = Bob. Kuten päättelitkin, tässä on useamman Hilbertin avaruuden tensorituloja.

Tuo \( \sigma_{AB}\) on A:n ja B:n kesken jaetun lomitetun systeemin \(\mathbb{H_A} \otimes \mathbb{H_B}\) tiheysmatriisi. Vastaavasti \( \rho_X\) kuvaa systeemiä \(\mathbb{H_X}\). Kaavan oikea puoli \(\rho_X\) on matriisi, kuten on myös vasen puoli.

Tiheysmatriisit ovat tiheysoperaattoreita, jotka asuvat vastaavissa operaattoriavaruuksissa. Kaavassa \(\sigma_{AB}\in\mathfrak{B}(\mathbb{H}_A \otimes \mathbb{H}_B)\) ja \(\rho_{X}\in\mathfrak{B}(\mathbb{H}_X)\).

\(F^{XA}\) on operaattori, jolla suoritetaan mittaus tila-avaruuteen \(\mathbb{H_X} \otimes \mathbb{H_A}\). Tämä on X:n ja A:n tulotila.

A:lla on pääsy vain omaan osasysteemiin A sekä tulotilan toiseen osasysteemiin X. Lomittunut osysteemi B on kaavassa yksikkömatriisina \(\mathbb{I^B}\).

Mittauksen jälkeinen tila saadaan ottamalla mittaustuloksesta osittaisjälki \(Tr_{XA}\), mikä siis kohdistuu vain osasysteemiin \(\mathbb{H_X} \otimes \mathbb{H_A}\). Osasysteemin B tilaan tuo mittaus ei vaikuta.

Mittaukset näkyvät kaavassa muodossa \((\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\).

Tuo \(F_a^{XA}\) on joukko mittausoperaattoreita { \(F_a^{XA}\) }, missä indeksi a kuvaa kaikkia mahdollisia mittaustuloksia a.

Jos X on kahden mahdollisen tilan systeemi, niin ensimmäisen mittauksen jälkeen A kertoo B:lle tuon yhden mittaustuloksen a. Tämän perusteella B voi itsekin päätellä muut a:n arvot (joita 2-dim tapausessa on vain kaksi).

Nyt sitten \(T_a\) on unitaari operaattori, jonka B kohdistaa systeemiinsä \(\mathbb{H_B}\). Operaattori olisi helpompi hahmottaa bra-ket-notaatiolla, mutta todetaan nyt vain, että tämä on kuvaus \(T_a: \mathfrak{B}(\mathbb{H}_B) \to \mathfrak{B}(\mathbb{H}_X)\).

Operaattori muuntaa B:n tila-avaruuden samaksi kuin X:n tila-avaruus. Toisin ilmaistuna \(T_a\) siirtää \(\mathbb{H_X}\):n tilavektorin avaruuteen \(\mathbb{H_B}\).

Lopuksi summataan kaikki mahdolliset mittaustulosten arvot tuossa summassa \(\sum_{a}\), jonka seurauksena oikealle puolelle muodostuu koko tiheysmatriisi \(\rho_X\).

\(\sum_{a}\) on myös haastava mieltää ilman braket-notaatiota, mutta 2-dimensioisen tilan X tapauksessa A mittaa vain yhden kerran, ja kertoo yhden mittautuloksen a toiselle osapuolelle B, joka kohdistaa omaan systeemiinsä unitaarin operaattorin \(T_a\). Tämän seurauksena hän saa muodostettua systeemin X tilan. Muita mahdollisia mittausarvoja a käytetään vain tiheysmatriisin muodostamiseen kokonaisuutena.

Kaavassa suoritetaan systeemin X kvanttitilan teleportaatio A:lta B:lle.

[Disputator]

Hello QS, me ollaankin käyty sillä vanhalla foorumilla monen monta keskustelua..

Tuossa notaatio jotenkin muistuttaa jotain lomittumisjuttua, jossa esimerkiksi kahden hiukkasen 1 ja 2 tila-avaruuksien H₁ ja H₂ tensoritulo H=H₁ \(\otimes\) H₂.

Koko avaruuteen H voidaan liittää tiheysoperaattori \(\rho\) ja vastaavasti sama voidaan kai määritellä avaruuksille H₁ ja H₂, antaen \(\rho_1\) ja \(\rho_2 \). Tuo sun kaavassa oleva Tr (=trace) jotenkin viittaisi siihen että jotain kvanttimekaniikan tiheysoperaattoria \(\rho_{R}\) ollaan rakentamassa hiukkasten omien (??) tiheysoperaattorien \(\rho\) ja \(\sigma\) avulla. Mutta niissä on jotain ihmeellisiä indeksejä, X,A,B,R,a ! Onko tuossa enemmän hiukkasia, 3 kpl?
Sitten siellä on \(T_{a}\), joka jossain fyssan kirjoissa on Lie-algebran kantavektori. Jos niin on, niin se F on konnektiokerroimen vastine LIe-algebrajutuissa.

Tuo mun lottoarvaus menee kyllä varmasti metsään, tuli vaan tuosta Tr-merkinnästä mieleen, koska jossain lomittumisjutuissa lienee on sellainen käsite kuin partial trace, joka antaa systeemin toiselle hiukkaselle tietynlaisen tiheysoperaattorin..

Onko tuo antamasi kaava jotenkin, rikki koska en kyllä hahmota mitä siinä tapahtuu siinä F-symbolin vasemmalla vs. oikealla puolella, miten ne linkittyy, tai en oikeastaan hahmota enää mitään...

Eli lukitaan ylläoleva ja laitetaan jakoon tämä lottorivi.

Edit: vähän muokattu

Katsos. Onkin hetki vierähtänyt, kun ollaan aiheiden kimpussa oltu. Nimimerkkisi vivahde on sama kuin taannoin, mikä on hyvä asia .

Analyysisi on oikean vastauksen arvoinen, koska päättelit huomattavan paljon, vaikka notaation selitteet puuttuivat.

Ja huomasit sen, minkä itsekin näen kun katson eilisen jälkeen uusin silmin, että onneton kaavani on rikki. Oikealla puolella pitää olla \(\rho_X\) eikä \(\rho_R\). Ja osittaisjälki pitää olla \(Tr_{XA}\). En voi viestiä enää editoida, pahoittelut mokastani.

Korjattuna: \(\sum_{a} T_a (Tr_{XA}[(\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\otimes \mathbb{I^B}]) = \rho_X\).

Vaikka olisin kirjoittanut oikein, on kaava lähes mahdoton ellei ole nähnyt aiemmin. Asian voisi lausua konkreettisestikin purkamalla osiinsa sekä käyttämällä braket-notaatiota ja sanallisia selitteitä.

....

Kaavassa suoritetaan systeemin X kvanttitilan teleportaatio A:lta B:lle.

Itse asiassa en ymmärtänyt yhtään mitään mitä kaava edes yrittää tarkoittaa, mutta jotenkin muistin nähneeni samanlaisia juttuja visuaalisesti eli näin vain jonkinlaista analogiaa ja siten yritin päätellä mitä siinä voisi olla, heh...Se mikä näytti ja ja näyttää edelleen (koska en ymmärrä tuosta mitään) on se, että kun yritin noihin tensorituloihin sijoitella vektoreita tai sitten operaattoreita se ei oikein näyttänyt oikealta, mun visuaalisen hahmotuksen mukaan eli jotain tyyliin matriisi A kertaa vektori x on Ax eikä xA tai x.A tms. eli ihan puhtaasta arvauksesta oli tuo mun arvelu kaavasi "rikkinäisyydestä". Mä yritän ymmärtää tuota, mutta luulen että menee ohi mun ymmärryksestä.

Mutta hienoa, että joku on pistänyt tämän foorumin pystyyn, todella suuret kiitokset hänelle, kuka lieneekin, minä se en ole ainakaan. Toivottavasti foorumi saa edes jonkin verran keskustelijoita, toki tieteellisemmällä foorumilla ei varmaa ole koskaan mitään ruuhkaa. Hieno juttu kuitenkin. Ja mukava tavata uudestaan QS.

[QS]

Hello QS, me ollaankin käyty sillä vanhalla foorumilla monen monta keskustelua..

Tuossa notaatio jotenkin muistuttaa jotain lomittumisjuttua, jossa esimerkiksi kahden hiukkasen 1 ja 2 tila-avaruuksien H₁ ja H₂ tensoritulo H=H₁ \(\otimes\) H₂.

Koko avaruuteen H voidaan liittää tiheysoperaattori \(\rho\) ja vastaavasti sama voidaan kai määritellä avaruuksille H₁ ja H₂, antaen \(\rho_1\) ja \(\rho_2 \). Tuo sun kaavassa oleva Tr (=trace) jotenkin viittaisi siihen että jotain kvanttimekaniikan tiheysoperaattoria \(\rho_{R}\) ollaan rakentamassa hiukkasten omien (??) tiheysoperaattorien \(\rho\) ja \(\sigma\) avulla. Mutta niissä on jotain ihmeellisiä indeksejä, X,A,B,R,a ! Onko tuossa enemmän hiukkasia, 3 kpl?
Sitten siellä on \(T_{a}\), joka jossain fyssan kirjoissa on Lie-algebran kantavektori. Jos niin on, niin se F on konnektiokerroimen vastine LIe-algebrajutuissa.

Tuo mun lottoarvaus menee kyllä varmasti metsään, tuli vaan tuosta Tr-merkinnästä mieleen, koska jossain lomittumisjutuissa lienee on sellainen käsite kuin partial trace, joka antaa systeemin toiselle hiukkaselle tietynlaisen tiheysoperaattorin..

Onko tuo antamasi kaava jotenkin, rikki koska en kyllä hahmota mitä siinä tapahtuu siinä F-symbolin vasemmalla vs. oikealla puolella, miten ne linkittyy, tai en oikeastaan hahmota enää mitään...

Eli lukitaan ylläoleva ja laitetaan jakoon tämä lottorivi.

Edit: vähän muokattu

Katsos. Onkin hetki vierähtänyt, kun ollaan aiheiden kimpussa oltu. Nimimerkkisi vivahde on sama kuin taannoin, mikä on hyvä asia .

Analyysisi on oikean vastauksen arvoinen, koska päättelit huomattavan paljon, vaikka notaation selitteet puuttuivat.

Ja huomasit sen, minkä itsekin näen kun katson eilisen jälkeen uusin silmin, että onneton kaavani on rikki. Oikealla puolella pitää olla \(\rho_X\) eikä \(\rho_R\). Ja osittaisjälki pitää olla \(Tr_{XA}\). En voi viestiä enää editoida, pahoittelut mokastani.

Korjattuna: \(\sum_{a} T_a (Tr_{XA}[(\rho_X \otimes \sigma_{AB})F_a^{XA}\otimes \mathbb{I^B}]) = \rho_X\).

Vaikka olisin kirjoittanut oikein, on kaava lähes mahdoton ellei ole nähnyt aiemmin. Asian voisi lausua konkreettisestikin purkamalla osiinsa sekä käyttämällä braket-notaatiota ja sanallisia selitteitä.

....

Kaavassa suoritetaan systeemin X kvanttitilan teleportaatio A:lta B:lle.

Itse asiassa en ymmärtänyt yhtään mitään mitä kaava edes yrittää tarkoittaa, mutta jotenkin muistin nähneeni samanlaisia juttuja visuaalisesti eli näin vain jonkinlaista analogiaa ja siten yritin päätellä mitä siinä voisi olla, heh...Se mikä näytti ja ja näyttää edelleen (koska en ymmärrä tuosta mitään) on se, että kun yritin noihin tensorituloihin sijoitella vektoreita tai sitten operaattoreita se ei oikein näyttänyt oikealta, mun visuaalisen hahmotuksen mukaan eli jotain tyyliin matriisi A kertaa vektori x on Ax eikä xA tai x.A tms. eli ihan puhtaasta arvauksesta oli tuo mun arvelu kaavasi "rikkinäisyydestä". Mä yritän ymmärtää tuota, mutta luulen että menee ohi mun ymmärryksestä.

Mutta hienoa, että joku on pistänyt tämän foorumin pystyyn, todella suuret kiitokset hänelle, kuka lieneekin, minä se en ole ainakaan. Toivottavasti foorumi saa edes jonkin verran keskustelijoita, toki tieteellisemmällä foorumilla ei varmaa ole koskaan mitään ruuhkaa. Hieno juttu kuitenkin. Ja mukava tavata uudestaan QS.

En minäkään kaavan salausta olisi purkanut ellen sattuisi tietämään formalismia pääpiirteissään. Että oli tuo melko hard core -avaus.

Partial trace -notaatio on myös hämmentävä. On nimittäin kaksi täysin vastakkaista tapaa kirjoittaa partial trace.

Esimerkiksi A:sta ja B:stä muodostuvan systeemin tiheysoperaattori voidaan lausua \(\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B\).

Kun halutaan tietää vain systeemin A tiheysmatriisi, niin sanotaan, että "otetaan osittaisjälki B:n yli" (partial trace over B). Notaatio tälle on lähes 100%:sti seuraavanlainen

\(Tr_{B}[\rho_{AB}] = \sum_{i} \rho_A \otimes \langle i |\rho_B | i\rangle = \rho_A\),

missä summa käy läpi kaikki B-systeemin kantavektorit \(|i\rangle\). Toisin sanoen "otetaan B-systeemin tiheysmatriisista jälki", joka on tietysti 1. Tuloksena oikealla on A:n tiheysmatriisi \(\rho_A\). Vasemmalle kirjoitetaan \(Tr_{B}\) ja oikealle \(\rho_A\). Vasemmalla B ja oikealla A.

Viestini kaavahirviössä notaatio on toisin päin. Siinä otetaan osittaisjälki, mutta notaatio on \(Tr_{A}[\rho_{AB}] = \rho_A\), missä vasemmalla A ja oikealla A.

Mittausoperaattorit sijoitetaan yleensä matriisin oikealle puolelle. Melko loogista, kun operaattoria F vastaavan mittaustapahtuman odotusarvo on

\(\langle F \rangle = \sum_{i} p_{i} \langle \psi_{i} |F| \psi_{i} \rangle = \sum_{i} p_{i} Tr[ |\psi_{i}\rangle \langle\psi_{i} |F] \)

\(= Tr[\sum_{i}p_{i}|\psi_{i}\rangle \langle\psi_{i} |F] = Tr[\rho F].\)

Toki tällä ei ole väliä, koska kahdelle neliömatriisille A ja B pätee Tr[AB] = Tr[BA].

Joo, mutta löysin tänne eräällä toisella foorumilla olleen mainoslinkin kautta. Ehkä tänne eksyy muitakin ihmettelijöitä

[Varaktori]

Tämä nyt ei ole mitenkään kiero, mutta laitan tähän kun tykkään siitä.
\((i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0\)

[QS]

Tämä nyt ei ole mitenkään kiero, mutta laitan tähän kun tykkään siitä.
\((i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0\)

Kyllä, hyvin viehättävä. Lähes satavuotias, mutta edelleen eräs fysiikan kauneimpia. Diracin yhtälö.

[Varaktori]

Tämä nyt ei ole mitenkään kiero, mutta laitan tähän kun tykkään siitä.
\((i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0\)

Kyllä, hyvin viehättävä. Lähes satavuotias, mutta edelleen eräs fysiikan kauneimpia. Diracin yhtälö.

Ne oli aikoinaan aika kovia kavereita kun ei ollut tietokoneita eikä internettiä jossa tunkea tuotokset arXiv:iin. Vissiin ihan kirjeitä läheteltiin. Vai oliko ne kovia juuri sen takia?