Suhteellisuusteoriaa

[QS]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

[Eusa]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

Eikös se ole määritelty tuon älykkään hiiren pähkäilyissä - juuri sellainen etäisyys, että ehtii turvaan, kun on valmistautunut pitämään kissaan suhteellisuusteoreettisesti ennustettavan niukasti vielä turvallisen etäisyyden?

Enemmän olisin huolissani liian ei-relativistisista nopeuksista. "Realismia" pähkinään voisi saada asettamalla kausaliteetin vauhdin c vaikkapa arvoon 20 m/s.

[Kontra]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

Sillä on sekunnin etumatka. Paikat on tuttuja kummallekin ja tuntevavat toisensa ennestään monen ottelun kokemuksella. Kissa tietää, ettei sen kannata lähteä ollenkaan liikkelle, kun tietää mikä matka hiirellä on koloonsa. Pitää asennoitua kissan rooliin.  

[QS]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

Sillä on sekunnin etumatka. Paikat on tuttuja kummallekin ja tuntevavat toisensa ennestään monen ottelun kokemuksella. Kissa tietää, ettei sen kannata lähteä ollenkaan liikkelle, kun tietää mikä matka hiirellä on koloonsa. Pitää asennoitua kissan rooliin.

Hmm. Lähteä liikkeelle? Tuossa on annettu alkuvauhdit, joten ovat jo lähtötilanteessa liikkeellä. Vai ovatko ne loppuvauhteja?

[Kontra]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

Sillä on sekunnin etumatka. Paikat on tuttuja kummallekin ja tuntevavat toisensa ennestään monen ottelun kokemuksella. Kissa tietää, ettei sen kannata lähteä ollenkaan liikkelle, kun tietää mikä matka hiirellä on koloonsa. Pitää asennoitua kissan rooliin.

Hmm. Lähteä liikkeelle? Tuossa on annettu alkuvauhdit, joten ovat jo lähtötilanteessa liikkeellä. Vai ovatko ne loppuvauhteja?

Vaimo kyseli, mikä mua naurattaa, kun tein laskutehtävää, niin näytin tehtävän vaimolle.
No eihän vaimo siihen vastausta tietenkään tiennyt, mutta hetken mietittyään tiuskaisi, "sähän olet kun koulukiusaaja".  

[Kontra]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

Sillä on sekunnin etumatka. Paikat on tuttuja kummallekin ja tuntevavat toisensa ennestään monen ottelun kokemuksella. Kissa tietää, ettei sen kannata lähteä ollenkaan liikkelle, kun tietää mikä matka hiirellä on koloonsa. Pitää asennoitua kissan rooliin.

Hmm. Lähteä liikkeelle? Tuossa on annettu alkuvauhdit, joten ovat jo lähtötilanteessa liikkeellä. Vai ovatko ne loppuvauhteja?

Vaimo kyseli, mikä mua naurattaa, kun tein laskutehtävää, niin näytin tehtävän vaimolle.
No eihän vaimo siihen vastausta tietenkään tiennyt, mutta hetken mietittyään tiuskaisi, "sähän olet kun koulukiusaaja".

Hiiri säilyttää henkensä, mutta miksi?

[QS]

Havaitsija O(t',x') on inertiaalinen. O:n suhteen liikkuu toinen inertiaalihavaitsija K(t,x) siten, että nopeus x'-akselin suuntaan on +v. Kun K ohittaa O:n, niin tuo K lähetää kaksi kelloa edestakaiselle matkalle siten, että kello A etenee K:n negatiivisen x-akselin suunnassa, ja käännöspiste paikassa x=-L. Kello B kääntyy vastaavasti paikassa x=L, ja palaa takaisin.

A:n nopeus K:ssa on -u, ja B:n nopeus K:ssa on +u. A ja B kohtaavat K:n origon (x=0) paluumatkalla jälleen samanaikaisesti. Kellot jäävät K:n origoon samaan pisteeseen kuin kello K.

K etenee O:sta tarkasteltuna myös edestakaisen matkan, jonka käännepiste on O:n koordinaateilla positiivisen x'-akselin suunnassa paikassa x'=D. Tämä piste on sellainen, että K:n tekemä 'kaksosparadoksi'-koe on suoritettu juuri käännepisteen x'=D saavuttamisen kohdalla. Toisin sanoen K:n tekemä koe kahdella kellolla A ja B alkaa, kun se on O:n pisteessä x'=0 ja päättyy, kun se on O:n pisteessä x'=D.

Tämän jälkeen K (sekä kellot A ja B) palaa takaisin kohti O:ta, ja ohittaa sen paluumatkalla pisteessä x'=0.

Kellot A, B ja K kohtaavat O:n kellon samanaikaisesti alussa, ja myöhemmin jälleen samanaikaisesti K:n paluumatkalla.

Käännöspisteen kiihtyvyyttä ei tarvitse käyttää, approksimointi yksinkertaistetun kaksosparadoksin tapaan sallittua.

Laitan tähän oman laskuni tulokset. Muutin havaitsijan O koordinaattien notaatioksi (t,x).

Havaitsijan O ja K, sekä kellojen A ja B mittaamat ominaisajat

\(\begin{align*}
\Delta \tau_O &=\frac{2D}{v}\\\\
\Delta \tau_K &=\frac{2D}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\\\
\Delta \tau_A &=\frac{2D}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\left(\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}+\frac{1}{2}\right)\\\\
\Delta \tau_B &=\frac{2D}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\left(\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}+\frac{1}{2}\right)
\end{align*}\)

Kellojen A ja B ominaisajassa tuo suluissa oleva saa arvot väliltä \(\left(\frac{1}{2},1 \right]\). Eräänlainen kerroin, joka on 1, kun nopeus u=0.

O:n ja K:n kesken tuttu kaksosparadoksin tilanne \(\Delta \tau_K < \Delta \tau_O\).

Lisäksi A ja B mittaavat saman ominaisajan, joka on lyhyempi kuin havaitsijan K ja O mittama.

[Kontra]

Kissan hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
...

Mikä on otusten paikka toistensa suhteen, kun hiiri hoksaa kissan?

Eikös se ole määritelty tuon älykkään hiiren pähkäilyissä - juuri sellainen etäisyys, että ehtii turvaan, kun on valmistautunut pitämään kissaan suhteellisuusteoreettisesti ennustettavan niukasti vielä turvallisen etäisyyden?

Juu olet oikeilla jäljillä.

Kun sanoin: ”…. hiiri juuri ja juuri ehtii koloonsa”, siitähän voi päätellä, ettei lähtötilanteessa ole välimatkalla merkitystä. Molemmat joutuvat vain juoksemaan sitä pidemmän matkan, mitä pidempi väli lähtötilanteessa on.

Kun ilmoitin kiihdytysarvot kummallekin, siitä voi päätellä, että lähtötilanteessa kumpikin on paikallaan. Voi laittaa lähtötilanteen väliksi vaikka 1m, ja laskea matkan kololle. Ja sitten 2m, niin matka kololle vastaavasti pitenee. Nuohan voi laskea verytelläkseen Newtonin mekaniikkaa. Mutta suhtiksella homma onkin toinen juttu.

Noitahan ei tietenkään tarvitse laskea, koska suhtiksella saa oikean tuloksen. Newton-tulos oli mikä oli, se on väärä, ja siksi hiiri säilyttää henkensä.

[Kontra]

jatkoa edelliseen kommenttiini
Taitaisi olla kuvaavampaa, jos laittaisi lähtötilanteessa välimatkaksi vaikka 10 m, kun kummapikin ehtisi kiihdyttää täyteen vauhtiin.

[QS]

jatkoa edelliseen kommenttiini
Taitaisi olla kuvaavampaa, jos laittaisi lähtötilanteessa välimatkaksi vaikka 10 m, kun kummapikin ehtisi kiihdyttää täyteen vauhtiin.

Ahaa. Otukset aluksi paikallaan. Sitten kiihdytys. Ja lopuksi maksimivauhti, joka ei ylity? Jos näin on, niin esimerkki kuvassa

kissahiiri.png (16.89 KiB) Katsottu 18 kertaa

Suhteellisuusteoria ei tässä vaikuta lopputulokseen. Otusten kiihtyvyys ja loppunopeus niin pieniä, että korjaus käytännössä olematon.