Olipas nippu deeppejä kysymyksiä, ja mahdollisimman epätriviaaleja
Disclaimer: Vastaan ympäripyöreästi, ja mukana varmasti virheitä, joista matemaatikolta raipaniskut. Otan ne vastaan.
Grand Unified Teorioista tunnen pintaraapaisun, mutta muistin hämärästi, että \(\mathbf{16}\) on mahdollinen. Pikaisella etsimisellä löysin, että kyseessä GUT, jonka symmetriaryhmä on \(SO(10)\). Tämän ryhmän redusoitumaton esitys \(\mathbf{16}\) voidaan hajottaa aliryhmiensä esitysten suoraksi summaksi, joka on
\(\mathbf{10}_1 \oplus \overline{\mathbf{5}}_{-3} \oplus \mathbf{1}_5\)
Tuo \(SO(10)\) on siksi kiinnostava, että eräs ryhmän \(SO(10)\) aliryhmä on \(SU(5) \times U(1)\). Ja edelleen eräs ryhmän \(SU(5)\) aliryhmä on, yllätys yllätys, \(SU(3) \times SU(2) \times U(1)\).
Ryhmän \(SU(5)\) redustoitumattomien esitysten joukosta löytyy esitys \(\mathbf{10}\), joka hajoaa suoraksi summaksi
\((\mathbf{3}, \mathbf{2})_{1/6} \oplus (\overline{\mathbf{3}}, \mathbf{1})_{-2/3} \oplus (\mathbf{1}, \mathbf{1})_1\)
missä ensimmäinen on notaatiosi mukainen \(Q_L\). Seuraava on vasenkiraaliset anti-alakvarkit \(D_L^c\). Loput standardimallin esitykset löytyvät, kun tarkastellaan \(\mathbf{10}\):n lisäksi \(SU(5)\)-esityksiä \(\mathbf{1}\), \(\mathbf{5}\), \({\mathbf{\bar 5}}\) ja \(\mathbf{24}\).
Nyt sitten tuo ryhmän \(SO(10)\) esityksen \(\mathbf{16}\) suora summa sisältää edellä mainitun \(\mathbf{10}\), \(\mathbf{5}\) ja \(\mathbf{1}\), mikä on käytännössä koko standardimalli ja sen lisäksi muitakin hitusia.
Ideana se, että isompaa symmetriaryhmää tutkimalla voi löytyä aliryhmänä standardimalli, mutta sen lisäksi uusia redusoitumattomia esityksiä (eli alkeishiukkasia), joita ei standardimallissa ole. Ja \(\mathbf{16}\) on tosiaan kiinnostava esitys.
Miksi sitten luonnossa esiintyy vaikkapa symmetria \(SU(2)\). On olemassa Lien algebra \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\). Tuon Lien algebran kompleksifikaatio on
\(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_{\mathbb{C}}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)
joka on kahden reaalisen Lien algebran suora summa. Osoittautuu, että saadulla algebralla voidaan kuvata luonnon spin-1/2 hiukkasia.
Toinen hyvin tunnettu asia on se, että aika-avaruuden symmetriaryhmä on Lorentzin ryhmä, \(SO(3,1)^+\). Erikoista tässä on se, että spin-1/2 alkeishiukkasia kuvaava \(SL(2,\mathbb{C})\) on aika-avaruuden symmetriaryhmän kaksoispeite (ryhmäteorian jargonia, mutta mielenkiintoinen ominaisuus).
Tuo edellinen tarkoittaa lopulta sitä, että spin-1/2 hiukkasia ei voisi olla olemassa, jos aika-avaruuden symmetria olisi jotain muuta kuin \(SO(3,1)^+\). Tai tosin päin aika-avaruus olisi aivan erilainen, jos spin-1/2 hiukkasia ei olisi olemassa.
Tätä kun pengotaan pidemmälle, niin osoittautuu, että ryhmän \(SL(2,\mathbb{C})\) redusoitumattomat esitykset (spin-1/2 hituset) eivät mitenkään voi olla vuorovaikutuksessa muutoin kuin spin-1 hiukkasten kautta, jonka takia ryhmä \(U(1)\). Jos spin-1 hiukkasia ei olisi, niin ei olisi varattuja spin-1/2 hiukkasia. Esimerkiksi spin-2 välittäjähiukkaset eivät vaan toimi.
Näitä syy-seuraussuhteita voi kelata edestakaisin. Voi esimerkiksi ihan perustellusti sanoa, että fotonit ovat olemassa siksi, että ne tarvitaan varattujen spin-hitusten vuorovaikutukseen, mutta toisaalta ne ovat olemassa siksi, että avaruus on 4-ulotteinen Minkowskiavaruus. Tai sitten Minowskiavaruus on neliulotteinen siksi, kun fotoneita on
Symmetriat kytkeytyvät toisiinsa niin kierosti, että tietääkseni kukaan ei ole alkuperää pystynyt käsittämään.
