Lien algebrat ja ryhmät

[Disputator]

En ollut oikein varma mihin lokeroon tämän sijoittaisin, puhtaan matemaatikan vai fysiikan. Nimensä perusteella toki matematiikan, mutta toisaalta ne parhaat aiheen sovellukset löytyvät fysiikan puolelta. Laitoin siis fysiikan puolelle.

Lien algebrat ja ryhmät ovat teoreettisen nykyfysiikan keskeisiä juttuja ja en alusta aiheesta enempää, mitä ovat Lien ryhmät ja algebrat.

Kompleksiset nxn-matriisit, joilla on käänteismatriisi ovat Lien ryhmiä ja joita merkitään tunnuksella GL(n,\(\mathbb{C}\)). Kaikkein yksinkertaisin Lien ryhmä tästä joukosta on 1x1-matriisit eli ne kompleksiluvut z, joilla on kompleksilukujen tulon suhteen käänteisluku z^-1, siis

\(GL(1,\mathbb{C}) =\{{z\in \mathbb{C}| z\neq 0}\}\)

Jos merkitään tätä ryhmää tunnuksella G, niin silloin G on 2-ulotteinen Lien ryhmä, joka on abelinen eli kommutatiivinen.

Miltä sitten tämä G geometrisesti näyttää? No, se on topologisesti sylinteri eli G = S¹ x \(\mathbb{R}\). Toisaalta voidaan G esittää 2x2-matriisien ryhmänä:

\(
G=\{\begin{pmatrix}{cc}
a&-b\\
b&a
\end{pmatrix} | a,b \in\mathbb{C}, a^2+b^2 \neq 0 \}
\)

Luultavasti helpompaa on tarkastella ryhmää G vain kompleksilukuina \(z\neq 0\). Ryhmän G neutraalialkio on z = 1 tai z = (1,0), jos haluaa esittää kompleksiluvut reaalilukupareina z = (a,b). Ryhmän G Lie-algebra on g reaalisesti 2-ulotteinen ja se voidaan esittää muodossa X = A 1 + B i =A + i B tai reaalilukupareina (A,B). Nyt yleisen Lien teorian mukainen eksponenttikuvaus EXP Lien algebralta g ryhmään G eli EXP : g -> G on ihan tavallinen kompleksilukujen exponenttifunktio exp:

EXP(X) = EXP(A + iB) = exp(A + iB).

Tämä voidaan laskea auki:

exp(A + iB) = exp(A)exp(iB) = exp(A) (cos B + i sin B).

Tuon kuvauksen analysointi on ihan mielenkiintoista varmaan sinänsä kompleksianalyysin näkökulmasta, mutta se on myös esimerkki tuosta Lien algebran ja ryhmän välisestä yhteydestä exponentiaation välityksellä. Kuitenkin G on lähes triviaalein Lien ryhmä ja silläkin on tuollainen monimutkainen EXP = exp-kuvaus.

Joo, kunhan nyt kirjoittelin, mutta kun olen nyt kompleksilukujen kanssa puuhaillut, niin menkööt.

[QS]

Heti tuli mieleen eräs asia. Otetaan esimerkiksi 2-dimensioisen avaruuden rotaatioryhmä

\(SO(2) =\left \{ \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}\right \}\),

missä \(\theta \in \mathbb{R}\). Tämä on ryhmänä 1-dimensioinen. Ryhmän matriisit ovat reaaliset ja ortogonaaliset. Neutraalialkio on yksikkömatriisi

\(R(0) = \mathbb{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).

Ryhmän generaattori löydetään kirjoittamalla infinitesimaalin lähellä R(0):aa oleva alkio \(R(\epsilon)\) sarjakehitelmänä. Kun \(\epsilon \ll 1\)

\(R(\epsilon) =\begin{bmatrix} \cos(\epsilon) & -\sin(\epsilon) \\ \sin(\epsilon) & \cos(\epsilon) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & -\epsilon \\ \epsilon & 1 \end{bmatrix} = \mathbb{I} + \epsilon \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\).

Tässä siis neutraalialkioon lisätään infinitesimaali siirtymä. Tuo matriisi \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) on ryhmän generaattori. Voidaan helposti todeta, että kaikki ryhmän SO(2) alkiot saadaan kaavalla

\(R(n\epsilon) = R(\epsilon)^n = \left ( \mathbb{I} + \epsilon \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right )^n = ... = \exp \left ( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \theta \right )\),

missä infinitesimaali rotaatio \(\epsilon\) suoritetaan n kertaa. Jätin välivaiheita pois, jonka takia =...=. Välivaiheet eivät tässä kohti niin oleellisia. Tuloksena saatu matriisieksponentti on se mitä tässä tavoitellaan, ja tulos on oikein.

Tämä esittämäni on fysiikassa tuttu ja normaali tapa käsitellä ryhmiä. Nyt kysymys, jonka voi kokea kuuluvan johonkin kolmesta kategoriasta: hölmö, triviaali tai mielenkiintoinen. Kysymys on, että mitä tuossa viimeisessä ja toiseksi viimeisessä kaavassa oikein tehdään?

[QS]

Vihjaileva kysymykseni oli ehkä epätarkka. Tarkennuksena, että mitä kaavoissa näkyvä yhteenlasku tarkoittaa. Sehän viittaa siihen, että esimerkiksi R(10°) + R(80°) = R(90°) olisi laskutoimituksena mahdollinen, ja että SO(2) olisi yhteenlaskun suhteen sujettu

[Disputator]

Olipas metka kysymys, jos nyt siis oikein ymmärsin.

Vihjaileva kysymykseni oli ehkä epätarkka. Tarkennuksena, että mitä kaavoissa näkyvä yhteenlasku tarkoittaa. Sehän viittaa siihen, että esimerkiksi R(10°) + R(80°) = R(90°) olisi laskutoimituksena mahdollinen, ja että SO(2) olisi yhteenlaskun suhteen sujettu

Jees, palaan tähän viikonloppuna, nyt on vähän kiirusta, mutta vähän asian vierestä:

Lien ryhmät yleensä matriisiryhmiä esimerkiksi tuo SO(2) on Lien ryhmän \(GL(2,\mathbb{R})\) Lien aliryhmä. Tällöin on olemassa aina matriisiexponenttifunktio exp: \(gl(2,\mathbb{R})\to GL(2,\mathbb{R})\), missä siis \(gl(2,\mathbb{R})\) on ryhmän \(GL(2,\mathbb{R})\) Lie-algebra = kaikkien 2 x 2 - matriisien joukko Mat(2). Tuon kuvauksen rajoittuma exp: \(so(2)\to SO(2)\). Nyt

\( \exp \left ( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \theta \right ) = \mathbb{I} + \epsilon \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + o(\epsilon)\),

missä\( o(\epsilon)\) on jäännöstermi. Nyt tuo termi \(\mathbb{I} + \epsilon \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) ei kuulu Lie-algebraan so(2) eikä se myöskään kuuulu Lien ryhmään SO(2).

Tuo pluslasku on Lie-algebran \(gl(2,\mathbb{R})\) pluslasku jos se käsitetään vain 2x2-matriisien joukoksi Mat(2). Tämä siksi, että sarjakehitelmän matriisiexponentit eivät ole Lien algebran sääntöjen mukaisia laskutoimituksia, vaan tavallisen matriisialgebran.

Tulipas nyt sekavaa tekstiä multa, ei aikaa editoida nyt.

[QS]

...
Nyt tuo termi \(\mathbb{I} + \epsilon \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) ei kuulu Lie-algebraan so(2) eikä se myöskään kuuulu Lien ryhmään SO(2).

Tuo pluslasku on Lie-algebran \(gl(2,\mathbb{R})\) pluslasku jos se käsitetään vain 2x2-matriisien joukoksi Mat(2). Tämä siksi, että sarjakehitelmän matriisiexponentit eivät ole Lien algebran sääntöjen mukaisia laskutoimituksia, vaan tavallisen matriisialgebran.

Tämä on juuri se kohta, joka aiemmin kirjoittamassani kaavassa on epämääräinen. Kaavan ensimmäinen vaihe on yhteenlasku, mikä ei kuulu ryhmään SO(2), mutta ei myöskään algebraan so(2). Silti kaava väittää, että tämä on yhtäsuuri kuin ryhmän SO(2) alkio. Tuo on mielestäni tiukasti tarkasteltuna jopa kyseenalainen kaava.

Voi toki todeta, että lähtötilanteessa R(ε) ∈ Mat(2), mutta R(ε) ei ole rajoitettu ryhmään SO(2). Laskun jälkeen todetaan, että lukemalla oikealta vasemmalle, on kyseessä edelleen Mat(2), mutta rajoitetummin tarkasteluna myös SO(2):n alkio. Ja perusteluna Lien teoreemat.

Mutta eikö olisi 'vähemmän väärin' laskea matriisiryhmän R(θ) ∈ SO(2) tapauksessa tuo generaattori siten, että selvitetään derivaatan arvo, kun θ=0

\(\frac{d}{d\theta}\Bigr|_{\substack{\theta=0}} R(\theta) = \frac{d}{d\theta}\Bigr|_{\substack{\theta=0}} \begin{bmatrix} cos \theta & -sin\theta\\ sin \theta & cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -sin(0) & -cos(0)\\ cos(0) & -sin(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\).

Tämä on ryhmän SO(2) tangenttivektori neutraalialkion kohdalla, ja siten ryhmän generaattori. Tässä ei ainakaan ole noita laittoimia laskutoimituksia ?

[Disputator]

...
Nyt tuo termi \(\mathbb{I} + \epsilon \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) ei kuulu Lie-algebraan so(2) eikä se myöskään kuuulu Lien ryhmään SO(2).

Tuo pluslasku on Lie-algebran \(gl(2,\mathbb{R})\) pluslasku jos se käsitetään vain 2x2-matriisien joukoksi Mat(2). Tämä siksi, että sarjakehitelmän matriisiexponentit eivät ole Lien algebran sääntöjen mukaisia laskutoimituksia, vaan tavallisen matriisialgebran.

Tämä on juuri se kohta, joka aiemmin kirjoittamassani kaavassa on epämääräinen. Kaavan ensimmäinen vaihe on yhteenlasku, mikä ei kuulu ryhmään SO(2), mutta ei myöskään algebraan so(2). Silti kaava väittää, että tämä on yhtäsuuri kuin ryhmän SO(2) alkio. Tuo on mielestäni tiukasti tarkasteltuna jopa kyseenalainen kaava.

Mun mielestäni se kaava on vain likiarvokaava ja siten ei eksakti. Vähän sama kuin tavallisen eksponenttifunktion määritelmä hankalalla tavalla:

\(\exp x = \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{x}{n}\right)^n\)

Jos tuon raja-arvon jättää ottamatta ja kirjoittaa vain kun n>>1:

\(\exp x = \left(1+ \frac{x}{n}\right)^n\),

niin eihän tuo ole totta eksaktisti, vaan likiarvo. Ajatus on kuitenkin hyvä, koska raja-arvo n-->oo antaa oikean tuloksen. Lisäksi fysiikan kirjat ovat täynnä tämänkaltaisia perusteluita, joten on siinä ajatusta, siis intuitiivisesti hyvin järkevää.

En nyt tiedä oliko tämä ihan siitä mitä kirjoitit, mutta noin nyt ymmärsin.

Voi toki todeta, että lähtötilanteessa R(ε) ∈ Mat(2), mutta R(ε) ei ole rajoitettu ryhmään SO(2). Laskun jälkeen todetaan, että lukemalla oikealta vasemmalle, on kyseessä edelleen Mat(2), mutta rajoitetummin tarkasteluna myös SO(2):n alkio. Ja perusteluna Lien teoreemat.

Mutta eikö olisi 'vähemmän väärin' laskea matriisiryhmän R(θ) ∈ SO(2) tapauksessa tuo generaattori siten, että selvitetään derivaatan arvo, kun θ=0

\(\frac{d}{d\theta}\Bigr|_{\substack{\theta=0}} R(\theta) = \frac{d}{d\theta}\Bigr|_{\substack{\theta=0}} \begin{bmatrix} cos \theta & -sin\theta\\ sin \theta & cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -sin(0) & -cos(0)\\ cos(0) & -sin(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\).

Tämä on ryhmän SO(2) tangenttivektori neutraalialkion kohdalla, ja siten ryhmän generaattori. Tässä ei ainakaan ole noita laittoimia laskutoimituksia ?

Tuo on mun mielesatä ihan eksakti tapa määritellä Lien algebra, kun ollaan ensin annettu matriiseista muodostetun Lien ryhmän G alkiot g reaaliparametrien a,b,c,.. avulla, siis g = g(a, b, c, ...). Riippuen siitä, miten nuo parametrit a,b,c,... valitaan, saadaan erilaisia settejä generaattoreita, siis Lien algebran kantavektorit, jotka saadaan derivoimalla ryhmän alkioita esittäviä matriiseja parametrien a,b,c suhteen, riippuu siis toki alkioiden g parametrisoinnin valinnasta.