Disputator kirjoitti: ↑23 Syys 2023, 15:12
QS kirjoitti: ↑16 Syys 2023, 16:06
...
H:n paikallisesti mittaamat muutokset ovat mainitsemasi dR ja dT. Schwartzschildin havaitsijan S koordinaateissa tuo H on vakioetäisyydellä r.
Kun haluttaan selvittää vapaasti putoavan testikappaleen nopeus H:n suhteen, tulee ensimmäisenä mieleen tehdä mahdollisesti monimutkainen muunnos kiihtyvään kehykseen H. Mielestäni tämä ratkeaa helpomminkin.
Tuo H ei ole inertiaalikehys, mutta on olemassa hetkellisesti H:n mukana liikkuva paikallinen inertiaalikehys, jonka metriikka on dS² = dT² - dR². Tämä on laakea Minkowskimetriikka. Hetkellisen inertiaalin ja S:n intervallit ovat samat, joten voidaan kirjoittaa
\(dT^2 - dR^2 = \left ( 1 - \frac{2GM}{r} \right ) dt^2 - \left ( 1 - \frac{2GM}{r} \right )^{-1} dr^2\) ,
missä oikealla puolella H:n vakioetäisyys lausuttuna S:n koordinaateilla. Kun H mittaa etäisyyden kahdelle samanaikaiselle tapahtumalle A ja B, pätee silloin dT²=0. Tapahtumat ovat hetkellisessä inertiaalissa avaruudellisesti erillään, mutta samanaikaisia. Sama pätee S:lle, joten myös dt²=0.
Sijoittamalla edelliseen saadaan
\(dR = \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r}}}\).
Ehtona tässä on se, että kyse paikallisesta kehyksestä, joka on H:n origon läheisyydessä. Tapahtumat A ja B ovat origon lähellä, ja testikappale siis ohittaa H:n pienellä etäisyydellä.
Edellinen kaava jaetaan dT:llä
\(\frac{dR}{dT} = \frac{dr}{dT\sqrt{1 - \frac{2GM}{r}}}\).
Oikea puoli pitäisi lausua Schwartzchild havaitsijan koordinaateilla. Tähän päästään gravitaation aikadilataatiosta \(\frac{dT}{dt}\). Kun H:n hetkellinen intertiaali mittaa aikavälin kahdelle samanpaikkaiselle mutta eriaikaiselle tapahtumalle, pätee dR=0. Tässäkin intervalli dS² = ds², mistä saadaan
\(dT = dt\sqrt{1 - \frac{2GM}{r}}\).
Tämä sijoitetaan edelliseen
\(\frac{dR}{dT} = \frac{dr}{ dT \sqrt{1 - \frac{2GM}{r}}} = \frac{dr}{dt} \frac{1}{1 - \frac{2GM}{r}}\).
Jotta viestini ei paisu mahdottoman pitkäksi, niin ilman todistusta käytetään kaavaa, jolla lasketaan vapaan pudotuksen testikappaleen nopeus Schwartzchild-havaitsijan koordinaateissa
\(\frac{dr}{dt} = \left ( 1 - \frac{2GM}{r} \right ) \sqrt{\frac{2GM}{r}}\).
Juuri tätä hain, että mitä olettamuksia oli siinä sen aikaisessa laskussa silloin aikaisemmassa keskustelussa.
QS kirjoitti:
Kaavan johtaminen on toki oleellinen asia, mutta jääköön nyt tässä tekemättä. Sijoitetaan tämä kaavaan \(\frac{dR}{dT}\), josta saadaan
\(\frac{dR}{dT}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}\),
missä testikappaleen nopeus on lausuttu H:n koordinaateilla R ja T.
Noissa siis tuo vapaa pudotus tulee äärettömän kaukaa, kaavojen muoto muuttuu, kun pudotus tapahtuu äärellisen koordinaatin arvolta r
0. Se oli siis se kaipaamani yksityiskohta.
Tämä kaikki siis liittyy mun yrityksiin ymmärtää noita Sch-ratkaisun geodeesien erikoistapauksia, esimerkiksi ympyrärata koordinaattietäisyydellä r = r
0. Silloin tehtävänasettelu on hieman toinen, mutta samankaltaista kaavojen pyöritystä se on kuitenkin.
Eräs esimerkki on sellainen, jossa havaitsija H on paikallaan (rakettimoottoriensa avulla) koordinaattietäisyydellä r = r
0 ja H havaitsee samansäteisellä ympyräradalla liikkuvan satelliitin S kulkevan ohitseen. Tässä H:n ja S:n ominaisaikojen ero on seurausta erityisen suhtiksen tyyppisestä aikadilataatiosta, jolle voi laskea kaavoja. Kolmas havaitsija on kaukana (=äärettömyydessä) sijaitseva havaitsija K. On työn alla se, että miten havaitsijoiden H, S ja K ominaisajat suhtautuvat toisiinsa. H:n ja K:n muunnos saadaan suoraan Sch-metriikasta, kuten jo laskitkin ja olen laskenut jotain myös pareihin S ja H tai S ja K liittyen.
Projekti on tosin kesken.
Onpas hyvä kysymys tuo pudotus äärelliseltä etäisyydeltä r
0. Aloin heti laskea, mutta jäi vielä kesken. Mutta voin tähän keskeneräisenäkin laittaa.
Testikappale siis pudotetaan Schwartzschildin koordinaateissa hetkellä t=0, kun se on etäisyydellä \(2GM < r_0 \ll \infty\). Ainoa keino lienee ratkaista geodeettinen yhtälö
\({d^2 x^\mu \over ds^2} + \Gamma^\mu {}_{\alpha \beta}{d x^\alpha \over ds}{d x^\beta \over ds}\ = 0\),
jonka voi kirjoittaa
\({d u^\mu \over d\tau} + \Gamma^\mu {}_{\alpha \beta}{u^\alpha u^\beta}\ = 0\),
missä u on kappaleen nelinopeus, \({d u^\mu \over d\tau}\) on nelikiihtyvyys, ja \(\tau\) ominaisaika. Radiaalisen liikkeen tapauksessa \(u^t,u^r\neq 0\) ja \(u^\theta=u^\phi=0\). Tämän seurauksena ainoat merkitsevät Γ:t (lunttasin jostain taulukosta) ovat
\(\Gamma^r_{tt}=\dfrac{GM(r-2GM)}{r^3}\)
\(\Gamma^r_{rr}=-\dfrac{GM}{r(r-2GM)}\)
\(\Gamma^t_{rt} = \Gamma^t_{tr} = \dfrac{GM}{r(r-2GM)}\),
missä Schwartzschildin koordinaatit x
μ = (t,r,0,0) ja indeksit siis {0,1}={t,r}. Geodeettinen yhtälö näyttää nyt melko yksinkertaiselta
\({du^t \over d\tau}\ +\ \Gamma^t_{rt} \ u^r u^t\ +\ \Gamma^t_{tr} \ u^t u^r = 0\), ja
\({du^r \over d\tau}\ +\ \Gamma^r_{tt} \ u^t u^t\ +\ \Gamma^r_{rr} \ u^r u^r = 0\).
Kun merkitään \(u^t=\dot{t}\) ja \(u^r=\dot{r}\) sekä vastaavat kiihtyvyydet \(\ddot{t}\) ja \(\ddot{r}\) , ja vielä sijoitetaan Γ:t, saadaan
\(\ddot{t}\ +\ \dfrac{2GM}{r(r-2GM)}\dot{r}\dot{t} =\ 0\)
\(\ddot{r}\ +\ \dfrac{GM(r-2GM)}{r^3}\dot{t} \dot{t}\ -\ \dfrac{GM}{r(r-2GM)}\dot{r} \dot{r}\ =\ 0\).
On kaksi alkuehtoa\( (x^\mu)_0\) ja \((u^\mu)_0\) . Toinen on testikappaleen paikka \((x^\mu)_0 = (0,r_0,0,0)\). Toinen ehto on se, että alkunopeus on nolla, minkä meinasin sössiä. Voisi helposti kirjoittaa\( (u^\mu)_0=(1,0,0,0)\), mutta tuo olisi Minkowskiavaruudssa.
Tämä \((u^\mu)_0\) pitää lausua Schwartzchildin metriikassa paikassa \((0,r_0,0,0)\). Nopeuden radiaalikomponentti on nolla. Aikakomponentti \({dt \over d\tau}\) ratkeaa metriikasta
\(-d\tau^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right)dt^2\).
Jakamalla puolittain dτ
2:lla ja ottamalla neliöjuuri
\({dt \over d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2GM}{r_0}}}\).
Tämän perustella alkunopeus \((u^\mu)_0 = (\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2GM}{r_0}}},0,0,0)\). Differentiaaliyhtälöistä pitäisi jotenkin saada testikappaleen nopeusfunktio Schwartzchildin koordinaateissa. Tämä on mulla vielä kesken. Mutta lienee oikeansuuntainen lähestymistapa?
