Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[QS]

Suoraa linjaa kissa saavuttaa hiiren n. 22m etäisyydellä ajassa 4s ja risat.

Mutta tässä kyse etenemisestä xy-tasossa. Jotta kissan kaarevaan reittiin pääsee käsiksi, pitäisi tietää missä kohti xy-tasoa tuo saavuttaminen tapahtuu (etäisyydellä n. 22m origosta). En tätä kysymyksestä löytänyt?

Joo tuossa piirroksessakin 22 m kololle näyttää likimain olevan.

Sehän se koko homman juju on, ettei kissa saavuta hiirtä, kun tyhmyyksissään kaartaa, sensijaan kun älyäisi juosta suoraan kololle.

Tämä on tyypillinen analogia hävittäjän ohjaamiseksi suoraan pommarin perään, eikä kaartaa kissan tavoin. Se lasku on yksinkertainen: vähennetään vektorit toisistaan, ja suhteellisella vektorilla lasketaan hävittäjälle suunta (command heading) ja lennon suorien osuuksien ja kaarto-osuuksien ajat.

Aiemmin oli tarkennus "Hiirenkolon sijainnin saa selville, kun laskee kummallekin suoran reitin kololle."

Käsittääkseni tarkoittaa sitä, että hiiri on 10m kissan edessä (jossain päin xy-tasoa), ja alkutilanteessa kummankin nenä ja etenemislinja on suoraan koloa kohti (mutta ei tiedetä mihin suuntaan). Tällä perusteella laskin n. 22m ja 4 sek kolon saavuttamiseen.

Tällä saadaan etäisyys 22m, mutta ei kolon sijaintia xy-tasossa, kun ei tiedetä mihin suuntaan otusten nenät alkutilanteessa osoittavat.

Tämä liittyy siihen, että tehtävän mukaan kolo on 90 asteen kulmassa kissa-hiiri -linjaan nähden. Linja on käytännössä jana, joka alkaa kissan kohdalta, läpäisee hiiren paikan 10m päässä, ja päättyy kissan ja hiiren nenän suunnassa etäisyydelle, joka on lähes 22m. Näillä rajoituksilla saadaan kolo sijoitettua 90 asteen kulmassa olevalle toiselle janalle (joka on siis kohtisuorassa kissa-hiiri linjaan nähden). Mutta tämä 90 asteen kulmassa oleva jana voidaan sijoittaa mihin tahansa pisteeseen hiirestä aina tuonne hiukan vajaa 22m etäisyydelle asti. Kolon mahdollisia paikkoja xy-tasossa on siis mielivaltainen määrä.

Hiukan sama asia kuin se, että pitää tietää mikä on pommarin paikka, jotta häätäjän voi pommaria kohti ohjata.

Asia tietysti on yksiselitteinen, jos hiiri ampaisee suoraan 90 asteen kulmassa koloa kohti. Silloin kolon paikka on selkeä. Mutta onko näin? Tämä tarkoittaisi sitä, että kolo on 90 asteen kulmassa hiiren paikkaan x-akselilla nähden (ei linjaan nähden)

Olen tottunut hyvin tarkkoihin tehtävänantoihin, siksi tämä tarkentamisen tarve ; )

[Kontra]

Suoraa linjaa kissa saavuttaa hiiren n. 22m etäisyydellä ajassa 4s ja risat.

Mutta tässä kyse etenemisestä xy-tasossa. Jotta kissan kaarevaan reittiin pääsee käsiksi, pitäisi tietää missä kohti xy-tasoa tuo saavuttaminen tapahtuu (etäisyydellä n. 22m origosta). En tätä kysymyksestä löytänyt?

Joo tuossa piirroksessakin 22 m kololle näyttää likimain olevan.

Sehän se koko homman juju on, ettei kissa saavuta hiirtä, kun tyhmyyksissään kaartaa, sensijaan kun älyäisi juosta suoraan kololle.

Tämä on tyypillinen analogia hävittäjän ohjaamiseksi suoraan pommarin perään, eikä kaartaa kissan tavoin. Se lasku on yksinkertainen: vähennetään vektorit toisistaan, ja suhteellisella vektorilla lasketaan hävittäjälle suunta (command heading) ja lennon suorien osuuksien ja kaarto-osuuksien ajat.

Aiemmin oli tarkennus "Hiirenkolon sijainnin saa selville, kun laskee kummallekin suoran reitin kololle."

Käsittääkseni tarkoittaa sitä, että hiiri on 10m kissan edessä (jossain päin xy-tasoa), ja alkutilanteessa kummankin nenä ja etenemislinja on suoraan koloa kohti (mutta ei tiedetä mihin suuntaan). Tällä perusteella laskin n. 22m ja 4 sek kolon saavuttamiseen.

Tällä saadaan etäisyys 22m, mutta ei kolon sijaintia xy-tasossa, kun ei tiedetä mihin suuntaan otusten nenät alkutilanteessa osoittavat.

Hiukan sama asia kuin se, että pitää tietää mikä on pommarin paikka, jotta häätäjän voi pommaria kohti ohjata.

Se yhtälöiden rakentaminen juuri vaatii älliä.
.....

Minua harmittaa kovasti sinuun kohdistamani rankka kielenkäyttöni, pyydän sitä anteeksi.

Minua vaan niin risoi se ketjun nimikoiminen minulle. 
Sekin minua on suututtanut kun en ymmärrä, miksen ole tullut ymmärretyksi suhtiksen valuviasta, kun se on niin selvä ja yksinkertainen ymmärrettäväksi. Enhän voi kenenkään ajatuksia ohjailla, ja jokaisella on oikeus olla ymmärtämättä minun ajatuksiani. Luulen, ettei asiani täällä edisty ja saatan lopettaakin keskustelut täällä pikapuoliin. 

[QS]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

kissahiiridiff.png (9.81 KiB) Katsottu 7621 kertaa

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

[Kontra]

Tein kissa-hiiri -kysymyksestä hiukan helpomman. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(|\mathbf{d}| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. "Yleisellä elämänkokemuksella" ja yhtälön muodon perusteella uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin ratkaisua antanut. Numeerisesti ratkeaa helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

Enpäs arvannut, että tehtävä onkin aika kinkkinen.

Luulisin, että ihan laskemalla vaikka 0,05 sekunnin välien kissan juoksukäyrän, voisi päästä aika lähelle oikeaa ratkaisua. Onhan siinä kyllä laskemista. 

[Kontra]

Tein kissa-hiiri -kysymyksestä hiukan helpomman. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(|\mathbf{d}| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. "Yleisellä elämänkokemuksella" ja yhtälön muodon perusteella uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin ratkaisua antanut. Numeerisesti ratkeaa helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

Enpäs arvannut, että tehtävä onkin aika kinkkinen.

Luulisin, että ihan laskemalla vaikka 0,05 sekunnin välien kissan juoksukäyrän, voisi päästä aika lähelle oikeaa ratkaisua. Onhan siinä kyllä laskemista.

Eikös se diff-yhtälönkin voi rakentaa tuolla samalla piste-pisteeltä metodilla. 
Tietokonenhan voi laskea saman, mutta äärimmäsin pienin aikajaksoin puolestasi.   

[Eusa]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

20250214_203252.jpg (137.5 KiB) Katsottu 7596 kertaa

Onko kissan erehdys luulla, että A=B ja siitä ratkeaa? Hiiren suoran reitin ja oranssin näkymälinjan leikkauspisteessä on se hiirenkolo.

[QS]

Laskin vain ajan kuluksi xy-tasossa kissan reitin sellaisessa tapauksessa, jossa se alkaa seurata hiirtä siten, että kissan nenä osoittaa koko ajan liikkuvan hiiren paikkaa kohti. Tuloksena on niin sanottu takaa-ajokäyrä.

Setuppi on hyvinkin triviaalin näköinen, mutta funktio on silti kohtuu epätriviaali.

[Kontra]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

20250214_203252.jpg

Onko kissan erehdys luulla, että A=B ja siitä ratkeaa? Hiiren suoran reitin ja oranssin näkymälinjan leikkauspisteessä on se hiirenkolo.

Mitäs luulet, vaikka kissa olisi samaa hiirtä jahdannut kymmeniä kertoja, se älyäisi juosta suoraan kololle, eikä hiirtä kohti?
Kyllä eläinmaailmassa on uskomattoman viisaitakin otuksia, mutta kissa ei taida niihin kuulua.

[Eusa]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

20250214_203252.jpg

Onko kissan erehdys luulla, että A=B ja siitä ratkeaa? Hiiren suoran reitin ja oranssin näkymälinjan leikkauspisteessä on se hiirenkolo.

Mitäs luulet, vaikka kissa olisi samaa hiirtä jahdannut kymmeniä kertoja, se älyäisi juosta suoraan kololle, eikä hiirtä kohti?
Kyllä eläinmaailmassa on uskomattoman viisaitakin otuksia, mutta kissa ei taida niihin kuulua.

Siis esitin eksaktin kysymyksen kuvan kera, olinko ymmärtänyt oikein miten vastaus pähkinääsi voitaisiin saada. Osaatko vastata - kyllä vai ei?

En lähde luulemaan off topic -käyttäytymiskysymyksistä mitään.

[Kontra]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

20250214_203252.jpg

Onko kissan erehdys luulla, että A=B ja siitä ratkeaa? Hiiren suoran reitin ja oranssin näkymälinjan leikkauspisteessä on se hiirenkolo.

Mitäs luulet, vaikka kissa olisi samaa hiirtä jahdannut kymmeniä kertoja, se älyäisi juosta suoraan kololle, eikä hiirtä kohti?
Kyllä eläinmaailmassa on uskomattoman viisaitakin otuksia, mutta kissa ei taida niihin kuulua.

Siis esitin eksaktin kysymyksen kuvan kera, olinko ymmärtänyt oikein miten vastaus pähkinääsi voitaisiin saada. Osaatko vastata - kyllä vai ei?

En lähde luulemaan off topic -käyttäytymiskysymyksistä mitään.

Mitähän nyt tarkoitat? Piirroksesi oli oikein, ja kissa ajattelee varmaan juuri noin.
Mielestäni ratkaisun voi tehdä kahdella tavalla: t/y koordinaatistossa tai x/y koordinaatistossa.
Kun en muista noista diff-yhtälöiden rakenteluista, en osaa sanoa kumpi koordinaatisto on helpompi.