QS kirjoitti: ↑14 Helmi 2025, 18:59 Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.
Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.
Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.
Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).
H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa
\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)
Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona
\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)
Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on
\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)
ja tämän normi
\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)
Vastaava yksikkövektori on
\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)
Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa
\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)
Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on
\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)
K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä
$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$
Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on
$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$
Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)
kissahiiridiff.png
Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.
Tein punaisesta käyrästä erikoistapauksen, jotta muoto näkyy, mutta 'without loss of generality'. Kuvassa sininen käyrä on
\(\begin{cases}
&x_s(t) = 1 \\\\
&y_s(t) = t
\end{cases}\)
ja punainen, eli tietokoneen numeerisesti ratkaisema käyrä, toteuttaa
\(\begin{cases}
&x'(t) = \frac{1-x(t)\ }{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&y'(t) = \frac{t-y(t)}{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}\)
alkuarvoilla \(x(0)=0\) ja \(y(0)=0\). Kysymys oli, että löytyykö punaiselle käyrälle \((\ x(t),y(t)\ )\) helposti analyyttinen ratkaisu.
\(\begin{cases}
&x_s(t) = 1 \\\\
&y_s(t) = t
\end{cases}\)
ja punainen, eli tietokoneen numeerisesti ratkaisema käyrä, toteuttaa
\(\begin{cases}
&x'(t) = \frac{1-x(t)\ }{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&y'(t) = \frac{t-y(t)}{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}\)
alkuarvoilla \(x(0)=0\) ja \(y(0)=0\). Kysymys oli, että löytyykö punaiselle käyrälle \((\ x(t),y(t)\ )\) helposti analyyttinen ratkaisu.