Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[QS]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

Tein punaisesta käyrästä erikoistapauksen, jotta muoto näkyy, mutta 'without loss of generality'. Kuvassa sininen käyrä on

\(\begin{cases}
&x_s(t) = 1 \\\\
&y_s(t) = t
\end{cases}\)

ja punainen, eli tietokoneen numeerisesti ratkaisema käyrä, toteuttaa

\(\begin{cases}
&x'(t) = \frac{1-x(t)\ }{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&y'(t) = \frac{t-y(t)}{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}\)

alkuarvoilla \(x(0)=0\) ja \(y(0)=0\). Kysymys oli, että löytyykö punaiselle käyrälle \((\ x(t),y(t)\ )\) helposti analyyttinen ratkaisu.

diff.png (8.59 KiB) Katsottu 66274 kertaa

[Kontra]

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)


kissahiiridiff.png


Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

Tein punaisesta käyrästä erikoistapauksen, jotta muoto näkyy, mutta 'without loss of generality'. Kuvassa sininen käyrä on

\(\begin{cases}
&x_s(t) = 1 \\\\
&y_s(t) = t
\end{cases}\)

ja punainen, eli tietokoneen numeerisesti ratkaisema käyrä, toteuttaa

\(\begin{cases}
&x'(t) = \frac{1-x(t)\ }{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&y'(t) = \frac{t-y(t)}{\sqrt{(\ 1-x(t)\ )^2\ + \ (\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}\)

alkuarvoilla \(x(0)=0\) ja \(y(0)=0\). Kysymys oli, että löytyykö punaiselle käyrälle \((\ x(t),y(t)\ )\) helposti analyyttinen ratkaisu.


diff.png

Tuosta ei oikein selviä, paljonko kissa häviää ajallisesti, eli mikä kissan aika on, kun hiiri on pujahtanut koloonsa?

[Kontra]

QS
Sanoin muuten vahingossa väärin hävittäjän ja vihollispommarin vektorilaskussa.
Vektorit summataan, ei vähennetä, ja summavektorin toinen pää on kiinni hävittäjässä ja toinen pää pommarissa. Sillä konstilla pystytään laskemaan ennakkopiste, jossa hävittäjä tavoittaa pommarin.  
Nykyisin ohjusten aikakaudella varmaan samantyyppistä menetelmää käytetään laskettaessa ohjusten laukaisupiste.
.....
Sulla tuossa laskusi koordinaatistossa x-akselin jako on vain kymmeneosia, eli 1 m pitäisi olla 10 m. Onko tarkoituskin tuo, vai vahinko? Jos y-akselin jako on oikea, kuva on aivan vääristynyt - eli lyttääntynyt x-akselin suunnassa kymmenenteen osaan. Olenko tulkinnut ajatuksesi väärimn?

[QS]

Sulla tuossa laskusi koordinaatistossa x-akselin jako on vain kymmeneosia, eli 1 m pitäisi olla 10 m. Onko tarkoituskin tuo, vai vahinko? Jos y-akselin jako on oikea, kuva on aivan vääristynyt - eli lyttääntynyt x-akselin suunnassa kymmenenteen osaan. Olenko tulkinnut ajatuksesi väärimn?

Jälkimmäisen viestin kuvassa sininen H leikkaa x-akselin paikassa (1,0) vauhdilla |v|=1. Punainen K alkaa seurata H:ta samalla vauhdilla |v|=1. Punainen ei tietysti H:ta tässä tapauksessa koskaan saavuta.

Tuo oli vain erikoistapaus, jotta differentiaaliyhtälö saa helpon muodon.

[Kontra]

QS
Oli typoja tässä - kirjoitan uudestaan.

Sori vaan, olen puhunut läpiä päähäni siitä taistelujohtolaskimen vektorista, kun on hapertuvan muistin varaista tietoa – kaikki sitä koskeva materiaali oli jätettävä työpaikalle, etten voi tietoja mistään tarkistaa.

Lentokoneiden tutkalla mittaamia nopeusvektoreita ei vähennetty eikä summattu keskenään. Koneiden mitattujen sijaintipisteiden väliin viriteltiin matkavektori ns suhteellinen vektori analogialaskimella. Se ei ollut suora vektori, vaan siinä oli mukana hävittäjän kaarto pommittajan taakse ns koirankurvin  aloituspisteeseen.

Koneiden nopeudet muuttavat vektoria koko ajan ja vektori lyheni keskinäisen etäisyyden lyhentyessä. Hävittäjälle laskin antoi koko ajan ohjaussuunnan (command heading) ja ajan pommarin kohtaamiseen, eli jos pommittaja huomasi hävittäjän ja lähti karkuun, vektori pysyi siinä kiinni koko ajan ja hävittäjä pystyi jahtaamaan sitä niin kaunan kuin kerosiinia riitti vielä kotikentälle paluuseen.

Eihän tämä enää mitään salaista tietoa ole - noin joka armeijassa periaatteessa toimitaan, mutta nyt tietokone laskee homman.  Nyt ei hävittäjää tarvitse enää ohjata noin lähelle pommaria, kun ohjus tutkallaan löytää maalin paljon kauempaa.   

[Disputator]

Iltaa, olen tässä hieman yrittänyt tutustua tähän kissa/hiiri-tehtävään. Nyt aluksi ihan tälläinen huomio.

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

 

Netistä löytyi kaava, milloin kissa saa hiiren kiinni ja missä, kun tehtävä on asetettu samantyylisesti kuin sulla. Laitan tähän kaavat näkyviin joissa merkitään kissan ja hiiren nopeuksien suhdetta \(k=\frac{v_k}{v_h}\). Oletuksena on se, että kissa on nopeampi kuin hiiri, joten \(k>1\).


Hiiren y-koordinaatti Y kiinniottohetkellä:

$$Y=\frac{b k}{k^2-1}$$

Kiinniotto tapahtuu hetkellä T:

$$T=\frac{b v_k}{(v_k^2-v_h^2)}$$

Sijoittamalla noihin antamasi lukuarvot saadaan:

Y=20/3 = 6,667
T= 4/3 = 1,333

jotka ovat samat arvot kuin antamasi luvut.

[Disputator]

Tuo QS:n kysymys takaa-ajotehtävän kissan radan (x(t),y(t)) ratkaisuiden analyyttisyydestä vaikuttaa hankalalta. Jos kuitenkin kissan ja hiiren nopeuksien suhde \(k =\frac{v_k}{v_h}=1\), niin silloin on olemassa analyyttiset lausekkeet funktioille x(t) ja y(t). Tosin ilmaisu analyyttinen ratkaisu on hieman epämääräinen. Ilmeisesti tavoitellaan jonkinlaista suljetussa muodossa olevaa ratkaisua "tunnettujen" funktioiden avulla.

Tosiaan, kun kissan ja hiiren nopeuksien suhde k=1, on olemassa lausekkeet funktioille x(t) ja y(t) jotka sisältävät Lambertin W-funktion .

Lambertin W-funktio on se funktio, joka ratkaisee yhtälön \(y e^y=x\) muodossa \(y=W(x)\), vähän samaan tapaan kuin (luonnollinen) logaritmifunktio ln ratkaisee yhtälön \(e^y = x\) kaavalla \(y =ln(x)\). Tuossa Lambertin funktion tapauksessa täytyy kuitenkin olla huolellinen eri x:n arvojen kanssa, sillä yhtälöllä voi olla yksi tai kaksi ratkaisua (eli haaraa) riippuen x:n arvosta.

Tapauksessa, jossa kissan ja hiiren nopeuksien suhde k>1, ei ole mulla ole mitään havaintoa, onko minkäänlaista analyyttistä ratkaisua olemassa.

Kuitenkin sekä tapauksessa k=1 että k>1, voidaan löytää analyyttinen ratkaisu y=y(x) eli kissan radan muotoa kuvaava ratkaisu ihan "tavallisilla" funktioilla.

[Kontra]

Tuo QS:n kysymys takaa-ajotehtävän kissan radan (x(t),y(t)) ratkaisuiden analyyttisyydestä vaikuttaa hankalalta. Jos kuitenkin kissan ja hiiren nopeuksien suhde \(k =\frac{v_k}{v_h}=1\), niin silloin on olemassa analyyttiset lausekkeet funktioille x(t) ja y(t). Tosin ilmaisu

analyyttinen ratkaisu on hieman epämääräinen. Ilmeisesti tavoitellaan jonkinlaista suljetussa muodossa olevaa ratkaisua "tunnettujen" funktioiden avulla.

Tosiaan, kun kissan ja hiiren nopeuksien suhde k=1, on olemassa lausekkeet funktioille x(t) ja y(t) jotka sisältävät Lambertin W-funktion .

Lambertin W-funktio on se funktio, joka ratkaisee yhtälön \(y e^y=x\) muodossa \(y=W(x)\), vähän samaan tapaan kuin (luonnollinen) logaritmifunktio ln ratkaisee yhtälön \(e^y = x\) kaavalla \(y =ln(x)\). Tuossa Lambertin funktion tapauksessa täytyy kuitenkin olla huolellinen eri x:n arvojen kanssa, sillä yhtälöllä voi olla yksi tai kaksi ratkaisua (eli haaraa) riippuen x:n arvosta.

Tapauksessa, jossa kissan ja hiiren nopeuksien suhde k>1, ei ole mulla ole mitään havaintoa, onko minkäänlaista analyyttistä ratkaisua olemassa.

Kuitenkin sekä tapauksessa k=1 että k>1, voidaan löytää analyyttinen ratkaisu y=y(x) eli kissan radan muotoa kuvaava ratkaisu ihan "tavallisilla" funktioilla.

Tehtävän asettelu oli tämä.

Kissan ja hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri ja kissa ovat paikallaan ja niiden välimatka on 10 m
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
Hiiren kotikolo on 90 asteen kulmassa hiiri-kissa linjasta.
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.

Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?
.....

Jos minä vielä hallitsisin 60 vuotta sitten omanneeni matematiikan taidot, rakentaisin diffyhtälön(öt) koordinaatistoon t/y.

[QS]

Iltaa, olen tässä hieman yrittänyt tutustua tähän kissa/hiiri-tehtävään. Nyt aluksi ihan tälläinen huomio.

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

 

Netistä löytyi kaava, milloin kissa saa hiiren kiinni ja missä, kun tehtävä on asetettu samantyylisesti kuin sulla. Laitan tähän kaavat näkyviin joissa merkitään kissan ja hiiren nopeuksien suhdetta \(k=\frac{v_k}{v_h}\). Oletuksena on se, että kissa on nopeampi kuin hiiri, joten \(k>1\).


Hiiren y-koordinaatti Y kiinniottohetkellä:

$$Y=\frac{b k}{k^2-1}$$

Kiinniotto tapahtuu hetkellä T:

$$T=\frac{b v_k}{(v_k^2-v_h^2)}$$

Sijoittamalla noihin antamasi lukuarvot saadaan:

Y=20/3 = 6,667
T= 4/3 = 1,333

jotka ovat samat arvot kuin antamasi luvut.

Hyväinen aika sentään. Osittain siksi, että laskin oikein, ja osittain siksi, että joku on päätynyt noinkin helppoihin lausekkeisiin.

Tämä on ihmeellinen pähkinä, jonka kuvittelee helpoksi, mutta se eskaloituu mihin lie.

Tuo QS:n kysymys takaa-ajotehtävän kissan radan (x(t),y(t)) ratkaisuiden analyyttisyydestä vaikuttaa hankalalta. Jos kuitenkin kissan ja hiiren nopeuksien suhde \(k =\frac{v_k}{v_h}=1\), niin silloin on olemassa analyyttiset lausekkeet funktioille x(t) ja y(t). Tosin ilmaisu analyyttinen ratkaisu on hieman epämääräinen. Ilmeisesti tavoitellaan jonkinlaista suljetussa muodossa olevaa ratkaisua "tunnettujen" funktioiden avulla.

Tosiaan, kun kissan ja hiiren nopeuksien suhde k=1, on olemassa lausekkeet funktioille x(t) ja y(t) jotka sisältävät Lambertin W-funktion .

Lambertin W-funktio on se funktio, joka ratkaisee yhtälön \(y e^y=x\) muodossa \(y=W(x)\), vähän samaan tapaan kuin (luonnollinen) logaritmifunktio ln ratkaisee yhtälön \(e^y = x\) kaavalla \(y =ln(x)\). Tuossa Lambertin funktion tapauksessa täytyy kuitenkin olla huolellinen eri x:n arvojen kanssa, sillä yhtälöllä voi olla yksi tai kaksi ratkaisua (eli haaraa) riippuen x:n arvosta.

Tapauksessa, jossa kissan ja hiiren nopeuksien suhde k>1, ei ole mulla ole mitään havaintoa, onko minkäänlaista analyyttistä ratkaisua olemassa.

Kuitenkin sekä tapauksessa k=1 että k>1, voidaan löytää analyyttinen ratkaisu y=y(x) eli kissan radan muotoa kuvaava ratkaisu ihan "tavallisilla" funktioilla.

Hyvä tarkennus tuo analyyttinen vs suljettu muoto. Alunperin ajattelin suljettua muotoa, mutta analyyttinenkin kelpaa. Lambertin W on käsittääkseni analyyttinen funktio (edit *).

Välillä olen tuota diff.yhtälöä tuojottanut ja lähestynyt sitä eri tavoin. Mun ja differentiaaliyhtälöiden (varsinkin epälineaaristen) välillä ei ole koskaan ollut rakkaus-suhdetta. Päinvastoin

Toisaalta pidän differentiaaliyhtälöihin erikoistuneita matemaatikkoja suurina taiteilijoina. Aiheessa yhdistyvät mielestäni oudolla tavalla matematiikka, mielikuvitus ja luovuus.

Ehkä suhteeni diff.yhtälöihin paranee pulman myötä. Viimeksi kun tuijotin, niin sain lähes oikean ratkaisun suljetussa muodossa! Lähes oikean siksi, että se on väärin, enkä ymmärrä missä teen virheen, mikä on tavallaan noloa. Kissa painelee liian kauas x-akselin suunnassa, ikään kuin unohtaa, että hiirtä piti seurata ;D

Älä kerro ainakaan ratkaisu-strategiaa, jos olet sen laatinut tai nähnyt. Taistelen asian kimpussa, ja palaan joku päivä.

Edit *: Hmm. Ehkä W on analyyttinen sittenkin vain erikoistapauksissa. No, se on toistaiseksi sivuseikka tässä kohti.

[Kontra]

Hävittäjän torjuntalennon laskenta vihollispommittajaa vastaan.

Tuolla edellä kerroin laskennan periaatteesta hävittäjän hyökkäyksen johtamiseksi vihollispommittajan taakse ampumaetäisyydelle. Tässä vähän tarkennusta.

Maatutkalla mitattujen lentokoneiden nopeusvektoreiden perusteella laskettiin koneiden sijaintipisteiden väliin matkavektori ns suhteellinen vektori - aikoinaan analogialaskimella. Vektori oli suora jana, jonka loppupäässä oli hävittäjän kaarto ja vielä lyhyt jana pommittajan taakse ns koirankurvin aloituspisteeseen.

Hävittäjälle laskin antoi koko ajan ohjaussuunnan (command heading) ja ajan pommarin kohtaamiseen. Koneiden nopeudet muuttivat vektoria koko ajan ja vektori lyheni keskinäisen etäisyyden lyhentyessä. Jos pommittaja huomasi hävittäjän ja lähti karkuun, vektori pysyi siinä kiinni koko ajan ja hävittäjä pystyi jahtaamaan sitä niin kauan kuin kerosiinia riitti vielä kotikentälle paluuseen.

Eihän tämä enää salaista tietoa ole - noin varmaan joka armeijassa johtaminen periaatteessa tapahtuu vieläkin, mutta nyt tietokone laskee homman. Nyt ei hävittäjää tarvitse enää ohjata noin lähelle pommaria, kun ohjus omalla tutkallaan löytää maalin paljon kauempaa.