...
jokainen \( SU(2) \):n alkio kerrotaan \( U(1) \):n vaiheella \( e^{i\theta} \). Tämä tarkoittaa, että jokaiselle \( e^{i\theta} \in U(1) \) ja \( M \in SU(2) \) yhdistämme:
\[
(e^{i\theta}, M) \mapsto e^{i\theta} M.
\]
Näin muodostuva rakenne säilyttää \( SU(2) \) osaryhmän rakenteen modulo \( U(1) \) vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.
Mielestäni tässä on se ongelma, että \(U(1) \cap M = \{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}\), jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.
Tuo \(-\mathbb{I}\) saavutetaan ryhmässä \(U(1)\) parametrilla \(\theta=\pi\). Vastaava ryhmässä \(SU(2)\) on \(\text{diag}(a,\bar a)=\text{diag}(-1,-1)\).
QS kirjoitti:
...
Matriisit \(n\in SU(2)\) ovat
\(n := \left \{ \begin{pmatrix}
a & b\\
-\bar b & \bar a
\end{pmatrix}\ \bigg|\ a,b \in \mathbb{C},\ |a|^2+|b|^2=1 \right \}\)
...
...ryhmän \(H=U(1)\) matriisiesitys \(\Pi:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})\). Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi
Ryhmän \(SU(2)\) diagonaalimatriisit ovat muotoa \(\text{diag}(a,\bar a)\). Nämä ja \(h_1\in U(1)\) ovat samat vain neutraalialkion \(e=\text{diag}(1,1)\) kohdalla.
Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien \(N\) ja \(H\) leikkaus sisältää myös \(-\mathbb{I}\), kun saisi olla vain \(\mathbb{I}\), joten viestini matriiseista molemmat \(h_1\) ja \(h_2\) tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.
Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen \(U(1)\) esityksen
Tässä tapauksessa \(U(1) \cap SU(2) = {\mathbb{I}}\).
Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon \(SU(2) \rtimes U(1)\) kanssa. Epätriviaalisuuden todistus on sitten matemaattinen ja en laita sitä tähän.
Lisäksi, tutkimalla erittäin huolellisesti ryhmän U(2) määritelmää, jossa \(g_1\in U(2)\), jos ja vain jos \(g_1 g_{1}^{H}={g_1}^H g_1= I_{2\times 2}\), voidaan päästä tulokseen, jossa \(g_1\in U(2)\) voidaan aina esittää antamassasi muodossa \(g_1=n h_1\)
...
Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon \(SU(2) \rtimes U(1)\) kanssa. Epätriviaalisuuden todistus on sitten matemaattinen ja en laita sitä tähän.
...
Ylläolevassa toki pitää olla suora tulon merkki \(\times\)eikä puolisuoran tulon \(\rtimes\) merkki ja korjattu lause kuuluu:
Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon \(SU(2) \times U(1)\) kanssa.
...
jokainen \( SU(2) \):n alkio kerrotaan \( U(1) \):n vaiheella \( e^{i\theta} \). Tämä tarkoittaa, että jokaiselle \( e^{i\theta} \in U(1) \) ja \( M \in SU(2) \) yhdistämme:
\[
(e^{i\theta}, M) \mapsto e^{i\theta} M.
\]
Näin muodostuva rakenne säilyttää \( SU(2) \) osaryhmän rakenteen modulo \( U(1) \) vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.
Mielestäni tässä on se ongelma, että \(U(1) \cap M = \{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}\), jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.
Tuo \(-\mathbb{I}\) saavutetaan ryhmässä \(U(1)\) parametrilla \(\theta=\pi\). Vastaava ryhmässä \(SU(2)\) on \(\text{diag}(a,\bar a)=\text{diag}(-1,-1)\).
QS kirjoitti:
...
Matriisit \(n\in SU(2)\) ovat
\(n := \left \{ \begin{pmatrix}
a & b\\
-\bar b & \bar a
\end{pmatrix}\ \bigg|\ a,b \in \mathbb{C},\ |a|^2+|b|^2=1 \right \}\)
...
...ryhmän \(H=U(1)\) matriisiesitys \(\Pi:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})\). Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi
Ryhmän \(SU(2)\) diagonaalimatriisit ovat muotoa \(\text{diag}(a,\bar a)\). Nämä ja \(h_1\in U(1)\) ovat samat vain neutraalialkion \(e=\text{diag}(1,1)\) kohdalla.
Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien \(N\) ja \(H\) leikkaus sisältää myös \(-\mathbb{I}\), kun saisi olla vain \(\mathbb{I}\), joten viestini matriiseista molemmat \(h_1\) ja \(h_2\) tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.
Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen \(U(1)\) esityksen
Tässä tapauksessa \(U(1) \cap SU(2) = {\mathbb{I}}\).
Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon \(SU(2) \times U(1)\) kanssa. Epätriviaalisuuden todistus on sitten matemaattinen ja en laita sitä tähän.
Lisäksi, tutkimalla erittäin huolellisesti ryhmän U(2) määritelmää, jossa \(g_1\in U(2)\), jos ja vain jos \(g_1 g_{1}^{H}={g_1}^H g_1= I_{2\times 2}\), voidaan päästä tulokseen, jossa \(g_1\in U(2)\) voidaan aina esittää antamassasi muodossa \(g_1=n h_1\)
Tähän jälleen palattiin. Tuo totta mitä kirjoitit. Eli kun käytetään viimeisintä kirjoittamaani \(U(1)\) matriisiesitystä \(h_1\) ja \(SU(2)\) esitystä \(n\), niin saatu puolisuora tulo \(SU(2) \rtimes U(1)\) ja suora tulo ja \(SU(2) \times U(1)\) eivät ole isomorfiset.
Tämähän alkaa nyt lähestyä alkuperäistä pohdintaa, että voidaanko sanoa, että sähköheikko ryhmä \(SU(2) \times U(1) \cong U(2)\). Ilmeisesti ei voida, kun sähköheikon teorian ryhmistä ei voida muodostaa sellaista puolisuoraa tuloa, joka isomorfismiin johtaisi. Jos sopivilla valinnoilla puolisuora tulo saadaankin muodostettua, niin se ja teorian mukainen ryhmä eivät enää ole isomorfiset. Ellei sitten teoriaa muuteta jollain keinolla sellaiseksi, että se toimii \(U(2)\):lla.
