Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14
..
voisiko tuossa käyttää suoraan niitä aikaisempien differentiaaleja dT ja dR noiden dt' ja dr' asemesta, jolloin olisi v = dR/dT, mun käsittääkseni niillä on sama merkitys.
Käytin itse K:n lähtöpaikassa r
0 havaitsijaa H'(t',r') siksi, että H(T,R) on jossain alempana eri paikassa r. Kappale K ohittaa H:n kerättyään lisää nopeutta gravitaatiossa. Tämä H' on siis välivaihe alkunopeuden v
0 muuntamiseksi Schwartzchildin koordinaatteihin, joissa liikeyhtälöt lausutaan.
Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14
Laitan nyt vihostani kaavan, joka on käännös meidän termistölle Wikin kaavasta ja miten sen mielestäni perustelen (päättely voi olla sama kuin sullakin, heh):
Havaitsija H etäisyydellä r0, mittaa omassa "koordinaatistossaan" suureita T ja R. Ohikiitävän kpl:n K säteen suuntainen nopeus on v = dR/dT. Kappaleen K itseisajan ja havaitsijan H ajan T välinen relaatio saadaan kaavasta
.
Joo okei. Eli tarkastellaan K:n lähtöpaikassa r0 olevaa havaitsijaa H(T,R), joka ampuu K:n liikkeelle, ja hetkellisessä inertiaalissa mittaa K:lle alkunopeuden v = dR/dT.
Tuossa edellä lasket H:n ja K:n hetkellisten inertiaalikehysten Lorentzmuunnoksen. Kehykset kohtaavat samassa paikassa r
0. Lorentzmuunnos on siis olemassa ja hyvin määritelty.
Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14
Voidaan käyttää Wikipedian (implisiittiseen) tapaan:
Nyt voidaan laskea:
Tuo ylläoleva on sama kuin ylläolevan lainauksen viimeinen kaava ja suurinpiirtein tuossa muodossa se on Wikipediassa.
Tässä muodostuu yhteys Schwartzschildin t-koordinaatin ja K:n itseisajan välille. Kaava on tosiaan sama kuin mulla.
Tavallaan jännä, että sulla Lorentzkerroin näkyy. Itse en tehnyt inertiaalien kesken muunnosta, joten ei eksplisiittisesti näy. Tietysti termin voisin muokata notaation näkökulmasta :ksi. Sama tulos kuitenkin, ja kumpikin mielestäni oikein.
Mun kaavassa aiheuttaisi "notaatiofilosofisen" ongelman. En kertaakaan tehnyt inertiaalien välistä Loretnzmuunnosta, vaan pelasin kaareutuneen avaruuden ja laakean paikallisen avaruuden intervallien yhtäsuuruuksilla. Tiukasti tulkiten olisi kyseenalainen, sillä Loretnzmuunnokset eivät olleet mun laskutavalla tehtynä voimassa. Mutta tämä on sivuseikka.
QS kirjoitti: 01 Loka 2023, 21:24
Tuo sun ja mun kaava soveltunee tähänkin tapaukseen, kun r0. Neliöjuurilauseke = 1 ja alkuehtona olisi
,
koska "äärettömyydessä" dt = dT ja dr = dR.
Integrointivakiolle C saatu lauseke Killing kentän avulla oli:
Kun r =, on tuo lauseke muotoa ja nelinopeus . Tai sitten ei, en koskaan koe mitään varmuutta pyöritellessäni näitä. Kuitenkin olen jo tässä ketjussa oppinut paljon uusia asioita.
Varmaan nyt pitää edetä kuten olet tehnytkin eli käyttää jotain äärellistä alkunopeutta pelkän pudottamisen sijasta. Riittävän suuri nopeus ulospäin johtaa rajanopeuteen v0 äärettömyydessä.
Joo kyllä. Laakeassa avaruudessa u on noin. Aikakomponentista saadaan suoraan poimittua alkuehto . Aikakomponentti kaikilla etäisyyksillä r saadaan laskettua
Nelinopeuden normia käyttämällä saadaan radiaali-komponentti
.
Kun sijoitetaan ja käytetään aiempien viestien kaavaa (tässä H vs H' -ongelma, johon viittasin. Unohdetaan edelliset R ja T. Tässä ne ovat sen havaitsijan H koordinaatit, joka mittaan K:n nopeuden joskus myöhemmin vakioetäisyydellä r)
Mun kaava antaa etäisyydelle
,
mikä on sama kuin sulla!