Suhteellisuusteoriaa

Vastaa Viestiin
Q
QS
Viestit: 566

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja QS »

Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14
QS kirjoitti:
Kappale ammutaan H':n hetkellisestä inertiaalista alkunopeudella v=drdt ja etäisyydellä r0. Intervallit ovat kaikissa kehyksissä samat, joten pätee

dt2+dr2=gtt(r0) dt2+1gtt(r0) dr2.

Käyttämällä nk. aikadilataation kaavaa dt=dtgtt(r0), saadaan edellisestä ratkaistua drdt=v gtt(r0). Tämä on siis testikappaleen nopeus lausuttuna S(t,r)-koordinaateissa.

Nyt kirjoitetaan metriikka muodossa

dτ2=gtt(r0) dt2+1gtt(r0) dr2.

Muokkaamalla ja sijoittamalla drdt saadaan laskettua

(dτdt)2=(1v2) gtt(r0).
...
Tuota päättelyä en oikein hahmottanut, että miten päädyt tuohon viimeiseen kaavaan.
Joo, lyhensin viestiäni jättämällä välivaiheita pois. Lähdin liikkeelle H':n ja S:n intervallien yhtäsuuruudesta. Vähän vielä lyhennetyllä notaatiolla gtt(r0)=g kirjoitan

(dt)2+(dr)2=gdt2+1gdr2.

Jaan molemmat puolet -(dt')2:lla

1(drdt)2=g(dtdt)21g(drdt)2.

Tässä nyt (drdt)2=v2 ja niin kutsuttu aikadilataatio dt=dtg, jotka sijoitan edelliseen

1v2=g(dtdtg)21g(drdtg)2,

ja ratkaisen

(drdt)2=v2g2.

Tämän voi pitää neliömuodossa, jotta ei liian aikaisin valitse nopeusvektorin suuntaa. Toisaalta unohdan tasan joka kerta lopussa valita sunnan, että ihan sama :woozy:

Tämän jälkeen kirjoitan metriikan siten, että vasemmalla puolella H':n ominaisaika noiden dt' ja dr' tilalla

dτ2=gdt2+1gdr2.

Jaan molemmat puolet -dt2:lla, ja saan

(dτdt)2=g1g(drdt)2,

mihin sijoitan edellä lasketun (drdt)2. Näin saan

(dτdt)2=g1gv2g2=(1v2)g.

Tämä on sama kuin (1ut)2, missä ut on testikappaleen nelinopeuden ajan suuntainen komponentti hetkellä, jolloin sen kolminopeus on v. Eli etäisyydellä r0 hetkellä, jolloin testikappale ammutaan. Tämä on siis samalla nelinopeuden aikakomponentin alkuehto geodeettiselle yhtälölle.

Tutustun viestisi loppuosaan vkl aikana, koska siinä oli hyviä havaintoja.
Q
QS
Viestit: 566

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja QS »

Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14
..
voisiko tuossa käyttää suoraan niitä aikaisempien differentiaaleja dT ja dR noiden dt' ja dr' asemesta, jolloin olisi v = dR/dT, mun käsittääkseni niillä on sama merkitys.
Käytin itse K:n lähtöpaikassa r0 havaitsijaa H'(t',r') siksi, että H(T,R) on jossain alempana eri paikassa r. Kappale K ohittaa H:n kerättyään lisää nopeutta gravitaatiossa. Tämä H' on siis välivaihe alkunopeuden v0 muuntamiseksi Schwartzchildin koordinaatteihin, joissa liikeyhtälöt lausutaan.
Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14

Laitan nyt vihostani kaavan, joka on käännös meidän termistölle Wikin kaavasta ja miten sen mielestäni perustelen (päättely voi olla sama kuin sullakin, heh):

Havaitsija H etäisyydellä r0, mittaa omassa "koordinaatistossaan" suureita T ja R. Ohikiitävän kpl:n K säteen suuntainen nopeus on v = dR/dT. Kappaleen K itseisajan τ ja havaitsijan H ajan T välinen relaatio saadaan kaavasta

dτ2=dT2+dR2=dT2(1(dR/dT)2).
Joo okei. Eli tarkastellaan K:n lähtöpaikassa r0 olevaa havaitsijaa H(T,R), joka ampuu K:n liikkeelle, ja hetkellisessä inertiaalissa mittaa K:lle alkunopeuden v = dR/dT.

Tuossa edellä lasket H:n ja K:n hetkellisten inertiaalikehysten Lorentzmuunnoksen. Kehykset kohtaavat samassa paikassa r0. Lorentzmuunnos on siis olemassa ja hyvin määritelty.
Disputator kirjoitti: 06 Loka 2023, 14:14
Voidaan käyttää Wikipedian (implisiittiseen) tapaan:

dTdτ=γ=γ(dR/dT)=11(dRdT)2

Nyt voidaan laskea:

dτdt=dτdTdTdt=1γ12GMr

Tuo ylläoleva on sama kuin ylläolevan lainauksen viimeinen kaava ja suurinpiirtein tuossa muodossa se on Wikipediassa.
 

Tässä muodostuu yhteys Schwartzschildin t-koordinaatin ja K:n itseisajan τ välille. Kaava dtdτ on tosiaan sama kuin mulla.

Tavallaan jännä, että sulla Lorentzkerroin näkyy. Itse en tehnyt inertiaalien kesken muunnosta, joten γ ei eksplisiittisesti näy. Tietysti termin (1v2) voisin muokata notaation näkökulmasta γ:ksi. Sama tulos kuitenkin, ja kumpikin mielestäni oikein.

Mun kaavassa γ aiheuttaisi "notaatiofilosofisen" ongelman. En kertaakaan tehnyt inertiaalien välistä Loretnzmuunnosta, vaan pelasin kaareutuneen avaruuden ja laakean paikallisen avaruuden intervallien yhtäsuuruuksilla. Tiukasti tulkiten γ olisi kyseenalainen, sillä Loretnzmuunnokset eivät olleet mun laskutavalla tehtynä voimassa. Mutta tämä on sivuseikka.
QS kirjoitti: 01 Loka 2023, 21:24
Tuo sun ja mun kaava soveltunee tähänkin tapaukseen, kun r0=. Neliöjuurilauseke = 1 ja alkuehtona olisi

ut0=γ(dR/dT)=γ(dr/dt),

koska "äärettömyydessä" dt = dT ja dr = dR.

Integrointivakiolle C saatu lauseke Killing kentän avulla oli:

C=(12GMr)dtdτ

Kun r =, on tuo lauseke muotoa C=γ(v0) ja nelinopeus u=γ(v0)(1,v0,0,0).. Tai sitten ei, en koskaan koe mitään varmuutta pyöritellessäni näitä. Kuitenkin olen jo tässä ketjussa oppinut paljon uusia asioita.

Varmaan nyt pitää edetä kuten olet tehnytkin eli käyttää jotain äärellistä alkunopeutta pelkän pudottamisen sijasta. Riittävän suuri nopeus ulospäin johtaa rajanopeuteen v0 äärettömyydessä.

 
Joo kyllä. Laakeassa avaruudessa u on noin. Aikakomponentista saadaan suoraan poimittua alkuehto u0t=γ. Aikakomponentti kaikilla etäisyyksillä r saadaan laskettua

ut=Cgtt(r)=γgtt(r)=1gtt(r)1v02

Nelinopeuden normia käyttämällä saadaan radiaali-komponentti

ur=11v02gtt(r).

Kun sijoitetaan gtt(r)=1rsr ja käytetään aiempien viestien kaavaa (tässä H vs H' -ongelma, johon viittasin. Unohdetaan edelliset R ja T. Tässä ne ovat sen havaitsijan H koordinaatit, joka mittaan K:n nopeuden joskus myöhemmin vakioetäisyydellä r)

dRdT=urut11rsr=1(1v02)(1rsr)=v02(rrs)+rsr

Mun kaava antaa etäisyydelle r0

limr0vH(r,r0,v0)=v02(rrs)+rsr,

mikä on sama kuin sulla!
E
Eusa
Viestit: 356

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Eusa »

Gamma ei ehkä ole notaatiofilosofinen ristiriita, koska GR:ssä se nousee luonnostaan esiin differentoitaessa metrisestä tensorista paikallista normia fysikaalisten ajanlaatuisten kohteiden havainnointisuhteissa. Kai sen voi nostaa näkyviin, kun sellainen erikoistapaus sattuu kohdalle? Eikös aikadilataation kaava keskustelussa vilahtanutkin...
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Q
QS
Viestit: 566

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja QS »

Eusa kirjoitti: 10 Loka 2023, 19:36
Gamma ei ehkä ole notaatiofilosofinen ristiriita
...
Kai sen voi nostaa näkyviin, kun sellainen erikoistapaus sattuu kohdalle? Eikös aikadilataation kaava keskustelussa vilahtanutkin...
Se laskutapa, jolla itse etenin, oli sellainen, missä ei tehty samassa paikassa kohtaavien kehyksen Lorentzmuunnosta. Tuo γ -notaatio liitetään yleensä merkitykseltään Lorentz-kertoimeksi. Kuten sanoin, ei ole toki väärin asettaa (1v2)=1γ2. Ja kanssakirjoittajan kaavoissa se tulikin luonnollisesti esille, ja liittyi kahden kohtaavan kehyksen väliseen muunnokseen.

Totesin notaatioasian siksi, että arvaruuden ollessa muuta kuin laakea, niin esim. Schwartzschild-havaitsijan ja mielivaltaisen paikassa r olevan havaitsijan välillä ei ole Lorentzmuunnosta, se on määrittelemätön. Muunnos on tässä tapauksessa yleinen koordinaatistomuunnos, ei Lorentzmuunnos.

Esim. kaavojen johdossa esiintyvä 'aikadilataatio' ei sisällä Lorenzkerrointa edellä mainitusta syystä.

Loppujen lopuksi notaatiomainitani oli pikkutarkkaa käsitteellistä hiustenhalkomista, ja gamma voi mun puolesta olla mukana notaationta.
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Ihan pikaisesti tässä kommentoin, viikonloppuna sitten enemmän. Tuo γ-kerroin on tosiaan vähän hämärä tässä kontekstissa, mutta mielestäni sitä voi käyttää (tietyin) varauksin.

Vähän samankaltainen problematiikka tulee ihan suppeammassa suhteellisuusteoriassa, joss "pelikenttänä" on Minkowskiavaruus M. Jos Minkowskiavaruuteen M on valittu koordinaatit xμ, niin Lorentz-muunnos xν-koordinaatteihin voidaan esittää yhtälönä xν=Λνμxμ, missä Λ on muunnoksen matriisi. Tuo yhtälö on siis koordinaattimuunnos eli se vastaa ihan moniston yleistä koordinaattimuunnosta.

Jos käytetään tulkintaa, jossa Minkowskiavaruus on monisto, niin silloin jokaiseen M:n pisteeseen p liittyy tangenttiavaruus TpM. Kappaleseen K liittyvät vektorit, kuten 4-nopeus u on tällöin luonnollista sijoittaa aina siihen tangenttiavaruuteen, missä kappale kulloinkin on eli jos K on Minkowskiavaruuden pisteessä p niin silloin 4-nopeus uTpM.

Yleisesti koordinaattimuunnos xμxμ indusoi jokaiseen Minkowskiavaruuden M (tai minkä tahansa moniston) tangenttiavaruuteen TpM vektoreiden muunnoskaavan, jossa esimerkiksi 4-vektori u komponentit muuntuvat kaavalla:

uν=xνxμuμ.

Minkowskiavaruuden tapauksessa, jossa koordinaattien muunnoskaava on lineaarinen, tuo on:

uν=Λνμuμ.

Kaava on ihan sama muodoltaan kuin koordinaattimuunnoksen kaava, mutta tulkinta on aivan eri! Tämä kaava muuntaa tangenttiavaruuden TpM 4-vektorin komponentteja kullakin pM.

Jos ei enää tarkastella Minkowskiavaruutta vaan ollaan yleisemmällä monistolla kuten esimerkiksi Sch-metriikassa, niin moniston koordinaatistomuunnokset eivät enää indusoi tangenttiavaruuteen Lorentz-muunnoksia, mutta mikään ei estä käyttämästä niitä muunnettaessaTpM:n vektoreita. Vaikka monisto on kaareva, niin aina voidaan valita tangenttiavaruuteen TpM ortonormaali kanta ja laskea kuten suppeammassa suhteellisuusteoriassa.

Kuinka paljon sitten nämä tangenttiavaruuslaskut ovat oikeutettuja on aihe, jossa pitäisi tarkastella kysymystä, että kuinka paljon tangenttiavaruus approksimoi itse monistoa. Tangenttiavaruuden omat koordinaatit voidaan aina "projisoida" itse moniston koordinaateiksi ja siten voidaan osoittaa (?) sellaisen moniston lokaalin koordinaatiston olemassaolo, jossa todellakin kiinteällä pM tangenttiavaruuden TpM vektoreiden yleinen kaava

uν=xνxμuμ

palautuu muotoon:

uν=Λνμuμ.

Tai sitten ei, heh. Tätä pitää miettiä vielä. Mun mielestä voi.

Lisäys: Ylläoleva on epämääräisesti sanottu, siinä on annettu joku mielivaltainen koordinaatisto ja pyritään löytämään uusi koordinaatisto, jossa sitten koordinaattimuunnoksen indusoimat vektorien muunnoskaavat tangenttiavaruudessa ovat kuin Lorentz-muunnokset. Tälläisenään väite on tuskin totta. Jos vanha koordinaatit olivat ortogonaaleja, kuten Sch-metriikassa, niin silloinkin tuo ei liene toimi. Se mikä luultavasti toimii, on se että voidaan ainakin löytää kaksi eri lokaalia koordinaatistoa joiden välinen koordinaattimuunnos indusoi Lorentz-muunnoksen tangenttiavaruuteen.

Mun juttuhan paisui kuin pullataikina. Mun piti vaan ihan lyhyesti kommentoida.
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Heh, problem solved:

jos mulla on mitkä tahansa vanhat koordinaatit xμ annettuna ja mikä tahansa Lorentz-muunnoksen matriisi Λ, niin voin aina määritellä uudet koordinaatit kaavalla:

xν=Λνμxμ.

Jos vanhat koordinaatit on määritelty jossain avoimessa joukossa UR4, niin silloin ovat myös nämä uudet määritelty samassa joukossa. Tämän koordinaattimuunnos on lineaarinen ja siten koordinaattimuunnoksen indusoima 4-vektorien komponenttien muunnoskaava on Lorentz-muunnoksen mukainen tangenttiavaruudessa TpM.
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Disputator »

QS kirjoitti: 05 Loka 2023, 20:27

....
Nyt voidaankin laskea aiemmin esillä olleella kaavalla havaitsijan H (vakioetäisyydellä r) mittaama nopeus vH testikappaleelle, joka on ammuttu etäisyydeltä r0 alkunopeudella v (nopeus v mitattu etäisyydellä r0)

vH(r,r0,v)=dRdT=urut1gtt(r)=1r0(1v2)(rrs)r(r0rs).

Kun sijoitan alkunopeuden v=0, saan saman kaavan kuin etäisyydeltä r0 vapaasti pudotetulle kappaleelle

vH(r,r0,0)=rsrr0rr0rs.

Kun asetan v=0 ja pudotusetäisyys lähestyy ääretöntä, saan saman kaavan kuin vapaasti pudotetulle kappaleelle

limr0vH(r,r0,0)=rsr.

Kun asetan havaitsijan H samalle etäisyydelle kuin ampumisetäisyys, saan vH(r,r,v)=v, mikä on järkevä tulos. Tässäkin kaavassa käy ilmi se, että H:n lähestyessä horisonttia, kappaleen nopeus lähestyy arvoa

limrrsvH(r,r0,v)=1.

Näillä reality checkeillä arvioin, että laskin oikein?
Kävin nyt läpi tuota laskuasi ja ne ovat uskoakseni oikein. Hyvin laskettu, nyt sitten on nuokin alkuehdot tutkittu.

Seuraavassa viestissäsi:
QS kirjoitti: 07 Loka 2023, 13:15
...
Kun sijoitetaan gtt(r)=1rsr ja käytetään aiempien viestien kaavaa (tässä H vs H' -ongelma, johon viittasin. Unohdetaan edelliset R ja T. Tässä ne ovat sen havaitsijan H koordinaatit, joka mittaan K:n nopeuden joskus myöhemmin vakioetäisyydellä r)

dRdT=urut11rsr=1(1v02)(1rsr)=v02(rrs)+rsr
Tämä kaava ihmetytti pitkään ja en oikein hahmottanut miten tuon lasket, varsinkin tuossa alla olevassa lainauksessa otat raja-arvon r0 (mistä lausekkeesta, ylläolevastako, siinä ei ole r0-muuttujaa). :confused: No selvisihän tuokin, olitkin ottanut tuon raja-arvon tuossa aikaisemman viestin kaavasta (johon viittaat alla "Mun kaava"), jossa r0 on vielä mukana. :)
QS kirjoitti:

Mun kaava antaa etäisyydelle r0

limr0vH(r,r0,v0)=v02(rrs)+rsr,

mikä on sama kuin sulla!
Hmm, heh, tätä mun täytyy vielä pohtia...siis sitä että oliko mulla jossain vastaavanlainen kaava? Laskusi on mielestäni kyllä oikein .
Kaavastasi saa sen alkuehdon äärettömyydessä:

limrlimr0vH(r,r0,v0)=v02=±|v0|=v0,
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Jatkan tuosta moniston M ja tangenttiavaruuden TpM,pM suhteesta. Meillä oli metriikka g=hdt2+1hds2, missä merkitsen sun tapaan gtt=h. En käytä kuitenkaan kirjainta g, koska se on jo tuossa metriikassa (= g). Lisäksi unohdetaan kulmaosuudet kokonaan. Nyt fiksataan pM ja määritellään ortonormaali kanta {Et,Er} vektoriavaruuteen TpM kaavoilla:

Et=1/htEr=hr

ja vastaava duaalikanta {ωt,ωr} :

ωt=hdtωr=1/hdr

Nyt nuo vektorit {Et,Er} ja 1-muodot {ωt,ωr} ovat määritelty pM. Nyt voidaan Sch-metriiikka kirjoittaa muodossa:

g=(ωt)2+(ωr)2.

tai oikeammin, tensorinotaatiota käyttänen (en käytä kuitenkaan jatkossa)

g=ωtωt+ωrωr.

Nyt voi oikeutetusti kysyä, että mitä hyötyä on ylläolevasta tässä meidän keississä. No ajattelin laittaa nuo ensin näkyviin, koska nyt kirjoitan nuo 1-muodot epätäsmällisemmmin, nimeten ne tutummalla tavalla:


dT=hdtdR=1/hdr

jolloin saa metriikaksi tutumman:

g=dT2+dR2.

Tuo notaatio on kuitenkin virheellinen siinä mielessä, että se impikoi että on olemassa monistolla M pisteen p ympäristössä U määriteltyt funktiot T ja R, joihin operoimalla d-operaatiolla saadaan 1-muodot dT ja dR, toisin sanoen oletetaan että:

dT=ωtdR=ωr,

joista seuraisi, että dωt=0 ja dωr=0, mikä ei ole totta.

Homma menee mielenkiintoiseksi, kun huomataan, että voidaan kiinteällä pM määritellä ensin ortonormaali kanta ylläolevilla ortonormaaleilla vektoreilla {Et,Er} tangenttiavaruuteen TpM , missä jokainen vektori u (4-vektori, mutta nyt on 2 dimensiota) voidaan esittää muodossa u=TEt+REr, missä T ja R ovat tangenttiavaruuden TpM koordinaatteja. Nyt moniston metriikka indusoi (* katso allas) tangenttiavaruuden origon 0TpM ympäristöön metriikan, jonka lauseke origossa on:

g=dT2+dR2.

Nyt siis on olemassa tangenttiavaruudessa määritellyt lokaalit koordinaatit (T,R) joiden differentiaalit ovat oikeita differentiaaleja ja juuri TpM :n origossa saadaan tuo Minkowskimetriikan mukainen lauseke.

*) tuo indusointi on sitten oma lukunsa, mutta jollain intuitiolla tuonkin voi ymmärtää ilman liikaa matemaattista saivartelua.
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Jotta homma ei olisi ihan noin selkeää...heh :o niin nuo tangenttiavaruuden origon 0TpM ympäristössä käytetyt koordinaatit (T,R) voidaan "projisoida" itse moniston M pisteen p ympäristöön lokaaleiksi koordinaateiksi (T,R) joiden avulla kirjoitettu metriikka yleensä vain pisteessä pM on muotoa

g=dT2+dR2.

Nämä moniston koordinaatit (T,R) eivät kuitenkaan toteuta ehtoja

dT=hdtdR=1/hdr

samasta syystä kuin edellisen viestin {ωt,ωr} eivät toteuta. Mutta (T,R) koordinaatit kuitenkin voidaan kuitenkin periaatteessa määritellä pisteen p ympäristöön.

No joo, tämä nyt sellaista matemaatikon harrastamaa saivartelua, joka aiheuttaa fyysikolle yleensä vain harmaita hiuksia ja harmistusta. :D

En nyt kyllä itsekkään ole ihan varma siitä, että mitä nyt tulikaan saivarreltua, ehkä avaan olutpullon.
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Suhteellisuusteoriaa

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Jatkan vielä tarkastelua, testaan miten tangenttiavaruusformalismi toimii. Tangenttiavaruuden ortonormaalit vektorit olivat:

Et=1/htEr=hr

Nyt Sch-koordinaateissa (t,r) ilmaistun 4-nelinopeuden u (tässä 2-vektorin) u=(ut,ur)=(dtdτ,drdτ) esitys {Et,Er}-kannassa on:

u=utt+urr=uth1/ht+ur1/hhr=uthEt+ur1/hEr

Tuosta voi lukea 4-nopeuden (2-nopeus!) ortonormaalit komponentit (Ut,Ur):

Ut=uthUr=ur1/h

Nyt, jos käytetään TpM :n koordinaatteja (T,R) suppeamman suhtiksen mukaan, jossa γ-kerroin on määritelty tavalliseen tapaan:

Ut=uth=γUr=ur1/h=γdRdT

eli

u=γEt+γdRdTEr.

Vektorin u normi voidaan laskea metriikalla

g=(ωt)2+(ωr)2

ja tuo antaa vektorin pituudeksi g(u,u) = -1.

Eli ei aivan päin mäntyä sentään.

Edit: paitsi että kun lasken derivaatan dR/dT oletan implisiittisesti, että monistolla liikkuvan kpl:n rata voidaan lokaalisti kuvata tangenttiavaruudelleTpM poluksi jota voin sitten derivoida. Tämä toki mahdollista. Tai sitten käytän monistolle projisoituja koordinaatteja (T,R) laskeakseni derivaattaa dR/dT. Hmm, kylläpäs menee kinkkiseksi, tai sitten tuossa tuo moniston ja tangenttiavaruuden yhteys on niin läheinen, että ei oikeastaan väliä kumpaa käytän.
SI Resurrection!
Vastaa Viestiin