Suhteellisuusteoriaa

[QS]

Kappale ammutaan H':n hetkellisestä inertiaalista alkunopeudella \(v=\frac{dr'}{dt'}\) ja etäisyydellä r₀. Intervallit ovat kaikissa kehyksissä samat, joten pätee

\(-dt'^2 + dr'^2 = -g_{tt}(r_0)\ dt^2 + \frac{1}{g_{tt}(r_0)}\ dr^2\).

Käyttämällä nk. aikadilataation kaavaa \(dt'=dt\sqrt{g_{tt}(r_0)}\), saadaan edellisestä ratkaistua \( \frac{dr}{dt} = v\ g_{tt}(r_0)\). Tämä on siis testikappaleen nopeus lausuttuna S(t,r)-koordinaateissa.

Nyt kirjoitetaan metriikka muodossa

\(-d\tau^2 = -g_{tt}(r_0)\ dt^2 + \frac{1}{g_{tt}(r_0)}\ dr^2\).

Muokkaamalla ja sijoittamalla \(\frac{dr}{dt}\) saadaan laskettua

\(\left( \frac{d\tau}{dt}\right )^2 = (1 - v^2)\ g_{tt}(r_0)\).
...

Tuota päättelyä en oikein hahmottanut, että miten päädyt tuohon viimeiseen kaavaan.

Joo, lyhensin viestiäni jättämällä välivaiheita pois. Lähdin liikkeelle H':n ja S:n intervallien yhtäsuuruudesta. Vähän vielä lyhennetyllä notaatiolla \(g_{tt}(r_0)=g\) kirjoitan

\(-(dt')^2+(dr')^2 = -g dt^2 + \frac{1}{g} dr^2\).

Jaan molemmat puolet -(dt')²:lla

\(1 - \left(\frac{dr'}{dt'}\right )^2 = g \left(\frac{dt}{dt'}\right )^2 - \frac{1}{g} \left(\frac{dr}{dt'}\right )^2\).

Tässä nyt \(\left(\frac{dr'}{dt'}\right )^2 = v^2\) ja niin kutsuttu aikadilataatio \(dt'=dt\sqrt{g}\), jotka sijoitan edelliseen

\(1 - v^2 = g \left(\frac{dt}{dt\sqrt{g}}\right )^2 - \frac{1}{g} \left(\frac{dr}{dt\sqrt{g}}\right )^2\),

ja ratkaisen

\(\left(\frac{dr}{dt}\right )^2 = v^2g^2\).

Tämän voi pitää neliömuodossa, jotta ei liian aikaisin valitse nopeusvektorin suuntaa. Toisaalta unohdan tasan joka kerta lopussa valita sunnan, että ihan sama

Tämän jälkeen kirjoitan metriikan siten, että vasemmalla puolella H':n ominaisaika noiden dt' ja dr' tilalla

\(-d\tau^2 = -g dt^2 + \frac{1}{g} dr^2\).

Jaan molemmat puolet -dt²:lla, ja saan

\(\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2 = g - \frac{1}{g} \left(\frac{dr}{dt}\right)^2\),

mihin sijoitan edellä lasketun \(\left(\frac{dr}{dt}\right )^2\). Näin saan

\(\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2 = g - \frac{1}{g} v^2g^2 =(1-v^2)g\).

Tämä on sama kuin \((\frac{1}{u^t})^2\), missä \(u^t\) on testikappaleen nelinopeuden ajan suuntainen komponentti hetkellä, jolloin sen kolminopeus on v. Eli etäisyydellä r₀ hetkellä, jolloin testikappale ammutaan. Tämä on siis samalla nelinopeuden aikakomponentin alkuehto geodeettiselle yhtälölle.

Tutustun viestisi loppuosaan vkl aikana, koska siinä oli hyviä havaintoja.

[QS]

..
voisiko tuossa käyttää suoraan niitä aikaisempien differentiaaleja dT ja dR noiden dt' ja dr' asemesta, jolloin olisi v = dR/dT, mun käsittääkseni niillä on sama merkitys.

Käytin itse K:n lähtöpaikassa r₀ havaitsijaa H'(t',r') siksi, että H(T,R) on jossain alempana eri paikassa r. Kappale K ohittaa H:n kerättyään lisää nopeutta gravitaatiossa. Tämä H' on siis välivaihe alkunopeuden v₀ muuntamiseksi Schwartzchildin koordinaatteihin, joissa liikeyhtälöt lausutaan.

Laitan nyt vihostani kaavan, joka on käännös meidän termistölle Wikin kaavasta ja miten sen mielestäni perustelen (päättely voi olla sama kuin sullakin, heh):

Havaitsija H etäisyydellä r₀, mittaa omassa "koordinaatistossaan" suureita T ja R. Ohikiitävän kpl:n K säteen suuntainen nopeus on v = dR/dT. Kappaleen K itseisajan \(\tau\) ja havaitsijan H ajan T välinen relaatio saadaan kaavasta

\(-d\tau^2= -dT^2+ dR^2 = -dT^2 (1- (dR/dT)^2)\).

Joo okei. Eli tarkastellaan K:n lähtöpaikassa r0 olevaa havaitsijaa H(T,R), joka ampuu K:n liikkeelle, ja hetkellisessä inertiaalissa mittaa K:lle alkunopeuden v = dR/dT.

Tuossa edellä lasket H:n ja K:n hetkellisten inertiaalikehysten Lorentzmuunnoksen. Kehykset kohtaavat samassa paikassa r₀. Lorentzmuunnos on siis olemassa ja hyvin määritelty.

Voidaan käyttää Wikipedian (implisiittiseen) tapaan:

\(\frac{dT}{d\tau}=\gamma=\gamma(dR/dT) = \frac{1}{ \sqrt {1-(\frac{dR}{dT}) ^2} }\)

Nyt voidaan laskea:

\(\frac{d\tau}{dt}= \frac{d\tau}{dT}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{\gamma} \sqrt{1- \frac{2GM}{r}}\)

Tuo ylläoleva on sama kuin ylläolevan lainauksen viimeinen kaava ja suurinpiirtein tuossa muodossa se on Wikipediassa.
 

Tässä muodostuu yhteys Schwartzschildin t-koordinaatin ja K:n itseisajan \(\tau\) välille. Kaava \({dt \over d\tau}\) on tosiaan sama kuin mulla.

Tavallaan jännä, että sulla Lorentzkerroin näkyy. Itse en tehnyt inertiaalien kesken muunnosta, joten \(\gamma\) ei eksplisiittisesti näy. Tietysti termin \((1-v^2)\) voisin muokata notaation näkökulmasta \(\gamma\):ksi. Sama tulos kuitenkin, ja kumpikin mielestäni oikein.

Mun kaavassa \(\gamma\) aiheuttaisi "notaatiofilosofisen" ongelman. En kertaakaan tehnyt inertiaalien välistä Loretnzmuunnosta, vaan pelasin kaareutuneen avaruuden ja laakean paikallisen avaruuden intervallien yhtäsuuruuksilla. Tiukasti tulkiten \(\gamma\) olisi kyseenalainen, sillä Loretnzmuunnokset eivät olleet mun laskutavalla tehtynä voimassa. Mutta tämä on sivuseikka.

Tuo sun ja mun kaava soveltunee tähänkin tapaukseen, kun r₀\(=\infty \). Neliöjuurilauseke = 1 ja alkuehtona olisi

\(u_t^0 = \gamma(dR/dT)= \gamma(dr/dt)\),

koska "äärettömyydessä" dt = dT ja dr = dR.

Integrointivakiolle C saatu lauseke Killing kentän avulla oli:

\(C = \sqrt{(1-\frac{2GM}{r})}\frac{dt}{d\tau}\)

Kun r =\(\infty\), on tuo lauseke muotoa \( C = \gamma(-v_0)\) ja nelinopeus \(u =\gamma(-v_0)(1,-v_0, 0, 0).
\). Tai sitten ei, en koskaan koe mitään varmuutta pyöritellessäni näitä. Kuitenkin olen jo tässä ketjussa oppinut paljon uusia asioita.

Varmaan nyt pitää edetä kuten olet tehnytkin eli käyttää jotain äärellistä alkunopeutta pelkän pudottamisen sijasta. Riittävän suuri nopeus ulospäin johtaa rajanopeuteen v₀ äärettömyydessä.

 

Joo kyllä. Laakeassa avaruudessa u on noin. Aikakomponentista saadaan suoraan poimittua alkuehto \(u^t_0 = \gamma\). Aikakomponentti kaikilla etäisyyksillä r saadaan laskettua

\(u^t = \frac{C}{g_{tt}(r)} = \frac{\gamma}{g_{tt}(r)} = \frac{1}{g_{tt}(r)\sqrt{1-v_0^2}}\)

Nelinopeuden normia käyttämällä saadaan radiaali-komponentti

\(u^r = \sqrt{\frac{1}{1-v_0^2}-g_{tt}(r)}\).

Kun sijoitetaan \(g_{tt}(r) = 1-\frac{r_s}{r}\) ja käytetään aiempien viestien kaavaa (tässä H vs H' -ongelma, johon viittasin. Unohdetaan edelliset R ja T. Tässä ne ovat sen havaitsijan H koordinaatit, joka mittaan K:n nopeuden joskus myöhemmin vakioetäisyydellä r)

\(\frac{dR}{dT} = \frac{u^r}{u^t}\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}} = \sqrt{1-(1-v_0^2)(1-\frac{r_s}{r})} = \sqrt{\frac{v_0^2(r-r_s)+r_s}{r}}\)

Mun kaava antaa etäisyydelle \(r_0\to\infty\)

\(\lim_{r_0\to\infty} v_H(r,r_0,v_0) = \sqrt{\frac{v_0^2(r-r_s)+r_s}{r}}\),

mikä on sama kuin sulla!

[Eusa]

Gamma ei ehkä ole notaatiofilosofinen ristiriita, koska GR:ssä se nousee luonnostaan esiin differentoitaessa metrisestä tensorista paikallista normia fysikaalisten ajanlaatuisten kohteiden havainnointisuhteissa. Kai sen voi nostaa näkyviin, kun sellainen erikoistapaus sattuu kohdalle? Eikös aikadilataation kaava keskustelussa vilahtanutkin...

[QS]

Gamma ei ehkä ole notaatiofilosofinen ristiriita
...
Kai sen voi nostaa näkyviin, kun sellainen erikoistapaus sattuu kohdalle? Eikös aikadilataation kaava keskustelussa vilahtanutkin...

Se laskutapa, jolla itse etenin, oli sellainen, missä ei tehty samassa paikassa kohtaavien kehyksen Lorentzmuunnosta. Tuo \(\gamma\) -notaatio liitetään yleensä merkitykseltään Lorentz-kertoimeksi. Kuten sanoin, ei ole toki väärin asettaa \((1-v^2) = \frac{1}{\gamma^2}\). Ja kanssakirjoittajan kaavoissa se tulikin luonnollisesti esille, ja liittyi kahden kohtaavan kehyksen väliseen muunnokseen.

Totesin notaatioasian siksi, että arvaruuden ollessa muuta kuin laakea, niin esim. Schwartzschild-havaitsijan ja mielivaltaisen paikassa r olevan havaitsijan välillä ei ole Lorentzmuunnosta, se on määrittelemätön. Muunnos on tässä tapauksessa yleinen koordinaatistomuunnos, ei Lorentzmuunnos.

Esim. kaavojen johdossa esiintyvä 'aikadilataatio' ei sisällä Lorenzkerrointa edellä mainitusta syystä.

Loppujen lopuksi notaatiomainitani oli pikkutarkkaa käsitteellistä hiustenhalkomista, ja gamma voi mun puolesta olla mukana notaationta.

[Disputator]

Ihan pikaisesti tässä kommentoin, viikonloppuna sitten enemmän. Tuo \(\gamma\)-kerroin on tosiaan vähän hämärä tässä kontekstissa, mutta mielestäni sitä voi käyttää (tietyin) varauksin.

Vähän samankaltainen problematiikka tulee ihan suppeammassa suhteellisuusteoriassa, joss "pelikenttänä" on Minkowskiavaruus M. Jos Minkowskiavaruuteen M on valittu koordinaatit \(x^{\mu}\), niin Lorentz-muunnos \(x'^{\nu}\)-koordinaatteihin voidaan esittää yhtälönä \(x'^{\nu} = \Lambda^{\nu}\:_{\mu} \:x^{\mu}\), missä \(\Lambda\) on muunnoksen matriisi. Tuo yhtälö on siis koordinaattimuunnos eli se vastaa ihan moniston yleistä koordinaattimuunnosta.

Jos käytetään tulkintaa, jossa Minkowskiavaruus on monisto, niin silloin jokaiseen M:n pisteeseen p liittyy tangenttiavaruus \(T_p M\). Kappaleseen K liittyvät vektorit, kuten 4-nopeus u on tällöin luonnollista sijoittaa aina siihen tangenttiavaruuteen, missä kappale kulloinkin on eli jos K on Minkowskiavaruuden pisteessä p niin silloin 4-nopeus \(u\in T_pM \).

Yleisesti koordinaattimuunnos \( x^{\mu} \to x'\:^{\mu} \) indusoi jokaiseen Minkowskiavaruuden M (tai minkä tahansa moniston) tangenttiavaruuteen \(T_p M \) vektoreiden muunnoskaavan, jossa esimerkiksi 4-vektori u komponentit muuntuvat kaavalla:

\(u'\:^{\nu}=\frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_{\mu}}u^{\mu}\).

Minkowskiavaruuden tapauksessa, jossa koordinaattien muunnoskaava on lineaarinen, tuo on:

\(u'^{\nu} = \Lambda^{\nu}\:_{\mu} \:u^{\mu}\).

Kaava on ihan sama muodoltaan kuin koordinaattimuunnoksen kaava, mutta tulkinta on aivan eri! Tämä kaava muuntaa tangenttiavaruuden \(T_pM \) 4-vektorin komponentteja kullakin \(p\in M\).

Jos ei enää tarkastella Minkowskiavaruutta vaan ollaan yleisemmällä monistolla kuten esimerkiksi Sch-metriikassa, niin moniston koordinaatistomuunnokset eivät enää indusoi tangenttiavaruuteen Lorentz-muunnoksia, mutta mikään ei estä käyttämästä niitä muunnettaessa\( T_pM\):n vektoreita. Vaikka monisto on kaareva, niin aina voidaan valita tangenttiavaruuteen \(T_pM \) ortonormaali kanta ja laskea kuten suppeammassa suhteellisuusteoriassa.

Kuinka paljon sitten nämä tangenttiavaruuslaskut ovat oikeutettuja on aihe, jossa pitäisi tarkastella kysymystä, että kuinka paljon tangenttiavaruus approksimoi itse monistoa. Tangenttiavaruuden omat koordinaatit voidaan aina "projisoida" itse moniston koordinaateiksi ja siten voidaan osoittaa (?) sellaisen moniston lokaalin koordinaatiston olemassaolo, jossa todellakin kiinteällä \(p\in M\) tangenttiavaruuden \(T_pM \) vektoreiden yleinen kaava

\(u'\:^{\nu}=\frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_{\mu}}u^{\mu}\)

palautuu muotoon:

\(u'^{\nu} = \Lambda^{\nu}\:_{\mu} \:u^{\mu}\).

Tai sitten ei, heh. Tätä pitää miettiä vielä. Mun mielestä voi.

Lisäys: Ylläoleva on epämääräisesti sanottu, siinä on annettu joku mielivaltainen koordinaatisto ja pyritään löytämään uusi koordinaatisto, jossa sitten koordinaattimuunnoksen indusoimat vektorien muunnoskaavat tangenttiavaruudessa ovat kuin Lorentz-muunnokset. Tälläisenään väite on tuskin totta. Jos vanha koordinaatit olivat ortogonaaleja, kuten Sch-metriikassa, niin silloinkin tuo ei liene toimi. Se mikä luultavasti toimii, on se että voidaan ainakin löytää kaksi eri lokaalia koordinaatistoa joiden välinen koordinaattimuunnos indusoi Lorentz-muunnoksen tangenttiavaruuteen.

Mun juttuhan paisui kuin pullataikina. Mun piti vaan ihan lyhyesti kommentoida.

[Disputator]

Heh, problem solved:

jos mulla on mitkä tahansa vanhat koordinaatit \(x^{\mu}\) annettuna ja mikä tahansa Lorentz-muunnoksen matriisi \( \Lambda\), niin voin aina määritellä uudet koordinaatit kaavalla:

\(x'^{\nu} = \Lambda^{\nu}\:_{\mu} \:x^{\mu}\).

Jos vanhat koordinaatit on määritelty jossain avoimessa joukossa \(U\in\mathbb{R}^4\), niin silloin ovat myös nämä uudet määritelty samassa joukossa. Tämän koordinaattimuunnos on lineaarinen ja siten koordinaattimuunnoksen indusoima 4-vektorien komponenttien muunnoskaava on Lorentz-muunnoksen mukainen tangenttiavaruudessa \(T_pM.\)

[Disputator]

....
Nyt voidaankin laskea aiemmin esillä olleella kaavalla havaitsijan H (vakioetäisyydellä r) mittaama nopeus \(v_H\) testikappaleelle, joka on ammuttu etäisyydeltä \(r_0\) alkunopeudella \(v\) (nopeus v mitattu etäisyydellä \(r_0\))

\(v_H(r,r_0,v) = {dR \over dT} = \frac{u^r}{u^t} \frac{1}{g_{tt}(r)} =\sqrt{1-\frac{r_0(1-v^2)(r-r_s)}{r(r_0-r_s)}}\).

Kun sijoitan alkunopeuden \(v=0\), saan saman kaavan kuin etäisyydeltä \(r_0\) vapaasti pudotetulle kappaleelle

\(v_H(r,r_0,0) = \sqrt{\frac{r_s}{r}}\sqrt{\frac{r_0-r}{r_0-r_s}}\).

Kun asetan \(v=0\) ja pudotusetäisyys lähestyy ääretöntä, saan saman kaavan kuin vapaasti pudotetulle kappaleelle

\(\lim_{r_0\to\infty} v_H(r,r_0,0) = \sqrt{\frac{r_s}{r}}\).

Kun asetan havaitsijan H samalle etäisyydelle kuin ampumisetäisyys, saan \(v_H(r,r,v) = v\), mikä on järkevä tulos. Tässäkin kaavassa käy ilmi se, että H:n lähestyessä horisonttia, kappaleen nopeus lähestyy arvoa

\(\lim_{r\to r_s} v_H(r,r_0,v) = 1\).

Näillä reality checkeillä arvioin, että laskin oikein?

Kävin nyt läpi tuota laskuasi ja ne ovat uskoakseni oikein. Hyvin laskettu, nyt sitten on nuokin alkuehdot tutkittu.

Seuraavassa viestissäsi:

...
Kun sijoitetaan \(g_{tt}(r) = 1-\frac{r_s}{r}\) ja käytetään aiempien viestien kaavaa (tässä H vs H' -ongelma, johon viittasin. Unohdetaan edelliset R ja T. Tässä ne ovat sen havaitsijan H koordinaatit, joka mittaan K:n nopeuden joskus myöhemmin vakioetäisyydellä r)

\(\frac{dR}{dT} = \frac{u^r}{u^t}\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}} = \sqrt{1-(1-v_0^2)(1-\frac{r_s}{r})} = \sqrt{\frac{v_0^2(r-r_s)+r_s}{r}}\)

Tämä kaava ihmetytti pitkään ja en oikein hahmottanut miten tuon lasket, varsinkin tuossa alla olevassa lainauksessa otat raja-arvon \(r_0\to\infty\) (mistä lausekkeesta, ylläolevastako, siinä ei ole r₀-muuttujaa). No selvisihän tuokin, olitkin ottanut tuon raja-arvon tuossa aikaisemman viestin kaavasta (johon viittaat alla "Mun kaava"), jossa r₀ on vielä mukana.

Mun kaava antaa etäisyydelle \(r_0\to\infty\)

\(\lim_{r_0\to\infty} v_H(r,r_0,v_0) = \sqrt{\frac{v_0^2(r-r_s)+r_s}{r}}\),

mikä on sama kuin sulla!

Hmm, heh, tätä mun täytyy vielä pohtia...siis sitä että oliko mulla jossain vastaavanlainen kaava? Laskusi on mielestäni kyllä oikein .
Kaavastasi saa sen alkuehdon äärettömyydessä:

\(\lim_{r\to\infty}\lim_{r_0\to\infty} v_H(r,r_0,v_0) = \sqrt{v_0^2}= \pm |v_0|= -v_0\),

[Disputator]

Jatkan tuosta moniston M ja tangenttiavaruuden \(T_pM,\: p\in M\) suhteesta. Meillä oli metriikka \(g = -h dt^2+ \frac{1}{h} ds^2\), missä merkitsen sun tapaan \(g_{tt} = h\). En käytä kuitenkaan kirjainta g, koska se on jo tuossa metriikassa (= g). Lisäksi unohdetaan kulmaosuudet kokonaan. Nyt fiksataan \(p\in M\) ja määritellään ortonormaali kanta \(\{E_t,E_r\}\) vektoriavaruuteen \(T_pM\) kaavoilla:

\(
\begin{align*}
E_t &= \sqrt{1/h}\: \partial_t\\
E_r &= \sqrt{h}\: \partial_r
\end{align*}
\)

ja vastaava duaalikanta \(\{\omega^t,\omega^r\)} :

\(
\begin{align*}
\omega^t &= \sqrt{h}\: dt\\
\omega^r &= \sqrt{1/h}\: dr
\end{align*}
\)

Nyt nuo vektorit \(\{E_t,E_r\}\) ja 1-muodot \(\{\omega^t,\omega^r\}\) ovat määritelty \(\forall p\in M\). Nyt voidaan Sch-metriiikka kirjoittaa muodossa:

\(g = -(\omega^t)^2 + (\omega^r)^2\).

tai oikeammin, tensorinotaatiota käyttänen (en käytä kuitenkaan jatkossa)

\(g = -\omega^t\otimes\omega^t + \omega^r\otimes\omega^r \).

Nyt voi oikeutetusti kysyä, että mitä hyötyä on ylläolevasta tässä meidän keississä. No ajattelin laittaa nuo ensin näkyviin, koska nyt kirjoitan nuo 1-muodot epätäsmällisemmmin, nimeten ne tutummalla tavalla:


\(
\begin{align*}
dT&= \sqrt{h}\: dt\\
dR &= \sqrt{1/h}\: dr
\end{align*}
\)

jolloin saa metriikaksi tutumman:

\(g = -dT^2 + dR^2\).

Tuo notaatio on kuitenkin virheellinen siinä mielessä, että se impikoi että on olemassa monistolla M pisteen p ympäristössä U määriteltyt funktiot T ja R, joihin operoimalla d-operaatiolla saadaan 1-muodot dT ja dR, toisin sanoen oletetaan että:

\(
\begin{align*}
dT&= \omega^t \\
dR &= \omega^r
\end{align*}
\),

joista seuraisi, että \(d\omega^t = 0\) ja \(d\omega^r = 0\), mikä ei ole totta.

Homma menee mielenkiintoiseksi, kun huomataan, että voidaan kiinteällä \(p\in M\) määritellä ensin ortonormaali kanta ylläolevilla ortonormaaleilla vektoreilla \(\{E_t,E_r\}\) tangenttiavaruuteen \(T_pM\) , missä jokainen vektori u (4-vektori, mutta nyt on 2 dimensiota) voidaan esittää muodossa \(u = T E_t + R E_r\), missä T ja R ovat tangenttiavaruuden \(T_pM\) koordinaatteja. Nyt moniston metriikka indusoi (* katso allas) tangenttiavaruuden origon \(0\in TpM\) ympäristöön metriikan, jonka lauseke origossa on:

\(g = -dT^2 + dR^2\).

Nyt siis on olemassa tangenttiavaruudessa määritellyt lokaalit koordinaatit (T,R) joiden differentiaalit ovat oikeita differentiaaleja ja juuri \(T_pM\) :n origossa saadaan tuo Minkowskimetriikan mukainen lauseke.

*) tuo indusointi on sitten oma lukunsa, mutta jollain intuitiolla tuonkin voi ymmärtää ilman liikaa matemaattista saivartelua.

[Disputator]

Jotta homma ei olisi ihan noin selkeää...heh niin nuo tangenttiavaruuden origon \(0\in T_pM \) ympäristössä käytetyt koordinaatit (T,R) voidaan "projisoida" itse moniston M pisteen p ympäristöön lokaaleiksi koordinaateiksi (T,R) joiden avulla kirjoitettu metriikka yleensä vain pisteessä \(p\in M\) on muotoa

\(g = -dT^2 + dR^2\).

Nämä moniston koordinaatit (T,R) eivät kuitenkaan toteuta ehtoja

\(
\begin{align*}
dT&= \sqrt{h}\: dt\\
dR &= \sqrt{1/h}\: dr
\end{align*}
\)

samasta syystä kuin edellisen viestin \(\{\omega^t,\omega^r\}\) eivät toteuta. Mutta (T,R) koordinaatit kuitenkin voidaan kuitenkin periaatteessa määritellä pisteen p ympäristöön.

No joo, tämä nyt sellaista matemaatikon harrastamaa saivartelua, joka aiheuttaa fyysikolle yleensä vain harmaita hiuksia ja harmistusta.

En nyt kyllä itsekkään ole ihan varma siitä, että mitä nyt tulikaan saivarreltua, ehkä avaan olutpullon.

[Disputator]

Jatkan vielä tarkastelua, testaan miten tangenttiavaruusformalismi toimii. Tangenttiavaruuden ortonormaalit vektorit olivat:

\(
\begin{align*}
E_t &= \sqrt{1/h}\: \partial_t\\
E_r &= \sqrt{h}\: \partial_r
\end{align*}
\)

Nyt Sch-koordinaateissa (t,r) ilmaistun 4-nelinopeuden u (tässä 2-vektorin) \( u = (u^t,u^r) = (\frac{dt}{d\tau},\frac{dr}{d\tau})\) esitys \(\{E_t,E_r \}\)-kannassa on:

\(u = u^t \partial_t + u^r \partial_r = u^t \sqrt{h}\: 1/\sqrt{h}\: \partial_t + u^r 1/\sqrt{h}\: \sqrt{h}\: \partial_r = u^t \sqrt{h}E_t+u^r 1/\sqrt{h}\: E_r
\)

Tuosta voi lukea 4-nopeuden (2-nopeus!) ortonormaalit komponentit \((U^t,U^r)\):

\(
\begin{align*}
U^t &= u^t\: \sqrt{h}\\
U^ r &= u^r\: 1/\sqrt{h}
\end{align*}
\)

Nyt, jos käytetään \(T_pM\) :n koordinaatteja (T,R) suppeamman suhtiksen mukaan, jossa \(\gamma\)-kerroin on määritelty tavalliseen tapaan:

\(
\begin{align*}
U^t &= u^t\: \sqrt{h} = \gamma\\
U^r &= u^r\: 1/\sqrt{h}= \gamma \frac{dR}{dT}
\end{align*}
\)

eli

\(u = \gamma E_t + \gamma \frac{dR}{dT} E_r\).

Vektorin u normi voidaan laskea metriikalla

\(g = -(\omega^t)^2 + (\omega^r)^2\)

ja tuo antaa vektorin pituudeksi g(u,u) = -1.

Eli ei aivan päin mäntyä sentään.

Edit: paitsi että kun lasken derivaatan dR/dT oletan implisiittisesti, että monistolla liikkuvan kpl:n rata voidaan lokaalisti kuvata tangenttiavaruudelle\( T_pM\) poluksi jota voin sitten derivoida. Tämä toki mahdollista. Tai sitten käytän monistolle projisoituja koordinaatteja (T,R) laskeakseni derivaattaa dR/dT. Hmm, kylläpäs menee kinkkiseksi, tai sitten tuossa tuo moniston ja tangenttiavaruuden yhteys on niin läheinen, että ei oikeastaan väliä kumpaa käytän.