Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[Kontra]

täydensin vielä tätä
 
Taistelujohtolaskin hävittäjän ohjaamiseen
 
Laskee hävittäjän hyökkäyksen johtamisen ampumaetäisyydelle vihollispommittajan taakse.

Maatutkalla mitattujen lentokonemaalien automaattiseurantojen nopeusvektoreiden perusteella laskettiin koneiden sijaintipisteiden välimatka suhteellinen vektori - aikoinaan analogialaskimella. Vektori oli: suora jana, alussa kiihdytysvaihe ja loppupäässä hävittäjän kaarto ja lyhyt suora jana pommittajan taakse ns koirankurvin aloituspisteeseen. 
(Saattoi vielä olla kiihdytysvaihekin aivan lopussa? en muista)

Hävittäjälle laskin antoi koko ajan ohjaussuunnan (command heading) ja ajan pommarin kohtaamiseen. Koneiden nopeudet muuttivat vektoria koko ajan ja vektori lyheni keskinäisen etäisyyden lyhentyessä. Jos pommittaja huomasi hävittäjän ja lähti karkuun, vektori pysyi siinä kiinni ja hävittäjä pystyi jahtaamaan sitä niin kauan kuin kerosiinia riitti vielä kotikentälle paluuseen.

Nykyisin johtamisen periaate lienee sama tietokoneen laskemana. Nyt ei hävittäjää tarvitse enää ohjata noin lähelle pommaria, kun ohjus omalla tutkallaan löytää maalin paljon kauempaa.

Kuvassa transistoreilla toteutetun analogialaskimen kaapit oikealla. Kaapeissa oli myös näyttölaite- ja korkeusmittausantennin ohjauselektroniikat, sekä kolmessa alakaapissa kylmäkoneet elektroniikkakaapeissa kiertävän jäähdytysöljyn kylmentämiseksi.
Vahvistimien nollauksessa tarvittiin millivolttien tarkkuutta, johon etualan digitaalivolttimittaria tarvittiin. 
Kinkkinen vika saa kaverini raapimaan päätään - valitti joskus funtsimisessa pään ajettuvan (=turpoavan).
Vasemmalla elektroniputkilla toteutetun tutkavideoprosessoinnin kaapit.  
 
 

[QS]

Iltaa, olen tässä hieman yrittänyt tutustua tähän kissa/hiiri-tehtävään. Nyt aluksi ihan tälläinen huomio.

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

 

Netistä löytyi kaava, milloin kissa saa hiiren kiinni ja missä, kun tehtävä on asetettu samantyylisesti kuin sulla. Laitan tähän kaavat näkyviin joissa merkitään kissan ja hiiren nopeuksien suhdetta \(k=\frac{v_k}{v_h}\). Oletuksena on se, että kissa on nopeampi kuin hiiri, joten \(k>1\).


Hiiren y-koordinaatti Y kiinniottohetkellä:

$$Y=\frac{b k}{k^2-1}$$

Kiinniotto tapahtuu hetkellä T:

$$T=\frac{b v_k}{(v_k^2-v_h^2)}$$

Sijoittamalla noihin antamasi lukuarvot saadaan:

Y=20/3 = 6,667
T= 4/3 = 1,333

jotka ovat samat arvot kuin antamasi luvut.

Olipas tämäkin työmaa. Mutta ratkaisin vihdoin funktion \(y(x)\) suljetussa muodossa, kun \(v_k > v_h\), mikä siis tarkoittaa sitä, että K saavuttaa H:n äärellisessä ajassa. Tilanteeseen \(v_k \le v_h\) pitää etsiä eri ratkaisu, tämä alla oleva ei siihen päde.

Kun taistelin parametriesityksen \(( x(t), y(t) )\) kanssa, niin olin kirjoittanut diff.yhtälöt muun muassa näin (eräs tusinasta muodosta mitä koetin)

\(\begin{cases}

&\dot x = \dfrac{v_k}{\sqrt{1 + \ \left(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\right)^2}} \\\\

&\dot y = \dfrac{v_k}{\sqrt{\left(\tfrac{b-x}{v_ht-y}\right)^2+1}}

\end{cases}\)

missä \(\dot x = x'(t)\) ja \(x = x(t)\), sekä samat y:lle.

Tuo edellinen osoittautui hyödylliseksi, kun etsin funktiota \(y(x)\). Derivaattojen \(y'(x)\) ja \(y''(x)\) laskemiseksi on olemassa vanhat kunnon parametriesityksen säännöt

\(\begin{align*}
y'(x)&=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot y}{\dot x} \\ \\
y''(x)&=y''=\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\frac{dx}{dt}} = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\dot x}
\end{align*}\)

Näistä lausekkeista tuohon \(y'\) -lausekkeeseen sijoitetaan parametriesityksen diff.yhtälöstä \(\dot x\) ja \(\dot y\), jolloin

\(y'=\dfrac{v_ht-y}{b-x}\)

Toisen derivaatan \(y''\) lausekkeessa on aikaderivaatta, jonka saa helposti laskettua

\(\frac{d}{dt}y' = \frac{d}{dt}\left(\dfrac{v_ht-y}{b-x}\right) = \dfrac{v_h}{b-x}\)

Lausekkeen \(y''\) jakajana on \(\dot x\), mistä pitää saada pois parametri t. Tässä tuo differentiaaliyhtälön \(\dot x\) muoto auttaa, sillä neliöjuuressa oleva \(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\) on täsmälleen sama kuin \(y'\), joten

\(\dot x = \dfrac{v_k} {\sqrt{1 + (y')^2}}\)

Kun sijoitetaan \(y''\) -lausekkeeseen tämä \(\dot x\), ja järjestellään termit, niin saadaankin siistin näköinen

\(y''=\dfrac{v_h\ \sqrt{(y')^2+1}}{v_k\ (b-x)}\)

Merkitään vielä \(k = \dfrac{v_h}{v_k}\), mikä on vastaava parametri kuin sulla oli se k, joskin toisin päin, mutta tuskin haittaa. Näin saadaan

\(y''=\dfrac{k\ \sqrt{(y')^2+1}}{b-x}\)

Ratkaisu on

\(y = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{e^{-C}(b-x)^{k+1}}{k+1}-\dfrac{e^C(b-x)^{1-k}}{1-k}\right) + D\)

missä \(C\) ja \(D\) ovat integrointivakioita. Alkuarvoista \(y'(0)=0\) ja \(y(0)=0\) ratkeavat vakiot

\(\begin{align*}
C &= \ln(b^k)\\\\
D &= \frac{b k}{1-k^2}
\end{align*}\)

Nämä sijoittamalla saadaan

\(y =\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}-2 b k}{2 \left(k^2-1\right)}\)

Nyt voidaankin sitten laskea piste, jossa K saavuttaa H:n. Tämä tapahtuu kohdassa \(x=b\), jota vastaa y-koordinaatti

\(Y = y(b)=\dfrac{b k}{1-k^2}\)

Tuo on näköjään sama kuin integrointivakio D. Ja myös sama lauseke kuin sun viestissä (eri muoto, kun mulla k on määritelty sun k:n käänteislukuna). Näistä edellisistä pyörittelyistä ratkeaa myös ajanhetki, jolloin K saavuttaa H:n

\(T =\dfrac{b v_k}{v_k^2-v_h^2}\)

mikä on myös sama kuin sulla. Langan hengessä tietysti kysymys, että miten tuon T:n ratkaisin^(*)?

Alkuperäinen asetelma \(v_k=10\), \(v_h = 5\) ja \(b = 10\) antaa kuvassa näkyvän käyrän y(x). Ja tosiaankin saavutuspiste ja -aika ovat nuo tarkat lausekkeet ja arvot, mitä säkin kirjoitit.

kissa hiiri y(x).png (13.15 KiB) Katsottu 6881 kertaa

==
(*) Ilman hyvin pelottavan näköistä käyrän pituuden integraalilauseketta...

[Kontra]

Iltaa, olen tässä hieman yrittänyt tutustua tähän kissa/hiiri-tehtävään. Nyt aluksi ihan tälläinen huomio.

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

 

Netistä löytyi kaava, milloin kissa saa hiiren kiinni ja missä, kun tehtävä on asetettu samantyylisesti kuin sulla. Laitan tähän kaavat näkyviin joissa merkitään kissan ja hiiren nopeuksien suhdetta \(k=\frac{v_k}{v_h}\). Oletuksena on se, että kissa on nopeampi kuin hiiri, joten \(k>1\).


Hiiren y-koordinaatti Y kiinniottohetkellä:

$$Y=\frac{b k}{k^2-1}$$

Kiinniotto tapahtuu hetkellä T:

$$T=\frac{b v_k}{(v_k^2-v_h^2)}$$

Sijoittamalla noihin antamasi lukuarvot saadaan:

Y=20/3 = 6,667
T= 4/3 = 1,333

jotka ovat samat arvot kuin antamasi luvut.

Olipas tämäkin työmaa. Mutta ratkaisin vihdoin funktion \(y(x)\) suljetussa muodossa, kun \(v_k > v_h\), mikä siis tarkoittaa sitä, että K saavuttaa H:n äärellisessä ajassa. Tilanteeseen \(v_k \le v_h\) pitää etsiä eri ratkaisu, tämä alla oleva ei siihen päde.

Kun taistelin parametriesityksen \(( x(t), y(t) )\) kanssa, niin olin kirjoittanut diff.yhtälöt muun muassa näin (eräs tusinasta muodosta mitä koetin)

\(\begin{cases}

&\dot x = \dfrac{v_k}{\sqrt{1 + \ \left(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\right)^2}} \\\\

&\dot y = \dfrac{v_k}{\sqrt{\left(\tfrac{b-x}{v_ht-y}\right)^2+1}}

\end{cases}\)

missä \(\dot x = x'(t)\) ja \(x = x(t)\), sekä samat y:lle.

Tuo edellinen osoittautui hyödylliseksi, kun etsin funktiota \(y(x)\). Derivaatoille \(y'(x)\) ja \(y''(x)\) pätevät vanhat kunnon säännöt

\(\begin{align*}
y'(x)&=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot y}{\dot x} \\ \\
y''(x)&=y''=\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\frac{dx}{dt}} = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\dot x}
\end{align*}\)

Näistä ensimmäinen \(y'\) saadaan sijoittamalla lausekkeeseen parametriesityksen diff.yhtälöstä \(\dot x\) ja \(\dot y\)

\(y'=\dfrac{v_ht-y}{b-x}\)

Toisen derivaatan \(y''\) lausekkeessa on aikaderivaatta, jonka saa helposti laskettua

\(\frac{d}{dt}y' = \frac{d}{dt}\left(\dfrac{v_ht-y}{b-x}\right) = \dfrac{v_h}{b-x}\)

Lausekkeen \(y''\) jakajana on \(\dot x\), mistä pitää saada pois parametri t. Tässä tuo differentiaaliyhtälön \(\dot x\) muoto auttaa, sillä neliöjuuressa oleva \(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\) on täsmälleen sama kuin \(y'\), joten

\(\dot x = \dfrac{v_k} {\sqrt{1 + (y')^2}}\)

Kun sijoitetaan \(y''\) -lausekkeeseen tämä \(\dot x\), ja järjestellään termit, niin saadaankin siistin näköinen

\(y''=\dfrac{v_h\ \sqrt{(y')^2+1}}{v_k\ (b-x)}\)

Merkitään vielä \(k = \dfrac{v_h}{v_k}\), mikä on vastaava parametri kuin sulla oli se k, joskin toisin päin, mutta tuskin haittaa. Näin saadaan

\(y''=\dfrac{k\ \sqrt{(y')^2+1}}{b-x}\)

Ratkaisu on

\(y = \frac{1}{2}\left(\dfrac{e^{-C}(b-x)^{k+1}}{k+1}-\frac{e^C(b-x)^{1-k}}{1-k}\right) + D\)

missä \(C\) ja \(D\) ovat integrointivakioita. Alkuarvoista \(y'(0)=0\) ja \(y(0)=0\) ratkeavat vakiot

\(\begin{align*}
C &= \ln(b^k)\\\\
D &= \frac{b k}{1-k^2}
\end{align*}\)

Nämä sijoittamalla saadaan

\(y =\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}-2 b k}{2 \left(k^2-1\right)}\)

Nyt voidaankin sitten laskea piste, jossa K saavuttaa H:n, mikä tapahtuu arvolla \(x=b\). Tätä vastaa y-koordinaatti

\(Y = y(b)=\dfrac{b k}{1-k^2}\)

mikä on näköjään sama kuin integrointivakio D. Ja sama lauseke kuin sun viestissä (eri muoto, kun mulla k on määritelty sun k:n käänteislukuna). Näistä edellisistä pyörittelyistä ratkeaa myös ajanhetki, jolloin K saavuttaa H:n

\(T =\dfrac{b v_k}{v_k^2-v_h^2}\)

mikä on myös sama kuin sulla. Langan hengessä tietysti kysymys, että miten tuon T:n ratkaisin?

Alkuperäinen asetelma \(v_k=10\), \(v_h = 5\) ja \(b = 10\) antaa kuvassa näkyvän käyrän y(x). Ja tosiaankin saavutuspiste ja -aika ovat nuo tarkat lausekkeet ja arvot, mitä säkin kirjoitit.


kissa hiiri y(x).png

Alkuperäinen hiiren nopeus oli 3 m/s - en usko, että se viiden metrin nopeuteen kykenisi. Mutta se ei ole oleellista - oleellista on, että ratkaisit vaikean tehtävän, siitä onnittelut.
Uskomattoman monimutkaiselta näyttää kissan juoksun yhtälö - en olisi kuvitellut sitä sellaiseksi. Pitää yrittää selvittää mitä laskussai tapahtuu, jos siitä jotain oppisi vielä.

Minä yritin kehitellä ratkaisua t/y koordinaatistossa, mutta tuli vastaan yllättäviä ongelmia, kun ei järki juokse enää kuin parikymppisenä.

Kiihtyvyydet oli turha rasite. Jos oikein tulkitsen ratkaisusi, sinäkin jätit ne pois.

Alkuperäinen Kissan ja hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri ja kissa ovat paikallaan ja niiden välimatka on 10 m
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
Hiiren kotikolo on 90 asteen kulmassa hiiri-kissa linjasta.
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.

Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

[QS]

Iltaa, olen tässä hieman yrittänyt tutustua tähän kissa/hiiri-tehtävään. Nyt aluksi ihan tälläinen huomio.

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

 

Netistä löytyi kaava, milloin kissa saa hiiren kiinni ja missä, kun tehtävä on asetettu samantyylisesti kuin sulla. Laitan tähän kaavat näkyviin joissa merkitään kissan ja hiiren nopeuksien suhdetta \(k=\frac{v_k}{v_h}\). Oletuksena on se, että kissa on nopeampi kuin hiiri, joten \(k>1\).


Hiiren y-koordinaatti Y kiinniottohetkellä:

$$Y=\frac{b k}{k^2-1}$$

Kiinniotto tapahtuu hetkellä T:

$$T=\frac{b v_k}{(v_k^2-v_h^2)}$$

Sijoittamalla noihin antamasi lukuarvot saadaan:

Y=20/3 = 6,667
T= 4/3 = 1,333

jotka ovat samat arvot kuin antamasi luvut.

Olipas tämäkin työmaa. Mutta ratkaisin vihdoin funktion \(y(x)\) suljetussa muodossa, kun \(v_k > v_h\), mikä siis tarkoittaa sitä, että K saavuttaa H:n äärellisessä ajassa. Tilanteeseen \(v_k \le v_h\) pitää etsiä eri ratkaisu, tämä alla oleva ei siihen päde.

Kun taistelin parametriesityksen \(( x(t), y(t) )\) kanssa, niin olin kirjoittanut diff.yhtälöt muun muassa näin (eräs tusinasta muodosta mitä koetin)

\(\begin{cases}

&\dot x = \dfrac{v_k}{\sqrt{1 + \ \left(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\right)^2}} \\\\

&\dot y = \dfrac{v_k}{\sqrt{\left(\tfrac{b-x}{v_ht-y}\right)^2+1}}

\end{cases}\)

missä \(\dot x = x'(t)\) ja \(x = x(t)\), sekä samat y:lle.

Tuo edellinen osoittautui hyödylliseksi, kun etsin funktiota \(y(x)\). Derivaatoille \(y'(x)\) ja \(y''(x)\) pätevät vanhat kunnon säännöt

\(\begin{align*}
y'(x)&=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot y}{\dot x} \\ \\
y''(x)&=y''=\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\frac{dx}{dt}} = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\dot x}
\end{align*}\)

Näistä ensimmäinen \(y'\) saadaan sijoittamalla lausekkeeseen parametriesityksen diff.yhtälöstä \(\dot x\) ja \(\dot y\)

\(y'=\dfrac{v_ht-y}{b-x}\)

Toisen derivaatan \(y''\) lausekkeessa on aikaderivaatta, jonka saa helposti laskettua

\(\frac{d}{dt}y' = \frac{d}{dt}\left(\dfrac{v_ht-y}{b-x}\right) = \dfrac{v_h}{b-x}\)

Lausekkeen \(y''\) jakajana on \(\dot x\), mistä pitää saada pois parametri t. Tässä tuo differentiaaliyhtälön \(\dot x\) muoto auttaa, sillä neliöjuuressa oleva \(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\) on täsmälleen sama kuin \(y'\), joten

\(\dot x = \dfrac{v_k} {\sqrt{1 + (y')^2}}\)

Kun sijoitetaan \(y''\) -lausekkeeseen tämä \(\dot x\), ja järjestellään termit, niin saadaankin siistin näköinen

\(y''=\dfrac{v_h\ \sqrt{(y')^2+1}}{v_k\ (b-x)}\)

Merkitään vielä \(k = \dfrac{v_h}{v_k}\), mikä on vastaava parametri kuin sulla oli se k, joskin toisin päin, mutta tuskin haittaa. Näin saadaan

\(y''=\dfrac{k\ \sqrt{(y')^2+1}}{b-x}\)

Ratkaisu on

\(y = \frac{1}{2}\left(\dfrac{e^{-C}(b-x)^{k+1}}{k+1}-\frac{e^C(b-x)^{1-k}}{1-k}\right) + D\)

missä \(C\) ja \(D\) ovat integrointivakioita. Alkuarvoista \(y'(0)=0\) ja \(y(0)=0\) ratkeavat vakiot

\(\begin{align*}
C &= \ln(b^k)\\\\
D &= \frac{b k}{1-k^2}
\end{align*}\)

Nämä sijoittamalla saadaan

\(y =\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}-2 b k}{2 \left(k^2-1\right)}\)

Nyt voidaankin sitten laskea piste, jossa K saavuttaa H:n, mikä tapahtuu arvolla \(x=b\). Tätä vastaa y-koordinaatti

\(Y = y(b)=\dfrac{b k}{1-k^2}\)

mikä on näköjään sama kuin integrointivakio D. Ja sama lauseke kuin sun viestissä (eri muoto, kun mulla k on määritelty sun k:n käänteislukuna). Näistä edellisistä pyörittelyistä ratkeaa myös ajanhetki, jolloin K saavuttaa H:n

\(T =\dfrac{b v_k}{v_k^2-v_h^2}\)

mikä on myös sama kuin sulla. Langan hengessä tietysti kysymys, että miten tuon T:n ratkaisin?

Alkuperäinen asetelma \(v_k=10\), \(v_h = 5\) ja \(b = 10\) antaa kuvassa näkyvän käyrän y(x). Ja tosiaankin saavutuspiste ja -aika ovat nuo tarkat lausekkeet ja arvot, mitä säkin kirjoitit.


kissa hiiri y(x).png

Alkuperäinen hiiren nopeus oli 3 m/s - en usko, että se viiden metrin nopeuteen kykenisi. Mutta se ei ole oleellista - oleellista on, että ratkaisit vaikean tehtävän, siitä onnittelut.

Minä yritin kehitellä ratkaisua t/y koordinaatistossa, mutta tuli vastaan yllättäviä ongelmia, kun ei järki juokse enää kuin parikymppisenä.

Kiihtyvyydet oli turha rasite. Jos oikein tulkitsen ratkaisusi, sinäkin jätit ne pois.

Alkuperäinen Kissan ja hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri ja kissa ovat paikallaan ja niiden välimatka on 10 m
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
Hiiren kotikolo on 90 asteen kulmassa hiiri-kissa linjasta.
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.

Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Joo, jätin kiihtyvyydet pois. Himmelin voisi yleistää sisältämään kiihtyvyysjaksot jne, mutta on työlästä. Okei, se olikin 3 m/s. Sen voisi edelliseen yleiseen ratkaisuun \(y(x;k,b)\) halutessaan sijoittaa (\(v_h = 3\), ja \(k=v_h/v_k = 3 / 10\), ja \(b=10\)).

[Kontra]

Iltaa, olen tässä hieman yrittänyt tutustua tähän kissa/hiiri-tehtävään. Nyt aluksi ihan tälläinen huomio.

Muutin kissa-hiiri -kysymyksen hiukan helpommaksi. Tätä voisi yleistää, mutta kiihtyvyydet ja odotusajat johtavat paloittain määrittelyihin funktioihin, joita työläs käsitellä.

Oletetaan, että hiiri H leikkaa x-akselin ajanhetkellä \(t=0\) paikassa \((x,y)=(b,0)\), missä \(b>0\). H etenee vakiovauhdilla \(|\mathbf{v}_h| = v_h\), ja pisteen \((b,0)\) jälkeen jatkaa etenemistä \(y_+\)-akselin suuntaan.

Kissa K etenee \(x_+\)-akselin suuntaan vakiovauhdilla \(v_k\) siten, että saavuttaa origon \((0,0)\) ajanhetkellä \(t=0\), joka on siis se hetki, kun H läpäisee x-akselin.

Hetken \(t=0\) jälkeen K seuraa H:ta siten, että K:n nopeusvektori osoittaa kaikilla hetkillä kohti H:ta. K etenee kuitenkin mainitulla vakiovauhdilla \(v_k\).

H:n paikkavektori voidaan kirjoittaa

\(\mathbf{r}_h(t) = \begin{bmatrix}
x_h(t) \\ y_h(t)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b \\
v_h\ t
\end{bmatrix}\)

Tehtävänä on ratkaista K:n paikkavektori ajan t funktiona

\(\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
x_k(t) \\ y_k(t)
\end{bmatrix}\)

Merkitään jatkossa K:n paikan komponentit \(x_k(t)=x(t)\) ja \(y_k(t)=y(t)\). K:n nopeusvektori osoittaa aina H:ta kohti. Vektori \(\mathbf{d}\) paikasta K paikkaan H on

\(\mathbf{d} = \mathbf{r}_h(t)-\mathbf{r}_k(t) =
\begin{bmatrix}
b-x(t) \\ v_h\ t-y(t)
\end{bmatrix}\)

ja tämän normi

\(||\mathbf{d}|| = \sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}\)

Vastaava yksikkövektori on

\(\mathbf{\hat d} = \frac{\mathbf{d}}{||\mathbf{d}||} =
\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

Tämä \(\mathbf{\hat d}\) on käytännössä K:n nopeusvektorin suuntainen yksikkövektori. Nopeusvektori voidaan helposti kirjoittaa

\(\mathbf{v}_k =
\begin{bmatrix}
\frac{dx(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}
\end{bmatrix}\)

Kun tunnetaan vauhti \(v_k\), niin tuo nopeusvektori on

\(\mathbf{v}_k = v_k\ \mathbf{\hat d} = v_k\begin{bmatrix}
\frac{b-x(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\
\frac{v_h\ t-y(t)}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{bmatrix}\)

K:n paikkavektorin \(\mathbf{r}_k(t)\) komponentit \(x(t)\) ja \(y(t)\) ratkeavatkin nyt sitten 'kätevästi' yhtälöstä

$$\begin{cases}
&\frac{dx(t)}{dt} = \frac{v_k(b-x(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}} \\\\
&\frac{dy(t)}{dt} = \frac{v_k(v_h\ t-y(t))}{\sqrt{(\ b-x(t)\ )^2\ + \ (\ v_h\ t-y(t)\ )^2}}
\end{cases}$$

Sijoitetaan sopivat arvot \(v_k=10\), \(v_h=5\) ja \(b=10\). Lisäksi merkitään \(x(t)=x\) ja \(\frac{dx(t)}{dt} = \dot x\) (vastaavat \(y\):lle). Nyt konkreettinen ratkaistava yhtälö on

$$\begin{cases}
&\dot x = \frac{10(10-x)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}} \\\\
&\dot y = \frac{10(5t-y)}{\sqrt{(\ 10-x\ )^2\ + \ (\ 5t-y\ )^2}}
\end{cases}$$

Tämä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Yhtälön muodon ja "yleisen elämänkokemuksen" nojalla uskoisin, että analyyttinen ratkaisu on olemassa, mutta tietokonekaan ei normaalimenetelmin sitä antanut. Numeerisesti kone ratkaisee helposti, ja sen perusteella K saavuttaa H:n ajanhetkellä \(t=1.33\) paikassa \((x,y)=(10,\ 6.65)\)

Tästä jatkotehtävänä löytää ja esitellä analyyttinen ratkaisu? Tai keksiä loistava ansatz ja ratkaista kädenkäänteessä.

 

Netistä löytyi kaava, milloin kissa saa hiiren kiinni ja missä, kun tehtävä on asetettu samantyylisesti kuin sulla. Laitan tähän kaavat näkyviin joissa merkitään kissan ja hiiren nopeuksien suhdetta \(k=\frac{v_k}{v_h}\). Oletuksena on se, että kissa on nopeampi kuin hiiri, joten \(k>1\).


Hiiren y-koordinaatti Y kiinniottohetkellä:

$$Y=\frac{b k}{k^2-1}$$

Kiinniotto tapahtuu hetkellä T:

$$T=\frac{b v_k}{(v_k^2-v_h^2)}$$

Sijoittamalla noihin antamasi lukuarvot saadaan:

Y=20/3 = 6,667
T= 4/3 = 1,333

jotka ovat samat arvot kuin antamasi luvut.

Olipas tämäkin työmaa. Mutta ratkaisin vihdoin funktion \(y(x)\) suljetussa muodossa, kun \(v_k > v_h\), mikä siis tarkoittaa sitä, että K saavuttaa H:n äärellisessä ajassa. Tilanteeseen \(v_k \le v_h\) pitää etsiä eri ratkaisu, tämä alla oleva ei siihen päde.

Kun taistelin parametriesityksen \(( x(t), y(t) )\) kanssa, niin olin kirjoittanut diff.yhtälöt muun muassa näin (eräs tusinasta muodosta mitä koetin)

\(\begin{cases}

&\dot x = \dfrac{v_k}{\sqrt{1 + \ \left(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\right)^2}} \\\\

&\dot y = \dfrac{v_k}{\sqrt{\left(\tfrac{b-x}{v_ht-y}\right)^2+1}}

\end{cases}\)

missä \(\dot x = x'(t)\) ja \(x = x(t)\), sekä samat y:lle.

Tuo edellinen osoittautui hyödylliseksi, kun etsin funktiota \(y(x)\). Derivaatoille \(y'(x)\) ja \(y''(x)\) pätevät vanhat kunnon säännöt

\(\begin{align*}
y'(x)&=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot y}{\dot x} \\ \\
y''(x)&=y''=\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\frac{dx}{dt}} = \dfrac{\frac{d}{dt}y'}{\dot x}
\end{align*}\)

Näistä ensimmäinen \(y'\) saadaan sijoittamalla lausekkeeseen parametriesityksen diff.yhtälöstä \(\dot x\) ja \(\dot y\)

\(y'=\dfrac{v_ht-y}{b-x}\)

Toisen derivaatan \(y''\) lausekkeessa on aikaderivaatta, jonka saa helposti laskettua

\(\frac{d}{dt}y' = \frac{d}{dt}\left(\dfrac{v_ht-y}{b-x}\right) = \dfrac{v_h}{b-x}\)

Lausekkeen \(y''\) jakajana on \(\dot x\), mistä pitää saada pois parametri t. Tässä tuo differentiaaliyhtälön \(\dot x\) muoto auttaa, sillä neliöjuuressa oleva \(\tfrac{v_ht-y}{b-x}\) on täsmälleen sama kuin \(y'\), joten

\(\dot x = \dfrac{v_k} {\sqrt{1 + (y')^2}}\)

Kun sijoitetaan \(y''\) -lausekkeeseen tämä \(\dot x\), ja järjestellään termit, niin saadaankin siistin näköinen

\(y''=\dfrac{v_h\ \sqrt{(y')^2+1}}{v_k\ (b-x)}\)

Merkitään vielä \(k = \dfrac{v_h}{v_k}\), mikä on vastaava parametri kuin sulla oli se k, joskin toisin päin, mutta tuskin haittaa. Näin saadaan

\(y''=\dfrac{k\ \sqrt{(y')^2+1}}{b-x}\)

Ratkaisu on

\(y = \frac{1}{2}\left(\dfrac{e^{-C}(b-x)^{k+1}}{k+1}-\frac{e^C(b-x)^{1-k}}{1-k}\right) + D\)

missä \(C\) ja \(D\) ovat integrointivakioita. Alkuarvoista \(y'(0)=0\) ja \(y(0)=0\) ratkeavat vakiot

\(\begin{align*}
C &= \ln(b^k)\\\\
D &= \frac{b k}{1-k^2}
\end{align*}\)

Nämä sijoittamalla saadaan

\(y =\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}-2 b k}{2 \left(k^2-1\right)}\)

Nyt voidaankin sitten laskea piste, jossa K saavuttaa H:n, mikä tapahtuu arvolla \(x=b\). Tätä vastaa y-koordinaatti

\(Y = y(b)=\dfrac{b k}{1-k^2}\)

mikä on näköjään sama kuin integrointivakio D. Ja sama lauseke kuin sun viestissä (eri muoto, kun mulla k on määritelty sun k:n käänteislukuna). Näistä edellisistä pyörittelyistä ratkeaa myös ajanhetki, jolloin K saavuttaa H:n

\(T =\dfrac{b v_k}{v_k^2-v_h^2}\)

mikä on myös sama kuin sulla. Langan hengessä tietysti kysymys, että miten tuon T:n ratkaisin?

Alkuperäinen asetelma \(v_k=10\), \(v_h = 5\) ja \(b = 10\) antaa kuvassa näkyvän käyrän y(x). Ja tosiaankin saavutuspiste ja -aika ovat nuo tarkat lausekkeet ja arvot, mitä säkin kirjoitit.


kissa hiiri y(x).png

Alkuperäinen hiiren nopeus oli 3 m/s - en usko, että se viiden metrin nopeuteen kykenisi. Mutta se ei ole oleellista - oleellista on, että ratkaisit vaikean tehtävän, siitä onnittelut.

Minä yritin kehitellä ratkaisua t/y koordinaatistossa, mutta tuli vastaan yllättäviä ongelmia, kun ei järki juokse enää kuin parikymppisenä.

Kiihtyvyydet oli turha rasite. Jos oikein tulkitsen ratkaisusi, sinäkin jätit ne pois.

Alkuperäinen Kissan ja hiiren kilpajuoksu

Hiiren vauhti on 3m/s ja kissan vauhti 10m/s.
Hiiren kiihtyvyys on 10m/s² kissan kiihtyvyys 5m/s².
Hiiri ja kissa ovat paikallaan ja niiden välimatka on 10 m
Hiiri hoksaa kissan 1 sekunti ennen kun kissa hoksaa hiiren.
Hiiren kotikolo on 90 asteen kulmassa hiiri-kissa linjasta.
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.

Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Joo, jätin kiihtyvyydet pois. Himmelin voisi yleistää sisältämään kiihtyvyysjaksot jne, mutta on työlästä. Okei, se olikin 3 m/s. Sen voisi edelliseen yleiseen ratkaisuun \(y(x;k,b)\) halutessaan sijoittaa (\(v_h = 3\), ja \(k=v_h/v_k = 3 / 10\), ja \(b=10\)).

Sanoin tuolla alussa, että tehtävä on YO-kirjoitusten tasoa. Ei taida YO-matematiikalla sentään ratketa, vaikka olisi huippulahjakas oppilas. Johan noiden yhtälöiden kirjoittamiseen menee tuntikausia, vaikkei typoja tekisikään.

[QS]

Alkuperäinen hiiren nopeus oli 3 m/s

Onpas veikeä funktio, kun \(v_h=3\), \(v_k=10\) ja \(b=10\)

\(y(x)=\frac{300}{91}-\frac{5}{7}\times 10^{3/10}\ (10-x)^{7/10}+\frac{10^{7/10}}{26}(10-x)^{13/10}\)

[Kontra]

QS

Huomasin ettei suuren laskuprosessin ratkaisusi vastaakaan tehtävän lopussa olevaan kysymykseen, kun kirjoitit:
…. Näistä edellisistä pyörittelyistä ratkeaa myös ajanhetki, jolloin K saavuttaa H:n
….. Alkuperäinen asetelma vk=10, vh=5 ja b=10 antaa kuvassa näkyvän käyrän y(x). Ja tosiaankin saavutuspiste ja -aika ovat nuo tarkat lausekkeet ja arvot, mitä säkin kirjoitit.

Tehtävän lopussa luki näin:
............
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.
Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Sinähän aikaisemmin jo kerran laskit kissan juoksun híirenkololle, jossa se nappaa hiiren.
Kaartaessaan se ei saavuta hiirtä, kun on tyhmä.

Vieläkö kiinnostaa aloittaa alusta?
Jätä kiihtyvyydet pois?

[QS]

Tehtävän lopussa luki näin:
............
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.
Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Sinähän aikaisemmin jo kerran laskit kissan juoksun híirenkololle, jossa se nappaa hiiren.
Kaartaessaan se ei saavuta hiirtä, kun on tyhmä.

Vieläkö kiinnostaa aloittaa alusta?
Jätä kiihtyvyydet pois?

Tarkoitatko, että hiiren kolo on paikassa \((x,y)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\) ja suoraan kololle juostessaan kissa saavuttaisi hiiren tuossa pisteessä hetkellä \(t=\frac{10}{\sqrt{91}}\), vai?

[Kontra]

Tehtävän lopussa luki näin:
............
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.
Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Sinähän aikaisemmin jo kerran laskit kissan juoksun híirenkololle, jossa se nappaa hiiren.
Kaartaessaan se ei saavuta hiirtä, kun on tyhmä.

Vieläkö kiinnostaa aloittaa alusta?
Jätä kiihtyvyydet pois?

Tarkoitatko, että hiiren kolo on paikassa \((x,y)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\) ja suoraan kololle juostessaan kissa saavuttaisi hiiren tuossa pisteessä hetkellä \(t=\frac{10}{\sqrt{91}}\), vai?

En minä tiedä missä se kolo on - senhän saa laskettua sillä menetelmällä, jolla sen aikaisemmin laskit. Eli suorat juoksut kummallakin, ja suorien leikkauspisteessä se kolo on.

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön. 

[QS]

Tehtävän lopussa luki näin:
............
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.
Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Sinähän aikaisemmin jo kerran laskit kissan juoksun híirenkololle, jossa se nappaa hiiren.
Kaartaessaan se ei saavuta hiirtä, kun on tyhmä.

Vieläkö kiinnostaa aloittaa alusta?
Jätä kiihtyvyydet pois?

Tarkoitatko, että hiiren kolo on paikassa \((x,y)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\) ja suoraan kololle juostessaan kissa saavuttaisi hiiren tuossa pisteessä hetkellä \(t=\frac{10}{\sqrt{91}}\), vai?

En minä tiedä missä se kolo on - senhän saa laskettua sillä menetelmällä, jolla sen aikaisemmin laskit. Eli suorat juoksut kummallakin, ja suorien leikkauspisteessä se kolo on.

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Okei. Arvoilla \(v_k=10\), \(v_h = 3\) ja \(b=10\) kolo on siis pisteessä \((x_k,y_k)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\), jonka H saavuttaa ajassa \(T = \frac{10}{\sqrt{91}}\).

K:n käyrä noilla arvoilla on

\(y(x)=\frac{300}{91}-\frac{5}{7}\times 10^{3/10}\ (10-x)^{7/10}+\frac{10^{7/10}}{26}(10-x)^{13/10}\)

Tätä käyrää seuraamalla kissa etenee ajassa T paikkaan \((B,Y)\), joka saadaan ratkaisemalla

\(\begin{align*}
Y &= \dfrac{B\ k}{1-k^2}\\\\
T &=\dfrac{B\ v_k}{v_k^2-v_h^2}
\end{align*}\)

missä \(k = v_h/v_k = 3/10\). Ratkaisuna \((B,Y)=\left(\sqrt{91},\frac{30\sqrt{91}}{91}\right)\).

Pisteiden \((B,Y)\) ja \((x_k,y_k)\) välinen etäisyys on \(10-\sqrt{91} = 0.46\), mikä on se etäisyys, jonka kissa häviää käyrää seuraamalla. Laskin nopeasti, ehkä tein virheen, tai sitten ei.