Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[Kontra]

Tehtävän lopussa luki näin:
............
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.
Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Sinähän aikaisemmin jo kerran laskit kissan juoksun híirenkololle, jossa se nappaa hiiren.
Kaartaessaan se ei saavuta hiirtä, kun on tyhmä.

Vieläkö kiinnostaa aloittaa alusta?
Jätä kiihtyvyydet pois?

Tarkoitatko, että hiiren kolo on paikassa \((x,y)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\) ja suoraan kololle juostessaan kissa saavuttaisi hiiren tuossa pisteessä hetkellä \(t=\frac{10}{\sqrt{91}}\), vai?

En minä tiedä missä se kolo on - senhän saa laskettua sillä menetelmällä, jolla sen aikaisemmin laskit. Eli suorat juoksut kummallakin, ja suorien leikkauspisteessä se kolo on.

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Okei. Arvoilla \(v_k=10\), \(v_h = 3\) ja \(b=10\) kolo on siis pisteessä \((x_k,y_k)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\), jonka H saavuttaa ajassa \(T = \frac{10}{\sqrt{91}}\).

K:n käyrä noilla arvoilla on

\(y(x)=\frac{300}{91}-\frac{5}{7}\times 10^{3/10}\ (10-x)^{7/10}+\frac{10^{7/10}}{26}(10-x)^{13/10}\)

Tätä käyrää seuraamalla kissa etenee ajassa T paikkaan \((B,Y)\), joka saadaan ratkaisemalla

\(\begin{align*}
Y &= \dfrac{B\ k}{1-k^2}\\\\
T &=\dfrac{B\ v_k}{v_k^2-v_h^2}
\end{align*}\)

missä \(k = v_h/v_k = 3/10\). Ratkaisuna \((B,Y)=\left(\sqrt{91},\frac{30\sqrt{91}}{91}\right)\).

Pisteiden \((B,Y)\) ja \((x_k,y_k)\) välinen etäisyys on \(10-\sqrt{91} = 0.46\), mikä on se etäisyys, jonka kissa häviää käyrää seuraamalla. Laskin nopeasti, ehkä tein virheen, tai sitten ei.

Hienoa hienoa. Ratkaisit sittenkin koko homman. Vastaus 46 cm.

Mutta kyllä minua arveluttaa, etteikö vähän vähemmälläkin työllä tuota voisi laskea, vaikka likiarvoilla? 
Eihän noita laskuja tajua, kuin ehkä viikon funtsimisella, jos sittenkään?

[QS]

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Funktion muoto oli mullekin yllätys. Mutta juuri parasta on se, kun löytää jotain mitä ei olisi osannut päätellä arkijärjellä. Yleinen muoto

\(y(x;k,b)=\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}}{2 \left(k^2-1\right)}-\dfrac{b k}{k^2-1}\)

sisältää potensseja, joissa kissan ja hiiren nopeuden suhde \(k=v_h/v_k\). Esimerkiksi (b-x) voi nousta potenssiin \((b-x)^{\frac{3}{10}}\) jne. Tämän takia siitä tulee hauskan näköinen. Jos k sattuu olemaan 1/2, niin ovat neliöjuuria.

[Kontra]

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Funktion muoto oli mullekin yllätys. Mutta juuri parasta on se, kun löytää jotain mitä ei olisi osannut päätellä arkijärjellä. Yleinen muoto

\(y(x;k,b)=\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}}{2 \left(k^2-1\right)}-\dfrac{b k}{k^2-1}\)

sisältää potensseja, joissa kissan ja hiiren nopeuden suhde \(k=v_h/v_k\). Esimerkiksi (b-x) voi nousta potenssiin \((b-x)^{\frac{3}{10}}\) jne. Tämän takia siitä tulee hauskan näköinen. Jos k sattuu olemaan 1/2, niin ovat neliöjuuria.

Mitäs arvelet, miksi ketjun luentamäärä on kasvanut yhtäkkiä käsittämättömään lukemaan yli 32'000:een, kun se pari päivää sitten 19.02 oli n.1500. Miksi tekoäly on siitä noin kiinnostunut?