Disputator kirjoitti: ↑12 Loka 2023, 15:34
...
Jos käytetään tulkintaa, jossa Minkowskiavaruus on monisto, niin silloin jokaiseen M:n pisteeseen p liittyy tangenttiavaruus \(T_p M\). Kappaleseen K liittyvät vektorit, kuten 4-nopeus u on tällöin luonnollista sijoittaa aina siihen tangenttiavaruuteen, missä kappale kulloinkin on eli jos K on Minkowskiavaruuden pisteessä p niin silloin 4-nopeus \(u\in T_pM \).
Yleisesti koordinaattimuunnos \( x^{\mu} \to x'\:^{\mu} \) indusoi jokaiseen Minkowskiavaruuden M (tai minkä tahansa moniston) tangenttiavaruuteen \(T_p M \) vektoreiden muunnoskaavan, jossa esimerkiksi 4-vektori u komponentit muuntuvat kaavalla:
\(u'\:^{\nu}=\frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_{\mu}}u^{\mu}\).
Luin ajatuksella tangenttiavaruuden määrittelyä koskevat viestisi. Mielestäni ymmärsin, mutta silti hiukan hukassa, kun tämä on kohtuu monitahoinen vyyhti.
Mulla on yksi lähde, jossa näitä käsitellään. Koetan tiivistää miten tuo teos T
pM:n vektorit ja kannan määrittelee. Lähtötilanne on monisto M, joka on paikallisesti laakea Minkowski. Laskut ovat mielestäni kohtuu haastavia, mutta referoin oleelliset kohdat. Kysymys kuuluu, että mikä on M:n käyrän \(\gamma: \mathbb{R}\to M\) nopeus pisteessä \(p = \gamma(0)\) ?
Käyrä \(\gamma(\tau)\) parametrisoidaan ominaisajalla \(\tau\), ja piste \(p=\gamma(0)\) voidaan aina parametrisoida siten, että \(\tau=0\). Selvyyden vuoksi parametriavaruus merkitään \(T \subset \mathbb{R}\).
Käyrän \(\gamma\) nopeus pisteessä \(p\in M\) määritellään kuvauksena
\(v_{\gamma,p}: C^{\infty}(M) \to \mathbb{R}\),
\(f\to v_{\gamma,p}(f):=(f \circ \gamma)'(0)\).
Määrittelyyn tarvitaan M:n sileä funktio \(f \in C^{\infty}(M)\). Fysikaalisesti ajateltuna nopeus määritellään jonkin suhteen, tässä f:n suhteen. Tuon kuvauksen määrittely on ymmärrettävissä. Se derivoi funktion f käyräparametrin \(\tau\) suhteen. Jos piirtää diagrammin jossa T, M ja \(\mathbb{R}\), sekä käyrän \(\gamma: T\to M\) ja funktion \(f: M\to \mathbb{R}\), niin yhdistetty funktio \(f \circ \gamma\) on helppo ymmärtää.
Nyt sitten pisteen \(p\in M\) tangenttiavaruus on niiden kuvausten joukko, joka sisältää pisteen p kautta kulkevien kaikkien sileiden käyrien \(\gamma\) nopeudet (edellä määritellyt kuvaukset)
\(T_pM = \left \{ v_{\gamma,p} \right \}\).
Tämä on joukko, ei vektoriavaruus. T
pM:ään voidaan kuitenkin lisätä vektoriavaruuden rakenne. Tähän liittyy todistuksia, kuten yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen jne osoittaminen päteviksi, jotka jätän väliin. Nuo voidaan osoittaa käyttämällä paikallista karttakuvausta x ja karttaa (U,x), missä U on M:n paikallinen osajoukko.
Vektoriavaruuden ominaisuuksien osoittamisen jälkeen voidaan käsitellä kantavektorit.
Diagrammiin voi piirtää (tai ajatuksissa lisätä) karttakuvauksen \(x: U \to \mathbb{R}^{1,3}\), mikä siis kuvaa U:n pisteen p karttaan (U,x). Nyt käyrä \(\gamma\) voidaan siirtää karttaan kuvauksena \(x \circ \gamma\).
U:n funktio \(f:U\to \mathbb{R}\) voidaan kirjoittaa \(f \circ x^{-1}\), missä \(x^{-1}\) kuvaa kartan pisteen x tuon U:n pisteeksi, ja f edelleen tuon pisteen reaaliluvuksi.
Kirjoitan tähän oleelliset vaiheet funktioon f operoivan nopeusvektorin v laskemisesta
\(v_{\gamma,p} (f) = (f \circ \gamma)'(0)\)
\(= ((f \circ x^{-1}) \circ ( x \circ \gamma))'(0)\),
missä \(f \circ x^{-1}\) on kuvaus \( \mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{R}\), ja \(x \circ \gamma\) on kuvaus \(T \to \mathbb{R}^{1,3}\). Ensiksi mainittu kuvaa \( \mathbb{R}^{1,3}\):n komponentit reaaliluviksi ja jälkimmäinen kuvaa käyräparametrin \(\mathbb{R}^{1,3}\):n komponenteiksi.
Tästä voidaan edetä käyttämällä derivaatan ketjusääntöä ja kohtuu tarkkaa laskemista siten, että saadaan
\(v_{\gamma,p} (f) = (( x \circ \gamma)^{\mu})'(0) \ \cdot \ [ \partial_i( f \circ x^{-1}) ] ( x(p) )\).
Kertolaskun \( \cdot\) oikean puoleinen termi derivoi kartassa funktion \(x(p) = (x^0(p), x^1(p), x^2(p), x^3(p) )\), missä on komponentit \(\mu\). Tuo koko termi voidaan kirjoittaa muotoon
\(\left( \frac{\partial f}{\partial x^{\mu}} \right )_p\),
mikä on funktion \(f:U \to \mathbb{R}\) osittaisderivaatta pisteessä p. Vasemmanpuoleinen termi on käyrän \(\gamma: T \to U\) karttaesityksen derivaatta komponenteittain. Se voidaan kirjoittaa muotoon
\([(\gamma_x)^{\mu}]'(0)\),
missä \(\gamma_x\) tarkoittaa käyrän esitystä kartassa (U,x). Derivaatta on parametrin \(\tau\) suhteen, ja sen arvo pisteessä \(\tau=0\). Nyt voidaan kirjoittaa käyrän \(\gamma\) nopeusvektori v lopullisessa muodossaan
\(v_{\gamma,p} (f) = [(\gamma_x)^{\mu}]'(0) \cdot \left( \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right )_p \ f\).
Kun vielä jätetään pois funktio f vasemmalta ja oikealta, on tuloksena nopeusvektori T
pM:ssä siten, että T
pM:n
kantavektorit on indusoitu kartasta (U,x). Tuossa esityksessä vektorin komponentit ovat \([(\gamma_x)^{\mu}]'(0)\) ja kantavektorijoukko on \(\left( \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right )_p\).
Tämä on mielestäni hyvin fysikaalinen tapa, sillä M (universumi tms.) tai sen tangenttiavaruus ei sellaisenaan sisällä kantavektoreita, vaan ne tuodaan rakenteeseen paikallisesta kartasta.
Nyt yleisessä tapauksessa tietysti on niin, että kahden eri pisteen p ja q tangenttiavaruudet ovat eri vektoriavaruudet. Tämän seurauksena näiden väliset muunnokset eivät ole suoraan määriteltävissä. Kuitenkin on mahdollista tehdä esimerkiksi Lorentzmuunnos silloin, kun käyrät \(\gamma\) ja \(\sigma\) kohtaavat hetkellisesti samassa pisteessä p, jolloin \(p=\gamma(\tau_1)=\sigma(\tau_2)\).
. Siksi haen ratkaisua aloittelijan tapaan Schwartzschildin koordinaateissa. Metriikan komponentit ovat \(g_{tt} = -\left(1-\frac{r_s}{r} \right)\) ja \(g_{rr} = \left(1-\frac{r_s}{r} \right)^{-1}\), ja signatuuri (-,+,+,+).