Suhteellisuusteoriaa

[QS]

Edelliseen jäi hölmösti kahteen eri tilanteeseen kartta (U,x). Tuon oli tarkoitus noteerata tangenttiavaruuden kannan indusoivaa paikallista koordinaatistoa. Metriikka muodotetaan jossain toisessa, vaikkapa (S,x).

[Eusa]

Eikös metriikat mene niin, että voit vapaasti liimata useanlaisen metriikan kun lasketaan koordinaatistovalinta osaksi metriikkaa, mutta tietty kaarevuuskovarianssi sallii vain erään ryhmän metriikoita, koska mm. toisia derivaattoja ei saa silloin häviämään? Esim. konformisuus on sitten jo tiukempi kriteeri. Laillaan geometria juttelee topologialle...

Eräskin matemaatikkokaveri väitti tosissaan, ettei GR:n geometria käy, koska koordinaatistovalinta tappaa konformisuuden infinitesimaaleissa. Fyysikot ymmärtävät pätevyysalueet ja kuinka kvantittuminen rulettaa alkeishiukkasmittakaavassa.

Siten laakeassa Minkowskissa ei ole vain yhtä "oikeaa" metriikkaa kuten ei missään yhtenäisesti jatkuvassa monistossa. Esimerkiksi voidaan valita metriikka, joka pitää kaikkeuden metrisesti tasakokoisena - ei sellainen ole helppo sovellettava tietenkään.

Yleiseen suhteellisuusteoriaanhan päädytään kun huomataan, että vain inertiaaliseen koordinaatistoon perustuva laakea minkowskilainen metrinen tensori on hyvin diagonalisoituva. Heti kun lähdetään ei-inertiaaliseen, tulee mukaan 1. syvempiä derivaattoja. Siksi päädytään kovarianssiin, jossa mihin tahansa massalliseen kiinnitetty koordinaatisto ilmentää ajan kaarevuutta.

Minkowskilaisessa monistossakin voi tarkastella kiihtyvyyksiä, kunhan seuraa "ulkopuolisena" inertiaalisena. Tähän liittyy suoraan se kaksosparadoksiin tarjoamani suppean suhtiksen idea, että kaksoset todellisesti erkaantuvat toisistaan ikuisesti, matkustava pystyy palauttamaan kappaleestaan sen ihmisosan takaisin ja pakokaasut tai planeetat erkaantuvat yhä kiivaammin - eli alunperin kaksosia ovat:
- inertiaalinen Maa
- inertiaalinen alus+polttoaine+vaikkapakierrettäväJupiter

Yhteen palautettavat ihmiset ovat fysikaalisesti vain mitättömiä osakappalehituja.

Heh. Taisin juuri perustella miksi koko kaikkeus on keskimäärin laakea ja sen toimivat osaset kaareutunutta aika-avaruutta.

[QS]

...
Ja sitten intervalli ds², johon ketjussa viitattu. Se on infinitesimaali pituuselementti koordinaateilla (U,x)

\(ds^2 =-d\tau^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}\),

missä \(dx^{\mu}\) ovat koordinaatiston (U,x) differentiaaleja. Tämä ei ole sama kuin g, vaan nimenomaan pituuselementti, joka on saatu käyttämällä metriikkaa g. Schwartzschildin koordinaateissa (vain t ja r näkyvissä)

\(ds^2 = -d\tau^2 = g_{00} dx^0 dx^0 + g_{11} dx^1 dx^1 = -\left (1-\frac{r_s}{r} \right )dt^2 + \left (1-\frac{r_s}{r} \right )^{-1}dr^2\).

Huomasin ds²:een liittyvän erikoisuuden. Tuo kirjoittamani on notaationa todella tyypillinen, ja nimityskin on intervalli, pituuselementin neliö, neliömuoto tai metriikka. Kaava kuitenkin näyttää siltä, että oikealla dx:t ovat 1-muotoja, ja vasemmalla ds² on 1-muodon neliö (ds)² tai jopa \(ds \otimes ds\).

Voisi luulla, että tässä lasketaan \( ds^2 = g_{\mu\nu}(dx^{\mu},dx^{\nu})\), missä tensoriin asetetaan kaksi "vektoria", jotka kuitenkin ovat 1-muotoja eivätkä vektoreita. Tuo ds²:n kaava on nyt tarkemmin katsoen aivan sekava.

Lisäksi vielä se, että g laskee sisätulon TpM:n vektoreille, ei koordinaatiston vektoreille (tai 1-muodoille).

Mitäpä jos kirjoitan tangenttiavauuteen vektorin \(v^{\mu}e_{\mu} = (dx^0) e_0 + (dx^1) e_1\), missä komponentit v⁰=dx⁰ ja v¹=dx² ovat TpM:n vektorin komponentteja, joihin on ikään kuin sijoitettu koordinaatiston differentiaalit.

Sitten lasken intervallin \(ds^2 = g(v,v) = g_{00}dx^0dx^0 + g_{11}dx^1dx^1\), missä dx⁰ ja dx¹ ovat komponentteja. Koordinaatiston intervallin kaavassa voin kuitenkin tulkita ne koordinaatiston infinitesimaaleina siirtymävektoreina dx.

Voiko tämän ajatella näin, ja voinko käyttää TpM:n sisätuloa siihen, että tällä tavalla lasken pisteen \(p \in M\) kohdalla olevan siirtymävektorin neliön? Vai pitääkö keksiä joku monimutkaisempi tapa.

[Eusa]

Metrinen tensori (tai mikä tahansa tensori) on yksinkertaisesti lineaarinen kartta kaikista vektoreista ja duaaleista reaalilukuihin. 1-muodot gradienttitiedon eli kantavektoreiden myötä liittyvät siis elimellisesti metriikkaan.

Vaikka saattaa näyttää, että ds² voisi olla 1-muodon neliö, ei se sitä ole, ellei se ole osana metriikalla kartoittamista. Itsellisena intervallielementtinä se on vektori, olio, jolla on suure-elämää toisin kuin 1-muodolla, joka on metrisen gradienttisuuden vapausasteapu.

Näin ymmärrän, saa korjata/täsmentää. Minulla on vihkonen "Pfaff's problem and its generalizations" (J.A. Schouten). Tämä tuli mieleen, ehkä johtuen myös touhuamisesta geodeesinippujen kanssa...

[QS]

Metrinen tensori (tai mikä tahansa tensori) on yksinkertaisesti lineaarinen kartta kaikista vektoreista ja duaaleista reaalilukuihin.

osapuilleen näin. \(g_{\mu\nu}\) kuvaa vektorit reaaliluvuksi, ja \(g^{\mu\nu}\) vastaavasti 1-muodot reaaliluvuksi. Jälkimmäinen merkitään joskus \(g^{-1}\), mutta tämä ei ole perinteisessä mielessä g:n käänteiskuvaus.

Vaikka saattaa näyttää, että ds² voisi olla 1-muodon neliö, ei se sitä ole, ellei se ole osana metriikalla kartoittamista. Itsellisena intervallielementtinä se on vektori

Intervalli ds² ei ole vektori, vaan invariantti pituuselementti, jota voi kutsua myös Lorentz-skalaariksi.

[Eusa]

Metrinen tensori (tai mikä tahansa tensori) on yksinkertaisesti lineaarinen kartta kaikista vektoreista ja duaaleista reaalilukuihin.

osapuilleen näin. \(g_{\mu\nu}\) kuvaa vektorit reaaliluvuksi, ja \(g^{\mu\nu}\) vastaavasti 1-muodot reaaliluvuksi. Jälkimmäinen merkitään joskus \(g^{-1}\), mutta tämä ei ole perinteisessä mielessä g:n käänteiskuvaus.

Vaikka saattaa näyttää, että ds² voisi olla 1-muodon neliö, ei se sitä ole, ellei se ole osana metriikalla kartoittamista. Itsellisena intervallielementtinä se on vektori

Intervalli ds² ei ole vektori, vaan invariantti pituuselementti, jota voi kutsua myös Lorentz-skalaariksi.

Kirjoitin epätäsmällisesti - tarkoitin verrata ds-oliota ja kantavektoreilla suunnattavaa 1-muotoa. Onhan ds:n juurisyyssä kuitenkin vektorisuure eikä pelkkä vapausasteen manifestaatio.

Toisaalta alan kyllä ymmärtää pohdintaasi. Mitä muuta vapausasteen edustajaa voisi käyttää yleisesti 1-muodon sijaan? n-muotoja? Täytyy perehtyä uudelleen siihen Pfaffiaaniseen pinoamiseen - siellä on muistaakseni jokin ratkaisematon perinjuurinen ongelmakin...

[Eusa]

\(g_{\mu\nu}\) kuvaa vektorit reaaliluvuksi, ja \(g^{\mu\nu}\) vastaavasti 1-muodot reaaliluvuksi. Jälkimmäinen merkitään joskus \(g^{-1}\), mutta tämä ei ole perinteisessä mielessä g:n käänteiskuvaus.

Reaaliluvuiksi juu. Muunnetaan 1-muodon kovarianttikomponentit niihin liittyvän vektorin kontravarianteiksi komponenteiksi metrisen tensorin kautta tai vektorin kovarianttikomponentit niihin liittyvän 1-muodon kontravarianteiksi komponenteiksi.

\(V_a = g_{ab}V^b\)

\(V^a = g^{ab}V_b\)

Pelkän olion notaatioista ei erota kumpi on vektori ja kumpi 1-muoto - vain siitä sovelletaanko gradienttifunktiona. Sama koskee arkkityyppejä eli differentaaleja. Vai onko muita perusteltuja tulkintoja? Eikö ds intervallidifferentiaalina kuvaa siirtymää eikä gradientin funktiota...

Sitten kun otetaan vektoriavaruuden gradientti eli nabla, kyse on vektorifunktiosta, jota voi hyvillä mielin käsitellä vektorina.

Sitten vielä ds:stä. Jos se vaikka olisi jonkin käyrän kulkua kuvaava tangentin funktio voiden olla positiivinen tai negatiivinen, olisipa se silloin 1-muoto. Mutta kun se on antamassa vain positiivista viivaelementtimäärittelyä, ei sitä voi pitää 1-muotona vaan enemminkin tiheyden arkkityyppinä.

[Disputator]

Aamupäivää. Tuossa allaolevassa on todella hyviä pointteja ja vastaan tässä ensin yleisluontoisemmin ja sitten myöhemmin joihinkin ns. pedanttisiin asioihin

...
Ja sitten intervalli ds², johon ketjussa viitattu. Se on infinitesimaali pituuselementti koordinaateilla (U,x)

\(ds^2 =-d\tau^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}\),

missä \(dx^{\mu}\) ovat koordinaatiston (U,x) differentiaaleja. Tämä ei ole sama kuin g, vaan nimenomaan pituuselementti, joka on saatu käyttämällä metriikkaa g. Schwartzschildin koordinaateissa (vain t ja r näkyvissä)

\(ds^2 = -d\tau^2 = g_{00} dx^0 dx^0 + g_{11} dx^1 dx^1 = -\left (1-\frac{r_s}{r} \right )dt^2 + \left (1-\frac{r_s}{r} \right )^{-1}dr^2\).

Huomasin ds²:een liittyvän erikoisuuden. Tuo kirjoittamani on notaationa todella tyypillinen, ja nimityskin on intervalli, pituuselementin neliö, neliömuoto tai metriikka. Kaava kuitenkin näyttää siltä, että oikealla dx:t ovat 1-muotoja, ja vasemmalla ds² on 1-muodon neliö (ds)² tai jopa \(ds \otimes ds\).

Voisi luulla, että tässä lasketaan \( ds^2 = g_{\mu\nu}(dx^{\mu},dx^{\nu})\), missä tensoriin asetetaan kaksi "vektoria", jotka kuitenkin ovat 1-muotoja eivätkä vektoreita. Tuo ds²:n kaava on nyt tarkemmin katsoen aivan sekava.

Tuo ylläoleva notaatiota tosiaankin näkyy melkein kaikkialla ja kuten totesitkin tuo kaava ajaa heti pedanttisuuden karille noiden differentiaalien takia. Jäin ihan miettimään, että mistä tuo notaatio on tullut ja varmastikin sen alkuperä on Riemannin geometriassa ja sen esiasteessa 2D-pintateoriassa 1800-luvun alun tapaan (Gauss etc.). Tuolloin nuo differentiaalit ymmärrettiin infinitesimaalisina siirtyminä jolloin kahden eri pinnan tai moniston kahden "läheisen" pisteen etäisyys ds laskettiin kaavalla \(ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\). Tuossa voidaan ottaa neliöjuuri, koska metriikka on Riemann-geometriassa positiividefiniitti, jolloin \( ds = \sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}\). Tästä heti ihan sivuhuomautuksena: Suhtiksessa voi kuitenkin olla ds²<0, jolloin tuon neliöjuuri ds on imaginaarinen, joten ds²-merkintä ei ole edes aina mielekäs.

Kuten sanoitkin, nuo differentiaalit ovat kuin vektorin komponentteja ja toisaalta 1-muotoja, mikä on kyllä sekavaa.

Lisäksi vielä se, että g laskee sisätulon TpM:n vektoreille, ei koordinaatiston vektoreille (tai 1-muodoille).

Mitäpä jos kirjoitan tangenttiavauuteen vektorin \(v^{\mu}e_{\mu} = (dx^0) e_0 + (dx^1) e_1\), missä komponentit v⁰=dx⁰ ja v¹=dx² ovat TpM:n vektorin komponentteja, joihin on ikään kuin sijoitettu koordinaatiston differentiaalit.

Sitten lasken intervallin \(ds^2 = g(v,v) = g_{00}dx^0dx^0 + g_{11}dx^1dx^1\), missä dx⁰ ja dx¹ ovat komponentteja. Koordinaatiston intervallin kaavassa voin kuitenkin tulkita ne koordinaatiston infinitesimaaleina siirtymävektoreina dx.

Voiko tämän ajatella näin, ja voinko käyttää TpM:n sisätuloa siihen, että tällä tavalla lasken pisteen \(p \in M\) kohdalla olevan siirtymävektorin neliön? Vai pitääkö keksiä joku monimutkaisempi tapa.

Tämä on mielestäni oikein, jos ajattelee nuo dx⁰ ja dx¹ vektorin komponenteiksi ja mutta silloin niiden ei tarvitse (voivat olla) olla infinitesimaalisia vaan ne ovat \(T_pM\):n vektorin komponentteja.

Mä jatkan seuraavassa viestissä tästä.

[Disputator]

Tässä yleistä höpinää tensorituloista ylläolevaan keissiin liittyen:

Edellisessä jäi mainitsematta, että 1-muotojen tulo \(dx^{\mu}dx^{\nu} \)ei tarkoita suoraan mitään, vaan se on ymmärrettävä tensoritulon kautta, alla on eräs hahmotelma siihen.

Yleisesti voidaan muodostaa kahden vektoriavaruuden U ja V tensoritulo \(U\otimes V\), jonka alkiot ovat lineaarikombinaatioita tuloista \(u\otimes v\). Moniston M tangenttivaruuden V (= lyhennys \( T_pM\):lle ) 1-muodot muodostavat vektoriavaruuden V*. Koska V* on vektoriavaruus, voidaan muodostaa sen tensoritulo itsensä kanssa eli \(V^*\otimes V^*\). Jos valitaan varuuteen V koordinaattikanta\( \{\partial_{\mu}\}\), voidaan muodostaa tämän duaalikanta \(\{dx^{\nu}\}\) avaruuteen V*, jonka määrittelee ehdot \(dx^{\nu}(\partial_{\mu}) = \delta^{\nu}_{\mu}\). Duaalikannan avulla voidaan antaa kanta avaruudelle \(V^*\otimes V^*\), mikä on \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\). Koska g on symmetrinen, valitaan \(V^*\otimes V^*\):n aliavaruus, jonka kantana \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\), missä nyt \(\mu\leq\nu\). Suhtiksen tapauksessa kantavektoreita 10 kpl.

Nyt herää kysymys, miten tuo kantavektori \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\) ottaa sisäänsä V:n vektoreita? Helpoin tapa on asetaa ihan laskennallinen määritelmä, missä u ja v ovat V:n vektoreita:

\((dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u,v) \equiv {dx^{\mu}(u) dx^{\nu}}(v)\)

Jos u =\(u^{\alpha}\partial_{\alpha}\) ja \(v =v^{\beta}\partial_{\beta}\), niin silloin sijoittamalla ylläolevaan saadaan:

\(\begin{align*}
(dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u,v) &=(dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u^{\alpha}\partial_{\alpha},v^{\beta}\partial_{\beta})\\
&=u^{\alpha}v^{\beta}dx^{\mu}(\partial_{\alpha}) dx^{\nu}(\partial_{\beta})\\
&=u^{\mu}v^{\nu}
\end{align*}\)

Nyt voidaankin laskea g(u,v):

\(\begin{align*}
g(u,v)& = (g_{\mu\nu} dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u,v)\\
& = g_{\mu\nu}u^{\mu}v^{\nu}
\end{align*}\)

Jos haluaisin käyttää noille u ja v vektorille notaatiota \(u= \Delta u^{\alpha}\partial_{\alpha}\) ja \(v =\Delta v^{\beta}\partial_{\beta}\) saisin kaavan

\(
g(u,v) = g_{\mu\nu}\Delta u^{\mu}\Delta v^{\nu}
\)

Yritin siis tässä tehdä eroa tuolla siihen "differentiaalien" avulla ilmaistuun muotoon:

\(
g(u,v) = g_{\mu\nu} du^{\mu}dv^{\nu}
\)

, missä siis nuo "differentiaalit" on ymmärrettävä vektorin komponentteija eikä 1-muotoina.

Jatkoa seuraa vielä tänään tai huomenna.

edit:vähän siistitty

[Eusa]

Tuolloin nuo differentiaalit ymmärrettiin infinitesimaalisina siirtyminä jolloin kahden eri pinnan tai moniston kahden "läheisen" pisteen etäisyys ds laskettiin kaavalla \(ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\). Tuossa voidaan ottaa neliöjuuri, koska metriikka on Riemann-geometriassa positiividefiniitti, jolloin \( ds = \sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}\). Tästä heti ihan sivuhuomautuksena: Suhtiksessa voi kuitenkin olla ds²<0, jolloin tuon neliöjuuri ds on imaginaarinen, joten ds²-merkintä ei ole edes aina mielekäs.

Tarkka huomio. Kyllä se ds² kuitenkin positiivisena tiheysmääränä GR:ssäkin sovelletaan - tulee vain tietoisesti huomioida neliöjuuressa tarvittaessa merkinvaihto.