Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[Eusa]

[Eusa]

[Disputator]

Iltaa, tähän jäi aikanaan vastaamatta.

...
jokainen $SU(2)$:n alkio kerrotaan $U(1)$:n vaiheella $e^{i\theta }$. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle $e^{i\theta }\in U(1)$ ja $M\in SU(2)$ yhdistämme:
$$(e^{i\theta },M)\mapsto e^{i\theta }M.$$
Näin muodostuva rakenne säilyttää $SU(2)$ osaryhmän rakenteen modulo $U(1)$ vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.

Mielestäni tässä on se ongelma, että $U(1)\cap M=\{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}$, jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.

Tuo $-\mathbb{I}$ saavutetaan ryhmässä $U(1)$ parametrilla $\theta =\pi$. Vastaava ryhmässä $SU(2)$ on $\text{diag}(a,\overline{a})=\text{diag}(-1,-1)$.

...
Matriisit $n\in SU(2)$ ovat

$n:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{C},|a{|}^2+|b{|}^2=1\}$

...

...ryhmän $H=U(1)$ matriisiesitys $\mathrm{\Pi }:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})$. Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

...


Aliryhmien tulo matriiseja $h_1$ käyttämällä on

$g_1=n{h}_1=\left\{\left(\begin{array}{cc}a{e}^{i\theta }& b{e}^{i\theta }\\ -\overline{b}{e}^{i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\right\}$

....

Pitää vielä tarkistaa, että $N\cap H=\{e\}$

Ryhmän $SU(2)$ diagonaalimatriisit ovat muotoa $\text{diag}(a,\overline{a})$. Nämä ja $h_1\in U(1)$ ovat samat vain neutraalialkion $e=\text{diag}(1,1)$ kohdalla.

Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien $N$ ja $H$ leikkaus sisältää myös $-\mathbb{I}$, kun saisi olla vain $\mathbb{I}$, joten viestini matriiseista molemmat $h_1$ ja $h_2$ tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.

Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen $U(1)$ esityksen

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

Tässä tapauksessa $U(1)\cap SU(2)=\mathbb{I}$.

 

Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon $SU(2)⋊U(1)$ kanssa. Epätriviaalisuuden todistus on sitten matemaattinen ja en laita sitä tähän.

Lisäksi, tutkimalla erittäin huolellisesti ryhmän U(2) määritelmää, jossa $g_1\in U(2)$, jos ja vain jos $g_1{g}_1^H={g_1}^H{g}_1=I_{2\times 2}$, voidaan päästä tulokseen, jossa $g_1\in U(2)$ voidaan aina esittää antamassasi muodossa $g_1=n{h}_1$

[Disputator]

...
Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon $SU(2)⋊U(1)$ kanssa. Epätriviaalisuuden todistus on sitten matemaattinen ja en laita sitä tähän.
...

 

Ylläolevassa toki pitää olla suora tulon merkki $\times$eikä puolisuoran tulon $⋊$ merkki ja korjattu lause kuuluu:

Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon $SU(2)\times U(1)$ kanssa.
 

[QS]

Iltaa, tähän jäi aikanaan vastaamatta.

...
jokainen $SU(2)$:n alkio kerrotaan $U(1)$:n vaiheella $e^{i\theta }$. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle $e^{i\theta }\in U(1)$ ja $M\in SU(2)$ yhdistämme:
$$(e^{i\theta },M)\mapsto e^{i\theta }M.$$
Näin muodostuva rakenne säilyttää $SU(2)$ osaryhmän rakenteen modulo $U(1)$ vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.

Mielestäni tässä on se ongelma, että $U(1)\cap M=\{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}$, jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.

Tuo $-\mathbb{I}$ saavutetaan ryhmässä $U(1)$ parametrilla $\theta =\pi$. Vastaava ryhmässä $SU(2)$ on $\text{diag}(a,\overline{a})=\text{diag}(-1,-1)$.

...
Matriisit $n\in SU(2)$ ovat

$n:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{C},|a{|}^2+|b{|}^2=1\}$

...

...ryhmän $H=U(1)$ matriisiesitys $\mathrm{\Pi }:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})$. Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

...


Aliryhmien tulo matriiseja $h_1$ käyttämällä on

$g_1=n{h}_1=\left\{\left(\begin{array}{cc}a{e}^{i\theta }& b{e}^{i\theta }\\ -\overline{b}{e}^{i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\right\}$

....

Pitää vielä tarkistaa, että $N\cap H=\{e\}$

Ryhmän $SU(2)$ diagonaalimatriisit ovat muotoa $\text{diag}(a,\overline{a})$. Nämä ja $h_1\in U(1)$ ovat samat vain neutraalialkion $e=\text{diag}(1,1)$ kohdalla.

Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien $N$ ja $H$ leikkaus sisältää myös $-\mathbb{I}$, kun saisi olla vain $\mathbb{I}$, joten viestini matriiseista molemmat $h_1$ ja $h_2$ tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.

Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen $U(1)$ esityksen

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

Tässä tapauksessa $U(1)\cap SU(2)=\mathbb{I}$.

 

Tämä konstruktio tuottaa epätriviaalin puolisuoran tulon, joka ei ole isomorfinen suoran tulon $SU(2)\times U(1)$ kanssa. Epätriviaalisuuden todistus on sitten matemaattinen ja en laita sitä tähän.

Lisäksi, tutkimalla erittäin huolellisesti ryhmän U(2) määritelmää, jossa $g_1\in U(2)$, jos ja vain jos $g_1{g}_1^H={g_1}^H{g}_1=I_{2\times 2}$, voidaan päästä tulokseen, jossa $g_1\in U(2)$ voidaan aina esittää antamassasi muodossa $g_1=n{h}_1$

Tähän jälleen palattiin. Tuo totta mitä kirjoitit. Eli kun käytetään viimeisintä kirjoittamaani $U(1)$ matriisiesitystä $h_1$ ja $SU(2)$ esitystä $n$, niin saatu puolisuora tulo $SU(2)⋊U(1)$ ja suora tulo ja $SU(2)\times U(1)$ eivät ole isomorfiset.

Tämähän alkaa nyt lähestyä alkuperäistä pohdintaa, että voidaanko sanoa, että sähköheikko ryhmä $SU(2)\times U(1)\cong U(2)$. Ilmeisesti ei voida, kun sähköheikon teorian ryhmistä ei voida muodostaa sellaista puolisuoraa tuloa, joka isomorfismiin johtaisi. Jos sopivilla valinnoilla puolisuora tulo saadaankin muodostettua, niin se ja teorian mukainen ryhmä eivät enää ole isomorfiset. Ellei sitten teoriaa muuteta jollain keinolla sellaiseksi, että se toimii $U(2)$:lla.

[Abezethibou]

Täydellinen pari joka piilottaa yllättävän kaksoisidentiteetin. Jatkakaa seuraan kunnioittavasti katseella.

[Disputator]

Iltapäivää! Laitan tässä nyt ihan lyhyesti jotain yleisiä kommentteja.

No niin. Paneuduin tosiaan Weinbergiin, tällä kertaa Vol 2:n lukuun "15.2 Gauge Theory Lagrangians and Simple Lie Groups".

Luvussa käsitellään Lagrangen tiheyden $\mathcal{L}$ termejä, joissa esiintyy mittakenttätensori ${F^{\alpha }}_{\mu \nu }$. Tensori on siis muodostettu mittakentistä ${A^{\alpha }}_{\mu }$, missä mittakentän indeksi $\alpha =\{1,2,...,n\}$. Näitä indeksejä vastaavan mittaryhmän generaattorit ovat $t_{\alpha }$.

Mittamuunnoksessa $\mathcal{L}$ on invariantti, toisin sanoen mittakenttätensorit ${F^{\alpha }}_{\mu \nu }$ ja materiahiukkaset ${\psi }_m$ muuntuvat siten, että
$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\psi }_l}i{(t_{\alpha }{)}_l}^m{\psi }_m+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (D_{\mu }{\psi }_l)}i{(t_{\alpha }{)}_l}^m(D_{\mu }{\psi }_m)+...\\ & +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {F^{\beta }}_{\mu \nu }}{C^{\beta }}_{\gamma \alpha }{F^{\gamma }}_{\nu \mu }\\ & +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (D_{\rho }{F^{\beta }}_{\mu \nu })}{C^{\beta }}_{\gamma \alpha }{D}_{\rho }{F^{\gamma }}_{\nu \mu }\\ & +...\\ \\ & =0\end{array}$$
Lauseke on hiukan ruuhkainen, mutta siinä on muunnoksen perusajatus. Useita termejä on jätetty pois. Notaatiossa esimerkiksi ${(t_{\alpha }{)}_l}^m$ on muunnosryhmän generaattorimatriisi, ja sen komponentit $l$ ja $m$. Nämä indeksit viittaavat materiahiukkaskenttiin ${\psi }_m$ ja ${\psi }_l$. Kenttätensorin indeksi $\gamma$ viittaa mittakenttiin $\gamma =\{1,2,...,n\}$.

Matriisit ${C^{\beta }}_{\gamma \alpha }$ ovat rakennevakioita mittaryhmän Lien algebrassa $[t_{\alpha },t_{\beta }]=i{C^{\gamma }}_{\alpha \beta }{t}_{\gamma }$.

Mittakentät $A^{\alpha }$ eivät sellaisenaan ole Lagrangen tiheydessä. Sen sijaan kenttävoimakkuustensorit $F^{\alpha }$ ja vastaavat kovariantit derivaatat $D$ ovat. Lorentz- ja P-symmetrian toteuttava mittakenttätermi on oltava muotoa

${\mathcal{L}}_A=-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{F^{\alpha }}_{\mu \nu }{F}^{\beta \mu \nu }$

missä matriisi $g_{\alpha \beta }$ on vakio ja reaalinen. Reaalisuus takaa reaalisen Lagrangen tiheyden. Weinbergin mukaan ${\mathcal{L}}_A$ toteuttaa mittainvarianssin siinä tapauksessa, että kaikille indeksin $\delta$ arvoille pätee

$g_{\alpha \beta }{F^{\alpha }}_{\mu \nu }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }{F}^{\beta \mu \nu }=0$.

Tämä toteutuu, kun

$g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }$.

Lisäksi matriisin $g_{\alpha \beta }$ on oltava positiivisesti definiitti, jotta kvantisoinnin jälkeen erinäiset skalaaritulot ovat positiivisia.

Näiden edellä asetettujen vaaatimusten pohjalta Weinberg esittää kolme ehtoa a-c, jotka ovat ekvivalentteja:

a: On olemassa reaalinen, symmetrinen ja positiivisesti definiitti matriisi $g_{\alpha \beta }$, joka toteuttaa mittainvarianssin.

b: On olemassa Lien algebran kanta (joukko generaattoreita ${\tilde{t}}_{\alpha }={\mathcal{S}}_{\alpha \beta }{t}_{\beta }$, missä $\mathcal{S}$ on reaalinen ei-singulaarinen matriisi), jonka rakennevakiot ${{\tilde{C}}^{\alpha }}_{\beta \gamma }$ ovat antisymmetrisiä siten, että antisymmetrisyys ei koske vain indeksejä $\beta$ ja $\gamma$, vaan kaikkia kolmea $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$. Tässä tapauksessa rakennevakion voi kirjoittaa ${\tilde{C}}_{\alpha \beta \gamma }$.

c: Lien algebra on suora summa, jonka Lien algebrat kommutoivat, ovat kompaktit, ovat yksinkertaiset ja summa sisältää U(1) alialgebran.

Ehto c viittaa tässä mittasymmetriaryhmän Lien algebraan, ja vaikuttaa sisältävän kaiken ryhmäteorian ja ryhmien esitysteorian perusteista, ja hiukan ylikin . Alkuperäisellä Weinberg-salakielellä (jotta mun mahdolliset virheet voi korjata) ehto kuuluu näin: "The Lie algebra is the direct sum of commuting compact simple and U(1) subalgebras."

Näiden jälkeen esitellään muutama konkreettinen havainto. Esimerkiksi rotaatioryhmä on kompakti, ja sen Lien algebra on kompakti, sillä sisältää kompaktin ryhmän generaattorit. Lorentzryhmä ei ole kompakti, joten sen Lien algebra ei ole mukana kohdassa c.

Kompaktin Lien ryhmän äärellisulotteiset esitykset ovat kaikki unitaarisia. Kompaktin Lien algebran äärellisulotteiset esitykset ovat vastaavasti kaikki hermiittisiä.

Sitten kirja mainitsee Lien algebrat, jotka liittyvät edelliseen kohtaan c ja sitä kautta sähköheikon teorian symmetriaan: Lien algebrat, joiden esitykset ovat muuta kuin triviaaleja, ja joiden generaattorit $t_{\alpha }$ ovat toisistaan riippumattomat, äärellisulotteiset, ja hermiittiset.

Nämä ominaisuudet ovat Lien algebroilla, jotka ovat suora summa, missä U(1):n Lien algebraan summataan kompakteja yksinkertaisia Lien algebroja. Käsittäisin, että sähköheikko mittaryhmä on tämän seurauksena suora tulo ja symmetriaryhmässä on mukana U(1). Tässähän $Lie[G_1\times G_2\times G_3]$ ja ${\mathfrak{g}}_1\oplus {\mathfrak{g}}_2\oplus {\mathfrak{g}}_3$ ovat isomorfiset.

Mietin tässä kohti ryhmää U(2), joka on käsittääkseni kompakti, mutta se ei ole yksinkertainen eikä edes puoliyksinkertainen? Hmm. Se ei kai täytä näitä Weinbergin ehtoja.

Tämä kaikki yhdistyy luvun Appendix A:ssa, jossa ehtojen a,b ja c ekvivalenssi todistetaan! Varsinkin kohtaan c liittyvä todistus on oleellinen, mutta sen ymmärtäminen mulla vielä kesken.

 

Kaikenlaisten kiireiden vuoksi en ole tähän aikaisemmin vastannut, mutta vastaan piakkoin tarkemmin. Kirjoituksesi sisältää paljon asiaa, johon olen nyt yrittänyt syventyä.

Nuo mainitsemasi kohdat a,b ja c löytyvät kyllä jossain muodossa ihan matematiikan lähteistäni, mutta koska kyse on matematiikasta, täytyy mun yrittää kääntää niitä tähän Weinbergin muotoon, ja toistepäin.

Ihan keissiesimerkkinä tästä matikan ja fysiikan välisestä ymmärryksen sillan rakentamisesta on tuossa kirjoituksessasi mainittu ehto:

Lorentz- ja P-symmetrian toteuttava mittakenttätermi on oltava muotoa

${\mathcal{L}}_A=-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{F^{\alpha }}_{\mu \nu }{F}^{\beta \mu \nu }$

missä matriisi $g_{\alpha \beta }$ on vakio ja reaalinen. Reaalisuus takaa reaalisen Lagrangen tiheyden. Weinbergin mukaan ${\mathcal{L}}_A$ toteuttaa mittainvarianssin siinä tapauksessa, että kaikille indeksin $\delta$ arvoille pätee

$g_{\alpha \beta }{F^{\alpha }}_{\mu \nu }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }{F}^{\beta \mu \nu }=0$.

Mun tämänhetkisen ymmärryksen mukaan tuo matriisi $g_{\alpha \beta }$ saadaan Killingin 2-muodosta:

$$B(X,Y)=Tr(ad(X),ad(Y)),$$

missä X,Y ovat mittaryhmän G Lie-algebran Lie(G) vektoreita ja kuvaus $ad(X):Lie(G)\to Lie(G)$ on määritelty kaavalla $ad(X)(Y)=[X,Y]$. Käyttäen antamiasi mittaryhmän generaattoreita eli Lie(G):n valittuja kantavektoreita $t_{\alpha }$
saadaan:

$$g_{\alpha \beta }=-B(t_{\alpha },t_{\beta })$$.

Matriisi $g_{\alpha \beta }$ voidaan ilmaista myös rakennevakioiden avulla annetussa kannassa:

$$g_{\alpha \beta }=-{C^{\gamma }}_{\alpha \delta }{C^{\delta }}_{\beta \gamma }$$

Tämä vastaa Weinbergin kaavaa (15.A.10) siinä kirjassa. Siinä on toki ylimääräinen indeksi m, joka on vain siinä a,b,c-kohtien ekvivalenssin todistuksessa tarvittu apuindeksi.

Tästä lisää myöhemmin. Aihe on hyvin kiinostava.

[Disputator]

Palaan tosiaan tähän tarkemmin, mutta yksi hajanainen huomio:

Weinbergin mukaan ${\mathcal{L}}_A$ toteuttaa mittainvarianssin siinä tapauksessa, että kaikille indeksin $\delta$ arvoille pätee

$g_{\alpha \beta }{F^{\alpha }}_{\mu \nu }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }{F}^{\beta \mu \nu }=0$.

Tämä toteutuu, kun

$g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }$.

Lisäksi matriisin $g_{\alpha \beta }$ on oltava positiivisesti definiitti, jotta kvantisoinnin jälkeen erinäiset skalaaritulot ovat positiivisia.

Weinbergin notaatioin rakennevakio on antisymmetrinen kahden jälkimmäisen indeksin suhteen: ${C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-{C^{\beta }}_{\delta \gamma }$. Tämä pitää aina paikkansa.

Tuossa lainaamassani kirjoituksesessasi on ehto:

$g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }$.

Tuossa voi formaalisti laskea indeksit ja tulkita tuon merkitsevän $C_{\alpha \gamma \delta }=-C_{\gamma \alpha \delta }$ eli C on antisymmetrinen kahden ekan indeksin suhteen.

Mutta mistä tuo ehto tulee?

Yksin tapa lähestyä on seuraava:

Käyttämällä edellisen viestini rakennevakioiden avulla ilmaistua matriisia:

$g_{\alpha \beta }=-{C^{\gamma }}_{\alpha \delta }{C^{\delta }}_{\beta \gamma }$

indeksien laskuun ja lasketaan indeksit tätä matriisia $g_{\alpha \beta }$ käyttäen. Tässä tarvitaan sitä, että $g_{\alpha \beta }$ on kääntyvä tai Killingin muoto K(X,Y) on negatiivisesti definiitti ja saadaan laskemalla tulos $C_{\alpha \gamma \delta }=-C_{\gamma \alpha \delta }$. Tuo on antisymmetrien kahden ekan indeksin vaihdon suhteen. Lisäksi $C_{\alpha \gamma \delta }$ on nyt sitten kirjani mukaan antisymmtrinen kaikkien indeksiparien vaihdon suhteen, en nyt jaksa tarkistaa.

edit: lisätty juttua

[QS]

Näistä kahdesta edellisestä viestistäsi innostuin heti! Paneudun asiaan varmasti, mutta menee kyllä enemmän kuin pari päivää. Tässä on nimittäin asioita, joissa ryhmäteoria ja fysiikka yhdistyvät jälleen kerran hyvinkin kiinnostavalla tavalla.

[QS]

Tämä on todellakin kiinnostava yhteys, ja sisältää mulle entuudestaan tuntemattomia osa-alueita. Siksi keräsin lauseita ja teoreemoja, joiden avulla jatkan asiaan paneutumista. Kirjoitan tähän löytöjäni muidenkin iloksi, sillä näiden joukosta löytyy selkeät yhteydet Weinbergin matriisiin $g_{\alpha \beta }$.

Tuo Killingin muoto $B(X,Y)$ on tosiaankin symmetrinen bilineaarinen 2-muoto, jonka voi ajatella siten, että se on Lien algebraan $\mathfrak{g}=\text{Lie}(G)$ kuuluvien alkioiden sisätulo tai metriikka, ja siten myös symmetrinen (0,2)-tensori.

Killingin muodolla on hyödyllisiä ominaisuuksia kuten se, että $B$ on invariantti Lien algebran automorfismeissa $\text{Aut}(\mathfrak{g})$. Kun automorfismi on $s:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$, niin pätee

$B(s(X),s(Y))=B(X,Y)\mathrm{\forall }X,Y\in \mathfrak{g}$

Lien algebran automorfismi on myös isomorfismi $\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$, joten Killingin muoto $B$ on (käsittäkseni...) sama niille Lien algebroille, jotka ovat isomorfiset.

Toinen ominaisuus on se, että $B$ on Ad-invariantti, mikä tarkoittaa viestissäsi kirjoittamaasi

$\begin{array}{rl}B(s(X),s(Y))& =\text{Tr}(\text{ad}(X),\text{ad}(Y))\\ & =B(X,Y)\end{array}$

Tässä tapauksessa automorfismi $s={\text{Ad}}_g$, joka saadaan Lien ryhmästä $G$ ja sen alkiosta $g\in G$.

Muita asiaan liittyviä lauseita: Lien algebra $\mathfrak{g}$ on yksinkertainen, jos $\mathfrak{g}$ on ei-abelinen ja $\mathfrak{g}$:llä ei ole ideaaleja, jotka ovat epätriviaaleja. Yksinkertaisella Lien algebralla on vain triviaalit ideaalit, jotka ovat $0$ ja $\mathfrak{g}$.

Vaihtoehtoinen määritelmä yksinkertaiselle Lien algebralle on se, että $\mathfrak{g}$:n dimensio on vähintään 2 ja $\mathfrak{g}$:n ideaalit ovat triviaalit. Kaikki yksinkertaiset Lien algebrat ovat myös puoliyksinkertaisia.

Yksinkertainen Lien algebra voidaan määritellä myös siten, että $\mathfrak{g}$ on yksinkertainen jos ja vain jos $\mathfrak{g}$ on ei-abelinen ja sen adjungoitu esitys ${\text{ad}}_{\mathfrak{g}}$ on redusoitumaton.

Puoliyksinkertainen Lien algebra voidaan määritellä siten, että $\mathfrak{g}$ on puoliyksinkertainen jos ja vain jos Killingin muoto $B$ on ei-degeneroitunut (mutta ei välttämättä positiivisesti tai negatiivisesti definiitti). Sisätulon kannalta tuo ei-degeneroituneisuus on oleellinen vaatimus.

Edelliset määrittelyt yhdistyvät seuraavasti: Jos Lien algebra $\mathfrak{g}$ on puoliyksinkertainen, niin $\mathfrak{g}$ on suora summa
$$\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}_1\oplus {\mathfrak{g}}_2\oplus ...\oplus {\mathfrak{g}}_n$$
missä summan osat ${\mathfrak{g}}_i$ ovat yksinkertaisia Lien algebroja, ja $\mathfrak{g}$:n ideaaleja. Kaikki nämä ideaalit ovat Killingin muodon suhteen ortogonaalisia $\mathfrak{g}$:n aliavaruuksia.

Kun tuo puoliyksinkertainen Lien algebra $\mathfrak{g}$ on ideaalien summa, niin $\mathfrak{g}$:n Killingin muoto $B_{\mathfrak{g}}$ saadaan ideaalien Killingin muotojen suorana summana
$$B_{\mathfrak{g}}=B_{\mathfrak{g}\mathfrak{1}}\oplus ...\oplus B_{\mathfrak{gn}}$$
Seuraavaksi kompakteista Lien algebroista. Lien algebra on kompakti, jos se on kompaktin Lien ryhmän algebra. Kompaktin reaalisen Lien algebran Killingin muoto on negatiivisesti semi-definiitti (mutta ei välttämättä definiitti).

Killingin muoto on kuitenkin negatiivisesti definiitti, kun kompaktin Lien algebran $\mathfrak{g}$ keskus $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})$ on triviaali, toisin sanoen $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=0$.

Tämä voidaan ilmaista myös toisin: Killingin muoto $B$ on negatiivisesti definiitti jos ja vain jos kompakti Lien algebra $\mathfrak{g}$ on puoliyksinkertainen.

Ja lopuksi vielä kompaktille Lien algebralle lause, joka yhdistyy suoraan Weinbergin lukuun 15: Olkoon $\mathfrak{g}$ kompakti Lien algebra. Tällöin $\mathfrak{g}$ on ideaaliensa suora summa
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{u}(1)\oplus ...\oplus \mathfrak{u}(1)\oplus {\mathfrak{g}}_1\oplus ...\oplus {\mathfrak{g}}_n$$
missä ${\mathfrak{g}}_n$ ovat kompakteja yksinkertaisia Lien algebroja.

Aivan upeita teoreemoja. Kun jossain välissä on aikaa, niin koetan kirjoittaa eksplisiittisesti sen Weinbergin matriisin $g_{\alpha \beta }$ siten, että lasku perustuu näihin Killingin muotojen ja Lien algebrojen teoreemoihin. Katsotaan miten käy.