Disputator kirjoitti: ↑18.3.2025, 17:37
Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.
Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?
Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:
\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)
Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:
\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)
Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:
\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)
Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)
Vastaavat magneettikentät:
\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)
Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)
Laskemalla saadaan:
\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).
Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?
Tämä muodostamasi erikoinen aalto on kiehtova, joten tein pari konkreettista visualisointia. Tässä oli siis kaksi erillistä tasoaaltoa, +x suuntaan \((E_1, B_2)\) ja +y suuntaan \((E_2, B_2)\). Etumerkkeihin liittyvät konventiot olkoon eri keskusteluhaara.
\(\begin{align*}
\vec E_1(t,x,y,z)&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
\vec B_1(t,x,y,z)&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\\\
\vec E_2(t,x,y,z)&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))\\
\vec B_2(t,x,y,z)&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}\)
Nämä voi piirtää samaan kuvaan siten, että lineaarikombinaatio ei näy. Kuva on periaatteessa virheellinen, kun summa-aalto puuttuu, mutta auttaa orientoitumaan komponenttien suuntiin (y-akseli kuvassa yläoikealle, x-akseli vasemmalta oikealle). E-komponentti on punainen, ja B-komponentti sininen.
- kaksiaaltoa.gif (332.01 KiB) Katsottu 23934 kertaa
Tilanne pitää ajatella siten, että esim +y suuntaan \((E_2, B_2)\) eteneminen tapahtuu kolmessa ulottuvuudessa, ja aalto on 3-dimensioinen tasoaalto. Sen voi ajatella levittyneeksi koko xy-tasoon ja myös koko z-akselille. Kuvan harmaita pisteitä voi tavallaan monistaa kaikkialle xy-tasoon, ja tason edelleen monistaa z-akselin pisteisiin. Ja sama +x suuntaan etenevälle aallolle.
Aalloista muodostuu lineaarikombinaatio
\(\begin{align*}
\vec E(t,x,y,z)&=(E_x,E_y,E_z)=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),E_0 \sin(\omega t-k y))\\\
\vec B(t,x,y,z)&=(B_x,B_y,B_z)=(\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))
\end{align*}\)
Tämäkin on 3-dimensioinen aalto. Poimin kuvaan vain x-akselin (vasemmalta oikealle) pisteet. Voisi poimia minkä tahansa suoran tai tason, mutta valitsin nyt tämän:
- lineaarikombinaatio.gif (271.42 KiB) Katsottu 23934 kertaa
Kuva on hiukan haastava, mutta E-komponentti pyörii yz-tasossa, toisin sanoen E ja x-akseli ovat kaikilla ajanhetkillä kohtisuorassa.
B-komponentti sen sijaan ei yleisesti ottaen ole kohtisuorassa minkään akseliin suhteen, eikä myöskään E-komponentin suhteen. On tosin ajanhetkiä, jolloin E ja B ovat kohtisuorassa, ja ajanhetkiä, jolloin B on yz-tasossa. Nämä on löydettävissä pistetulon lausekkeesta, kun rajoitutaan x-akselille
\(\vec E \cdot \vec B = \dfrac{E_0^2 k}{\omega} \sin (\omega t-kx ) \sin (\omega t)\)
Tämä \((E,B)\) on jännä aalto siinä mielessä, että 3-dimensioisesti en ainakaan löytänyt yksikäsitteistä suuntaa, johon se etenee. Se on eräänlainen "ristiaallokko", jossa on pyörimistäkin. Pitää ihmetellä joskus lisää.
