Otsikon otus on mielenkiintoinen eikä ihan yksinkertainen. Tässä lyhyt alustus aiheeseen, joka sisältää kohtuullisesti Lien ryhmien ja esitysteorian yksityiskohtia.
Ajan suunnan ja avaruuden orientaation säilyttävä Lorentzin ryhmä on \(SO(1,3)^+_\uparrow\), joka tässä alla merkitty yksinkertaisesti \(SO(1,3)\). Vastaava Lien algebra \(\mathfrak{so}(1,3)\) sisältää 6 generaattoria, jotka ovat 4x4 matriiseja. Puskujen generaattorit ovat K1, K2, K3, ja rotaatioiden J1, J2, J3. Lien algebran kommutoinnit voidaan kirjoittaa
\([J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k\)
\([J_i,K_j]=i\epsilon_{ijk}K_k\)
\([K_i,K_j]=-i\epsilon_{ijk}J_k\)
Lorentzryhmän 4x4 matriisi \(\Lambda \in SO(1,3)\) saadaan generaattoreista
\(\Lambda = \exp (i\vec{J} \cdot \vec{\theta}+ i\vec{K} \cdot \vec{\phi})\)
missä generaattorit J = (J1, J2, J3) ja K = (K1, K2, K3) ovat vektorimuodossa. Rotaation ja puskun parametrit ovat vektoreina \(\vec{\theta}\) ja \(\vec{\phi}\). Nämä matriisit \(\Lambda\) muuntavat Minkowskin avaruuden nelivektorit \(x^\mu\) siten, että sisätulo on invariantti
\(x^\mu \eta_{\mu\nu}x^\nu \to x'^\sigma \eta_{\sigma\rho}x'^\rho = (x^\mu \Lambda^\rho_\mu)\eta_{\sigma\rho}(\Lambda^\rho_\nu x^\nu) = x^\mu \eta_{\mu\nu}x^\nu\)
Invarianssi on seuraus Lorentz-symmetriasta. Lien algebran \(\mathfrak{so}(1,3)\) kompleksifikaatio saadaan kirjoittamalla generaattorit N+ ja N-
\(N^{\pm}_i = \frac{1}{2} (J_i \pm iK_i)\)
missä \(N^{\pm}_i\) muodostuu siten, että \(\mathfrak{so}(1,3)\):n generaattori Ji on reaaliosa ja iKi on imaginaariosa. Näin saadaan kommutoinnit
\([N^+_i,N^+_j]=i\epsilon_{ijk}N^+_k\)
\([N^-_i,N^-_j]=i\epsilon_{ijk}N^-_k\)
\([N^+_i,N^-_j]=0\)
mikä on sama kuin rotaatioryhmän SU(2) kompleksifioidulla algebralla \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\). Tämän \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\):n generaattorit saadaan puolestaan rotaatioalgebran \(\mathfrak{su}(2)\) kompleksifikaationa J+ = J1 + iJ2 ja J- = J1 - iJ2. Lien algebran \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) kommutoinnit ovat
\([J_3,J_{\pm}]=\pm J_{\pm}\)
\([J_+,J_-]=2J_3\)
missä generaattori J3 on diagonalisoitu. J+ ja J- ovat kvanttimekaniikan nosto- ja laskuoperaattoreita, jotka kohdistuvat J3:n ominaisvektoreihin. Nyt tuota generaattoreilla \(N^{\pm}_i\) ilmaistua algebraa sanotaan \(\mathfrak{so}(1,3)\):n kompleksifikaatioksi
\(\mathfrak{so}(1,3)_\mathbb{C} \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)
Sanotaan, että ryhmä \(SL(2,\mathbb{C})\) on Lorentzin ryhmän kaksoispeite. Tuossa \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\):ssa on kaksi Lien algebraa, jotka voidaan jakaa kahteen osaan siten, että valitaan toiseen Lien algebraan nk. ½-esitys, ja toiseen skalaariesitys, joka on nk. 0-esitys. Tätä kutsutaan (½,0)-esitykseksi.
Valitaan generaattorit \(N^+_i = \frac{1}{2} (J_i + iK_i)\) edellä mainittuun ½-esitykseen, ja generaattorit \(N^-_i = 0\) vastaavaan 0-esitykseen. Näistä voidaan laskea Lorentzryhmän generaattorit
\(K_i = -\frac{i}{2}\sigma_i\) ja
\(J_i = \frac{1}{2}\sigma_i\)
missä \(\sigma_1\),\(\sigma_2\) ja \(\sigma_3\) ovat Paulin matriiseja. Lorentzryhmän matriisi saadaan näistä generaattoreista
\(\Lambda_{(\frac{1}{2},0)} = \exp (i\vec{\theta} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2} + \vec{\phi} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2})\)
Nämä kompleksiset 2x2 matriisit kuuluvat ryhmään SO(1,3). Niiden esitys on vain eri kuin perusesityksen reaaliset 4x4 matriisit. Matriisi \(\Lambda_{(\frac{1}{2},0)}\) muuntaa kaksi komponenttia sisältävän kompleksisen objektin
\(\chi_L = \begin{pmatrix} (\chi_L)^1 \\ (\chi_L)^2 \end{pmatrix}\)
Nyt sitten toinen mainituista kahdesta Lien algebrasta käsitellään siten, että valitaan ½-esitykseen generaattorit \(N^-_i = \frac{1}{2} (J_i - iK_i)\), ja 0-esitykseen generaattorit \(N^+_i = 0\). Näin saadaan (0,½)-esitys. Tässä esityksessä Lorentzryhmän generaattorit ovat
\(K_i = \frac{i}{2}\sigma_i\) ja
\(J_i = \frac{1}{2}\sigma_i\)
Lorentzryhmän matriisissa puskun etumerkki vaihtuu
\(\Lambda_{(0,\frac{1}{2})} = \exp (i\vec{\theta} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2} - \vec{\phi} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2})\)
Tämä matriisi muuntaa vastaavan kompleksisen objektin
\(\chi_R = \begin{pmatrix} (\chi_R)^1 \\ (\chi_R)^2 \end{pmatrix}\)
Ensiksi mainittu \(\chi_L = \chi_a\) on vasenkiraalinen Weylin spinori, ja \(\chi_R = \chi^{\dot{a}}\) on oikeakiraalinen Weylin spinori. Näille on mahdollista muodostaa nelivektorien tapaan 'spinorimetriikka', jota käyttämällä saadaan invariantti 'spinorien sisätulo', mikä on sekin seuraus Lorentz-symmetriasta.
Notaatiot \(\chi_a\) ja \(\chi^{\dot{a}}\) osoittautuvat käteviksi, kun tehdään spinorien varauskonjugointi ja pariteettimuunnos.
