Hyvää pohdintaa alla ja tuossa kaikessa on ajatusta, kommentoin sitä sitten myöhemmin, mutta laitan nyt jo lainauksen näkyviin, koska allaoleva juttuni sivuaa tuota lainausta.
QS kirjoitti: ↑05 Marras 2023, 18:30
...
Nipussa 1 kaikkien generaattorien matriisit ovat kompleksisia. Tämän seurauksena (reaalisen) Lien algebran \(\mathfrak{so}(1,3)\) kantavektorit K1, K2 ja K3 ovat anti-hermiittisiä, mutta J1, J2 ja J3 ovat hermiittisiä. Esimerkiksi \((K_1)^\dagger=-K_1\), mutta \((J_1)^\dagger=J_1\).
Nipun 2 on reaalisten generaattorien hermiittisyys on toisin päin. Puskujen generaattorit Ki ovat hermiittisiä, mutta rotaatioiden Ji ovat anti-hermiittisiä. Esimerkiksi \((K_1)^\dagger=K_1\), mutta \((J_1)^\dagger=-J_1\).
Nipun 1 kommutoinneissa i takaa sen, että hermiittisten matriisien kommutointi on hermiittinen, esimerkiksi [J1,J2]=i J3. Ilman i-kerrointa kommutointi olisi antihermiittinen.
Nipun 1 generaattoreista saadaan ryhmän SO(1,3) reaaliset 4x4 matriisit lisäämällä matriisieksponentin eteen kerroin i. Esimerkiksi pusku x-akselin suuntaan on reaalinen matriisi \( \Lambda_x(\phi) = \exp (i\phi K_1)\). Nipun 2 generaattoreista vastaava saadaan \(\Lambda_x(\phi) = \exp (\phi K_1)\).
...
Käytän aloitusviestisi kaavoja ja sanoja, heh. Tuossa allaolevassa tuo eksponentti Lorentz-ryhmän matriisille \(\Lambda\). Puuttuuko siitä miinusmerkki?
Nipussa 1:
\([J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k\)
\([J_i,K_j]=i\epsilon_{ijk}K_k\)
\([K_i,K_j]=-i\epsilon_{ijk}J_k\)
Lorentzryhmän 4x4 matriisi \(\Lambda \in SO(1,3)\) saadaan generaattoreista
\(\Lambda = \exp (i\vec{J} \cdot \vec{\theta}+ i\vec{K} \cdot \vec{\phi})\)
Nipussa 2 (tämä on omani):
\([J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k\)
\([J_i,K_j]=\epsilon_{ijk}K_k\)
\([K_i,K_j]=-\epsilon_{ijk}J_k\)
Lorentzryhmän 4x4 matriisi \(\Lambda \in SO(1,3)\) saadaan generaattoreista
\(\Lambda = \exp (\vec{J} \cdot \vec{\theta}+ \vec{K} \cdot \vec{\phi})\)
Tämä nippu 2 exponenttiversio ainakin näyttäisi oikealta, koska siinä kaikki matriisit ovat reaalisia, tai ainakin ne voidaan asettaa sellaisiksi, kun tutkitaan infinitesimaalisia rotaatioita ja puskuja. Kuitenkin \(\Lambda\) voidaan muokata:
\(
\begin{align*}
\Lambda &= \exp (\vec{J} \cdot \vec{\theta}+ \vec{K} \cdot \vec{\phi})\\
\Lambda &= \exp (-i\:i \vec{J} \cdot \vec{\theta} -i\:i\vec{K} \cdot \vec{\phi})\\
\Lambda &= \exp (-i (i \vec{J}) \cdot \vec{\theta} -i (i\vec{K}) \cdot \vec{\phi})\\
\Lambda &= \exp (-i ( (i \vec{J}) \cdot \vec{\theta} + (i\vec{K}) \cdot \vec{\phi}))\\
\end{align*}
\)
Tuo viimeinen muoto näyttää ihan tutulta nippu 1 kaavalta, kun asetetaan
\(i \vec{J}\to \vec{J}\)
\(i \vec{K}\to \vec{K}\),
jolloin uusia notaatioita käyttäen:
\(
\Lambda = \exp (-i ( \vec{J} \cdot \vec{\theta} + \vec{K} \cdot \vec{\phi}))\\
\)
Tämä muoto esiintyy ainakin mun yhdessä lähteessä missä siis on tuo miinusmerkki eksponentissa. En kyllä vieläkään ole varma tuosta, koska noita K ja L matriiseja ei ole mitenkään kiinnitetty välttämättä, ne ovat vain jotain matriiseja, jotka esiintyvät kommutaattoreissa, ainakin jos abstraktiksi heittäytyy. Ne voidaan valita reaalisiksi nipussa 2 siten miten monissa oppikirjoissa tehdään. Mutta mun mielestä tuolla jossain pitäisi olla vielä yksi miinus tai sitten ei, täytyy miettiä asiaa...
EDIT: voi muokata myös näin:
\(
\begin{align*}
\Lambda &= \exp (\vec{J} \cdot \vec{\theta}+ \vec{K} \cdot \vec{\phi})\\
\Lambda &= \exp (-i\:i \vec{J} \cdot \vec{\theta} -i\:i\vec{K} \cdot \vec{\phi})\\
\Lambda &= \exp (-i (i \vec{J}) \cdot \vec{\theta} -i (i\vec{K}) \cdot \vec{\phi})\\
\Lambda &= \exp (i ( (-i \vec{J}) \cdot \vec{\theta} + (-i\vec{K}) \cdot \vec{\phi}))\\
\end{align*}
\)
ja sitten asettaa
\(-i \vec{J}\to \vec{J}\)
\(-i \vec{K}\to \vec{K}\)
jolloin eksponenttikaava olisi:
\(
\Lambda = \exp (i ( \vec{J} \cdot \vec{\theta} + \vec{K} \cdot \vec{\phi})),
\)
siis ilman miinusmerkkiä. hmm. En edes uskalla laskea miten nippu 2 kommutaattorit muuttuisivat kun nuo muutokset tehdään, koska todennäköisesti tämä on päin...
. No ei se mitään sattuuhan sitä.
)