Palsta tarvitsee kyllä yhden klassiseen mekaniikkaan keskittyvän ketjun joten tässä se nyt sitten on. Tähän siis voi kirjoitella kaikenlaista mekaniikkaan liittyvää.
Seuraava tehtävä on mielestäni tulokseltaan todella merkillinen:
Oletetaan Maan vakiopainovoimakenttä ja valitaan koordinaatit siten että y-akselin positiivinen suunta ylös ja x-akseli vaakatasossa.
Oletetaan ideaalisista materiaaleista valmistettu hyvin ohut putki, jonka muoto on annettuna yhtälönä \(y=f(x), x\in [a,b]\) ja tämä putki on kiinnitetty jollain tavalla tukevasti.
Sijoitetaan putken sisälle venymättömästä ja kutistumattomasta ideaalisesta materiaalista sellainen taipuisa "ketju" putken sisään, jossa ketjun pituus on sama kuin putken ja ketju kulkee putken päätepisteestä päätepisteeseen. Oletetaan myös, että ketju voi liukua putkessa kitkattomasti ja ketju on massatiheydeltään homogeeninen eli massan pituustiheys \( \rho\) = vakio.
Osoitettava, että ketju pysyy paikallaan putkessa (ei siis liu'u ulos kummastakaan päästä), jos ja vain jos \(f(a)=f(b)\) eli putken alku-ja loppupisteet sijaitsevat samalla korkeudella, muuten putken muoto (eli \(y=f(x)\)) on mielivaltainen.
Edit:
Mielestäni tuon tehtävän voi muotoilla idealtaan myös vaikka esimerkiksi Linnanmäen vuoristoradan vaunujen muodostaman junan (=ketju) avulla. Toki silloin pitää ajatella hyvin suurta määrää pienen pieniä "vaunuja" ja kitkattomuus jne. Eli on osoitettava että juna pysyy paikallaan jos ja vain jos ensimmäinen ja viimeinen vaunu ovat samalla korkeudella, riippumatta vuoristoradan muodosta.
Sehän on vesivaaka, kun letku täytetään vedellä, sillä voi mitata vaikka 100m pitkän talon perustukset. Eikä tulos muutu vaikka letku olisi paikoin paksumpi tai ohuempi. Ainoa mikä muuttaa on matalapaine, siinä päässä vesi on hiukan korkeammalla.
Kun tarkastellaan ketjua niin siinä muutoksen voi myös tuottaa eri painoiset lenkit, jos lännessä on 1% painavammat lenkit kuin itäpäässä, länsipää uppoaa syvemmälle.
Kun tarkastellaan ketjua niin siinä muutoksen voi myös tuottaa eri painoiset lenkit, jos lännessä on 1% painavammat lenkit kuin itäpäässä, länsipää uppoaa syvemmälle.
Mielenkiintoinen. Muistuttaa etäisesti skalaaripotentiaalin gradienttiin liittyvää teoreemaa. Sanallinen (ehkä vähän kömpelö) muotoiluni: Viivaintegraali käyrää C pitkin konservatiivisessa vektorikentässä \(\textbf{F}\) voidaan laskea käyttämällä vektorikenttään \(\textbf{F} = -\nabla\phi\) liitetyn skalaaripotentiaalin \(\phi\) arvoja käyrän C päätepiseissä.
Vektorikentän tekemä työ polkua C pitkin on
\(\begin{align}
W &= \int_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r}\\
&=- \int_C \nabla\phi\cdot d\textbf{r}\\
&= \phi(b)-\phi(a)
\end{align}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä C. Potentiaalin \(\phi\) arvot C:n alku- ja loppupisteissä ovat \(\phi(a)\) ja \(\phi(b)\).
Tämä ei ehkä sellaisenaan ole tehtävän ratkaisu, mutta ideaa voisi soveltaa. Ketju muodostuu käyrälle \(f\) tasaisesti jakautuneista massapisteistä. Massa per pituusyksikkö on \(\rho\).
Kun kyseessä on vakiopainovoimakenttä \(\textbf{g}\), niin voidaan määritellä painovoima pituusyksikköä kohti
\(\textbf{F} = -\rho g\ \mathbf{\hat y}\)
missä \(g\) on vakio putoamiskiihtyvyys ja \(\mathbf{\hat y}\) on y-akselin suuntainen yksikkövektori. Tämä ei siis ole painovoima vaan painovoima per pituusyksikkö.
Jos nyt ajatellaan ketjun infinitesimaalia siirtymää, ja painovoiman (per pituusyksikkö) tekemää työtä \(dW\), niin voin kirjoittaa
\(dW = \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä \(y=f(x)\). Siirtymävektorin voi kirjoittaa \(d\textbf{r}=(dx,dy)\). Kyseessä on käyrä \(y\), joten \(dy=f'(x)\ dx\). Näin ollen
\(\begin{align}
dW &= \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\\
&= (F_x, F_y) \cdot (dx, dy)\\
&= (0, -\rho g) \cdot (dx, f'(x) dx)\\
&= -\rho g\ f'(x)\ dx\\
\end{align}\)
missä \(\rho\) ja \(g\) ovat vakioita. Tuo \(dW\) on siis painovoiman tekemä työ per infinitesimaali siirtymä. Koko käyrän \(y\) matkalla painovoima tekee työn (excusez-moi jos notaatio ontuva)
\(\begin{align}
W &= \int_y dW\\
&= -g \int_y \rho\ \int_a^b f'(x)\ dx\\\\
&= -mg(\ f(b) - f(a)\ )
\end{align}\)
missä \(m\) on koko ketjun massa. Ketju pysyy paikallaan, kun \(f(a) = f(b)\), jolloin painovoiman nettotyö \(W = 0\).
Vektorikentän tekemä työ polkua C pitkin on
\(\begin{align}
W &= \int_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r}\\
&=- \int_C \nabla\phi\cdot d\textbf{r}\\
&= \phi(b)-\phi(a)
\end{align}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä C. Potentiaalin \(\phi\) arvot C:n alku- ja loppupisteissä ovat \(\phi(a)\) ja \(\phi(b)\).
Tämä ei ehkä sellaisenaan ole tehtävän ratkaisu, mutta ideaa voisi soveltaa. Ketju muodostuu käyrälle \(f\) tasaisesti jakautuneista massapisteistä. Massa per pituusyksikkö on \(\rho\).
Kun kyseessä on vakiopainovoimakenttä \(\textbf{g}\), niin voidaan määritellä painovoima pituusyksikköä kohti
\(\textbf{F} = -\rho g\ \mathbf{\hat y}\)
missä \(g\) on vakio putoamiskiihtyvyys ja \(\mathbf{\hat y}\) on y-akselin suuntainen yksikkövektori. Tämä ei siis ole painovoima vaan painovoima per pituusyksikkö.
Jos nyt ajatellaan ketjun infinitesimaalia siirtymää, ja painovoiman (per pituusyksikkö) tekemää työtä \(dW\), niin voin kirjoittaa
\(dW = \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä \(y=f(x)\). Siirtymävektorin voi kirjoittaa \(d\textbf{r}=(dx,dy)\). Kyseessä on käyrä \(y\), joten \(dy=f'(x)\ dx\). Näin ollen
\(\begin{align}
dW &= \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\\
&= (F_x, F_y) \cdot (dx, dy)\\
&= (0, -\rho g) \cdot (dx, f'(x) dx)\\
&= -\rho g\ f'(x)\ dx\\
\end{align}\)
missä \(\rho\) ja \(g\) ovat vakioita. Tuo \(dW\) on siis painovoiman tekemä työ per infinitesimaali siirtymä. Koko käyrän \(y\) matkalla painovoima tekee työn (excusez-moi jos notaatio ontuva)
\(\begin{align}
W &= \int_y dW\\
&= -g \int_y \rho\ \int_a^b f'(x)\ dx\\\\
&= -mg(\ f(b) - f(a)\ )
\end{align}\)
missä \(m\) on koko ketjun massa. Ketju pysyy paikallaan, kun \(f(a) = f(b)\), jolloin painovoiman nettotyö \(W = 0\).
Mietin ohimennen Newtonin mekaniikan voiman, tehon, liikemäärän ja liike-energian välistä yhteyttä. Voima \(\textbf{F}\) (vektori) ja teho \(P\) (skalaari) määritellään siten, että \(\textbf{F}\) on liikemäärävektorin muutosnopeus, ja \(P\) on liike-energian muutosnopeus. Nämä voidaan kirjoittaa
\(\begin{align}
\textbf{F} &= \frac{d\textbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\textbf{v}) = m \frac{d\textbf{v}}{dt}=m\textbf{a}\\\\
P&=\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\ (\textbf{v}\cdot \textbf{v})\right)
= \frac{1}{2}m\left(\frac{d\textbf{v}}{dt}\cdot\textbf{v}+\textbf{v}\cdot\frac{d\textbf{v}}{dt}\right)
= m\left(\textbf{v}\cdot\frac{d\textbf{v}}{dt}\right) = m\ (\textbf{v}\cdot \textbf{a}) = \textbf{F} \cdot \textbf{v}
\end{align}\)
missä tehon lausekkeissa muun muassa pistetulo \(\textbf{v}\cdot \textbf{a}\) (skalaari), joka ei ole kovin käyttökelpoinen, mutta sen voi sanoa olevan 'liike-energian muutosnopeus per massayksikkö'.
Näitä yhteyksiä on myös pyörimismäärän, pyörimisenergian, momentin, väännön ja tehon välillä, mutta keskityn nyt lineaariseen liikemäärään ja -energiaan.
Voiman \(\textbf{F}\) ja liikemäärään \(\textbf{p}\) yhteys on siis saman kaltainen kuin tehon \(P\) ja energian \(E\). Silti \(\textbf{F}\) on myös tehon lausekkeessa, vaikka voima on liikemäärään kytkeytyvä suure.
Mekaniikassa \(E\) ja \(\textbf{p}\) ovat tietysti perustavanlaatuisia, ja niiden säilymislait saadaan Noetherin lauseesta. Ne ovat kuitenkin erilaisia siinä mielessä, että \(\frac{1}{2}mv^2\) ja \(m\textbf{v}\) ovat peräisin kahdesta eri symmetriasta, ajansiirrosta ja avaruuden translaatioista. Kuitenkin molempien määrittelyssä on vektori \(\textbf{F}\), tai liikemäärän muutos \((d/dt) \textbf{p}\).
Tavallaan vaikuttaa siltä, että liikemäärä olisi 'enemmän perustavanlaatuinen' kuin energia. Tai siltä, että nopeus on 'vielä enemmän perustavanlaatuinen', kun sen muutos on molempien määrittelyssä. Tai kiihtyvyys on 'perustavanlaatuisin', kun siitä nuo aikaderivaatat ovat lähtöisin.
Eräs selitys löytyy relativistisesta neli-liikemäärästä (\(c=1\), \(0\le |\textbf{v}|<1\))
\(P^\mu=(\gamma m, \gamma mv_x,\gamma m v_y, \gamma m v_z)=(\gamma m, \gamma m \textbf{v})\)
missä \(\gamma\) on Lorentz-kerroin. Relativistinen energia ja relativistinen liikemäärä ovat
\(\begin{align}
E &= \gamma m \\
\textbf{p} &= \gamma m\textbf{v}
\end{align}\)
Nämä saadaan niin ikään Noetherin lauseesta, mutta sen lisäksi Lorentz-symmetrian seurauksena on voimassa energia-liikemäärä -relaatio
\(P_\mu P^\mu = -m^2 \Longrightarrow E^2 = |\textbf{p}|^2 + m^2\)
ja liike-energialle \(E_k\) kaava
\(E_k = \sqrt{|\textbf{p}|^2 + m^2}\ -m\)
Tuo on siis kokonaisenergian ja massaenergian erotus. Nyt esimerkiksi neli-liikemäärän \((E,p,0,0)\) komponentit voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana nopeuden \(v=0\) ympäristössä
\(\begin{alignat}{2}
E &= m &&+ \frac{1}{2}m v^2 +\frac{3}{8}m v^4+... \\
p &= 0 &&+ mv +\frac{1}{2}m v^3+\frac{3}{8}m v^5+...
\end{alignat}\)
missä hitaiden nopeuksien ( \(v\approx0\) ) suureet ovat termeinä \(\frac{1}{2}m v^2\) ja \(mv\). Energian termi \(m\) jätetään pois, sillä epärelativistisen kappaleen massaenergia ei vaikuta. Liikemäärässä ensimmäisen kertaluvun termi on riittävän tarkka.
Edellisen lisäksi liike-energia saadaan suoraan myös relativistisen liike-energian \(E_k\) Taylorin sarjasta
\(\frac{1}{2}m v^2+\frac{3}{8}m v^4+...\)
Näillä puheilla voidaan sanoa, että Newtonin mekaniikan liike-energia ja liikemäärä ovat naimisissa siksi, että aika-avaruuden Lorentz-symmetrian pakottaa ne avioliittoon relaation \(E^2 = |\textbf{p}|^2 + m^2\) kautta.
Tämmöistä tuli ihmeteltyä
\(\begin{align}
\textbf{F} &= \frac{d\textbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\textbf{v}) = m \frac{d\textbf{v}}{dt}=m\textbf{a}\\\\
P&=\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\ (\textbf{v}\cdot \textbf{v})\right)
= \frac{1}{2}m\left(\frac{d\textbf{v}}{dt}\cdot\textbf{v}+\textbf{v}\cdot\frac{d\textbf{v}}{dt}\right)
= m\left(\textbf{v}\cdot\frac{d\textbf{v}}{dt}\right) = m\ (\textbf{v}\cdot \textbf{a}) = \textbf{F} \cdot \textbf{v}
\end{align}\)
missä tehon lausekkeissa muun muassa pistetulo \(\textbf{v}\cdot \textbf{a}\) (skalaari), joka ei ole kovin käyttökelpoinen, mutta sen voi sanoa olevan 'liike-energian muutosnopeus per massayksikkö'.
Näitä yhteyksiä on myös pyörimismäärän, pyörimisenergian, momentin, väännön ja tehon välillä, mutta keskityn nyt lineaariseen liikemäärään ja -energiaan.
Voiman \(\textbf{F}\) ja liikemäärään \(\textbf{p}\) yhteys on siis saman kaltainen kuin tehon \(P\) ja energian \(E\). Silti \(\textbf{F}\) on myös tehon lausekkeessa, vaikka voima on liikemäärään kytkeytyvä suure.
Mekaniikassa \(E\) ja \(\textbf{p}\) ovat tietysti perustavanlaatuisia, ja niiden säilymislait saadaan Noetherin lauseesta. Ne ovat kuitenkin erilaisia siinä mielessä, että \(\frac{1}{2}mv^2\) ja \(m\textbf{v}\) ovat peräisin kahdesta eri symmetriasta, ajansiirrosta ja avaruuden translaatioista. Kuitenkin molempien määrittelyssä on vektori \(\textbf{F}\), tai liikemäärän muutos \((d/dt) \textbf{p}\).
Tavallaan vaikuttaa siltä, että liikemäärä olisi 'enemmän perustavanlaatuinen' kuin energia. Tai siltä, että nopeus on 'vielä enemmän perustavanlaatuinen', kun sen muutos on molempien määrittelyssä. Tai kiihtyvyys on 'perustavanlaatuisin', kun siitä nuo aikaderivaatat ovat lähtöisin.
Eräs selitys löytyy relativistisesta neli-liikemäärästä (\(c=1\), \(0\le |\textbf{v}|<1\))
\(P^\mu=(\gamma m, \gamma mv_x,\gamma m v_y, \gamma m v_z)=(\gamma m, \gamma m \textbf{v})\)
missä \(\gamma\) on Lorentz-kerroin. Relativistinen energia ja relativistinen liikemäärä ovat
\(\begin{align}
E &= \gamma m \\
\textbf{p} &= \gamma m\textbf{v}
\end{align}\)
Nämä saadaan niin ikään Noetherin lauseesta, mutta sen lisäksi Lorentz-symmetrian seurauksena on voimassa energia-liikemäärä -relaatio
\(P_\mu P^\mu = -m^2 \Longrightarrow E^2 = |\textbf{p}|^2 + m^2\)
ja liike-energialle \(E_k\) kaava
\(E_k = \sqrt{|\textbf{p}|^2 + m^2}\ -m\)
Tuo on siis kokonaisenergian ja massaenergian erotus. Nyt esimerkiksi neli-liikemäärän \((E,p,0,0)\) komponentit voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana nopeuden \(v=0\) ympäristössä
\(\begin{alignat}{2}
E &= m &&+ \frac{1}{2}m v^2 +\frac{3}{8}m v^4+... \\
p &= 0 &&+ mv +\frac{1}{2}m v^3+\frac{3}{8}m v^5+...
\end{alignat}\)
missä hitaiden nopeuksien ( \(v\approx0\) ) suureet ovat termeinä \(\frac{1}{2}m v^2\) ja \(mv\). Energian termi \(m\) jätetään pois, sillä epärelativistisen kappaleen massaenergia ei vaikuta. Liikemäärässä ensimmäisen kertaluvun termi on riittävän tarkka.
Edellisen lisäksi liike-energia saadaan suoraan myös relativistisen liike-energian \(E_k\) Taylorin sarjasta
\(\frac{1}{2}m v^2+\frac{3}{8}m v^4+...\)
Näillä puheilla voidaan sanoa, että Newtonin mekaniikan liike-energia ja liikemäärä ovat naimisissa siksi, että aika-avaruuden Lorentz-symmetrian pakottaa ne avioliittoon relaation \(E^2 = |\textbf{p}|^2 + m^2\) kautta.
Tämmöistä tuli ihmeteltyä
QS kirjoitti: ↑04 Huhti 2025, 19:12 Mietin ohimennen Newtonin mekaniikan voiman, tehon, liikemäärän ja liike-energian välistä yhteyttä. Voima \(\textbf{F}\) (vektori) ja teho \(P\) (skalaari) määritellään siten, että \(\textbf{F}\) on liikemäärävektorin muutosnopeus, ja \(P\) on liike-energian muutosnopeus. Nämä voidaan kirjoittaa
\(\begin{align}
\textbf{F} &= \frac{d\textbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\textbf{v}) = m \frac{d\textbf{v}}{dt}=m\textbf{a}\\\\
P&=\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\ (\textbf{v}\cdot \textbf{v})\right)
= \frac{1}{2}m\left(\frac{d\textbf{v}}{dt}\cdot\textbf{v}+\textbf{v}\cdot\frac{d\textbf{v}}{dt}\right)
= m\left(\textbf{v}\cdot\frac{d\textbf{v}}{dt}\right) = m\ (\textbf{v}\cdot \textbf{a}) = \textbf{F} \cdot \textbf{v}
\end{align}\)
missä tehon lausekkeissa muun muassa pistetulo \(\textbf{v}\cdot \textbf{a}\) (skalaari), joka ei ole kovin käyttökelpoinen, mutta sen voi sanoa olevan 'liike-energian muutosnopeus per massayksikkö'.
Näitä yhteyksiä on myös pyörimismäärän, pyörimisenergian, momentin, väännön ja tehon välillä, mutta keskityn nyt lineaariseen liikemäärään ja -energiaan.
Voiman \(\textbf{F}\) ja liikemäärään \(\textbf{p}\) yhteys on siis saman kaltainen kuin tehon \(P\) ja energian \(E\). Silti \(\textbf{F}\) on myös tehon lausekkeessa, vaikka voima on liikemäärään kytkeytyvä suure.
Mekaniikassa \(E\) ja \(\textbf{p}\) ovat tietysti perustavanlaatuisia, ja niiden säilymislait saadaan Noetherin lauseesta. Ne ovat kuitenkin erilaisia siinä mielessä, että \(\frac{1}{2}mv^2\) ja \(m\textbf{v}\) ovat peräisin kahdesta eri symmetriasta, ajansiirrosta ja avaruuden translaatioista. Kuitenkin molempien määrittelyssä on vektori \(\textbf{F}\), tai liikemäärän muutos \((d/dt) \textbf{p}\).
Tavallaan vaikuttaa siltä, että liikemäärä olisi 'enemmän perustavanlaatuinen' kuin energia. Tai siltä, että nopeus on 'vielä enemmän perustavanlaatuinen', kun sen muutos on molempien määrittelyssä. Tai kiihtyvyys on 'perustavanlaatuisin', kun siitä nuo aikaderivaatat ovat lähtöisin.
Eräs selitys löytyy relativistisesta neli-liikemäärästä (\(c=1\), \(0\le |\textbf{v}|<1\))
\(P^\mu=(\gamma m, \gamma mv_x,\gamma m v_y, \gamma m v_z)=(\gamma m, \gamma m \textbf{v})\)
missä \(\gamma\) on Lorentz-kerroin. Relativistinen energia ja relativistinen liikemäärä ovat
\(\begin{align}
E &= \gamma m \\
\textbf{p} &= \gamma m\textbf{v}
\end{align}\)
Nämä saadaan niin ikään Noetherin lauseesta, mutta sen lisäksi Lorentz-symmetrian seurauksena on voimassa energia-liikemäärä -relaatio
\(P_\mu P^\mu = -m^2 \Longrightarrow E^2 = |\textbf{p}|^2 + m^2\)
ja liike-energialle \(E_k\) kaava
\(E_k = \sqrt{|\textbf{p}|^2 + m^2}\ -m\)
Tuo on siis kokonaisenergian ja massaenergian erotus. Nyt esimerkiksi neli-liikemäärän \((E,p,0,0)\) komponentit voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana nopeuden \(v=0\) ympäristössä
\(\begin{alignat}{2}
E &= m &&+ \frac{1}{2}m v^2 +\frac{3}{8}m v^4+... \\
p &= 0 &&+ mv +\frac{1}{2}m v^3+\frac{3}{8}m v^5+...
\end{alignat}\)
missä hitaiden nopeuksien ( \(v\approx0\) ) suureet ovat termeinä \(\frac{1}{2}m v^2\) ja \(mv\). Energian termi \(m\) jätetään pois, sillä epärelativistisen kappaleen massaenergia ei vaikuta. Liikemäärässä ensimmäisen kertaluvun termi on riittävän tarkka.
Edellisen lisäksi liike-energia saadaan suoraan myös relativistisen liike-energian \(E_k\) Taylorin sarjasta
\(\frac{1}{2}m v^2+\frac{3}{8}m v^4+...\)
Näillä puheilla voidaan sanoa, että Newtonin mekaniikan liike-energia ja liikemäärä ovat naimisissa siksi, että aika-avaruuden Lorentz-symmetrian pakottaa ne avioliittoon relaation \(E^2 = |\textbf{p}|^2 + m^2\) kautta.
Tämmöistä tuli ihmeteltyä
Hyvin ihmetelty.
Perustavanlaatuisia ovat vain ilmiöt, joiden mitta näkyy invarianttina kaikille mittaajille. Klassisesta mekaniikasta sellaisia ovat massa ja kiihtyvyys, kun massa on suljetun kappalevalinnan lepomassa ja kiihtyys on itseiskiihtyvyys. Noin ollen luonnon perusvuorovaikutukset näkyvät "itseis"voimina kuten sähköheikon voiman sidos ja ydinvoiman sidos.
Tuolla perusteella gravitaatio ei ole perusvuorovaikutus, koska sen näennäinen kiihtyvyys riippuu kappalevalinnasta ja integraatiolaajuudesta. Sen sijaan paikallinen massatiheys voisi olla invariantti ja antaisi baryonisen aineen ulkopuolella tyhjölle pimeän rakenneaineen massatiheyden.
Yleistä suhteellisuutta voidaan korjata niin, ettei käsitetä kenttää joidenkin tihentymien heijasteeksi vaan päinvastoin tihentymät ovat jakaumakehityksen heijaste ja paikallistuvien tapahtumien muutosvirrat tyhjöenergiavuona säilyttävät riittävän muistin valonlaatuisina invariantteina nollageodeeseina, jotka määrittävät hitaammille liikkeille suhteelliset muut geodeesit.
Kyllähän relativistinenkin mekaniikka on mekaniikkaa...
Perustavanlaatuisia ovat vain ilmiöt, joiden mitta näkyy invarianttina kaikille mittaajille. Klassisesta mekaniikasta sellaisia ovat massa ja kiihtyvyys, kun massa on suljetun kappalevalinnan lepomassa ja kiihtyys on itseiskiihtyvyys. Noin ollen luonnon perusvuorovaikutukset näkyvät "itseis"voimina kuten sähköheikon voiman sidos ja ydinvoiman sidos.
Tuolla perusteella gravitaatio ei ole perusvuorovaikutus, koska sen näennäinen kiihtyvyys riippuu kappalevalinnasta ja integraatiolaajuudesta. Sen sijaan paikallinen massatiheys voisi olla invariantti ja antaisi baryonisen aineen ulkopuolella tyhjölle pimeän rakenneaineen massatiheyden.
Yleistä suhteellisuutta voidaan korjata niin, ettei käsitetä kenttää joidenkin tihentymien heijasteeksi vaan päinvastoin tihentymät ovat jakaumakehityksen heijaste ja paikallistuvien tapahtumien muutosvirrat tyhjöenergiavuona säilyttävät riittävän muistin valonlaatuisina invariantteina nollageodeeseina, jotka määrittävät hitaammille liikkeille suhteelliset muut geodeesit.
Kyllähän relativistinenkin mekaniikka on mekaniikkaa...
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Iltapäivää, jotain alla olevaa haettiin.
Itse asiassa tuo päättely muistuttaa hyvin paljon statiikan virtuaalisen työn periaatetta, joka on menettelytapa johtaa tasapainoehtoja mekaniikan tehtävissä.
Usein mekaaninen tehtävä sisältää tunnettuja voimia kuten gravitaatio ja sitten suuruudeltaan tuntemattomia voimia, kuten esimerkiksi tukivoimat tms. jotka esiintyvät Newtonin lakien mukaisissa tasapainoehdoissa. Kyseiset voimat on jotenkin ratkaistava, jotta voidaan esittää tasapainoehto Newtonin lakien mukaan.
Virtuaalisen työn periaate on näppärä formalismi, jossa (ainakin ideaalisten) tukivoimien vaikutus eliminoituu ja voidaan päätellä tasapainoehto, ilman tukivoimien lausekkeiden tuntemusta!
Periaate on idealtaan hyvin vanha (satoja vuosia) ja se on myös ollut eräänä perustana mekaniikan variaatioperiaatteille. D'Alembert formuloi hänen mukaansa nimetyn mekaniikan formuloinnin, jossa systeemin liikeyhtälöt voidaan johtaa. Hän yleisti statiikan virtuaalisen työn formalismin dynaamiseen tapaukseen, ja johti siten (tai nykyään johdetaan) siitä sitten esimerkiksi Lagrangen liikeyhtälöt.
QS kirjoitti: ↑03 Huhti 2025, 18:10 Mielenkiintoinen. Muistuttaa etäisesti skalaaripotentiaalin gradienttiin liittyvää teoreemaa. Sanallinen (ehkä vähän kömpelö) muotoiluni: Viivaintegraali käyrää C pitkin konservatiivisessa vektorikentässä \(\textbf{F}\) voidaan laskea käyttämällä vektorikenttään \(\textbf{F} = -\nabla\phi\) liitetyn skalaaripotentiaalin \(\phi\) arvoja käyrän C päätepiseissä.
Vektorikentän tekemä työ polkua C pitkin on
\(\begin{align}
W &= \int_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r}\\
&=- \int_C \nabla\phi\cdot d\textbf{r}\\
&= \phi(b)-\phi(a)
\end{align}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä C. Potentiaalin \(\phi\) arvot C:n alku- ja loppupisteissä ovat \(\phi(a)\) ja \(\phi(b)\).
Tämä ei ehkä sellaisenaan ole tehtävän ratkaisu, mutta ideaa voisi soveltaa. Ketju muodostuu käyrälle \(f\) tasaisesti jakautuneista massapisteistä. Massa per pituusyksikkö on \(\rho\).
Kun kyseessä on vakiopainovoimakenttä \(\textbf{g}\), niin voidaan määritellä painovoima pituusyksikköä kohti
\(\textbf{F} = -\rho g\ \mathbf{\hat y}\)
missä \(g\) on vakio putoamiskiihtyvyys ja \(\mathbf{\hat y}\) on y-akselin suuntainen yksikkövektori. Tämä ei siis ole painovoima vaan painovoima per pituusyksikkö.
Jos nyt ajatellaan ketjun infinitesimaalia siirtymää, ja painovoiman (per pituusyksikkö) tekemää työtä \(dW\), niin voin kirjoittaa
\(dW = \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä \(y=f(x)\). Siirtymävektorin voi kirjoittaa \(d\textbf{r}=(dx,dy)\). Kyseessä on käyrä \(y\), joten \(dy=f'(x)\ dx\). Näin ollen
\(\begin{align}
dW &= \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\\
&= (F_x, F_y) \cdot (dx, dy)\\
&= (0, -\rho g) \cdot (dx, f'(x) dx)\\
&= -\rho g\ f'(x)\ dx\\
\end{align}\)
missä \(\rho\) ja \(g\) ovat vakioita. Tuo \(dW\) on siis painovoiman tekemä työ per infinitesimaali siirtymä. Koko käyrän \(y\) matkalla painovoima tekee työn (excusez-moi jos notaatio ontuva)
\(\begin{align}
W &= \int_y dW\\
&= -g \int_y \rho\ \int_a^b f'(x)\ dx\\\\
&= -mg(\ f(b) - f(a)\ )
\end{align}\)
missä \(m\) on koko ketjun massa. Ketju pysyy paikallaan, kun \(f(a) = f(b)\), jolloin painovoiman nettotyö \(W = 0\).
Usein mekaaninen tehtävä sisältää tunnettuja voimia kuten gravitaatio ja sitten suuruudeltaan tuntemattomia voimia, kuten esimerkiksi tukivoimat tms. jotka esiintyvät Newtonin lakien mukaisissa tasapainoehdoissa. Kyseiset voimat on jotenkin ratkaistava, jotta voidaan esittää tasapainoehto Newtonin lakien mukaan.
Virtuaalisen työn periaate on näppärä formalismi, jossa (ainakin ideaalisten) tukivoimien vaikutus eliminoituu ja voidaan päätellä tasapainoehto, ilman tukivoimien lausekkeiden tuntemusta!
Periaate on idealtaan hyvin vanha (satoja vuosia) ja se on myös ollut eräänä perustana mekaniikan variaatioperiaatteille. D'Alembert formuloi hänen mukaansa nimetyn mekaniikan formuloinnin, jossa systeemin liikeyhtälöt voidaan johtaa. Hän yleisti statiikan virtuaalisen työn formalismin dynaamiseen tapaukseen, ja johti siten (tai nykyään johdetaan) siitä sitten esimerkiksi Lagrangen liikeyhtälöt.
SI Resurrection!
pähkäilijä kirjoitti: ↑03 Huhti 2025, 17:55 Sehän on vesivaaka, kun letku täytetään vedellä, sillä voi mitata vaikka 100m pitkän talon perustukset. Eikä tulos muutu vaikka letku olisi paikoin paksumpi tai ohuempi. Ainoa mikä muuttaa on matalapaine, siinä päässä vesi on hiukan korkeammalla.
Kun tarkastellaan ketjua niin siinä muutoksen voi myös tuottaa eri painoiset lenkit, jos lännessä on 1% painavammat lenkit kuin itäpäässä, länsipää uppoaa syvemmälle.
Voiko ideaa yleistää?
Mielestäni tässä on yleistäessä kuitenkin jonkinlainen virheellisen päättelyn vaara, jos ketjua tarkastellaan jonkin mielivaltaisen kukkulan pinnnalla, ilman että ketju on jonkun kiinteän putken sisällä, siis onko ketju tasapainossa, jos ylä-ja alapää ovat samalla korkeudella? Hyvin todennäköisesti ei, mutta en tiedä varmasti.
Tuollekkin löytyy kyllä teoriaa, joka yleistää tavallisen ketjukäyrän teorian, jossa siis on ripustettu ketju kahden tolpan välille. Täytyypä yrittää tutustua asiaan tarkemmin.
SI Resurrection!
Disputator kirjoitti: ↑13 Huhti 2025, 15:41pähkäilijä kirjoitti: ↑03 Huhti 2025, 17:55 Sehän on vesivaaka, kun letku täytetään vedellä, sillä voi mitata vaikka 100m pitkän talon perustukset. Eikä tulos muutu vaikka letku olisi paikoin paksumpi tai ohuempi. Ainoa mikä muuttaa on matalapaine, siinä päässä vesi on hiukan korkeammalla.
Kun tarkastellaan ketjua niin siinä muutoksen voi myös tuottaa eri painoiset lenkit, jos lännessä on 1% painavammat lenkit kuin itäpäässä, länsipää uppoaa syvemmälle.Kyllä, vesivaaka on eräänlainen sovellus tästä. Vesi on kuitenkin olemukseltaan juoksevaa, joten kukkulan korkeimman kohdan kummallekkin puolelle asetettu vedellä täytetty putki tyhjenee päistään, kun taas samaan paikkaan asetettu ideaalinen ketju on joko tasapainossa, tai lähtee sitten putoamaan jompaan kumpaan suuntaan. Tässä siis ketju on pakotettu jonkinlaiseen yksiulotteiseen putkeen.
Voiko ideaa yleistää?
Mielestäni tässä on yleistäessä kuitenkin jonkinlainen virheellisen päättelyn vaara, jos ketjua tarkastellaan jonkin mielivaltaisen kukkulan pinnnalla, ilman että ketju on jonkun kiinteän putken sisällä, siis onko ketju tasapainossa, jos ylä-ja alapää ovat samalla korkeudella? Hyvin todennäköisesti ei, mutta en tiedä varmasti.
Tuollekkin löytyy kyllä teoriaa, joka yleistää tavallisen ketjukäyrän teorian, jossa siis on ripustettu ketju kahden tolpan välille. Täytyypä yrittää tutustua asiaan tarkemmin.
Kun vedellä vaakitetaan talon perustukset, samaa voi soveltaa ketjuun. Ääriesimerkki on 1km halli liki tasangolla, jos maa nousee vaikka 0,5m/km niin letku lojuu maassa ja matalammassa päässä kännetään vaikka äkkijyrkästi ylös niin pinta ei nouse ylemmäs korkeampaa päätä. Siis vaikka äkkijyrkkä osuus on vain 0,5m, se pystyy vastustamaan 1000m:n tuottamaa painetta kun se 1000m on tarpeeksi loiva mäki. Saman voi soveltaa ketjuun. Myöskään letkun kiemurtelu tai kumpareiden ylitykset ei muuta mittaustarkkuutta. Tosin nykyään mittaukset taidetaan tehdä lasereilla mutta ne ei yllä samaan tarkkuuteen kuin letku jos veden lämpö on vakio.
Toisessa ketjussa näkyi villejä ideoita lentokoneista ja katapulteista, josta tuli mieleen eräs näkemäni tehtävä, mikä ei liity mitenkään katapultteihin. Suomen kielen käsitteet ilmanopeus, maanopeus ja tuulen nopeus selitän alla, jotta vauhti/nopeus -sanoihin ei jää tulkinnan varaa (airspeed, groundspeed, wind speed).
Kaksi lentokonetta A ja B lentävät korkeutensa säilyttäen hiukan eri korkeuksilla. Jossakin paikassa niiden lentoradat leikkaavat, kun tarkastellaan lentoratoja maan pinnalla xy-tasossa. Tuulen nopeus(-vektori) \(\vec w\) on sama molemmilla korkeuksilla, ja se on vakio.
Koneiden A ja B ilmanopeus (vektorin suuruus ilmavirran suhteen, vauhti) on sama, mutta vektoreina ilmanopeudet eivät ole samat. Koneiden maanopeudet (vektorin suuruus maan pinnan suhteen, vauhti) poikkeavat siten, että koneen A maanopeus on \(|v_1|\) ja koneen B maanopeus on \(|v_2|\). Vektorien \(\vec v_1\) ja \(\vec v_2\) välinen kulma on \(\alpha\).
Kysymys on pottumaisen lyhyt: Mikä on edellä annettujen tietojen perusteella pienin mahdollinen tuulen nopeus \(|w|\) (tuulen nopeusvektorin suuruus) ?
Kaksi lentokonetta A ja B lentävät korkeutensa säilyttäen hiukan eri korkeuksilla. Jossakin paikassa niiden lentoradat leikkaavat, kun tarkastellaan lentoratoja maan pinnalla xy-tasossa. Tuulen nopeus(-vektori) \(\vec w\) on sama molemmilla korkeuksilla, ja se on vakio.
Koneiden A ja B ilmanopeus (vektorin suuruus ilmavirran suhteen, vauhti) on sama, mutta vektoreina ilmanopeudet eivät ole samat. Koneiden maanopeudet (vektorin suuruus maan pinnan suhteen, vauhti) poikkeavat siten, että koneen A maanopeus on \(|v_1|\) ja koneen B maanopeus on \(|v_2|\). Vektorien \(\vec v_1\) ja \(\vec v_2\) välinen kulma on \(\alpha\).
Kysymys on pottumaisen lyhyt: Mikä on edellä annettujen tietojen perusteella pienin mahdollinen tuulen nopeus \(|w|\) (tuulen nopeusvektorin suuruus) ?
Edelliseen tehtävään liittyen: Sain lyhimmäksi mahdolliseksi tuulivektoriksi \(\mathbf w = \dfrac{|\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2}{2|\mathbf v_1-\mathbf v_2|^2}\ (\mathbf v_1-\mathbf v_2)\). Tästä saa muodostettua normin \(|\mathbf w|\) lausekkeen, jossa käytetään vain annettuja arvoja \(v_1\), \(v_2\) ja \(\alpha\).
Kun aikanaan ensimmäisen kerran tuon tehtävän näin ja ratkaisin, niin oli mielestäni yllättävän vaativa, vaikka setuppi on helpon näköinen.
Kun aikanaan ensimmäisen kerran tuon tehtävän näin ja ratkaisin, niin oli mielestäni yllättävän vaativa, vaikka setuppi on helpon näköinen.