Ehkä kuitenkin avaan ratkaisuni. Saako tämän laskettua myös helpommin, todennäköisesti saa? Merkitään maanopeusvektori \(\mathbf v\), ilmanopeus \(\mathbf u\) ja tuulen nopeus \(\mathbf w\). Tehtävän ehdot näille ovat
\(\begin{align}
\mathbf v_1&=\mathbf u_1+\mathbf w \tag{1}\\
\mathbf v_2&=\mathbf u_2+\mathbf w \tag{2}\\
|\mathbf u_1|&=|\mathbf u_2| \tag{3}
\end{align}\)
Ehdoista (1) ja (2) seuraa
\(\begin{align}
\mathbf u_1&=\mathbf v_1-\mathbf w \\
\mathbf u_2&=\mathbf v_2-\mathbf w
\end{align}\)
jotka voidaan ehdon (3) perusteella kirjoittaa myös
\(|\mathbf v_1-\mathbf w| = |\mathbf v_2-\mathbf w|\)
Vektorit ja normit tulevat usein näkyviin, kun korotetaan toiseen potenssiin
\(\begin{align}
|\mathbf v_1-\mathbf w|^2 &= |\mathbf v_2-\mathbf w|^2 \\
|\mathbf v_1|^2-2\mathbf v_1\cdot\mathbf w + |\mathbf w|^2 &= |\mathbf v_2|^2-2\mathbf v_2\cdot\mathbf w + |\mathbf w|^2 \\
2(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot \mathbf w +|\mathbf v_2|^2-|\mathbf v_1|^2&= 0
\end{align}\)
Tässä kuitenkin käy niin, että \(|\mathbf w|^2\) poistuu yhtälöstä. Mutta pistetulon \((\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot \mathbf w\) kautta ongelmaan voi päästä käsiksi. Tavoite on minimoida vektorin \(\mathbf w\) normi \(|\mathbf w|\). Tämä on tavallaan optimointitehtävä, joten mikään ei estä Lagrangen menetelmän käyttöä. Tästä muodostuu nimittäin koulukirjaesimerkin kaltainen Lagrangen funktio.
Kirjoitetaan vektorit komponenttimuodossa siten, että \(\mathbf w =(x,y)\) ja \(\mathbf v_1-\mathbf v_2=(b_1,b_2)\). Optimoinnin kannalta \(b_1\), \(b_2\) ja viimeinen termi \(c = |\mathbf v_2|^2-|\mathbf v_1|^2\) ovat vakioita.
Määritellään optimoitava funktio \(f(x,y)\), ja valitaan rajoitusfunktio \(g(x,y)\) siten, että se on tehtävässä annettu, ja edellä auki laskettu normien välinen ehto. Funktiot ovat
\(\begin{align}
f(x,y)&=|\mathbf w|^2=x^2+y^2 \\
g(x,y)&=2(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot \mathbf w +|\mathbf v_2|^2-|\mathbf v_1|^2=2(b_1x+b_2y)+c
\end{align}\)
ja Lagrangen funktio on
\(\begin{align}
L(x,y,\lambda)&=f(x,y)+\lambda g(x,y)\\
&=x^2+y^2+2\lambda (b_1x+b_2y + \frac{c}{2})
\end{align}\)
missä \(\lambda\) on Lagrangen kerroin. Funktion \(f(x,y)\) minimi ratkaistaan yhtälöstä \(\nabla_{x,y,\lambda} L(x,y,\lambda) = 0\). Tässä tapauksessa
\(\begin{align}
\nabla_{x,y,\lambda} L(x,y,\lambda)&=\left(\frac{\partial L}{\partial x},\frac{\partial L}{\partial y},\frac{\partial L}{\partial \lambda}\right)\\
&=\left(2x+2\lambda b_1,\ 2y+2\lambda b_2,\ 2b_1 x + 2b_2 y + c\right)
\end{align}\)
Kirjoitetaan gradientin nollakohdalle kolmen yhtälön ryhmä
\(\begin{cases}
\begin{align}
2x+2\lambda b_1&=0\\
2y+2\lambda b_2&=0\\
2b_1 x + 2b_2 y + c&=0
\end{align}
\end{cases}\)
Ratkaisuna saadaan Lagrangen kerroin
\(\lambda = \dfrac{c}{2(b_1^2+b_2^2)} = \dfrac{c}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}=\dfrac{|\mathbf v_2|^2-|\mathbf v_1|^2}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}\)
ja vektorin \(\mathbf w\) komponentit
\(\begin{align}
x&=\frac{|\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}\ b_1\\\\
y&=\frac{|\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}\ b_2
\end{align}\)
Nyt voidaan kirjoittaa minimoitu vektori
\(\mathbf w_{min} = (x,y) = \dfrac{|\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}\ (b_1, b_2) = \dfrac{|\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}(\mathbf v_1 - \mathbf v_2)\)
ja tehtävässä kysytty normi
$$\begin{align}
|\mathbf w_{min}| &= \left| \frac{|\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|^2}\right|\ |\mathbf v_1 - \mathbf v_2|\\\\
&= \frac{|\ |\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2\ |}{2|\mathbf v_1 - \mathbf v_2|}\\\\
&=\frac{|\ |\mathbf v_1|^2-|\mathbf v_2|^2\ |}{2\sqrt{|\mathbf v_1|^2+|\mathbf v_2|^2-2|\mathbf v_1||\mathbf v_2|\cos \alpha}}
\end{align}$$
Tämän normin neliö on tuo edellä minimoitu funktio \(f_{min}(x,y)\). Tätä pienempi arvo johtaa siihen, että tehtävässä annettu ehto (3) ei pysy voimassa, vaikka muut vektorit ovat kelvollisia. Tuo ehto \(|\mathbf u_1|=|\mathbf u_2|\) oli Lagrangen rajoitusehtona.
