Noetherin lause kertoo, että jos fysikaalisella systeemillä on jatkuvia symmetrioita, niin systeemillä on säilyviä suureita eli liikevakiota. Klassisessa mekaniikassa jos esimerkiksi systeemillä on ajan translaatiosymmetria niin Noetherin lauseen avulla voidaan määrittää vastaava säilyvä suure, joka on mekaaninen kokonaisenergia E.
Joskus aikoja sitten oli vanhalla, jo bittiavaruuteen päätyneellä palstalla suurinpiirtein otsikon aihepiirejä käsittelevä ketju. Tuossa keskustelussa ilmeni monia mielenkiintoisia juttuja ja muistan tuolloin olleeni hieman hukassa esimerkiksi tuon Noetherin lauseen eri muunnelmien kanssa. Fyysikoiden argumentaatio oli vaan jotenkin välillä niin hämmentävää, siis mulle. Tuolloin sain johdettua Noetherin teoreeman mukaisia säilymislakeja perustuen ihan variaatiolaskennan kirjani avulla, mutta fyysikot taasen johtivat samat säilymislait omalla argumentaatiollaan, joka oli samankaltaista mutta ei kuitenkaan samaa argumentaatiota. Tämä jäi vaivaamaan silloin ja vaivaa edelleenkin, mutta löysin jonkinlaisen aasinsillan eräästä kirjasta joka sanallisesti toteaa kummankin lähestymistavan toimivuuden.
Ajattelin tässä avata siis ketjun aiheesta ja tulen kirjoittamaan tähän myöhemmin enemmänkin, mutta laitan nyt tämän avauksen vaan tähän ilman mitään sen kummempia alustuksia. Lagrangen mekaniikassa (massapistemekaniikassa) vaikutus S voidaan määritellä konfiguraatioavaruuden TM integraalina:
\(S(q)=\int_a^b L(q(t),q'(t),t) dt=\int_a^b L(q,q',t) dt\).
Nyt Lagrangen funktiolla L voi olla symmetrioita tai se on invariantti (määritellään myöhemmin) ja vaikutusintegraali S voi olla invariantti tiettyjen muunnosten suhteen, tai se voi olla enemmän tai vähemmän "riittävästi" invariantti, jotta muunnokset johtaisivat säilymislakeihin. En nyt määrittele tässä käsitteitä sen tarkemmin, koska avausjutusta tulee liian pitkä ja toisaalta eri lähteet käyttävät toisistaan poikkeavaa terminologiaa, joten mitään kattavaa alustusta on hankalaa tehdä.
Disputator kirjoitti: ↑04 Touko 2025, 14:07 Noetherin lause kertoo, että jos fysikaalisella systeemillä on jatkuvia symmetrioita, niin systeemillä on säilyviä suureita eli liikevakiota. Klassisessa mekaniikassa jos esimerkiksi systeemillä on ajan translaatiosymmetria niin Noetherin lauseen avulla voidaan määrittää vastaava säilyvä suure, joka on mekaaninen kokonaisenergia E.
Joskus aikoja sitten oli vanhalla, jo bittiavaruuteen päätyneellä palstalla suurinpiirtein otsikon aihepiirejä käsittelevä ketju. Tuossa keskustelussa ilmeni monia mielenkiintoisia juttuja ja muistan tuolloin olleeni hieman hukassa esimerkiksi tuon Noetherin lauseen eri muunnelmien kanssa. Fyysikoiden argumentaatio oli vaan jotenkin välillä niin hämmentävää, siis mulle. Tuolloin sain johdettua Noetherin teoreeman mukaisia säilymislakeja perustuen ihan variaatiolaskennan kirjani avulla, mutta fyysikot taasen johtivat samat säilymislait omalla argumentaatiollaan, joka oli samankaltaista mutta ei kuitenkaan samaa argumentaatiota. Tämä jäi vaivaamaan silloin ja vaivaa edelleenkin, mutta löysin jonkinlaisen aasinsillan eräästä kirjasta joka sanallisesti toteaa kummankin lähestymistavan toimivuuden.
Ajattelin tässä avata siis ketjun aiheesta ja tulen kirjoittamaan tähän myöhemmin enemmänkin, mutta laitan nyt tämän avauksen vaan tähän ilman mitään sen kummempia alustuksia. Lagrangen mekaniikassa (massapistemekaniikassa) vaikutus S voidaan määritellä konfiguraatioavaruuden TM integraalina:
\(S(q)=\int_a^b L(q(t),q'(t),t) dt=\int_a^b L(q,q',t) dt\).
Nyt Lagrangen funktiolla L voi olla symmetrioita tai se on invariantti (määritellään myöhemmin) ja vaikutusintegraali S voi olla invariantti tiettyjen muunnosten suhteen, tai se voi olla enemmän tai vähemmän "riittävästi" invariantti, jotta muunnokset johtaisivat säilymislakeihin. En nyt määrittele tässä käsitteitä sen tarkemmin, koska avausjutusta tulee liian pitkä ja toisaalta eri lähteet käyttävät toisistaan poikkeavaa terminologiaa, joten mitään kattavaa alustusta on hankalaa tehdä.
Ehkä funktio voisi olla kovarianssi, mutta kun valitset ajan ja integrointirajat, valitset erään koordinaatiston, eikä energiaintegraali voi olla invariantti määrä. Kovarianssi voi antaa 4-säilyvän virran, vaikka eri koordinaatistoissa se omaan mittakaavaan projisoituna näkyisikin eri energiamäärin. Kovariantit derivaatat näissä jylläävät.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Aamupäivää! Laitan tähän lämmittelyksi ihan pari juttua.
Olkoon annettuna seuraava variaatiotehtävä: Määrättävä ekstremaali seuraavalle funktionaalille
\(J(q)= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q(t),q'(t))dt\)
tai
\(J(q)= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q_{1}(t),\cdots q_{n}(t),q_{1}'(t),\cdots, q_{n}'(t))dt\)
kun \(q(t_0)=q^0\) ja \(q(t_1)=q^1\) ovat annettuja (reunaehdot). Voidaan olettaa kaiken tarpeellisen olevan riittävästi derivoituvia jne. Lisäksi ylläolevassa q tarkoittaa vektoria \(q=(q_1,\cdots,q_n)\), mutta jätän toisinaan komponentit pois notaation keventämiseksi.
Tämä on ihan perusvariaatiotehtävä (merkkaan tässä funktionaalia traditionaalisesti J:llä, mutta käytän kuitenkin Lagrangen funktiota L yleisen f:n sijasta ).
Kuten tunnettua, tehtävän ratkaisu \(q=q(t)\) saadaan Euler-Lagrangen yhtälöistä:
$$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$
Tarkastellaan seuraavassa tilannetta, jossa \(n=1\). Kun \(L\) ei riipu suureesta q eli \(L=L(t,q')\), Euler-Lagrangen yhtälöstä saadaan:
\(f_1(t,\dot{q})=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} =C_1\) on vakio.
Tarkastellaan sitten seuraavaa tilannetta, jossa edelleen \(n=1\). Kun \(L\) ei riipu suureesta t eli \(L=L(q,q')\), niin Euler-Lagrangen yhtälön avulla voidaan osoittaa (suora derivointi t:n suhteen) seuraavan olevan myös liikevakio:
\(f_2(q,\dot{q})=\dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-L=C_2\) on vakio.
Fyysikot tunnistavat nuo vakiot mekaanisen tehtävän tapauksessa liikemääräksi ja energiaksi.
Vaikka nuo päättelyt olivat tavallaan helppoja, niin noissa on jo nähtävillä joitain Noetherin teoreeman peruspalikoita.
Lopuksi, noihin kahteen voi vielä lisätä kolmannen tapauksen, jossa L ei riipu suureesta \(\dot{q}\), jolloin \(L=L(t,q)\) ja Euler-Lagrangen yhtälöstä saadaan:
\(\frac{\partial L}{\partial q}=0\), mikä on tavallinen yhtälö, josta voidaan ratkaista \(q=q(t)\).
Olkoon annettuna seuraava variaatiotehtävä: Määrättävä ekstremaali seuraavalle funktionaalille
\(J(q)= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q(t),q'(t))dt\)
tai
\(J(q)= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q_{1}(t),\cdots q_{n}(t),q_{1}'(t),\cdots, q_{n}'(t))dt\)
kun \(q(t_0)=q^0\) ja \(q(t_1)=q^1\) ovat annettuja (reunaehdot). Voidaan olettaa kaiken tarpeellisen olevan riittävästi derivoituvia jne. Lisäksi ylläolevassa q tarkoittaa vektoria \(q=(q_1,\cdots,q_n)\), mutta jätän toisinaan komponentit pois notaation keventämiseksi.
Tämä on ihan perusvariaatiotehtävä (merkkaan tässä funktionaalia traditionaalisesti J:llä, mutta käytän kuitenkin Lagrangen funktiota L yleisen f:n sijasta ).
Kuten tunnettua, tehtävän ratkaisu \(q=q(t)\) saadaan Euler-Lagrangen yhtälöistä:
$$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$
Tarkastellaan seuraavassa tilannetta, jossa \(n=1\). Kun \(L\) ei riipu suureesta q eli \(L=L(t,q')\), Euler-Lagrangen yhtälöstä saadaan:
\(f_1(t,\dot{q})=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} =C_1\) on vakio.
Tarkastellaan sitten seuraavaa tilannetta, jossa edelleen \(n=1\). Kun \(L\) ei riipu suureesta t eli \(L=L(q,q')\), niin Euler-Lagrangen yhtälön avulla voidaan osoittaa (suora derivointi t:n suhteen) seuraavan olevan myös liikevakio:
\(f_2(q,\dot{q})=\dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-L=C_2\) on vakio.
Fyysikot tunnistavat nuo vakiot mekaanisen tehtävän tapauksessa liikemääräksi ja energiaksi.
Vaikka nuo päättelyt olivat tavallaan helppoja, niin noissa on jo nähtävillä joitain Noetherin teoreeman peruspalikoita.
Lopuksi, noihin kahteen voi vielä lisätä kolmannen tapauksen, jossa L ei riipu suureesta \(\dot{q}\), jolloin \(L=L(t,q)\) ja Euler-Lagrangen yhtälöstä saadaan:
\(\frac{\partial L}{\partial q}=0\), mikä on tavallinen yhtälö, josta voidaan ratkaista \(q=q(t)\).
SI Resurrection!
Disputator kirjoitti: ↑05 Touko 2025, 11:31 $$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$
Mäkin muistan aiheen menneisyyden foorumeilta. En kirjoita vielä pitkästi, mutta heti tuli mieleeni jotain Euler-Lagrangen yhtälön ratkaisusta \(q=q(t)\). Ratkaisu on peräisin kirjoittamastasi vaikutusfunktionaalista (pakko nimetä S[q], jotta on tuttu ja turvallinen 
)
\(S[q(t)]= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q(t),q'(t))dt = \int_{t_0}^{t_1} L(t,q,\dot q)dt\)
missä \(q\) toteuttaa Euler-Lagrangen yhtälön. Se ei ole enää tuntematon, vaan tunnettu ratkaisu. Nyt voidaan kirjoittaa funktion \(q\) mielivaltainen variaatio \(\delta q = \delta q(t)\), ja sen jälkeen vaikutukselle \(S\) variaatio
$$\require{physics}
\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
Jos \(q\) olisi mielivaltainen, ja se ei olisi E-L yhtälön ratkaisu, niin \(S\):n variaatio olisi
$$\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
missä ensimmäinen integraalitermi katoaa, kun E-L on voimassa. Tuossa on mielenkiintosia juttuja haudattuna, sillä \(q\) ja \(\delta q\) ovat kaksi eri funktiota (siinä mielessä, että liikeradan ratkaisuna olevasta funktiosta \(q\) muodostetaan funktio \(\delta q\)). Myös \(\delta q\):n ratkaisuja voidaan käsitellä, jonka jälkeen \(\delta S[q, \delta q]\):n lausekkeeseen jäljelle jäävä termi saa merkityksensä.
Tämä lyhyenä kontribuutiona ja trailerina aiheeseen.
)\(S[q(t)]= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q(t),q'(t))dt = \int_{t_0}^{t_1} L(t,q,\dot q)dt\)
missä \(q\) toteuttaa Euler-Lagrangen yhtälön. Se ei ole enää tuntematon, vaan tunnettu ratkaisu. Nyt voidaan kirjoittaa funktion \(q\) mielivaltainen variaatio \(\delta q = \delta q(t)\), ja sen jälkeen vaikutukselle \(S\) variaatio
$$\require{physics}
\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
Jos \(q\) olisi mielivaltainen, ja se ei olisi E-L yhtälön ratkaisu, niin \(S\):n variaatio olisi
$$\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
missä ensimmäinen integraalitermi katoaa, kun E-L on voimassa. Tuossa on mielenkiintosia juttuja haudattuna, sillä \(q\) ja \(\delta q\) ovat kaksi eri funktiota (siinä mielessä, että liikeradan ratkaisuna olevasta funktiosta \(q\) muodostetaan funktio \(\delta q\)). Myös \(\delta q\):n ratkaisuja voidaan käsitellä, jonka jälkeen \(\delta S[q, \delta q]\):n lausekkeeseen jäljelle jäävä termi saa merkityksensä.
Tämä lyhyenä kontribuutiona ja trailerina aiheeseen.
Aamupäivää!
Jatkan seuraavassa viestissä juttua.
Heh! Kun kirjoittelin tuota niin tavallaan halusin pitää tuon variaatiotehtävän irrallaan fysiikasta ja harkitsin notaatiota \(J=\int f dx\). Koska x on niin perusteellinesti juurtunut mun päähän kappaleen radan x-koordinaattina x=x(t), niin helllyin ja valitsin parametriksi x:n sijasta t:n. Koska lopputulosa näytti joltain sekasikiöltä \(J=\int f dt\) muutin tuon sitten muotoon \(J=\int L dt\), missä sitten säästin tuon J:n muistuttamaan siitä, että kyse ei ole pelkästään fysiikasta. Mutta mennään nyt sitten tuolla S:llaQS kirjoitti: ↑05 Touko 2025, 21:48Disputator kirjoitti: ↑05 Touko 2025, 11:31 $$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$
Mäkin muistan aiheen menneisyyden foorumeilta. En kirjoita vielä pitkästi, mutta heti tuli mieleeni jotain Euler-Lagrangen yhtälön ratkaisusta \(q=q(t)\). Ratkaisu on peräisin kirjoittamastasi vaikutusfunktionaalista (pakko nimetä S[q], jotta on tuttu ja turvallinen
Jatkan seuraavassa viestissä juttua.
SI Resurrection!
Kun olen yrittänyt ymmärtää näitä variaatiolaskuun ja Noetherin teoreemaan liittyviä juttuja eri notaatioilla, niin Paholaisen läsnäoloa ei voi olla havaitsematta. Erilaiset notaatiot, kuten \(\delta S, \delta q,\delta\phi\) etc. ovat tavallaan ymmärrettäviä, mutta noihin liittyy välillä ongelmia ja hämäräperäisyyttä tietyissä tapauksissa, ainakin mulle.
Tässä on pienenpieni notaatiohässäkkä nähtävillä. Jos merkitsen yleensäkin funktiota symbolilla \(q\) ja sen variaatiota symbolilla \(\delta q\), tuossa on jotenkin sellainn vivahde, että otetaan funktio \(q\) ja operoidaan siihen "operaattorilla" \(\delta\) ja saadaan variaatio \(\delta q\), vähän samaan tapaan kuin reaalifunktioon \(f \) operoidaan d-operaatiolla ja saadaan \(df\), jossa siis \(df =d(f)\) riippuu funktiosta \(f\), kun taasen \(\delta q\) ei riipu mitenkään funktiosta \(q\). Tämä voisi näkyä esimerkiksi siinä että miten funktionaalin S variaatio kirjoitetaan ekstremaalikäyrälle: \(\delta S[\hat{q}, \delta q]\) vai \(\delta S[\hat{q}, \delta \hat{q}]\)? Edellinen on mielestäni se oikea.
Tuossa alla toteat myös saman, että \(q\) ja \(\delta q\) ovat riippumattomia toisistaan.
Kummassakin sun kaavassa on hyvä huomata että integroitirajat eivät muutu eli laitan ne ihan uudelleen näkyviin integrointirajojen kanssa, vastaisen varalle.
$$\require{physics}
\delta S[\hat{q}, \delta q] = S[\hat{q} + \delta q] - S[\hat{q}] = \int_{t_0}^{t_1} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
ja
$$\require{physics}\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
EDIT: tuolla olikin QS:llä "biglatex"-tagin perässä \require{physics}. Olin poistanut sen ja se aiheutti sen, että lainaukset omasta viestistäni meni väärin yrittäessäni kirjoittaa. Lisäsin ne nyt.
Tämä on aivan totta. Jos siis \(\hat{q}\) on ekstremaali/ratkaisu, ja \(\delta q\) on mielivaltainen variaatio saadaan tuollainen lauseke. Lisäsin tuolle ekstremaalikäyrälle \(q\) hatun eli \(\hat{q}\), jotta se erottuisi joukosta, ei mikään välttämättömyys kuitenkaan.QS kirjoitti: ↑05 Touko 2025, 21:48 ...
\(S[q(t)]= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q(t),q'(t))dt = \int_{t_0}^{t_1} L(t,q,\dot q)dt\)
missä \(q\) toteuttaa Euler-Lagrangen yhtälön. Se ei ole enää tuntematon, vaan tunnettu ratkaisu. Nyt voidaan kirjoittaa funktion \(q\) mielivaltainen variaatio \(\delta q = \delta q(t)\), ja sen jälkeen vaikutukselle \(S\) variaatio
$$\require{physics}
\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
Tässä on pienenpieni notaatiohässäkkä nähtävillä. Jos merkitsen yleensäkin funktiota symbolilla \(q\) ja sen variaatiota symbolilla \(\delta q\), tuossa on jotenkin sellainn vivahde, että otetaan funktio \(q\) ja operoidaan siihen "operaattorilla" \(\delta\) ja saadaan variaatio \(\delta q\), vähän samaan tapaan kuin reaalifunktioon \(f \) operoidaan d-operaatiolla ja saadaan \(df\), jossa siis \(df =d(f)\) riippuu funktiosta \(f\), kun taasen \(\delta q\) ei riipu mitenkään funktiosta \(q\). Tämä voisi näkyä esimerkiksi siinä että miten funktionaalin S variaatio kirjoitetaan ekstremaalikäyrälle: \(\delta S[\hat{q}, \delta q]\) vai \(\delta S[\hat{q}, \delta \hat{q}]\)? Edellinen on mielestäni se oikea.
Tuossa alla toteat myös saman, että \(q\) ja \(\delta q\) ovat riippumattomia toisistaan.
Yes! Tässä ei käytetä enää ekstremaalikäyrää \(\hat{q}\) vaan ihan yleistä q.Jos \(q\) olisi mielivaltainen, ja se ei olisi E-L yhtälön ratkaisu, niin \(S\):n variaatio olisi
$$\require{physics}\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
missä ensimmäinen integraalitermi katoaa, kun E-L on voimassa. Tuossa on mielenkiintosia juttuja haudattuna, sillä \(q\) ja \(\delta q\) ovat kaksi eri funktiota (siinä mielessä, että liikeradan ratkaisuna olevasta funktiosta \(q\) muodostetaan funktio \(\delta q\)). Myös \(\delta q\):n ratkaisuja voidaan käsitellä, jonka jälkeen \(\delta S[q, \delta q]\):n lausekkeeseen jäljelle jäävä termi saa merkityksensä.
...
Kummassakin sun kaavassa on hyvä huomata että integroitirajat eivät muutu eli laitan ne ihan uudelleen näkyviin integrointirajojen kanssa, vastaisen varalle.
$$\require{physics}
\delta S[\hat{q}, \delta q] = S[\hat{q} + \delta q] - S[\hat{q}] = \int_{t_0}^{t_1} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
ja
$$\require{physics}\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
EDIT: tuolla olikin QS:llä "biglatex"-tagin perässä \require{physics}. Olin poistanut sen ja se aiheutti sen, että lainaukset omasta viestistäni meni väärin yrittäessäni kirjoittaa. Lisäsin ne nyt.
SI Resurrection!
Disputator kirjoitti: ↑08 Touko 2025, 09:54 Kun olen yrittänyt ymmärtää näitä variaatiolaskuun ja Noetherin teoreemaan liittyviä juttuja eri notaatioilla, niin Paholaisen läsnäoloa ei voi olla havaitsematta. Erilaiset notaatiot, kuten \(\delta S, \delta q,\delta\phi\) etc. ovat tavallaan ymmärrettäviä, mutta noihin liittyy välillä ongelmia ja hämäräperäisyyttä tietyissä tapauksissa, ainakin mulle.Tämä on aivan totta. Jos siis \(\hat{q}\) on ekstremaali/ratkaisu, ja \(\delta q\) on mielivaltainen variaatio saadaan tuollainen lauseke. Lisäsin tuolle ekstremaalikäyrälle \(q\) hatun eli \(\hat{q}\), jotta se erottuisi joukosta, ei mikään välttämättömyys kuitenkaan.QS kirjoitti: ↑05 Touko 2025, 21:48 ...
\(S[q(t)]= \int_{t_0}^{t_1} L(t,q(t),q'(t))dt = \int_{t_0}^{t_1} L(t,q,\dot q)dt\)
missä \(q\) toteuttaa Euler-Lagrangen yhtälön. Se ei ole enää tuntematon, vaan tunnettu ratkaisu. Nyt voidaan kirjoittaa funktion \(q\) mielivaltainen variaatio \(\delta q = \delta q(t)\), ja sen jälkeen vaikutukselle \(S\) variaatio
$$\require{physics}
\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
Tässä on pienenpieni notaatiohässäkkä nähtävillä. Jos merkitsen yleensäkin funktiota symbolilla \(q\) ja sen variaatiota symbolilla \(\delta q\), tuossa on jotenkin sellainn vivahde, että otetaan funktio \(q\) ja operoidaan siihen "operaattorilla" \(\delta\) ja saadaan variaatio \(\delta q\), vähän samaan tapaan kuin reaalifunktioon \(f \) operoidaan d-operaatiolla ja saadaan \(df\), jossa siis \(df =d(f)\) riippuu funktiosta \(f\), kun taasen \(\delta q\) ei riipu mitenkään funktiosta \(q\). Tämä voisi näkyä esimerkiksi siinä että miten funktionaalin S variaatio kirjoitetaan ekstremaalikäyrälle: \(\delta S[\hat{q}, \delta q]\) vai \(\delta S[\hat{q}, \delta \hat{q}]\)? Edellinen on mielestäni se oikea.
Tuossa alla toteat myös saman, että \(q\) ja \(\delta q\) ovat riippumattomia toisistaan.Yes! Tässä ei käytetä enää ekstremaalikäyrää \(\hat{q}\) vaan ihan yleistä q.Jos \(q\) olisi mielivaltainen, ja se ei olisi E-L yhtälön ratkaisu, niin \(S\):n variaatio olisi
$$\require{physics}\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
missä ensimmäinen integraalitermi katoaa, kun E-L on voimassa. Tuossa on mielenkiintosia juttuja haudattuna, sillä \(q\) ja \(\delta q\) ovat kaksi eri funktiota (siinä mielessä, että liikeradan ratkaisuna olevasta funktiosta \(q\) muodostetaan funktio \(\delta q\)). Myös \(\delta q\):n ratkaisuja voidaan käsitellä, jonka jälkeen \(\delta S[q, \delta q]\):n lausekkeeseen jäljelle jäävä termi saa merkityksensä.
...
Kummassakin sun kaavassa on hyvä huomata että integroitirajat eivät muutu eli laitan ne ihan uudelleen näkyviin integrointirajojen kanssa, vastaisen varalle.
$$\require{physics}
\delta S[\hat{q}, \delta q] = S[\hat{q} + \delta q] - S[\hat{q}] = \int_{t_0}^{t_1} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
ja
$$\require{physics}\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q] - S[q] = \int_{}^{} dt\ \left[\pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right) \right]\delta q+\int_{}^{} dt\ \left[\frac{d}{dt}\left(\pdv{L}{\dot q}\ \delta q\right)\right]$$
EDIT: tuolla olikin QS:llä "biglatex"-tagin perässä \require{physics}. Olin poistanut sen ja se aiheutti sen, että lainaukset omasta viestistäni meni väärin yrittäessäni kirjoittaa. Lisäsin ne nyt.
Hyvä täsmennys notaatioon tuo \(\hat q\). Pidetään mielessä jatkossa. Olisi ehkä hyvä esitellä myös notaatio \(q'\), joka tarkoittaa sitä, että vektoriin \(\hat q=(\hat q_1,\cdots,\hat q_n)\) kohdistetaan muunnos siten, että \(\hat q \to q'\).
Sekin ehkä hyvä muistaa, että vektorin \(\hat q\) (tai \(q\)) komponentit ovat yleistettyjä koordinaatteja, ja siis koordinaattifunktioita \(\hat q_1(t),\cdots,\hat q_n(t)\), missä parametrina on \(t\in\mathbb{R}\), joka ei ole koordinaatti.
Vaikutuksen variaatio ekstremaalille on tosiaan \(\delta S[\hat q, \delta q]\) kuten kirjoititkin, josta ratkeaa systeemin koordinaattifunktiot \(\hat q\).
Vaikutusta S voi tarkastella myös siihen liittyvän symmetrian kautta. Vaikutusfunktionaalin \(S[\hat q]\) symmetria tarkoittaa muunnosta, jossa uudet koordinaatit \(q'\) eivät muuta funktionaalia \(S\). Toisin sanoen pätee \(S[q'] = S[\hat q]\), missä ei ole kyse variaatiosta \(\delta S\) vaan S:n arvon invarinssista. Muunnettu vektori on \(q' = \hat q + \delta q\), ja muunnos \(\delta q\) on infinitesimaali symmetriamuunnos.
Symmetrian \(S[q'] = S[\hat q]\) tapauksessa on niin, että \(\delta q\):n lausekkeessa voi esiintyä funktio \(\hat q\) ja sen aikaderivaatta \(\hat{\dot q}\), mutta \(\delta q\) on systeemistä riippuva. Ei siis ole olemassa yleistä operaattoria \(\delta\), joka symmetriamuunnoksen tuottaisi. Tuossa pitäisi ehkä notaationa olla \(\delta \hat q\), sillä symmetria riippuu funktiosta \(\hat q\).
Fysiikassa näkee joskus ylimalkaisia toteamuksia kuten "...\(L(q(t),\dot q(t))\) on aikariippumaton, tai \(L(q(t+\epsilon),\dot q(t+\epsilon))=L(q(t),\dot q(t))\)...".
Parametrin \(t\) siirtäminen arvoon \(t+\epsilon\) ei ole kovin täsmällinen toimenpide Noetherin lauseessa: Jokaista jatkuvaa symmetriaa, jonka generoi paikallinen vaikutus, vastaa säilyvä virta ja päinvastoin.
Tässä on kyse tarkasteltavan systeemin jatkuvasta symmetriasta (systeemin ominaisuuksiin liittyvä symmetria), jonka generoi paikallinen vaikutus (ei parametrin tai koordinaatin siirtäminen).
Vektori \(q'\) pitäisikin oikeammin lausua \(q' = q - \epsilon \dot q\), mikä kyllä tarkoittaa samaa kuin \(q'(t) = q(t-\epsilon)\), mutta muunnoksesta on häivytetty parametrin \(t\) siirtäminen, ja lausuttu \(q\):n ja sen aikaderivaatan avulla.
S:n symmetriaan liittyy myös heikomman symmmetrian mahdollisuus. Edellä vaadittiin, että \(S[q'] = S[\hat q]\), mutta tätä voidaa keventää siten, että S:n variaatio on vakio. Tilanteen voi kirjoittaa esim
\(\delta S[q]=S[q+\hat \delta q]-S[q] = \int dt \frac{dK}{dt}\)
missä \(q\) ei ole ratkaisu vaan melivaltainen. Tuo näyttää siltä, että Euler-Lagrangen yhtälö on voimassa, kun variaatiosta puuttuu termi
\(\require{physics} \pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right)\).
Tässä kuitenkin mielivaltainen koordinaattifunktio \(q\) tuottaa oikealla puolella olevan termin, joka on vakio. Tämä onnistuu tietyillä ratkaisuilla \(\delta q\), joka tuossa edellä merkitty \(\hat \delta q\).
Noita juttuja tuli mieleen. Lasken esimerkin joku päivä, niin tilanteet ja symmetriat näkyy ehkä konkreettisemmin. Tässä voi mennä tosi helposti symmetriat, variaatiot ja muunnokset sekaisin. On mahdollista, että sain ensimmäisen sotkun mukaan jo tähän viestiin ; )
Sekin ehkä hyvä muistaa, että vektorin \(\hat q\) (tai \(q\)) komponentit ovat yleistettyjä koordinaatteja, ja siis koordinaattifunktioita \(\hat q_1(t),\cdots,\hat q_n(t)\), missä parametrina on \(t\in\mathbb{R}\), joka ei ole koordinaatti.
Vaikutuksen variaatio ekstremaalille on tosiaan \(\delta S[\hat q, \delta q]\) kuten kirjoititkin, josta ratkeaa systeemin koordinaattifunktiot \(\hat q\).
Vaikutusta S voi tarkastella myös siihen liittyvän symmetrian kautta. Vaikutusfunktionaalin \(S[\hat q]\) symmetria tarkoittaa muunnosta, jossa uudet koordinaatit \(q'\) eivät muuta funktionaalia \(S\). Toisin sanoen pätee \(S[q'] = S[\hat q]\), missä ei ole kyse variaatiosta \(\delta S\) vaan S:n arvon invarinssista. Muunnettu vektori on \(q' = \hat q + \delta q\), ja muunnos \(\delta q\) on infinitesimaali symmetriamuunnos.
Symmetrian \(S[q'] = S[\hat q]\) tapauksessa on niin, että \(\delta q\):n lausekkeessa voi esiintyä funktio \(\hat q\) ja sen aikaderivaatta \(\hat{\dot q}\), mutta \(\delta q\) on systeemistä riippuva. Ei siis ole olemassa yleistä operaattoria \(\delta\), joka symmetriamuunnoksen tuottaisi. Tuossa pitäisi ehkä notaationa olla \(\delta \hat q\), sillä symmetria riippuu funktiosta \(\hat q\).
Fysiikassa näkee joskus ylimalkaisia toteamuksia kuten "...\(L(q(t),\dot q(t))\) on aikariippumaton, tai \(L(q(t+\epsilon),\dot q(t+\epsilon))=L(q(t),\dot q(t))\)...".
Parametrin \(t\) siirtäminen arvoon \(t+\epsilon\) ei ole kovin täsmällinen toimenpide Noetherin lauseessa: Jokaista jatkuvaa symmetriaa, jonka generoi paikallinen vaikutus, vastaa säilyvä virta ja päinvastoin.
Tässä on kyse tarkasteltavan systeemin jatkuvasta symmetriasta (systeemin ominaisuuksiin liittyvä symmetria), jonka generoi paikallinen vaikutus (ei parametrin tai koordinaatin siirtäminen).
Vektori \(q'\) pitäisikin oikeammin lausua \(q' = q - \epsilon \dot q\), mikä kyllä tarkoittaa samaa kuin \(q'(t) = q(t-\epsilon)\), mutta muunnoksesta on häivytetty parametrin \(t\) siirtäminen, ja lausuttu \(q\):n ja sen aikaderivaatan avulla.
S:n symmetriaan liittyy myös heikomman symmmetrian mahdollisuus. Edellä vaadittiin, että \(S[q'] = S[\hat q]\), mutta tätä voidaa keventää siten, että S:n variaatio on vakio. Tilanteen voi kirjoittaa esim
\(\delta S[q]=S[q+\hat \delta q]-S[q] = \int dt \frac{dK}{dt}\)
missä \(q\) ei ole ratkaisu vaan melivaltainen. Tuo näyttää siltä, että Euler-Lagrangen yhtälö on voimassa, kun variaatiosta puuttuu termi
\(\require{physics} \pdv{L}{q}-\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot q}\right)\).
Tässä kuitenkin mielivaltainen koordinaattifunktio \(q\) tuottaa oikealla puolella olevan termin, joka on vakio. Tämä onnistuu tietyillä ratkaisuilla \(\delta q\), joka tuossa edellä merkitty \(\hat \delta q\).
Noita juttuja tuli mieleen. Lasken esimerkin joku päivä, niin tilanteet ja symmetriat näkyy ehkä konkreettisemmin. Tässä voi mennä tosi helposti symmetriat, variaatiot ja muunnokset sekaisin. On mahdollista, että sain ensimmäisen sotkun mukaan jo tähän viestiin ; )
QS kirjoitti: ↑09 Touko 2025, 18:33Vaikutusta S voi tarkastella myös siihen liittyvän symmetrian kautta. Vaikutusfunktionaalin \(S[\hat q]\) symmetria tarkoittaa muunnosta, jossa uudet koordinaatit \(q'\) eivät muuta funktionaalia \(S\). Toisin sanoen pätee \(S[q'] = S[\hat q]\), missä ei ole kyse variaatiosta \(\delta S\) vaan S:n arvon invarinssista. Muunnettu vektori on \(q' = \hat q + \delta q\), ja muunnos \(\delta q\) on infinitesimaali symmetriamuunnos.
Symmetrian \(S[q'] = S[\hat q]\) tapauksessa on niin, että \(\delta q\):n lausekkeessa voi esiintyä funktio \(\hat q\) ja sen aikaderivaatta \(\hat{\dot q}\), mutta \(\delta q\) on systeemistä riippuva. Ei siis ole olemassa yleistä operaattoria \(\delta\), joka symmetriamuunnoksen tuottaisi. Tuossa pitäisi ehkä notaationa olla \(\delta \hat q\), sillä symmetria riippuu funktiosta \(\hat q\).
Huomasin, että mulla tässä liikaa rajoituksia. Tuo invarianssi \(S[q'] = S[q]\) on mahdollista saada voimaan myös mielivaltaiselle funktiolle \(q\). Tämä onnistuu symmetriamuunnoksella \(q'=q+\hat{\delta q}\), missä hattu tarkoittaa sitä, että \(\hat{\delta q}\) riippuu kirjoitetusta vaikutuksesta S ja samalla Lagrangen funktiosta L siten, että \(\hat{\delta q}\):n lausekkeessa voi esiintyä \(q\) ja/tai \(\dot q\), ja vakioitakin. Tuo \(\hat{\delta q}\) ei siis ole mielivaltainen.
Kirjoitan asiasta lisää joku päivä.
Kirjoitan asiasta lisää joku päivä.
Iltapäivää!
Kun olen tutustunut Noetherin ensimmäiseen lauseeseen (niitä on kaksi, se mitä yleensä käsitellään on se eka) niin myös teoreeman esittely ja johtaminen vaihtelevat lähteestä (kirjat tai netti) riippuen melkoisen paljon. Matemaattisesti suuntautuneet lähteet ovat mielestäni jotenkin konservatiivisempia kuin fyysikoiden vastaavat ja tavallaan suosin niitä, mutta siitä sitten myöhemmin lisää.
Aihe on kuitenkin keskeinen fysiikassa, joten tähän kannattaa panostaa eli kirjoittelen lisää sitten myöhemmin.
Tämä pitää suorastaan syvällisesti paikkansa. Tuo on oikeasti mielestäni todellinen ongelma tässä aiheessa, kun näitä yrittää oikeasti ymmärtää. Lähteissä on niin vaihtelevia esityksiä määritelmineen ja päättelyineen ja kaavat näyttävät samoilta olematta samoja jne.
Kun olen tutustunut Noetherin ensimmäiseen lauseeseen (niitä on kaksi, se mitä yleensä käsitellään on se eka) niin myös teoreeman esittely ja johtaminen vaihtelevat lähteestä (kirjat tai netti) riippuen melkoisen paljon. Matemaattisesti suuntautuneet lähteet ovat mielestäni jotenkin konservatiivisempia kuin fyysikoiden vastaavat ja tavallaan suosin niitä, mutta siitä sitten myöhemmin lisää.
Aihe on kuitenkin keskeinen fysiikassa, joten tähän kannattaa panostaa eli kirjoittelen lisää sitten myöhemmin.
SI Resurrection!
Symmetria ↔ säilymislaki vai miten se nyt meni? Matemaatikot rakentavat siltoja, fyysikot kävelevät niiden yli? Joo ei mulla tähänkään ole mitään annettavaa, mutta mielenkiinnolla seuraan.
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!