Spinori

[Disputator]

Nyt laitan etumerkkini sekä aktiivisen ja passiivisen muunnoksen järjestykseen konkreettisilla palikkaesimerkeillä.

\(\Phi\) on skalaari-, vektori- tai spinorikenttä. Kentän komponentit fysikaalisessa paikassa p ovat \(\Phi(p)\), joskin tässä ilman indeksejä. Koordinaatistossa K tuo kenttä on \(\Phi(p)=\Phi(t,x,y,z)=\Phi(\mathbf{x})\). Tehdään kentän aktiivinen kierto z-akselin ympäri, ja kiertokulmalla on \(\theta\).

Kierretyn kentän \(\Phi'\) arvo alkuperäisessä pisteessä p on

\(\Phi'(p) = D[R]\ \Phi(t, x cos(\theta) + y sin(\theta), y cos(\theta) - x sin(\theta), z)\)

Tässä D[R] on kentän tyypistä (skalaari,vektori,spinori) ja rotaatiosta R riippuva matriisi, jota ei tässä tarkemmin lasketa eikä oteta kantaa onko matriisi D[R] vaiko D[R^-1]. Tuon aktiivisen kierron koordinaatit saadaan käänteistä rotaatiosta R^-1. Toisin sanoen muunnos poimii kentän arvon pisteeseen p siten, että arvo 'haetaan siitä paikasta, missä se oli ennen kiertoa'. Piste p ei liiku, vaan kenttä \(\Phi\) liikkuu.

Tämä aktiivinen muunnos toimii käsittääkseni juuri noin. Tosiaan tuo

Aktiivisen kierron voi kirjoittaa

\(\Phi'(p) = D[R]\ \Phi(R^{-1}x)\)

Tämä on kierretyn kentän arvo \(\Phi'\) pisteessä p (sama piste kuin ennen kiertoa). Komponentit siis poimitaan koordinaattipisteestä R^-1x.

Esimerkkinä kenttä, joka pisteessä p on \(\Phi(0,1,0,0)\). Tässä p on koordinaatiston x-akselilla. Tehdään kentälle aktiivinen kierto +45° (vastapäivään). Kierretyn kentän arvo koordinaattipisteessä x=(0,1,0,0) on

\(\Phi'(p) = D[R]\ \Phi(R^{-1}\mathbf{x}) = D[R]\ \Phi(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0)\).

Arvo siis poimitaan 'x-akselin alapuolelta paikasta, josta arvo löytyi ennen kiertoa'.
...

Kyllä, näin se menee.

Mutta tämä...

Seuraavaksi aktiivinen pusku. \(\Phi\) pusketaan nopeuteen +v, ja x-akselin suuntaan. Kuten rotaatiossa, tässäkin kentän arvo pisteessä p saadaan paikasta, jossa se oli ennen muunnosta

\( \Phi'(p) = D[P]\ \Phi(P^{-1}\mathbf{x}) \)

missä P on puskumatriisi nopeudelle +v, mutta aktiivisen puskun jälkeen arvo pisteessä p saadaan käänteismuunnoksesta P^-1. Tuo D[P] on kentän tyypistä riippuva matriisi, johon ei oteta vielä kantaa. Pusku x-akselin suuntaan on matriisi

\(P_x(\phi)=\exp (i\phi K_1) = \exp \left (i\phi\begin{bmatrix} 0 & i & 0 & 0\\ i & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} \cosh \phi & -\sinh \phi & 0 & 0\\ -\sinh \phi & \cosh \phi & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Tässä parametri \(\theta = \pm \tanh^{-1}(v)\). Nopeus on +v, kun aktiivinen pusku positiivisen x-akselin suuntaan, ja negatiivisen suuntaan -v.

... on väärin päin . Eksponentissa pitää olla -i, kun halutaan aktiivinen pusku nopeudelle +v havaitsijan suhteen. Miten plussat ja miinukset voi olla mulle näin h****tin vaikeita Huomasin virheen, kun pähkäilin muunnosmatriiseja eri tilanteissa.

Heh, sama ongelma mulla. Miinusmerkit pitäisi kieltää lailla!

Koordinaatisto on siis oikeakätinen, ja kierto vastapäivään positiivisella kiertokulmalla, ja oikean käden säännöllä.

Kantavektoreilla {e_i} varustetussa koordinaatistossa vektori kirjoitetaan \(\mathbf{x} = x^i\mathbf{e}_i\). Rotaatio \(R(\theta)\) muuntaa komponentit siten, että muunnettu vektori on

\( \mathbf{x'} = R(\theta)\mathbf{x} = x'^j\mathbf{e}_j\)

missä komponentit \(x'^j = {R(\theta)^j}_i\ x^i\). Vektori x' lausutaan alkuperäisellä kannalla {e_i}, johon rotaatio ei kohdistu. Vektorin komponentin sen sijaan muuntuvat.

Esimerkiksi kvanttimekaniikan aaltofunktio \(\psi(\mathbf{x}) \in \mathbb{C}\) muuntuu kuten klassinen skalaarikenttä

\(\psi(\mathbf{x}) \to \psi'(\mathbf{x})=\psi(R^{-1}\mathbf{x})\)

Klassinen vektorikenttä \(V^{\mu}(x)\) muuntuu Minkowskiavaruudessa

\(V'^\nu(x) = {(D[R])^\nu}_\mu\ V^\mu(R^{-1}x)\)

missä koordinaatit muuntuvat matriisilla R^-1 ja V:n komponentit 4-vektoriesityksen matriisilla D[R]. Mielikuvana "komponentit haetaan paikasta R^-1x, missä sijaitsivat ennen rotaatiota, mutta komponentit käännetään rotaation R mukaiseen asentoon".

Tuossa, kun sulla on tuolla funktion \( \psi\) tai vektorikentän komponentin \(V^\mu\) sisällä tuo käänteismuunnos \(R^{-1}\) se merkitsee, että aktiivisesta muunnoksesta on kysymys, kuten yllä kirjoititkin. Matematiikan kannalta, kun tarkastellaan ryhmien esitysteoriaa, niin sen täytyy tietyllä tavalla ollakin niin.

Jos R on (matriisi)ryhmän G alkio, joka toimii vektoriavaruudessa V ihan matriisitulon avulla \(v\to Rv\), missä \(v\in V\). Tarkastellaan vektoriavaruudessa V määriteltyjä skalaarifunktioita ja määritellään

\(F(V, \mathbb{R}) = \{ f| f: V\to \mathbb{R} \} \)

Nyt voidaan määritellä ryhmän G esitys funktioavaruudessa \(F(V, \mathbb{R})\) kaavalla:

\((Rf)(x) = f(R^{-1}x)\)

Jotta tuo olisi esitys ryhmäteorian mielessä on määritelmän mukaan oltava\( (R_1R_2)f = R_1 (R_2 f)\). Tämä onnistuu vain jos funktiolausekkeen sisällä on \(R^{-1}x\). Siis allaoleva ei määrittele esitystä:

\((Rf)(x) = f(Rx)\).

Kaavasta \((Rf)(x) = f(R^{-1}x)\) saadaan sijoittamalla \(R^{-1}\) kaava:

\((R^{-1}f)(x) = f(Rx)\).

Nuo antamasi muunnoskaavat ovat mielestäni juuri sellaisia että ne määrittelevät ryhmän G (esim rotaatiot )esityksen jossain funktioavaruudessa:

\(F(V, \mathbb{R}) = \{ f| f: V\to \mathbb{R} \}\)
\(F(V, \mathbb{C}) = \{ f| f: V\to \mathbb{C} \}\)
\(F(V, \mathbb{C}^n) = \{ f| f: V\to \mathbb{C}^n \}\)

eli saadaan rotaatioryhmän SO(3) esityksiä noissa ääretönulotteisissä vektoriavaruuksissa.

Palaan viestisi loppuosaan myöhemmin. Se oli hyvä esimerkki.

[QS]

...
Usein fysiikan kirjoissa käytetään samoja notaatioita noille so(1,3) generaattoreille ja niiden esityksille, mikä on usein hämmentävää. Laitan tässä lyhyen minikoosteen joistain jutuista:

Lien algebran \( \mathfrak{g} \) (matriisi)esitys on lineaarinen kuvaus \(\pi: \mathfrak{g}\to gl(n,\mathbb{C})\), jolle \( \forall\: a,b\in \mathfrak{g}\) pätee:

\(\pi([a,b])=[\pi(a),\pi(b)]=pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\).

missä vasemmanpuolinen kommutaattori [a,b] on Lie algebran \(\mathfrak{g}\) (abstrakti) kommutaattori. Määritelmä on tuollaisenaan epätäsmällinen, koska kuvauksen \(\pi \) lineaarisuus edellyttää, että kummallakin puolella on sama kerroinkunta, joka meillä on
\(\mathbb{R} \) tai \(\mathbb{C}\), siis kuvaus\( \pi \)on joko \(\mathbb{R}\)-lineaarinen tai \(\mathbb{C}-\) lineaarinen. Noihin ei mielestäni kannata liikaa vaivata aikaa, riittää kun meillä on kyky muodostaa reaali-ja kompleksilineaarikombinaatioita vektoreista ja matriiseista.

Nyt jos \(\pi:so(1,3)\to gl(n,\mathbb{C})\) on Lie algebran \(\mathfrak{so}(1,3)\):n esitys, niin silloin esitykselle pätee:

\([\pi(J_i),\pi(J_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(J_k)\)
\([\pi(J_i),\pi(K_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(K_k)\)
\([\pi(K_i),\pi(K_j)]=-i\epsilon_{ijk}\pi(J_k)\)
...

Tähän liittyy kiehtova kaninkolo. Kun jokin aika sitten näitä kertasin, niin sellainenkin tuli vastaan, että Lien algebran esitys \(\pi\) voidaan määritellä

\(\pi: \mathfrak{g} \to \textup{End}(V)\)

mikä on kuvaus Lien algebrasta reaalisen tai kompleksisen vektoriavaruuden V endomorfismiksi. Tuo End(V) on joukko V:n lineaarikuvauksia f:V → V, jotka muodostavat niin ikään vektoriavaruuden. Ja myös \(\mathfrak{g}\) on vektoriavaruus, joka varustettu mainitsemillasi abstrakteilla suluilla \(\![\![\ \cdot,\cdot\ \!]\!]\), jonka notaatio tässä eriytetty kommutaattorista.

Tämä \(\pi\) määritellään siten, että

\(\pi(\ \![\![\ a,b\ \!]\!]\ )=[\pi(a),\pi(b)]\)

missä \(a,b,\![\![\ a,b\ \!]\!] \in \mathfrak{g}\). Vasemmalla siis abstraktit sulut, johon on sijoitettu kaksi Lien algebran alkiota. Näistä muodostetaan esitys \(\pi\). Oikealla puolella on V:n kommutaattori esityksille \(\pi(a)\) ja \(\pi(b)\).

Nyt sitten oikean puolen kommutaattori määritellään

\([\pi(a),\pi(b)] \equiv \pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\)

missä kommutaattori [.,.] on kuvaus

\([.,.]: \textup{End}(V) \times \textup{End}(V) \to \textup{End}(V)\)

missä kaksi Lien algebran esitystä \(\pi(a), \pi(b) \in \textup{End}(V)\) kuvataan vektoriavaruuden V endomorfismiksi (kuvaus V:n lineaarikuvauksista -> lineaarikuvaukseksi).

Käsittääkseni tämän aivojen abstraktien asioiden käsittelykapasiteettia kuluttavan määrittelyn pihvi on se, että kuvaus \(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\) on Lien algebra homomorfismi, jos

\(\forall x,y \in \mathfrak{g}: \phi(\ \![\![\ x,y\ \!]\!]\ ) = \![\![\ \phi(x),\phi(y)\ \!]\!]\)

Tämän määritelmän perustella esitys \(\pi\) on homomorfismi. Toisin sanoen vektoriavauuden V lineaarikuvaukset (matriisit) ja niiden kommutaattori on homomorfinen Lien algebran \(\mathfrak{g}\) kanssa. Näin ainakin ymmärsin, mutta tällä tasolla en takaa ymmärsinkö oikein.

Tuossa, kun sulla on tuolla funktion \( \psi\) tai vektorikentän komponentin \(V^\mu\) sisällä tuo käänteismuunnos \(R^{-1}\) se merkitsee, että aktiivisesta muunnoksesta on kysymys, kuten yllä kirjoititkin. Matematiikan kannalta, kun tarkastellaan ryhmien esitysteoriaa, niin sen täytyy tietyllä tavalla ollakin niin.

Jos R on (matriisi)ryhmän G alkio, joka toimii vektoriavaruudessa V ihan matriisitulon avulla \(v\to Rv\), missä \(v\in V\). Tarkastellaan vektoriavaruudessa V määriteltyjä skalaarifunktioita ja määritellään

\(F(V, \mathbb{R}) = \{ f| f: V\to \mathbb{R} \} \)

Nyt voidaan määritellä ryhmän G esitys funktioavaruudessa \(F(V, \mathbb{R})\) kaavalla:

\((Rf)(x) = f(R^{-1}x)\)

Jotta tuo olisi esitys ryhmäteorian mielessä on määritelmän mukaan oltava\( (R_1R_2)f = R_1 (R_2 f)\). Tämä onnistuu vain jos funktiolausekkeen sisällä on \(R^{-1}x\). Siis allaoleva ei määrittele esitystä:

\((Rf)(x) = f(Rx)\).

Kaavasta \((Rf)(x) = f(R^{-1}x)\) saadaan sijoittamalla \(R^{-1}\) kaava:

\((R^{-1}f)(x) = f(Rx)\).

Nuo antamasi muunnoskaavat ovat mielestäni juuri sellaisia että ne määrittelevät ryhmän G (esim rotaatiot )esityksen jossain funktioavaruudessa:

\(F(V, \mathbb{R}) = \{ f| f: V\to \mathbb{R} \}\)
\(F(V, \mathbb{C}) = \{ f| f: V\to \mathbb{C} \}\)
\(F(V, \mathbb{C}^n) = \{ f| f: V\to \mathbb{C}^n \}\)

eli saadaan rotaatioryhmän SO(3) esityksiä noissa ääretönulotteisissä vektoriavaruuksissa.

Palaan viestisi loppuosaan myöhemmin. Se oli hyvä esimerkki.

Tässä on matematiikan kauneutta! Ei tarvitse selitellä kädet heiluen, vaan toteamus muutamalla rivillä.

[Disputator]

...
Usein fysiikan kirjoissa käytetään samoja notaatioita noille so(1,3) generaattoreille ja niiden esityksille, mikä on usein hämmentävää. Laitan tässä lyhyen minikoosteen joistain jutuista:

Lien algebran \( \mathfrak{g} \) (matriisi)esitys on lineaarinen kuvaus \(\pi: \mathfrak{g}\to gl(n,\mathbb{C})\), jolle \( \forall\: a,b\in \mathfrak{g}\) pätee:

\(\pi([a,b])=[\pi(a),\pi(b)]=pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\).

missä vasemmanpuolinen kommutaattori [a,b] on Lie algebran \(\mathfrak{g}\) (abstrakti) kommutaattori. Määritelmä on tuollaisenaan epätäsmällinen, koska kuvauksen \(\pi \) lineaarisuus edellyttää, että kummallakin puolella on sama kerroinkunta, joka meillä on
\(\mathbb{R} \) tai \(\mathbb{C}\), siis kuvaus\( \pi \)on joko \(\mathbb{R}\)-lineaarinen tai \(\mathbb{C}-\) lineaarinen. Noihin ei mielestäni kannata liikaa vaivata aikaa, riittää kun meillä on kyky muodostaa reaali-ja kompleksilineaarikombinaatioita vektoreista ja matriiseista.

Nyt jos \(\pi:so(1,3)\to gl(n,\mathbb{C})\) on Lie algebran \(\mathfrak{so}(1,3)\):n esitys, niin silloin esitykselle pätee:

\([\pi(J_i),\pi(J_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(J_k)\)
\([\pi(J_i),\pi(K_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(K_k)\)
\([\pi(K_i),\pi(K_j)]=-i\epsilon_{ijk}\pi(J_k)\)
...

Tähän liittyy kiehtova kaninkolo. Kun jokin aika sitten näitä kertasin, niin sellainenkin tuli vastaan, että Lien algebran esitys \(\pi\) voidaan määritellä

\(\pi: \mathfrak{g} \to \textup{End}(V)\)

mikä on kuvaus Lien algebrasta reaalisen tai kompleksisen vektoriavaruuden V endomorfismiksi. Tuo End(V) on joukko V:n lineaarikuvauksia f:V → V, jotka muodostavat niin ikään vektoriavaruuden. Ja myös \(\mathfrak{g}\) on vektoriavaruus, joka varustettu mainitsemillasi abstrakteilla suluilla \(\![\![\ \cdot,\cdot\ \!]\!]\), jonka notaatio tässä eriytetty kommutaattorista.

Tämä \(\pi\) määritellään siten, että

\(\pi(\ \![\![\ a,b\ \!]\!]\ )=[\pi(a),\pi(b)]\)

missä \(a,b,\![\![\ a,b\ \!]\!] \in \mathfrak{g}\). Vasemmalla siis abstraktit sulut, johon on sijoitettu kaksi Lien algebran alkiota. Näistä muodostetaan esitys \(\pi\). Oikealla puolella on V:n kommutaattori esityksille \(\pi(a)\) ja \(\pi(b)\).

Nyt sitten oikean puolen kommutaattori määritellään

\([\pi(a),\pi(b)] \equiv \pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\)

missä kommutaattori [.,.] on kuvaus

\([.,.]: \textup{End}(V) \times \textup{End}(V) \to \textup{End}(V)\)

missä kaksi Lien algebran esitystä \(\pi(a), \pi(b) \in \textup{End}(V)\) kuvataan vektoriavaruuden V endomorfismiksi (kuvaus V:n lineaarikuvauksista -> lineaarikuvaukseksi).

Käsittääkseni tämän aivojen abstraktien asioiden käsittelykapasiteettia kuluttavan määrittelyn pihvi on se, että kuvaus \(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\) on Lien algebra homomorfismi, jos

\(\forall x,y \in \mathfrak{g}: \phi(\ \![\![\ x,y\ \!]\!]\ ) = \![\![\ \phi(x),\phi(y)\ \!]\!]\)

Tämän määritelmän perustella esitys \(\pi\) on homomorfismi. Toisin sanoen vektoriavauuden V lineaarikuvaukset (matriisit) ja niiden kommutaattori on homomorfinen Lien algebran \(\mathfrak{g}\) kanssa. Näin ainakin ymmärsin, mutta tällä tasolla en takaa ymmärsinkö oikein.
...

Mielestäni kaikki sanomasi on ihan oikein. Ja juurikin niin, että tuo \(\pi\) on Lie-algebroiden homomorfismi, koska se säilyttää kommutaattorin.

Määritelmä vieläpä muistuttaa "tavallista" ryhmien välisen homomorfismin määritelmää eli jos \((G, \star)\) ja \((H,\bullet)\) ovat ryhmiä, niin f:G\(\to \) H on ryhmähomomorfismi jos \( f(a\star b) = f(a)\bullet f(b)\).

Lie algebroiden tapauksessa tuo kommutaattori voidaan tulkita tulo-operaatioksi (tai muuttamalla vain notaatiota) tyyliin \([a,b] = a\star b\) ja \([\pi (a),\pi (b)]=\pi(a)\bullet \pi(b)\), niin tuo Lie homomorfisuus foidaan kirjoittaa muodossa:

\( \pi(a\star b) = \pi(a)\bullet \pi(b)\)

Oli oikein hyvä tuo sun huomio Lie algebran esityksen määrittely vektoriavaruuden V endomorfismina (tai lineaarikuvauksena), siis:

\(\pi: \mathfrak{g} \to \textup{End}(V)\).

Tämä määritelmä mahdollistaa tosiaankin sen, että Lien algebran esityksen vektoriavaruuden V ei tarvitse olla äärellisulotteinen, kuten mun esityksen suppeammassa määritelmässä oli. Tuijottelin liikaa opukseni määritelmiä ja tämä mahdollinen ääretönulotteisuus jäi huomaamatta. Kuten aikaisemmassa viestissäsi mainitsit, Lorentzin ryhmällä ei ole äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa määriteltyjä epätriviaaleja unitaarisia esityksiä (tähän pitää palata), mutta ääretönulotteisessa muistaakseni on. Kvanttimekaniikan kannalta tämä onkin toivottavaa.

Lopuksi se pakollinen matemaattinen pilkunviilaus :

Kun kirjoitit \([\pi(a),\pi(b)] \equiv \pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\), niin tuossa oikeassa puolessa on kyseessä on kuvausten yhdistäminen, \(\circ\) eli \([\pi(a),\pi(b)] \equiv \pi(a)\circ \pi(b)-\pi(b)\circ \pi(a)\). Vasta kun käytetään matriiseja, voidaan \( \circ\) korvata matriisitulolla.

[Disputator]

Tuossa, kun sulla on tuolla funktion \( \psi\) tai vektorikentän komponentin \(V^\mu\) sisällä tuo käänteismuunnos \(R^{-1}\) se merkitsee, että aktiivisesta muunnoksesta on kysymys, kuten yllä kirjoititkin. Matematiikan kannalta, kun tarkastellaan ryhmien esitysteoriaa, niin sen täytyy tietyllä tavalla ollakin niin.

Jos R on (matriisi)ryhmän G alkio, joka toimii vektoriavaruudessa V ihan matriisitulon avulla \(v\to Rv\), missä \(v\in V\). Tarkastellaan vektoriavaruudessa V määriteltyjä skalaarifunktioita ja määritellään

\(F(V, \mathbb{R}) = \{ f| f: V\to \mathbb{R} \} \)

Nyt voidaan määritellä ryhmän G esitys funktioavaruudessa \(F(V, \mathbb{R})\) kaavalla:

\((Rf)(x) = f(R^{-1}x)\)

Jotta tuo olisi esitys ryhmäteorian mielessä on määritelmän mukaan oltava\( (R_1R_2)f = R_1 (R_2 f)\). Tämä onnistuu vain jos funktiolausekkeen sisällä on \(R^{-1}x\). Siis allaoleva ei määrittele esitystä:

\((Rf)(x) = f(Rx)\).

Kaavasta \((Rf)(x) = f(R^{-1}x)\) saadaan sijoittamalla \(R^{-1}\) kaava:

\((R^{-1}f)(x) = f(Rx)\).

Nuo antamasi muunnoskaavat ovat mielestäni juuri sellaisia että ne määrittelevät ryhmän G (esim rotaatiot )esityksen jossain funktioavaruudessa:

\(F(V, \mathbb{R}) = \{ f| f: V\to \mathbb{R} \}\)
\(F(V, \mathbb{C}) = \{ f| f: V\to \mathbb{C} \}\)
\(F(V, \mathbb{C}^n) = \{ f| f: V\to \mathbb{C}^n \}\)

eli saadaan rotaatioryhmän SO(3) esityksiä noissa ääretönulotteisissä vektoriavaruuksissa.

Palaan viestisi loppuosaan myöhemmin. Se oli hyvä esimerkki.

Tässä on matematiikan kauneutta! Ei tarvitse selitellä kädet heiluen, vaan toteamus muutamalla rivillä.

Itse asiassa huomasin tuon tuona päivänä ennen kun kirjoitin tota viestiä. Vaikka olin ollut kauan aikaisemminkin tietoinen tuosta funktioavaruudesta \(F(V, \mathbb{R}) \) ja miten joku ryhmä G toimii siinä ja sitten toisaalta tuosta matriisi vs. käänteismatriisi sekamelskasta, niin piuhat eivät yhdistyneet vuosiin päässä, jostain syystä.

Mun täytyy kyllä sanoa, että nyt ollaan vaarallisilla vesillä, koska sitten kun jostain ongelmalaatikosta pomppaa esiin odotetun vektoriavaruuden V sijasta duaaliavaruus V*, niin sama rumba alkaa uudestaan...

[QS]

Kun kirjoitit \([\pi(a),\pi(b)] \equiv \pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\), niin tuossa oikeassa puolessa on kyseessä on kuvausten yhdistäminen, \(\circ\) eli \([\pi(a),\pi(b)] \equiv \pi(a)\circ \pi(b)-\pi(b)\circ \pi(a)\). Vasta kun käytetään matriiseja, voidaan \( \circ\) korvata matriisitulolla.

Totta, oikaisin kuvausten yhdistämisen \(\circ\). Kun katsoin määritelmän tarkemmin, niin se on juuri kuten sanoit.

Lorentzin ryhmällä ei ole äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa määriteltyjä epätriviaaleja unitaarisia esityksiä (tähän pitää palata), mutta ääretönulotteisessa muistaakseni on. Kvanttimekaniikan kannalta tämä onkin toivottavaa.

Tuo äärellisulotteisten esitysten ei-unitaarisuus on mielenkiintoinen juttu, johon palataan varmasti. Johtaa kvanttikenttäteorian muodostamisessa varsin erikoisiin kuvioihin.

Määritelmä vieläpä muistuttaa "tavallista" ryhmien välisen homomorfismin määritelmää eli jos \((G, \star)\) ja \((H,\bullet)\) ovat ryhmiä, niin f:G\(\to \) H on ryhmähomomorfismi jos \( f(a\star b) = f(a)\bullet f(b)\).

 

Heräsikin heti kysymys. Poimin esimerkikkitapaukseksi (klassisen) spin-j kentän muunnoksen rotaatioissa. Tässä tapauksessa ryhmät ovat \((SO(3),\star)\) ja \((\mathbb{R}^3,\bullet)\).

Operaatio \(\bullet\) on matriisitulo. Valitaan kaksi rotaatiota \(a,b \in SO(3)\). Vastaavat \(\mathbb{R}^3\)-esitykset ovat kaksi matriisia \(R_1=U(a)\) ja \(R_2=U(b)\). Rotaatiot R₁ ja R₂ ovat muunnoksia

\(\psi\ \overset{R_1}{\rightarrow}\ \psi'\)
\(\psi'\ \overset{R_2}{\rightarrow}\ \psi''\),

jotka yhdisteään

\(\psi\ \xrightarrow{R_2R_1} \psi''\).

Nyt voin laskea

\(\begin{align*} \psi''^\sigma(x) & = {D[R_2]^\sigma}_\lambda\ \psi'^\lambda(R^{-1}_2\ x) \\ & = {D[R_2]^\sigma}_\lambda \ {D[R_1]^\lambda}_\rho\ \psi^\rho(R^{-1}_1R^{-1}_2\ x)\\ & = {D[R_2R_1]^\sigma}_\rho\ \psi^\rho(\ (R_2R_1)^{-1}\ x)
\end{align*}\)

ja todeta, että \(\mathbb{R}^3\):n rotaatiomatriisit R₁ ja R₂ noudattavat samaa tulosääntöä kuin SO(3):n ryhmäalkiot \(a\star b\).

Rittääkkö tämä osoittamaan, että U on ryhmähomomorfismi? Vai miten tämä pitäisi tehdä, kun tässä on lisäksi esitykset D[R₁

[Disputator]

Iltapäivää! Vastaan tässä ihan lyhyesti, on vähän kiirettä. Viikonloppuna sitten enemmän.

....
Heräsikin heti kysymys. Poimin esimerkikkitapaukseksi (klassisen) spin-j kentän muunnoksen rotaatioissa. Tässä tapauksessa ryhmät ovat \((SO(3),\star)\) ja \((\mathbb{R}^3,\bullet)\).

Operaatio \(\bullet\) on matriisitulo. Valitaan kaksi rotaatiota \(a,b \in SO(3)\). Vastaavat \(\mathbb{R}^3\)-esitykset ovat kaksi matriisia \(R_1=U(a)\) ja \(R_2=U(b)\). Rotaatiot R₁ ja R₂ ovat muunnoksia

\(\psi\ \overset{R_1}{\rightarrow}\ \psi'\)
\(\psi'\ \overset{R_2}{\rightarrow}\ \psi''\),

jotka yhdisteään

\(\psi\ \xrightarrow{R_2R_1} \psi''\).

Nyt voin laskea

\(\begin{align*} \psi''^\sigma(x) & = {D[R_2]^\sigma}_\lambda\ \psi'^\lambda(R^{-1}_2\ x) \\ & = {D[R_2]^\sigma}_\lambda \ {D[R_1]^\lambda}_\rho\ \psi^\rho(R^{-1}_1R^{-1}_2\ x)\\ & = {D[R_2R_1]^\sigma}_\rho\ \psi^\rho(\ (R_2R_1)^{-1}\ x)
\end{align*}\)

ja todeta, että \(\mathbb{R}^3\):n rotaatiomatriisit R₁ ja R₂ noudattavat samaa tulosääntöä kuin SO(3):n ryhmäalkiot \(a\star b\).

Rittääkkö tämä osoittamaan, että U on ryhmähomomorfismi? Vai miten tämä pitäisi tehdä, kun tässä on lisäksi esitykset D[R₁
 

[QS]

Joo, oli outo notaatio. Tarkoitin sitä, että kun tuossa on kyseessä kaksi esitysavaruutta, jotka ovat koordinaatiston euklidinen 3-dim, ja sitten spin-j esitysavaruus, joka voi olla esim. kompleksinen 2-dimensoinen, mikä näkyy esityksenä D[R]. Pohdin vain ääneen, että voinko homomorfismin osoittaa pelkillä R-matriiseilla vai pitääkö ottaa kantaa D[R] matriiseihin erikseen. tai jotain sellaista.

[QS]

Innostuin jälleen muistelemaan operaattorien muunnosta. Kvanttioperaattori A muuntuu unitaaristi \(U A U^{-1}\), missä \(U^\dagger=U^{-1}\). Komponenteilla ilmaistuna A_i muuntuu rotaatioissa

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

Tämä pätee paikka-, liikemäärä- ja kulmaliikemääräoperaattoreille X_i, P_i ja J_i, jotka ovat vektorioperaattoreita. Muunnos vastaa koordinaatiston kantavektorimuunnosta

\(\mathbf{e}_i \to \mathbf{e}_i' = {R^j}_i\ \mathbf{e}_j\)

missä indeksi on alhaalla. Noiden X_i, P_i ja J_i muunnos on tavallaan passiivinen, jossa koordinaatiston operaattorit pyöräytetään. Esimerkiksi J_k, missä k={1,2,3} muuntuvat rotaatioissa

\(U[R]\ J_k\ U[R]^{-1}={R^l}_k\ J_l\)

Mielivaltaisen pyörimisakselin \(\mathbf{n} = n^k\ \mathbf{e}_k\) rotaatio-operaattori \(J_\mathbf{n} = n^k\ J_k\).

Tuo \(J_\mathbf{n}\) voidaan pyöräyttää

\(U[R]\ J_\mathbf{n}\ U[R]^{-1} = J_{\mathbf{n'}}\),

missä \(\mathbf{n'} = R\ \mathbf{n}\). Operaattorin muunnos riippuu operaattorin tyypistä kuten klassisen kentän muunnoskin kentän tyypistä. Hamilton H muuntuu rotaatiossa kuten skalaari, mutta toisaalta puskuissa H ei ole invariantti.

Kvanttikentän operaattorit ovat paikan funktioita. Operaattrikentän muunnos on hiukan erikoinen, jonka joudun aina opettelemaan uudestaan. Kirjoitan esimerkin, jonka lähteinä ovat esoteerinen Quantum Theory of Fields by Weinberg sekä eräs ryhmäteorian opus. Yhdistelen oraakkelien tekstejä ketjun notaatiolla (onnistun ilman virheitä, tai sitten en).

Esimerkkinä 2-komponenttinen spin-operaattorikenttä \(\Psi^{\sigma}(\mathbf{x})\), joka aluksi epärelativistinen, jotta säilyy yhteys aiemmin mainittuihin. Merkitään kenttää \(\Psi\), aaltofunktiota \(\psi\), ja tilavektoria \(|\psi \rangle\).

Yksihiukkastila paikkaesityksessä on \(|\psi \rangle\), minkä voisi lausua \(|\mathbf{x},\sigma \rangle\), mutta tuota esitystä ei tässä tarvita. Tilavektorista ja operaattorikentästä \( \Psi^\sigma(\mathbf{x})\) muodostetaan aaltofunktio

\(\psi^\sigma(\mathbf{x}) = \langle 0|\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ |\psi\rangle \qquad \qquad \qquad (1)\)

missä \(\sigma=\{1,2\}\). Tilavektori muuntuu unitaaristi \(|\psi \rangle \to |\psi' \rangle = U[R]\ |\psi \rangle\). Aaltofunktio \(\psi^\sigma(\mathbf{x}) \in \mathbb{C}\) muuntuu rotaatiossa 2-komponenttisena kenttänä

\(\psi^\sigma(\mathbf{x}) \to \psi'^\sigma(\mathbf{x}) = {D^{1/2}[R]^\lambda}_\sigma\ \psi^\sigma(R^{-1}\mathbf{x})\),

missä D^½ miksaa komponentit \(\psi^1\) ja \(\psi^1\). Sama muunnos käänteisenä on

\(\psi'^\sigma(\mathbf{x}) \to \psi^\sigma(\mathbf{x}) = {D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \psi'^\lambda(R\mathbf{x}) \qquad \qquad \qquad (2)\)

Aaltofunktio paikassa x voidaan kirjoittaa

\(\psi^\sigma(\mathbf{x}) = \langle 0|\ U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1}\ |\psi'\rangle \qquad \qquad \qquad (3)\)

missä \(U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1}\) on toistaiseksi tuntematon kvanttikentän \(\Psi(\mathbf{x})\) unitaari muunnos. Kaava (3) tarkoittaa sitä, että kierrettyyn tilavektoriin \(|\psi'\rangle\) kohdistetaan muunnos \(U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1}\), josta saadaan aaltofunktio paikassa x. Kaavassa (1) ja (3) on siis sama aaltofunktio ja samassa paikassa.

Seuraavaksi kaava (1) kerrotaan käänteismatriisilla \( D^{1/2}[R^{-1}]\), josta saadaan

\({D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \psi'^\lambda(\mathbf{x}') = \langle 0|\ {D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \Psi^\lambda(\mathbf{x}')\ |\psi'\rangle\)

Tässä vasemmalla ja oikealla puolella on aaltofunktion komponentit, joihin on kohdistettu käänteismatriisi. Oikealla puolella matriisi on siirretty braketin sisään, kenttäoperaattorin eteen. Tilavektori \(|\psi\rangle\) on pyrähtänyt tilaksi \(|\psi'\rangle\). Vasemmalla puolella näkyy edellä mainittu aaltofunktion käänteismuunnos (2).

Molemmille puolille on kirjoitettu x' siksi, että tilavektorin paikka on pyörähtänyt paikaksi \(|\mathbf{x'}\rangle\). Voidaan todeta, että x' = Rx, sillä kaavassa (2) esiintyvä käänteismuunnoksen paikka on Rx. Kun sijoitetaan x', saadaan

\({D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \psi'^\lambda(R\mathbf{x}) = \langle 0|\ {D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \Psi^\lambda(R\mathbf{x})\ |\psi'\rangle\)

Verrataan tätä yhtälöihin (2) ja (3), ja todetaan, että rotaatioissa kvanttikenttä muuntuu

\(\Psi^\sigma(\mathbf{x}) \to U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1} = {D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \Psi^\lambda(R\mathbf{x})\)

Tämä on luonteeltaan passiivinen muunnos, mikä poikkeaa klassisen kentän aktiivisesta muunnoskaavasta. Lorentzmuunnos onkin sitten mielenkiintoisempi hässäkkä.

[Disputator]

Iltaa.

Mun mielestä tuossa on pohjimmiltaan kyseessä rotaatioryhmän SO(3) kahdesta eri esityksestä ja niiden tensoritulosta:

Esitys 1:

Kuten yllä, voidaan määritellä SO(3):n esitys (kompleksi)arvoisten skalaarifunktioiden vektoriavaruudessa \( F(M,\mathbb{C})\) kaavalla \((R\psi)(x) = \psi(\Lambda^{-1} x)\). Annan tälle esitykselle nimen \(\Pi\) siten että annetulla funktiolla \( \psi\) jokaiseen \(R\in SO(3)\) liittyy uusi funktio \((\Pi (R)\psi\) kaavan \( (\Pi (R) \psi) (x) =\psi (R^{-1}x)\) mukaisesti.

Esitys 2:

Tämä on SO(3):n esitys (2j+1)-ulotteisessa kompleksisessa spinoriavaruudessa joka määritellään kaavalla:

\(V^\sigma\rightarrow D[R]^\sigma_\rho V^\rho\),

missä \(V = \{V^\rho\}\in \mathbb{C}^{2j+1}\) on tavallinen (2j+1)-vektori eikä funktio.

Esitys 2\( \otimes\) Esitys 1:

Nyt määritellään uusi vektoriavaruus, (2j+1)-ulotteisten vektorifunktioiden avaruus tensoritulon avulla kaavalla:

\(F(M,\mathbb{C}^n) = \mathbb{C}^{2j+1}\otimes F(M,\mathbb{C})\).

Nyt tuo tensorimääritelmä vaikuttaa heti turhalta abstraktilta kikkailulta, mutta tässä voi mielestäni käyttää ryhmien esitysten tensoritulon käsitettä eli tässä keississä D ja \(\Pi\):n tensorituloesitys \(D\otimes \Pi\).

En nyt ole ihan varma onko tämä hedelmällinen lähestymistapa, mutta jos yritän tässä ymmärtää esityksen:

\({D[R]^\sigma}_\rho\ \psi^\rho(\ (R)^{-1}\ x)\)

muotoa, miksi tuo on sellainen kuin tuo on. Fysikaalisin perustein tuo on ihan uskottava, mutta yritin tässä liittää siihen noita tensorituloja. Esitysten tensorituloille taasen on olemassa koko joukko teoreemoja ja kaavoja, joita sitten voisi käyttää ja tulkita.

No en tiedä, täytyy pohtia lisää.

[Disputator]

Avasitpa oikein kunnon matopurkin!

Innostuin jälleen muistelemaan operaattorien muunnosta
...
Verrataan tätä yhtälöihin (2) ja (3), ja todetaan, että rotaatioissa kvanttikenttä muuntuu

\(\Psi^\sigma(\mathbf{x}) \to U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1} = {D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \Psi^\lambda(R\mathbf{x})\)

Tämä on luonteeltaan passiivinen muunnos, mikä poikkeaa klassisen kentän aktiivisesta muunnoskaavasta. Lorentzmuunnos onkin sitten mielenkiintoisempi hässäkkä.

Ymmärsin kyllä sun kirjoituksesta päälinjat, mutta en nyt ihan heti osaa kommentoida mitään täsmällistä. Mun kvanttikenttäteoriatuntemus on ihan perustason juttuja. Ihan heti kuitenkin mainitsen yhden kirjani (ei QFT-kirja) lähes sivuhuomautuksena esittämän huomion:

Tuo sun lainaamani kaava on hänen mukaansa distribuutiokentän muunnos, kun taas monikomponettiset kentät muuntuvat tuon antamasi käänteismuunnoksena, tai niin ainakin ymmärsin kirjan tekstin. Jotenkin niin idea olisi, että operaattoriarvoiset "kvanttikentät" muuntuvat tietyllä tavalla ja "operaattoriarvoiset distribuutiot" muuntuvat toisin. Syy on jotenkin, että jälkimmäiset ovat edellisten duaaliavaruuden alkioita tms...

Mä palaan kyllä tähän varmasti, mutta mulla on paljon joulukiireitä ja voi olla että menee jouluun asti ennen kuin helpottaa. Luen kyllä kaikki jutut ja kirjoitan kyllä varmasti jotakin, mutta aikaa ei jää hirveästi uuden opetteluun, tai edes vanhan kertaamiseen.