Fysiikan kaavalotto

[Varaktori]

Tämä nyt ei ole mitenkään kiero, mutta laitan tähän kun tykkään siitä.
\((i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0\)

Kyllä, hyvin viehättävä. Lähes satavuotias, mutta edelleen eräs fysiikan kauneimpia. Diracin yhtälö.

En mä näitä enää näköjään osaa sitäkään vähää mitä joskus. Tuotakin kun alkaa miettimään niin:
\(\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
\(\gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^1 \\ \sigma^1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^3 \\ \sigma^3 & 0 \end{pmatrix}\)
Kaikkea tuollaista alkaa putkahdella esiin. No suutari pysyköön lestissään, kehittelen jotain muuta kivaa tänne.

EDIT:
Laitetaan nyt ne Paulin matriisit myös. Liekö ne näin:
\(\sigma^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

[QS]

Joo, gammamatriiseillakin on hämmästyttyäviä ominaisuuksia, joista voisi joskus. Mielestäni Diracin kannassa matriisien \(\gamma^1, \gamma^2,\gamma^3 \) vasemmassa alakulmassa ovat \(-\sigma^1,-\sigma^2,-\sigma^3\), mutta voi olla joku kanta jossa noi sun kirjoittamat +merkkiset ovat oikein. Ei näitä ulkoa muista.

Mutta kaavaloton toiselle kierrokselle laittaisin helpommin arvattavan/tiedettävän kuin ensimmäinen oli.

\(\mathbf{w} = \frac{1}{1+\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}\left [ \mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times (\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \right ]\)

Mitähän tässä lasketaan?

[Varaktori]

Joo, gammamatriiseillakin on hämmästyttyäviä ominaisuuksia, joista voisi joskus. Mielestäni Diracin kannassa matriisien \(\gamma^1, \gamma^2,\gamma^3 \) vasemmassa alakulmassa ovat \(-\sigma^1,-\sigma^2,-\sigma^3\), mutta voi olla joku kanta jossa noi sun kirjoittamat +merkkiset ovat oikein. Ei näitä ulkoa muista.

Mutta kaavaloton toiselle kierrokselle laittaisin helpommin arvattavan/tiedettävän kuin ensimmäinen oli.

\(\mathbf{w} = \frac{1}{1+\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}\left [ \mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times (\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \right ]\)

Mitähän tässä lasketaan?

Vektoreita?

[Disputator]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

[Varaktori]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

Eikä tuo vähän aika-avaruuden geometriaa kuvaa? Mulla kanssa usein juodessa muisti menee, niin on kyllä tämä tiedemies meikäläisen sielunveli.

[Varaktori]

Meikäläinen lähinnä kateellisena katselee kun noita täällä pyöritellään. Tiedättekös mikä se tämä on?
\(F(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\)
Se osuu toisinaan suurilla n arvoilla meikäläisen tontille.

[QS]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

En ymmärrä muuta kuin, että muistutaa etäisesti metriikkaa, jossa u-koordinaatin etäisyydet kasvavat ajan funktiona. Jonkinlainen skaalafunktio \(a(t)=t^2\), samaan tapaan kuin FLRW-metriikassa. Mutta en saa termien etumerkkejä suhteellisuusteorian mukaiseksi, vaikka koetin jotain koordinaattien muunnoksia tyyliin t -> x-t tai t -> x+t tai vastaavaa.

Ilmeisesti juovuksissa voi keksiä asioita, joita ei selväpäinen voi ymmärtää. Tai pitäisi riipaista känni, että ymmärtäisin.

[QS]

Joo, gammamatriiseillakin on hämmästyttyäviä ominaisuuksia, joista voisi joskus. Mielestäni Diracin kannassa matriisien \(\gamma^1, \gamma^2,\gamma^3 \) vasemmassa alakulmassa ovat \(-\sigma^1,-\sigma^2,-\sigma^3\), mutta voi olla joku kanta jossa noi sun kirjoittamat +merkkiset ovat oikein. Ei näitä ulkoa muista.

Mutta kaavaloton toiselle kierrokselle laittaisin helpommin arvattavan/tiedettävän kuin ensimmäinen oli.

\(\mathbf{w} = \frac{1}{1+\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}\left [ \mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times (\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \right ]\)

Mitähän tässä lasketaan?

Vektoreita?

Kyllä, ehdottomasti . Jopa ihan tavallisia 3-dimensioisia vektoreita. Mutta mitähän suuretta vektorit tässä edustavat ja mitä mokoma kaava niille tekee.

[Varaktori]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

En ymmärrä muuta kuin, että muistutaa etäisesti metriikkaa, jossa u-koordinaatin etäisyydet kasvavat ajan funktiona. Jonkinlainen skaalafunktio \(a(t)=t^2\), samaan tapaan kuin FLRW-metriikassa. Mutta en saa termien etumerkkejä suhteellisuusteorian mukaiseksi, vaikka koetin jotain koordinaattien muunnoksia tyyliin t -> x-t tai t -> x+t tai vastaavaa.

Ilmeisesti juovuksissa voi keksiä asioita, joita ei selväpäinen voi ymmärtää. Tai pitäisi riipaista känni, että ymmärtäisin.

Minä olin tuossa näkevinäni infinitesimaalisen etäisyyden elementtin, differentiaalikoordinaatit aika-avaruudessa, aikakoordinaatin ja avaruuskoordinaatit. Nyt vaan pitää muistaa että täällä kirjoitellaan mitään tietämättömän varmuudella.

[QS]

Meikäläinen lähinnä kateellisena katselee kun noita täällä pyöritellään. Tiedättekös mikä se tämä on?
\(F(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\)
Se osuu toisinaan suurilla n arvoilla meikäläisen tontille.

Tämän luulisin tietäväni. Se tuottaa Fibonaccin lukujonon. Kaavassa \(\psi = (1-\phi)\), missä \( \phi \) on kultainen leikkaus.