Kun suhteellinen alkuluku vuorottain löytyy siirtymällä eri korkeuksilta 3-jakoisuudesta alaspäin -1 ja siitä 2-jakoisuudet eliminoiden takaisin ylöspäin +1, ovatko kaikki ketjun jäsenet vääjämättä yksilöllisiä?
Se on selvää, että mikäli ei fluktuoida vaan tulisi yhdenään kerran 1-siirtymiä peräkkäin samaan suuntaan, suhteellinen alkulukuisuus ei toimisi seulana.
Löydössä on niputettu parittomien nousu-sekvenssi ja parillisten lasku-sekvenssit lukuteoreettisiksi moduleiksi. Parillisten pieneneminen kahden potensseilla jakaen on aina ollut selviö, mutta ehkä parittomien nousussa ei ole ennen tätä huomattu sen olevan puolestaan kolmella jaollisuuteen sidoksissa myös potenssina! 3x+1 -termi antaa ymmärtää, että 1-siirtymää tapahtuisi tenevästi, mutta se ei tutkitusti ole tuottamuksellista.
Olen huomannut, että jonkinlaisen käänteisen Eratothenes-seulan toteuttamiseksi \((ax+1)/b\) -sekvenssissä sekä luku \(a\) että luku \(b\) tulee olla todellisia alkulukuja, ja jotta joukko \(N\) täyttyisi tiheästi, lisäystermi tulee olla \((x+1)/b\) -> \((a-1)x/b=x\) -> \(a=b+1\). Vain \(a=3, b=2\) ovat kelvollisia.
Jos rakennetaan toinen sekvenssi, joka pinoutuu samaan tapaan, on käytettävä sekä \((ax+1)/b\)- että \((ax-1)/b\) -termejä sekä useita paisutuskertoimia \(a\):lle, vakiota \(b\):lle ja ensin tarkistettava, onko tulos kokonaisluku ja suorittaa sitten, kun se on...
Collatz-sekvenssin selkäranka perustuu kertoimen \(3\) potensseihin. Voit kirjoittaa \((3x+1)/2\) muotoon \((2x/2+(x+1)/2\). Olkoon lisäystermi \((x+1)/2=A2^n\). Riippuen \(n\):stä saamme \(k\)-sekvenssin peräkkäisiä parittomia lukuja + viimeinen parillinen, \(k=1+n\) (ensimmäinen lähtöpariton ja summa muista \(k\)-jakson jäsenistä), missä kahden potenssit häviävät ja kolmen potenssit nousevat. Ottaen huomioon, että sekvenssiin lähdettäessä \((x=-1+2\times A2^n)\) :
Siksi koko kasvava k-sekvenssi peräkkäisillä parittomilla luvuilla määritellään termillä \(3^k\) säilyttämällä jokin suhteellinen alkuluku \(A\). Kun vähennetään yhdellä, saadaan uusi \(A\)-liitetty suhteellinen alkuluku \(B\) parillisessa luvussa \(A3^{n+1}-1=B2^{m}\) Kun puolitetaan peräkkäin, on vain \(B\). Sitten uusi \(x=B\) saamme uuden \(B\)-liitetyn suhteellisen alkuluvun \(A\): \((x+1)/2=A2^n\) - jne...
Minusta näyttää siltä, että Collatz-sekvenssit ilmenevät käänteisenä Eratostheneen seulana, joka nojaa luvun kolmen potensseihin vahvana selkärankana.
tiivistyy parittoman (nousujakson eka) ja parillisen (laskujakson eka) vuorotteluksi:
\(x\;mod\;2 = 0\;=>\;x=B=x/2^m,\;m:\;\)suurin pitäen joukossa\(N\), saadaan pariton
\(x\;mod\;2 = 1\;=>\;x=A\times3^k-1,\;k:(x+1)/2^k\) :ssa suurin pitäen joukossa\(N\), saadaan parillinen
Kuten näkyy, jaksot ovat joko kahdella jakamista tai yksikkösiirtymässä kolmen potenssiin vaihtamista, enimmillään nousujaksoissa \(3^k/2\) :n alla pysymistä, jolloin sidostusti noudatetaan jaollisuus-slotin rakennetta. Slotit alkavat yksilöllisinä ja voivat yhtyä toisiinsa ketjun edetessä kohti vääjäämätöntä ykköstä. Sidottu rakenne takaa, että mikä tahansa luku jossain vaiheessa varmuudella muuntuu parillisena kahden potenssiksi, koska täytetään kokonaislukujen joukkoa järjestelmällisesti, vaikkakin rinnakkais-sloteittain. Collatzin oletus näin ollen toteutuu kaikilla luvuilla \(x\) ∈\(N\).
