Spinori

[Disputator]

Aamupäivää!

Olen taistellut Diracin yhtälön kanssa ja edistystä on tapahtunut, ainakin jonkin verran Olen käynyt läpi tuota Diracin yhtälön ratkaisun muodostamista ja tässä alla on sulta hyvä esitys, jonka mielestäni ymmärrän jotenkin. Yksi kohta tuossa jäi vaivaamaan:

Ennen distribuutioihin syventymistä selvitin itselleni tämän äärellisulotteisen operaattorikentän \(\Psi^\alpha(x)\) ja vastaavan ääretönulotteisen tilavektoriavaruuden muunnokset, ja näiden välisen yhteyden. Tilavektorien avaruus on kantavektorijoukon \(\{|\mathbf{p}\rangle \}\) virittämä.

Tilavektoreita luo ja poistaa mainittu operaattoriarvoinen Diracin kvanttikenttä

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä \(e^{\pm ipx}\) on Lorentzinvariantti. \(a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\) luo antihiukkasen liikemäärällä \(\mathbf{p}\) ja spinillä \(\lambda=\pm \frac{1}{2}\). Vastaava \(a(\mathbf{p},\lambda)\) poistaa hiukkasen. Diracin spinorit \(u^\alpha\) ja \(v^\alpha\) muodostuvat 2-komponenttisista Weylin spinoreista, jotka ovat oikea- ja vasenkiraalisia.

Adjungaattikentän \(\overline{\Psi}^\alpha = (\Psi^\alpha)^\dagger \gamma^0\) operaattori \(a^{\dagger}\) luo hiukkasen ja \(a_c\) poistaa antihiukkasen. Tuon kentän adjungaattispinorit ovat \(\overline{u}^\alpha = ({u^\alpha})^\dagger\gamma^0\) ja \(\overline{v}^\alpha = ({v^\alpha})^\dagger \gamma^0\) .

Liikemäärän p=0 spinorit ovat \(u^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\), missä vasen- ja oikeakiraaliset Weylin spinorit komponenteissa \(\alpha=1,2\) ja \(\alpha=3,4\). Spinorit muuntuvat matriisilla

\({\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \right )^\alpha}_\beta = \begin{bmatrix} D^{(\frac{1}{2},0)}[\Lambda] & 0\\ 0 & D^{(0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \exp (-\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2})&0 \\ 0 & \exp (\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2}) \end{bmatrix}\)

mikä on siis 2-komponenttisia Weylin spinoreita vastaavien muunnosten suora summa. Paulin matriisit ovat \(\mathbf{\sigma}\). Lisäksi \(\alpha = \tanh^{-1}(\mathbf{p}|/p^0)\) ja \(\hat{\mathbf{p}}\) on puskun liikemäärävektorin suuntainen yksikkövektori.

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

Fysikaalinen tilavektori \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) on liikemäärä- ja spinoperaattorin ominaisvektori, toisin sanoen \(\mathbf{P}| \mathbf{p},\lambda \rangle = \mathbf{p}| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ja \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\).
...
 

Tuossa tuo \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ei mielestäni ole totta. Vai onko se noin? Kun luin tuon Diracin yhtälön ratkaisemisesta aaltomekaniikan puitteissa eli ei oteta käyttöön luomis-ja tuhoamisoperaattoreita vaan ne ovat vielä kompleksilukuja. Silloin tuossa antamassasi kaavassa:

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

tai jos kirjoitetaan ilman spinori-indeksiä \(\alpha\):

\(\Psi(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

summataan spin-tilojen \(\lambda=\pm 1/2\) yli, niin spinorit \(u(\mathbf{p},\lambda)\) ja\(v(\mathbf{p},\lambda)\) eivät mielestäni ole operaattorin \(S_z\) ominaistiloja. Liikemäärän p=0 spinorit \(u(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v(\mathbf{0},\lambda)\) taasen ymmärtääkseni ovat.

Sulla oli tuo p = 0 spinorin muunnoskaava:

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

 

Tuossa tuo vasemman puolen notaatio on ehkä hämärä, sillä se viittaisi että \(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\) olisi S_z: ominaistila ominaisarvolla \(\lambda\).

Kirjani laskee esimerkkinä eksplisiittisesti, että kirjan \(u(\mathbf{0},\lambda)\) on ominaistila operaattorille S_z tai S₃, mille kirjani antaa \( \Sigma_3 \) Paulin matriisien avulla (kirjassa gammamatriisit Dirac-Paulin esityksessä, en tiedä onko väliä tässä mikä esitys):

\(\Sigma_3 =\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix}
\sigma_3 & 0\\
0 & \sigma_3 \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
S_3 & 0\\
0 & S_3 \\
\end{bmatrix}\)

Asetetaan \( \hbar=1\):

\(\Sigma_3 =\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}\)

ja sitten kirjani suorittaa puskun \(u(\mathbf{0},\lambda)\):lle x-kselin suuntaan ja toteaa että saatu tulos ei ole enää ominaisfunktio \( \Sigma_3\):lle. Kirjani myös toteaa: jos pusku on "spin-vektorin" S suuntainen, ominaistila säilyyy.

Ihan mielenkiinnosta tutkin mitä nuo \(\Sigma\)-matriisit ovat? Ne ovat Lorentz-ryhmän rotaatioita vastaavien generaattorien matriisit tuossa esityksessä.

Ylläolevassa ei ole mitenkään huomioitu kvantisoinnin jälkeen saatavia spin-arvoja tms. eli u ja v ovat vielä ihan tavallisia spinoreita

[QS]

Olen nyt opiskellut/kertaillut noita QFT:n perusteita ja tuo Diracin yhtälön ratkaisun ymmärtäminen on työn alla. Sulla oli oikein hyvä tietopaketti tuosta edellisissä viesteissä ja olen jollain tasolla ymmärtänyt mitä siinä tapahtuu. Matkalla on tullut vastaan kuitenkin monia asioita joita vielä selvittelen.

Yksi asia monen ohella on se, että missä Hilbertin avaruudessa QFT:n operaattorit toimivat?

Olen ymmärtänyt, että QFT:n alkeissa muodostetaan ensin yhden hiukkasen tilaa kuvaava Hilbert-avaruus H₁ samalla tavalla kuin aaltofunktioiden tai tilavektorien kvanttimekaaniikassa ja sitten muodostetaan Fock-avaruus suorana summana avaruudesta H₁ muodostetuista antisymmetrisoiduita/symmetrisoiduista tensorituloista, antisymmetriset (fermionit):

\(H= H_0\oplus H_1\oplus(H_1\otimes_a H_1)\oplus (H_1\otimes_a H_1\otimes_a H_1)...\).

ja symmetriset (bosonit):

\(H= H_0\oplus H_1\oplus(H_1\otimes_s H_1)\oplus (H_1\otimes_s H_1\otimes_s H_1)...\).

Tuossa H₀ on yksiulotteinen avaruus (vakuumin virittämä..?), jonka virittää vektori \(|\Omega>\).

Nyt jos on annettu joku operaattori\( A:H_1\to H_1\), niin se voidaan laajentaa koko avaruuteen operaattoriksi
\(A:H\to H\), jossa siis käytetään samaa merkintää A tälle laajennetulle operaattorille. Näin täytyy mielestäni olla, koska muuten monet QFT:n jutut eivät ole mielekkäitä. Esimerkiksi erilaiset unitaariset \( U:H_1\to H_1\) on laajennettavissa koko avaruuteen:

\( U:H\to H\).

Tämä laajennettu U on myös unitaarinen, jos Fock-avaruus varustetaan sopivalla sisätulolla, jonka indusoi H₁:n sisätulo.

Samoin luomis-ja hävitysoperaattorit laajentuu koko Fockin avaruuden H operaattoreiksi, muuten ei oikein ole mielekästä operoida sellaisella n-hiukkastilaan josta sitten tulee (n+1)-hiukkastila tai (n-1)-hiukkastila.

En nyt laittanut mitään eksplisiittisiä kaavoja näkyviin, koska ne löytyy monesta lähteestä.

Joo, näin minäkin olen tämän oppinut.

Vakuumi \(|\Omega>\) ja n-hiukkastilavektorit ovat ortogonaalisia, tosin sanoen vakuumin on tilavektori muiden joukossa. Se on Lorentzmuunnoksissa invariantti \(U(\Lambda)|\Omega> = |\Omega>\), mikä on käsittääkseni aksiooma tai postulaatti.

Poisto-operaattori annihiloi vakuumin \(a(p)|\Omega> = 0\), missä oikealla puolella 0 on numero. Tämä ei välttämättä tarkoita sitä, että a(p) tuossa poistaisi maailmankaikkeuden

Edellä kirjoittamasi spinin ominaistilaan liittyvä kysymys on hyvä! Paneudun siihen ja vastaan myöhemmin. Asiaan liittyy kyllä sekaannus, olet oikeassa.

[QS]

Aamupäivää!

Olen taistellut Diracin yhtälön kanssa ja edistystä on tapahtunut, ainakin jonkin verran Olen käynyt läpi tuota Diracin yhtälön ratkaisun muodostamista ja tässä alla on sulta hyvä esitys, jonka mielestäni ymmärrän jotenkin. Yksi kohta tuossa jäi vaivaamaan:

Ennen distribuutioihin syventymistä selvitin itselleni tämän äärellisulotteisen operaattorikentän \(\Psi^\alpha(x)\) ja vastaavan ääretönulotteisen tilavektoriavaruuden muunnokset, ja näiden välisen yhteyden. Tilavektorien avaruus on kantavektorijoukon \(\{|\mathbf{p}\rangle \}\) virittämä.

Tilavektoreita luo ja poistaa mainittu operaattoriarvoinen Diracin kvanttikenttä

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä \(e^{\pm ipx}\) on Lorentzinvariantti. \(a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\) luo antihiukkasen liikemäärällä \(\mathbf{p}\) ja spinillä \(\lambda=\pm \frac{1}{2}\). Vastaava \(a(\mathbf{p},\lambda)\) poistaa hiukkasen. Diracin spinorit \(u^\alpha\) ja \(v^\alpha\) muodostuvat 2-komponenttisista Weylin spinoreista, jotka ovat oikea- ja vasenkiraalisia.

Adjungaattikentän \(\overline{\Psi}^\alpha = (\Psi^\alpha)^\dagger \gamma^0\) operaattori \(a^{\dagger}\) luo hiukkasen ja \(a_c\) poistaa antihiukkasen. Tuon kentän adjungaattispinorit ovat \(\overline{u}^\alpha = ({u^\alpha})^\dagger \gamma^0\) ja \(\overline{v}^\alpha = ({v^\alpha})^\dagger \gamma^0\) .

Liikemäärän p=0 spinorit ovat \(u^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\), missä vasen- ja oikeakiraaliset Weylin spinorit komponenteissa \(\alpha=1,2\) ja \(\alpha=3,4\). Spinorit muuntuvat matriisilla

\({\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \right )^\alpha}_\beta = \begin{bmatrix} D^{(\frac{1}{2},0)}[\Lambda] & 0\\ 0 & D^{(0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \exp (-\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2})&0 \\ 0 & \exp (\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2}) \end{bmatrix}\)

mikä on siis 2-komponenttisia Weylin spinoreita vastaavien muunnosten suora summa. Paulin matriisit ovat \(\mathbf{\sigma}\). Lisäksi \(\alpha = \tanh^{-1}(\mathbf{p}|/p^0)\) ja \(\hat{\mathbf{p}}\) on puskun liikemäärävektorin suuntainen yksikkövektori.

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

Fysikaalinen tilavektori \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) on liikemäärä- ja spinoperaattorin ominaisvektori, toisin sanoen \(\mathbf{P}| \mathbf{p},\lambda \rangle = \mathbf{p}| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ja \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\).
...
 

Tuossa tuo \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ei mielestäni ole totta. Vai onko se noin? Kun luin tuon Diracin yhtälön ratkaisemisesta aaltomekaniikan puitteissa eli ei oteta käyttöön luomis-ja tuhoamisoperaattoreita vaan ne ovat vielä kompleksilukuja. Silloin tuossa antamassasi kaavassa:

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

tai jos kirjoitetaan ilman spinori-indeksiä \(\alpha\):

\(\Psi(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

summataan spin-tilojen \(\lambda=\pm 1/2\) yli, niin spinorit \(u(\mathbf{p},\lambda)\) ja\(v(\mathbf{p},\lambda)\) eivät mielestäni ole operaattorin \(S_z\) ominaistiloja. Liikemäärän p=0 spinorit \(u(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v(\mathbf{0},\lambda)\) taasen ymmärtääkseni ovat.
 

No niin. Koetan ensin setviä tämän kohdan.

Tämä on erinomainen kysymys, sillä liittyy vektorin \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) muunnokseen laajemminkin. Kyseisen sotkun tuotekehityksestä vastannut osittain Eugene Wigner ja myynnin & markkinoinnin hoitanut Steven Weinberg, jonka ansiosta sotku levinnyt vajaassa sadassa vuodessa laajalle. Itsekin tässä näköjään touhusin sotkun osalta influensserin roolissa.

Tuo ominaistila, jonka notaatio \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\), on yleisesti ottaen paikkaansa pitävä. Vektori kuvaa hiukkasta, jonka liikemärää on \(\mathbf{p}\) ja spin on \(\lambda\). Se ei siis ole lineaarikombinaatio \(c_1 | \mathbf{p},+\frac{1}{2} \rangle + c_2 | \mathbf{p},-\frac{1}{2} \rangle\), mikä ei olisi \(S_z\):n ominaistila.

Suunnaton hämmennys on peräisin siitä, että myös \(| \mathbf{0},\lambda \rangle\) on \(S_z\):n ominaistila! Tämä kuulostaa fysikaalisesti ajateltuna mielenvikaiselta, mutta siihen on perusteensa. "Fysikaalinen"-sana saa kyllä matemaatikot raivostumaan, mutta totean sen, koska vaikuttaisi olevan "fysikaalisesti" selvää, että puskun jälkeen spin on lineaarikombinaatio

Weinberg valitsee teoksessaan lähtökohdaksi hiukkasen, jonka liikemäärä \(k=(m,0,0,0)^T\). Hän määrittelee Lorentzmuunnoksen notaatiolla L(p), ja nimeää sen 'standard Lorentz tranformation', jota ei enempää perustele. Muunnos k:lle kirjoitetaan

\(L(p) k = p\)

Vektorista \(| k,\lambda \rangle\) muodostetaan L(p):llä muunnettu vektori (jätän normituskertoimet nyt pois)

\(| p,\lambda \rangle = U(\ L(p)\ )\ | k,\lambda \rangle\)

missä \(\lambda\) on molemmilla puolilla sama, ja näin ollen vasen puolikin on \(S_z\):n ominaistila. Weinberg ei tätäkään perustele, mutta hän tarkoittanee L(p):llä yhtä z-akselin suuntaista puskua. Muutoin oikean puolen tila olisi \(\lambda\):n osalta lineaarikombinaatio.

Tuo U( L(p) ):llä saatu tilavektori \(| p,\lambda \rangle\) kummittelee usein spinin ominastilana sen lisäksi, että myös \(| 0,\lambda \rangle\) on ominaistila. Tarinan varsinainen juoni paljastuu vasta jatkossa.

L(p):n jälkeen määritellään mielivaltainen Lorentzmuunnos \(\Lambda\), jonka notaatiossa ei ole muunnoksen parametreja. Spinin ominaistila \(| p,\lambda \rangle\) muunnetaan seuraavasti

\(\begin{align*}
U[\Lambda]\ | p,\lambda \rangle &= U[\Lambda]\ U[L(p)]\ | k,\lambda \rangle \\
&=U[\ \Lambda L(p)\ ]\ | k,\lambda \rangle \\
&=U[\ L(\Lambda p)\ ]\ U[\ L^{-1}(\Lambda p)\ ]\ \ U[\ \Lambda L(p)\ ]\ | k,\lambda \rangle
\end{align*}\)

missä toisella rivillä L(p):hen kohdistettu muunnos \(\Lambda\). Kolmannella rivillä kaksi ensimmäistä U:ta ovat yksikköoperaattori

\(U(\ L(\Lambda p)\ )\ U(\ L^{-1}(\Lambda p)\ ) = \mathbb{I}\)

Seuraava taikatemppu on pitää kolmannen rivin ensimmäinen U sellaisenaan, ja poimia kaksi viimeistä U:ta muotoon

\(U[\Lambda]\ | p,\lambda \rangle =U[\ L(\Lambda p)\ ]\ U[\ L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda \ L(p)\ ]\ | k,\lambda \rangle\)

missä herra Wigner on vastuussa siitä, että jälkimmäisen U:n sisällä näkyvän muunnoksen notaatio on yleensä

\(W(\Lambda,p) = L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda \ L(p)\)

Tähän W:hen voidaan palata toinen kerta. Se on mielenkiintoinen, sillä \(W(\Lambda,p)\ k = k\), mikä on massallisen hitusen tapauksessa vektorin k rotaatio ilman puskua. Tämä riippumatta L(p):n liikemäärästä p tai mielivaltaisesta muunnoksesta \(\Lambda\).

Nyt tuo rotaatio W on vastuussa spinin muuntumisesta lineaarikombinaatioksi

\(U[W(\Lambda,p)]\ | k,\lambda \rangle = \sum_{\lambda'=\pm \frac{1}{2}}\ D_{\lambda'\lambda}[W(\Lambda,p)]\ |k, \lambda' \rangle\)

W kohdistuu tässä nollaliikemäärän k tilaan, mutta se päätyy lopulta ominaistilan \(| p,\lambda \rangle\) muunnokseen. Ja hämmästyttävästi \(| p,\lambda \rangle\) on tosiaan spin-ominaistila, ei Lorentzmuunnettu tila.

Hyvin epäuskottavan näköinen selitys kirjoittamalleni ominaistilalle, mutta tämä kaikki on totta. Vannon

[QS]

Pari viimeistä vaihetta voisin vielä kirjoittaa. Kun muunnokseen

\(U[\Lambda]\ | p,\lambda \rangle =U[\ L(\Lambda p)\ ]\ U[\ L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda \ L(p)\ ]\ | k,\lambda \rangle\)

sijoitetaan edellä mainittu W, saadaan (ilman normitusta)

\(\begin{align*} U[\Lambda]\ | p,\lambda \rangle &= U[\ L(\Lambda p)\ ]\ U[W(\Lambda,p)]\ | k,\lambda \rangle \\
&=U[\ L(\Lambda p)\ ] \sum_{\lambda'=\pm \frac{1}{2}}\ D_{\lambda'\lambda}[W(\Lambda,p)]\ |k, \lambda' \rangle \\
& = \sum_{\lambda'=\pm \frac{1}{2}}\ D_{\lambda'\lambda}[W(\Lambda,p)]\ |\Lambda p, \lambda' \rangle
\end{align*}\)

missä toisen rivin \(U(L(\Lambda p))\) muuntaa vektorin \(| k,\lambda \rangle\) liikemäärään osalta kolmannen rivin liikemääräksi \(\Lambda p\), ja Wignerin rotaation sisältävä matriisi D muuntaa spinin lineaarikombinaatioksi.

Lyhyesti tämän kaiken voisi kuvailla siten, että nollaliikemäärän spin-1/2 hiukkasen ominaistilasta muodostetaan liikemäärän p tila, joka on myös spinin ominaistila. Tuohon liikemäärän p tilaan kohdistetaan mielivaltainen Lorentzmuunnos, ja vasta sen jälkeen kyseessä on spinin lineaarikombinaatio.

Nyt sitten mainittu Diracin kvanttikenttä ja sen operaattorit luovat ja poistavat spinin ominaistiloja \(| p,\lambda \rangle\). Kentän lorentzmuunnoksissa tuo kvanttikenttä muuntuu siten, että se luomat/poistamat tilavektorit ovat spinin lineaarikombinaatioita ja muunnetun liikemäärän tiloja.

Jälkimmäinen osuus kysymyksestäsi koskee kvanttikentän spinoreita u ja v. Jään pohtimaan Weinbergin kryptisen eeppoksen kanssa, että miten nuo muunnokset liittyvät tilavektorien muunnoksiin. Koetan ensin itse kääntää Weinbergin aivoitukset tavallisen kuolevaisen fysiikan ymmärykseen, jotta saan tästä jotain selvää.

[Eusa]

Vannomatta paras. Ominaistiloista tulee mieleen kuinka paikallisen konkreettisesti spiniä voidaan kääntää ylösalaisin vuorovaikutuksessa ulkoisen ympäristön kanssa; tuomalla staattiseen kenttään, resonanssitaajuisella säteilyllä, orbitaaliliikemäärävaihdoksella, dynaamisella kenttäpumppauksella, manipulomalla optisissa ioniloukuissa,...

Matematiikassa minua kiinnostaa se kuinka tuollaisessa manipulaatiotilanteessa tilastollinen kenttämuutos leviää ja mitä merkitystä sillä on korrelaatiolle lomittuneisiin tiloihin etäisyyksissä.

[QS]

Tilavektoreita luo ja poistaa mainittu operaattoriarvoinen Diracin kvanttikenttä

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä \(e^{\pm ipx}\) on Lorentzinvariantti. \(a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\) luo antihiukkasen liikemäärällä \(\mathbf{p}\) ja spinillä \(\lambda=\pm \frac{1}{2}\). Vastaava \(a(\mathbf{p},\lambda)\) poistaa hiukkasen. Diracin spinorit \(u^\alpha\) ja \(v^\alpha\) muodostuvat 2-komponenttisista Weylin spinoreista, jotka ovat oikea- ja vasenkiraalisia.

Adjungaattikentän \(\overline{\Psi}^\alpha = (\Psi^\alpha)^\dagger \gamma^0\) operaattori \(a^{\dagger}\) luo hiukkasen ja \(a_c\) poistaa antihiukkasen. Tuon kentän adjungaattispinorit ovat \(\overline{u}^\alpha = ({u^\alpha})^\dagger \gamma^0\) ja \(\overline{v}^\alpha = ({v^\alpha})^\dagger \gamma^0\) .

Liikemäärän p=0 spinorit ovat \(u^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\), missä vasen- ja oikeakiraaliset Weylin spinorit komponenteissa \(\alpha=1,2\) ja \(\alpha=3,4\). Spinorit muuntuvat matriisilla

\({\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \right )^\alpha}_\beta = \begin{bmatrix} D^{(\frac{1}{2},0)}[\Lambda] & 0\\ 0 & D^{(0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \exp (-\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2})&0 \\ 0 & \exp (\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2}) \end{bmatrix}\)

mikä on siis 2-komponenttisia Weylin spinoreita vastaavien muunnosten suora summa. Paulin matriisit ovat \(\mathbf{\sigma}\). Lisäksi \(\alpha = \tanh^{-1}(\mathbf{p}|/p^0)\) ja \(\hat{\mathbf{p}}\) on puskun liikemäärävektorin suuntainen yksikkövektori.

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

Fysikaalinen tilavektori \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) on liikemäärä- ja spinoperaattorin ominaisvektori, toisin sanoen \(\mathbf{P}| \mathbf{p},\lambda \rangle = \mathbf{p}| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ja \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\).
...
 

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

tai jos kirjoitetaan ilman spinori-indeksiä \(\alpha\):

\(\Psi(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

summataan spin-tilojen \(\lambda=\pm 1/2\) yli, niin spinorit \(u(\mathbf{p},\lambda)\) ja\(v(\mathbf{p},\lambda)\) eivät mielestäni ole operaattorin \(S_z\) ominaistiloja. Liikemäärän p=0 spinorit \(u(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v(\mathbf{0},\lambda)\) taasen ymmärtääkseni ovat.

Sulla oli tuo p = 0 spinorin muunnoskaava:

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

 

Tuossa tuo vasemman puolen notaatio on ehkä hämärä, sillä se viittaisi että \(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\) olisi S_z: ominaistila ominaisarvolla \(\lambda\).

Kirjani laskee esimerkkinä eksplisiittisesti, että kirjan \(u(\mathbf{0},\lambda)\) on ominaistila operaattorille S_z tai S₃, mille kirjani antaa \( \Sigma_3 \) Paulin matriisien avulla (kirjassa gammamatriisit Dirac-Paulin esityksessä, en tiedä onko väliä tässä mikä esitys):

\(\Sigma_3 =\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix}
\sigma_3 & 0\\
0 & \sigma_3 \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
S_3 & 0\\
0 & S_3 \\
\end{bmatrix}\)

Asetetaan \( \hbar=1\):

\(\Sigma_3 =\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}\)

ja sitten kirjani suorittaa puskun \(u(\mathbf{0},\lambda)\):lle x-kselin suuntaan ja toteaa että saatu tulos ei ole enää ominaisfunktio \( \Sigma_3\):lle. Kirjani myös toteaa: jos pusku on "spin-vektorin" S suuntainen, ominaistila säilyyy.

Ihan mielenkiinnosta tutkin mitä nuo \(\Sigma\)-matriisit ovat? Ne ovat Lorentz-ryhmän rotaatioita vastaavien generaattorien matriisit tuossa esityksessä.

Ylläolevassa ei ole mitenkään huomioitu kvantisoinnin jälkeen saatavia spin-arvoja tms. eli u ja v ovat vielä ihan tavallisia spinoreita
 

Tähän sain jotain selvyyttä, mutta en vielä päässyt loppuun asti.

Weinberg käyttää signatuuria (-,+,+,+). Nelivektorit ovat \(p=(p^0,p^1,p^2,p^3)=(E,\mathbf{p})\), missä \(p^0=\sqrt{\mathbf{p}\cdot \mathbf{p}+m^2}\) ja lepokehyksessä \(p^0=m\). Alaindekseillä \((p_0,p_1,p_2,p_3)=(-E,\mathbf{p})\).

Nollaliikemäärän spinorit ovat

\(\begin{align*} u(\mathbf{0},\frac{1}{2})&=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0 \end{bmatrix}, u(\mathbf{0},-\frac{1}{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}0\\1\\0\\1 \end{bmatrix}\\ \\ v(\mathbf{0},\frac{1}{2})&=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}0\\1\\0\\-1 \end{bmatrix},v(\mathbf{0},-\frac{1}{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0 \end{bmatrix} \end{align*} \)

Näistä muodostetaan spinorit

\(\begin{align*} u(\mathbf{p},\lambda)&=\sqrt{\frac{m}{p^0}}\ D(L(p))\ u(\mathbf{0},\lambda) \\ v(\mathbf{p},\lambda)&=\sqrt{\frac{m}{p^0}}\ D(L(p))\ v(\mathbf{0},\lambda)\end{align*}\)

missä D on ryhmän SO(1,3) spinoriesitys ja L(p) on jälleen Weinbergin 'standard Lorentz transformation'.

Normitus on \(u(\mathbf{p},\lambda)^\dagger u(\mathbf{p},\lambda') = \delta_{\lambda \lambda'}\) ja sama \(v(\mathbf{p},\lambda)\):lle. Huomasin, että normitus poikkeaa niistä mitä olen nähnyt. En saanut selvää missä kannassa spinorit ovat.

Edellisen D on 4x4 matriisi on

\(\frac{1}{\sqrt{2m(p^0+m)}}\ \begin{pmatrix} m+p^0-\mathbf{p}\cdot \vec{\sigma} & 0\\0 &m+p^0+\mathbf{p}\cdot \vec{\sigma} \end{pmatrix}\)

Esimerkiksi \(u(\mathbf{p},\frac{1}{2})\) ja \(u(\mathbf{p},-\frac{1}{2})\) ovat

\(\begin{align*} u(\mathbf{p},\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{p^0(p^0+m)}}\begin{bmatrix}m+p^0-p_3\\-p_1-ip_2\\m+p^0+p_3\\p_1+ip_2\end{bmatrix} \\ \\ u(\mathbf{p},-\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{p^0(p^0+m)}}\begin{bmatrix}-p_1+ip_2\\m+p^0+p_3\\p_1-ip_2\\m+p^0-p_3\end{bmatrix} \end{align*}\)

Näistä erikoistapaukset z-akselin suuntaiselle liikemäärälle \(p=(p^0,0,0,p^3)\)

\(\begin{align*} u(\mathbf{p_3},\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{p^0(p^0+m)}}\begin{bmatrix}m+p^0-p_3\\0\\m+p^0+p_3\\0\end{bmatrix} \\ \\ u(\mathbf{p_3},-\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{p^0(p^0+m)}}\begin{bmatrix}0\\m+p^0+p_3\\0\\m+p^0-p_3\end{bmatrix} \end{align*}\)

Kun käytän kirjoittamaasi operaattoria \(\Sigma_3\) (lisäsin eteen ½, ehkä eri kerroinsopimukset sun lähteessä?), niin saan z-akselin suuntaisille spinoreille

\(\begin{align*} \Sigma_3\ u(\mathbf{p_3},\frac{1}{2}) &= \frac{1}{2} \ u(\mathbf{p_3},\frac{1}{2}) \\ \\
\Sigma_3\ u(\mathbf{p_3},-\frac{1}{2}) &= -\frac{1}{2}\ u(\mathbf{p_3},-\frac{1}{2}) \end{align*}\)

Nämä ovat tosiaan \(\Sigma_3\):n ominaisvektorit arvoilla \(\lambda=\pm\frac{1}{2}\). Ja toki \(u(\mathbf{0},\frac{1}{2})\) ja \(u(\mathbf{0},-\frac{1}{2})\) ovat myös ominaisvektorit.

Mietin, että \(\Sigma_3\) lienee kvantisoidun kentän tapauksessa hiukan hämärä. Spinoperaattori pitäisi käsittääkseni muodostaa siten, että ominaisarvo poimitaan tilavektorista. Tähän päästään käyttämällä kenttäoperaattoreita. En muista miten. Pitää joskus etsiä tuokin.

Mutta mysteeri tässä on silti. Weinberg määrittelee liikemeäärän p≠0 tilavektorin liikemäärästä k=0 muunnoksella \(| p,\lambda \rangle = U(\ L(p)\ )\ | k,\lambda \rangle\), missä vasen puoli on spinin ominaistila. Kuitenkin mielivaltaisen liikemäärän p spinori u(p) on spin-ominaistila vain erikoistapauksessa p=p_z. En vielä täysin ymmärrä miten tämä toimii, kun näyttää että tilavektorin ja spinorifunktion vastaavat spin-arvot eivät kulje käsi kädessä. Liittyyköhän asia tuohon operaattoriin \(\Sigma_3\), joka on epäkvanttikenttäoperaattori (keksin uuden epäsanan).

[QS]

Sain vihdoin pääteltyä syitä erinomaisille havainnoillesi. Kyse lienee siitä, että kvanttikenttäteoria on yhtä outo kuin miltä se näyttääkin

Ennen distribuutioihin syventymistä selvitin itselleni tämän äärellisulotteisen operaattorikentän \(\Psi^\alpha(x)\) ja vastaavan ääretönulotteisen tilavektoriavaruuden muunnokset, ja näiden välisen yhteyden. Tilavektorien avaruus on kantavektorijoukon \(\{|\mathbf{p}\rangle \}\) virittämä.

Tilavektoreita luo ja poistaa mainittu operaattoriarvoinen Diracin kvanttikenttä

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä \(e^{\pm ipx}\) on Lorentzinvariantti. \(a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\) luo antihiukkasen liikemäärällä \(\mathbf{p}\) ja spinillä \(\lambda=\pm \frac{1}{2}\). Vastaava \(a(\mathbf{p},\lambda)\) poistaa hiukkasen. Diracin spinorit \(u^\alpha\) ja \(v^\alpha\) muodostuvat 2-komponenttisista Weylin spinoreista, jotka ovat oikea- ja vasenkiraalisia.

Adjungaattikentän \(\overline{\Psi}^\alpha = (\Psi^\alpha)^\dagger \gamma^0\) operaattori \(a^{\dagger}\) luo hiukkasen ja \(a_c\) poistaa antihiukkasen. Tuon kentän adjungaattispinorit ovat \(\overline{u}^\alpha = ({u^\alpha})^\dagger \gamma^0\) ja \(\overline{v}^\alpha = ({v^\alpha})^\dagger \gamma^0\) .

Liikemäärän p=0 spinorit ovat \(u^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\), missä vasen- ja oikeakiraaliset Weylin spinorit komponenteissa \(\alpha=1,2\) ja \(\alpha=3,4\). Spinorit muuntuvat matriisilla

\({\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \right )^\alpha}_\beta = \begin{bmatrix} D^{(\frac{1}{2},0)}[\Lambda] & 0\\ 0 & D^{(0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \exp (-\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2})&0 \\ 0 & \exp (\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2}) \end{bmatrix}\)

mikä on siis 2-komponenttisia Weylin spinoreita vastaavien muunnosten suora summa. Paulin matriisit ovat \(\mathbf{\sigma}\). Lisäksi \(\alpha = \tanh^{-1}(\mathbf{p}|/p^0)\) ja \(\hat{\mathbf{p}}\) on puskun liikemäärävektorin suuntainen yksikkövektori.

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

Fysikaalinen tilavektori \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) on liikemäärä- ja spinoperaattorin ominaisvektori, toisin sanoen \(\mathbf{P}| \mathbf{p},\lambda \rangle = \mathbf{p}| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ja \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\).
...
 

Tuossa tuo \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ei mielestäni ole totta. Vai onko se noin? Kun luin tuon Diracin yhtälön ratkaisemisesta aaltomekaniikan puitteissa eli ei oteta käyttöön luomis-ja tuhoamisoperaattoreita vaan ne ovat vielä kompleksilukuja. Silloin tuossa antamassasi kaavassa:

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

tai jos kirjoitetaan ilman spinori-indeksiä \(\alpha\):

\(\Psi(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

summataan spin-tilojen \(\lambda=\pm 1/2\) yli, niin spinorit \(u(\mathbf{p},\lambda)\) ja\(v(\mathbf{p},\lambda)\) eivät mielestäni ole operaattorin \(S_z\) ominaistiloja. Liikemäärän p=0 spinorit \(u(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v(\mathbf{0},\lambda)\) taasen ymmärtääkseni ovat.

Sulla oli tuo p = 0 spinorin muunnoskaava:

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

 

Tuossa tuo vasemman puolen notaatio on ehkä hämärä, sillä se viittaisi että \(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\) olisi S_z: ominaistila ominaisarvolla \(\lambda\).
 

Ne aiemmin mainitut tilavektorit (by Weinberg) ovat Poincareryhmän unitaareja ääretönulotteisia, ja redusoitumattomia esityksiä. Vektorit ovat liikemäärän ja spinin ominaistiloja \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\), jotka peräisin Wignerin luokituksesta. Kenttäoperaattori \(\Psi(x)\) ei itse asiassa edes luo kvanttimekaniikasta tuttuja superpositioita kuten \(c_1 | \mathbf{p},\frac{1}{2} \rangle + c_2 | \mathbf{p},-\frac{1}{2} \rangle\).

Käsittääkseni superpositio ei olisi redusoitumaton esitys (väite, jota en osaa perustella, mutta näin asian ymmärrän). Sen sijaan \(\Psi(x)\) luo tilavektorit kahdella spin-ominasarvolla \( \lambda=\pm\frac{1}{2}\), ja liikemäärän ominaisarvolla \(\mathbf{p}\).

Nuo ovat operaattorin parametrina, esim \(a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\). Kenttäoperaattorissa summataan kaksi spinin ominaisarvoa. Tosin summa voidaan jättää poiskin, kun halutaan tilavektori vain yhdellä spinillä.

\(\Psi(x)\):n luomaan tilavektoriin liittyy erikoisuus, joka näkyy kentän Lorentzmuunnoksessa

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)

Tämä on konkreettisemmin

\(U(\Lambda)\ \Psi^\alpha(x)\ U^{-1}(\Lambda) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\; {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda^{-1}] \right )^\alpha}_\beta \; \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(p,\lambda)\ u^\beta(p,\lambda)\ e^{ip(\Lambda x)}\ + \ a^{\dagger}_c(p,\lambda)\ v^\beta(p,\lambda)\ e^{-ip(\Lambda x)}\ \right )\)

missä matriisi D kohdistetaan spinoreihin u ja v sekä funktioon \(e^{\pm ipx}\). Mutta ei operaattoreihin, jotka luovat tilavektorin. Vektori \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) jää siis ennalleen.

Tilavektorin muuntumattomuus (vastaa etäisesti kvanttimekaniikan Heisenbergin kuvaa, mutta ei täysin) selittää Weinbergin spinorimuunnoksen notaatioon

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

missä p on mielivaltainen liikemäärä. Tuo \(\lambda\) on tilavektorin ja operaattorin \(a^\dagger(\mathbf{p},\lambda)\) niin kutsuttu Poincare-indeksi. Tilavektori on spin-ominaisvektori, jonka kertoimena toimii 4-komponenttinen spinori (Lorentzryhmän äärellisulotteinen redusoituva esitys). Spinori ei välttämättä ole \(\Sigma_3\):n ominais-spinori, kuten totesitkin. Notaatiossa \(\lambda\) vasemmalla vaikuttaa ominaistilalta, mitä se onkin, mutta vain tilavektorin kannalta.

Spinoriin \(\lambda\) liittyy siten, että se valitsee spinorille 'kantavektorin' \(u(\frac{1}{2})\) tai \(u(-\frac{1}{2})\).

[Disputator]

Olen myös pohtinut tätä problematiikkaa spinin ominaistilojen säilyvyydestä puskuissa ja kehitin yhden idean, joka oli kai sittemmin susi (ja en siitä mitään sitten kirjoittanut)

Minulla on tuo Weinbergin kirjan esitys printtikopiona ja olen sitä yrittänyt tutkia. Onneksi, minulla on myös joku vanha printtikopio jostain toisesta luentomonisteesta (en tiedä mistä se on, koska printti), jossa tuota Weinbergin esitystä käydään läpi melkoisen uskollisesti. Se mikä siinä on hyvää, on se, että siinä korvataan Weinbergin 95% siellä täällä esiintyvät kryptiset ilmaisut sen kirjoittajan omilla ilmaisulla jotka ovat vaan 45% kryptisiä... Eli edistystä on siinä suunnalla. Eli ne lauseenpätkät ovat hyvinkin mahdollisesti ratkaisevia, tai niin minusta vaikutti.

Kun siis luin sitä läpi tuli mieleen ihan uudenlainen tapa lukea sitä Weinbergiä, niiden selventävien huomautusten perusteella ja silloin kaikki tuntuisi loksahtavan paikalleen tässä spinin ominaistilojen sekasotkussa.

Koska Weinberg on välillä kryptinen, niin minäkin yritän olla: Koko ongelma selittyy katsomalla asiaa oikeiden silmälasien läpi.

Palaan tähän viikonloppuna (viimeistään), jos en huomaa mun ajatusteni olevan ihan täysi fiasko siihen mennessä...

[QS]

Olen myös pohtinut tätä problematiikkaa spinin ominaistilojen säilyvyydestä puskuissa ja kehitin yhden idean, joka oli kai sittemmin susi (ja en siitä mitään sitten kirjoittanut)

Minulla on tuo Weinbergin kirjan esitys printtikopiona ja olen sitä yrittänyt tutkia. Onneksi, minulla on myös joku vanha printtikopio jostain toisesta luentomonisteesta (en tiedä mistä se on, koska printti), jossa tuota Weinbergin esitystä käydään läpi melkoisen uskollisesti. Se mikä siinä on hyvää, on se, että siinä korvataan Weinbergin 95% siellä täällä esiintyvät kryptiset ilmaisut sen kirjoittajan omilla ilmaisulla jotka ovat vaan 45% kryptisiä... Eli edistystä on siinä suunnalla. Eli ne lauseenpätkät ovat hyvinkin mahdollisesti ratkaisevia, tai niin minusta vaikutti.

Kun siis luin sitä läpi tuli mieleen ihan uudenlainen tapa lukea sitä Weinbergiä, niiden selventävien huomautusten perusteella ja silloin kaikki tuntuisi loksahtavan paikalleen tässä spinin ominaistilojen sekasotkussa.

Koska Weinberg on välillä kryptinen, niin minäkin yritän olla: Koko ongelma selittyy katsomalla asiaa oikeiden silmälasien läpi.

Palaan tähän viikonloppuna (viimeistään), jos en huomaa mun ajatusteni olevan ihan täysi fiasko siihen mennessä...

Hyvä tietää, että pian saatavilla Weinbergia tulkitsevat silmälasit.

Eräs hänen kryptiikkansa esimerkki on v.1967 julkaistu artikkeli Model fo Leptons, jossa oli vain 3 sivua, mutta johti lopulta Nobeliin. Olen artikkelin lukenut, mutta en voi tänä päivänäkään väittää ymmärtäväni täysin kaikkea mitä hän siinä sanoo.

[QS]

Ajan kuluksi ihmettelin luonti/poisto-operaattorien parametrien muuntumattomuutta, kun tehdään koko kentän muunnos. Yksinkertainen vapaa skalaarikenttä on

\(\Phi(x) = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}\sqrt{2p^0}}\ \left( \ a(\mathbf{p})\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä kerroin \(1/\sqrt{2p^0}\) on skalaarikentän vastine Diracin kentän u:lle ja v:lle. Kentän Hamilton-operaattori on

\(\hat{H} = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ p^0\ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ a(\mathbf{p})\)

mistä tosin pyyhitty pois vakuumin ääretön energia. Vapaan kentän Hamilton lasketaan Lagrangesta (muitakin keinoja kai on)

\(\hat{H}=\frac{1}{2} \int d^3\mathbf{x}\ (\Pi^2+(\partial_i\Phi)^2+m^2\Phi^2)\)

missä \(\Pi = \partial_0 \Phi\). Tästä lausekkeesta saadussa operaattorissa on sitten mukana tuo \(p^0\), joka on seuraus osittaisderivaatoista \(\partial_\mu e^{ipx}.\) Hamiltonin odotusarvo yksihiukkastilassa \(|\mathbf{p}\rangle\) on

\(\langle \mathbf{p}|\ \hat{H}\ |\mathbf{p}\rangle = p^0\)

Skalaarikenttä muuntuu triviaalina SO(1,3)-esityksenä

\(\Phi(x)\to\Phi(\Lambda x) = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}\sqrt{2p^0}}\ \left( \ a(\mathbf{p})\ e^{ip(\Lambda x)}\ + \ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ e^{-ip(\Lambda x)}\ \right )\)

missä eksponenttifunktiossa Minkowskisisätulo \(p(\Lambda x)\). Tuo voidaan kirjoittaa \(p(\Lambda x) = (\Lambda p)x\) , minkä seurauksena derivaatat poimivat muunnetun kentän tapauksessa Hamiltoniin \(p^0\):n tilalle \((p^0)'={\Lambda^0}_\mu p^\mu\)

\(\hat{H} = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ {\Lambda^0}_\mu p^\mu\ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ a(\mathbf{p})\)

Vaikka luonti/poisto-operaattorin ja tilavektorin \(\mathbf{p}\) ei muunnu, on muunnetun kentän Hamilton oikein. Odotusarvo muuntuu

\(\langle \mathbf{p}|\ \hat{H}\ |\mathbf{p}\rangle \to \langle \mathbf{p}|\ \hat{H}'\ |\mathbf{p}\rangle = (p^0)'\)

mikä mielestäni muistuttaa kvanttimekaniikan operaattorin passiivista muunnosta.