Äärettömyysopin kritiikkiä

[Harrastelija]

Toisaalta Cantor osoitti, että kaikkia reaalilukuja ei voida luetella kun taas sitä vastoin osoitti, että rationaaliluvut voidaan. Cantor osoitti tämän ruudukolla. Alla olevassa kuvassa järjestyksessä jokaiseen rationaalilukuun liitetään luonnollinen luku (keltainen), mutta koska luonnollinen lukukin on rationaaliluku, jokaisessa luetteloinnin vaiheessa ollaan konstruoitu murtoluku, jota ei olla vielä lueteltu. Alla olevassa kuvassa suurin luku rationaalilukujen joukosta on 11/1=11 kun taas suurin luonnollinen luku on jo 45, tästä seuraa, että kaikkia murtolukuja ei voida koskaan luetella. Luetteloinnissa aina tuotetaan vaan lisää lukuja, joita ei olla vielä lueteltu.

[Disputator]

Hmm, missä se "äärettömyyopin kritiikki" on nyt tuossa. Tuollaisen kaltaisella päättelyllä juuri osoitetaan että rationaalilukujen joukko voidaan numeroida eli antaa jokaiselle kokonaisluvulle n yksi ja vain yksi rationaaliluku q eli on olemassa bijektio \(B:\mathbf{N}\to \mathbf{Q}\).

Jos tuossa on mielestäsi jotain ongelmallista, niin et silloin ymmärrä tuota konstruktiota oikein ja siksi taistelet tuulimyllyjä vastaan Don Quijoten tavoin.

[Eusa]

Toisaalta Cantor osoitti, että kaikkia reaalilukuja ei voida luetella kun taas sitä vastoin osoitti, että rationaaliluvut voidaan. Cantor osoitti tämän ruudukolla. Alla olevassa kuvassa järjestyksessä jokaiseen rationaalilukuun liitetään luonnollinen luku (keltainen), mutta koska luonnollinen lukukin on rationaaliluku, jokaisessa luetteloinnin vaiheessa ollaan konstruoitu murtoluku, jota ei olla vielä lueteltu. Alla olevassa kuvassa suurin luku rationaalilukujen joukosta on 11/1=11 kun taas suurin luonnollinen luku on jo 45, tästä seuraa, että kaikkia murtolukuja ei voida koskaan luetella. Luetteloinnissa aina tuotetaan vaan lisää lukuja, joita ei olla vielä lueteltu.

Numeroimattomuushan ei tarkoitakaan, että joukon kaikkia lukuja ei voida luetella järjestyksessä vaan sitä, että voit keksiä joukkoon kuuluvan uuden luvun, jota ei olisi voitu millään tavalla luetella aiemmin jossain luetelmaotoksessa joukon jäsenistä, vaikka sen olisi logiikkansa johdosta kuuluttava juurikin tuohon luetelmaotokseen.

Äärettömyyksiä voi toki kritisoida, esim.
1) Fysiikalla, koska kaikki havainnoitava on ilmeisen äärellistä
2) Matematiikalla, koska ääretön ei ole luku

Sen sijaan joukkojen mahtavuuksista ei äärettömyyskritiikkiä kannata etsiä; onhan kardinaliteetit aksiomaattisesti perustettu äärettömiinkin asti kehittyvien eri joukkojen jäsenmäärien mekanismien vertailuun.

Opintosuositus: äärellisten joukkojen rengasalgebrat. Googlausvihje: finite integral domain field.

[Deimos]

Amatööreille kuten minulle jotakin äärettömyydestä. Jos on Netlix ja ei alan ammattilainen ehkä katsomisen arvoinen:

A Trip to Infinity
 

[Deimos]

Dokumentissa viitataan "Eri kokoisiin äärettömyyksiin". Eli dokumentin tutkijat toivat tällaisenkin mahdollisuuden esiin.

En tiedä onko edes kovin monimutkaista tehdä ohjelma joka laskee piin desimaaleja, vaikka harrastelun vuoksi. Super PI on muistaakseni ohjelma jolla haastetaan koneen laskentakapasiteettia. Noin arjesta Pii (π) on ensimmäisiä asioita joita äärettömyydestä tulee mieleen. Desimaaleja näyttäsi olevan ääretön määrä. Oliko se Carl Saganin kirja "Ensimmäinen yhteys" jossa piin desimaaleista alkaa löytyä "Koneen" rakennusohjeita?

Muutuin käsite "Ääretön" on aika hämärä itselleni. Yleensä se täytyy kai ymmärtää jonain mittaamattomana, jotain jolla ei ole mitään rajoja ja ylittää ihmisen käsityskyvyn.

Historiasta olen jotain lukenut ja käsitteen synnystä. Matematiikassa ja kosmologiassa kai merkillä on ihan oikeaa käyttöäkin.

Jos ajattelee pallon pintaa ja kuljet aina itään päin pallolla voit jatkaa tätä ikuisuuksiin asti. Rajattu mutta jonkinlainen ääretömyys siis.

En tiedä meneekö ketjun aloittajan aiheen ohi. Kyseessä jokin matemaattinen tutkielma ääröttämästä lukujoukosta?