Spinori

[QS]

Edellisessä viestissä sotkin epähuomiossa kantojen nimitykset. Ensimmäinen on chiral basis. Ja muunnoksen jälkeinen on Dirac basis.

[Disputator]

Sunnuntaiaamua!

...
Päätin ajan kuluksi kokeilla tätä palikkalaskulla. Valitsen Weinbergin laskemat spinorit (ilman normitusta) liikemäärällä p=0

Mä tein käytännössä ihan saman laskelman viikko viikko sitten kun päätin testata samaa kuin sinäkin. Kun vertailin laskelmia, niin periaate oli sama, mutta tulokset olivat kuitenkin erilaisia, sulla on ylimääräinen imaginaariyksikkö i mukana, WTF?

Syy löytyikin tuosta Weinbergin valinnasta metriikalle, hän käyttää signatuuria (-,+,+,+), kun kaikki muut näkemäni lähteet käyttävät signatuuria (+,-,-,-). En tullut tälläistä ajatelleksikaan ennen kuin nyt, koska olen aina pelannut (+,-,-,-)-peliä, kun ollaan kvanttimekaniikan maailmassa, suhtiksessa sitten signatuurit ovat miten sattuu...

Tässä nuo sun gammamatriisit:

...ja Diracin matriisit signatuurissa (-,+,+,+)

\(\begin{align*}
\gamma^0&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
-i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\ \\
\gamma^1&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\
\end{align*}\)
 

Nämä matriisit toteuttavat \((\gamma^0)^2=-1, (\gamma^i)^2=+1\), kuten pitääkin.

Minun laskelmissani oli (viestiäsi muokaten):

...
ja Diracin matriisit signatuurissa (+,-,-,-)

\(\begin{align*}
\gamma^0&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\ \\
\gamma^1&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{align*}\)

 

Nämä matriisit toteuttavat \((\gamma^0)^2=+1, (\gamma^i)^2=-1\), kuten pitääkin.

Siis, jos vaihtaa metriikan signatuurin, pitää gammamatriisit muuttaa kertoimella +i tai -i:

\(\gamma^{\mu}\to\pm i \gamma^{\mu}\)

Hmm, katsotaan miten antikommutaattori muuttuu kun \(\pm i \) kerrointa käytetään gammamatriiseissa, jos

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\) niin silloin \(\{\pm i\gamma^\mu,\pm i\gamma^\nu\}= -2 g^{\mu\nu}\\\)

Yes! metriikan signatuuri muuttui.

[QS]

Sunnuntaiaamua!

...
Päätin ajan kuluksi kokeilla tätä palikkalaskulla. Valitsen Weinbergin laskemat spinorit (ilman normitusta) liikemäärällä p=0

Mä tein käytännössä ihan saman laskelman viikko viikko sitten kun päätin testata samaa kuin sinäkin. Kun vertailin laskelmia, niin periaate oli sama, mutta tulokset olivat kuitenkin erilaisia, sulla on ylimääräinen imaginaariyksikkö i mukana, WTF?

Syy löytyikin tuosta Weinbergin valinnasta metriikalle, hän käyttää signatuuria (-,+,+,+), kun kaikki muut näkemäni lähteet käyttävät signatuuria (+,-,-,-). En tullut tälläistä ajatelleksikaan ennen kuin nyt, koska olen aina pelannut (+,-,-,-)-peliä, kun ollaan kvanttimekaniikan maailmassa, suhtiksessa sitten signatuurit ovat miten sattuu...

Tässä nuo sun gammamatriisit:

...ja Diracin matriisit signatuurissa (-,+,+,+)

\(\begin{align*}
\gamma^0&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
-i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\ \\
\gamma^1&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\
\end{align*}\)
 

Nämä matriisit toteuttavat \((\gamma^0)^2=-1, (\gamma^i)^2=+1\), kuten pitääkin.

Minun laskelmissani oli (viestiäsi muokaten):

...
ja Diracin matriisit signatuurissa (+,-,-,-)

\(\begin{align*}
\gamma^0&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\ \\
\gamma^1&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{align*}\)

 

Nämä matriisit toteuttavat \((\gamma^0)^2=+1, (\gamma^i)^2=-1\), kuten pitääkin.

Siis, jos vaihtaa metriikan signatuurin, pitää gammamatriisit muuttaa kertoimella +i tai -i:

\(\gamma^{\mu}\to\pm i \gamma^{\mu}\)

Hmm, katsotaan miten antikommutaattori muuttuu kun \(\pm i \) kerrointa käytetään gammamatriiseissa, jos

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\) niin silloin \(\{\pm i\gamma^\mu,\pm i\gamma^\nu\}= -2 g^{\mu\nu}\\\)

Yes! metriikan signatuuri muuttui.

Joo, Weinberg on lähes ainoa aiheeseen liittyvä teos, joka poikkeavaa signattuuria käyttää, minkä seurauksena kirjan tuloksia ei voi suoraan verrata ristiin muiden teostan kanssa. Lisää jännitysmomenttia näiden pureskelussa

Weingergissa muuten \(\gamma_5 \) on etumerkillä -i, kun lähes kaikilla muilla on +i. Tuo ei vaikuta kommutointiin \(\{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0\), mutta varmasti johonkin vaikuttaa. En ole varma mihin.

[Disputator]

...
Joo, Weinberg on lähes ainoa aiheeseen liittyvä teos, joka poikkeavaa signattuuria käyttää, minkä seurauksena kirjan tuloksia ei voi suoraan verrata ristiin muiden teostan kanssa. Lisää jännitysmomenttia näiden pureskelussa

Kyllä, tuo Weinbergin valitsema signatuuri luultavasti tuo mukanaan ylimääräisiä miinusmerkkejä sinne sun tänne. En tosiaan huomannut tota aikaisemmin.

Weingergissa muuten \(\gamma_5 \) on etumerkillä -i, kun lähes kaikilla muilla on +i. Tuo ei vaikuta kommutointiin \(\{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0\), mutta varmasti johonkin vaikuttaa. En ole varma mihin.

Okei, ilmankos mun mielestä sun antamassa \(\gamma^5\) matriisissa oli mun mielestä "väärä" merkki.

[QS]

Weingergissa muuten \(\gamma_5 \) on etumerkillä -i, kun lähes kaikilla muilla on +i. Tuo ei vaikuta kommutointiin \(\{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0\), mutta varmasti johonkin vaikuttaa. En ole varma mihin.

Okei, ilmankos mun mielestä sun antamassa \(\gamma^5\) matriisissa oli mun mielestä "väärä" merkki.

Koetin edellistä laskiessani saada käsityksen miksi hän määrittelee useimmista poiketen \( \gamma_5=-i(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)\), mutta en saanut selvää. Liittynee signatuuriin tämäkin.

Nyt kun pitkästä aikaa olen spinoreita tuijotellut, niin lähteestä riippuen vaikuttaa siltä, että p=0 spinorit valitaan joka paikassa eri esityksillä. Koetan jossain välissä saada selvyyden mikä noiden kantaspinoreiden valintakriteeri lopulta on. Signatuuri varmasti vaikuttaa, ainakin \(\gamma^0\) -matriisin kautta (matriisin ominaisspinorit), mutta jokin muukin peruste eri kirjailijoilla ehkä on.

[Disputator]

Mä nyt fixaan heti ja nyt tämän signatuuriksi (+1,-1,-1,-1) ja gammat valitsen Diracin esityksen mukaan. Silloin

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{bmatrix}, \gamma^i =\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i\\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)

Mun luentomonisteeni esittelee joitain ideoita, jotka ovat ihan hyviä ja niistä alhaalla. Ne olivat yksi syy, miksi tutustuin siihen Paulin teoreemaan.

Sulla oli aikaisemmin määritelty spinoriaaltofunktion spinoriadjointti (tai sulla taisi olla operaattorikenttä, mutta mulla vain nelikompponenttinen vektori):

\(\bar{\psi}\equiv \psi^{\dagger} \gamma^0\).

Spinoriavaruudessa voidaan määritellä "sisätulo" kaavalla:

\(\psi_1\cdot\psi_2\equiv {\psi_1}^{\dagger} \gamma^0\psi_2\).

tai vaihtoehtoisesti (oikea puoli matriisitulo):

\(\psi_1\cdot\psi_2=\bar{\psi_1}\psi_2\)

Vastaavasti voidaan määritellä 4x4-matriisin M spinoriadjointti kaavalla:

\(\bar{M}\equiv \gamma^0 M^{\dagger} \gamma^0\).

Määritelmästä seuraa että:

\(\bar{\gamma^{\mu}}=\gamma^{\mu}\).

Hyvin mielenkiintoisen näköisiä ovat seuraavat kaavat (vaatii sitä näpertämistä jonkin verran), missä S on se muunnos, joka jättää Diracin yhtälön invariantiksi:

\(\bar{S} S= I\)

tai

\(\bar{S} = S^{-1}\)

Nuo muistuttavat melkoisesti unitaarisen operaattorin kaavoja, koska spinoriadjungointi muistuttaa matriisin hermiittistä adjoittia, mutta koska sisätulo ei ole hermiittinen, ei myöskään spinoriadjointti ole sama kuin hermiittinen adjointti. Mutta mielestäni tuo notaatio paljastaa jotain spinoriavaruuden rakenteesta.

Spinorisisätulolle pätee:

\(S\psi_1\cdot S\psi_2= \psi_1\cdot \psi_2\).

ja laskuni mukaan yleisemminkin mille tahansa 4x4-matriisille M:

\(M\psi_1\cdot \psi_2= \psi_1\cdot \bar{M}\psi_2\)

[Disputator]

...
Koetin edellistä laskiessani saada käsityksen miksi hän määrittelee useimmista poiketen \( \gamma_5=-i(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)\), mutta en saanut selvää. Liittynee signatuuriin tämäkin.
...

En tiedä syytä merkin valintaan, mutta jos nyt tuon \(\gamma^5\) tai \(\gamma_5\) (yksi lähteeni kirjaa indeksin 5 ylös, mutta tällä ei väliä) määrittelee tulona:

\( \gamma_5=-i(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)\)

niin Paulin teoreeman mukaan, koska tiedetään \(\gamma^{\mu}\) "muunnoskaava":

\(\hat{\gamma^{\mu}}=V \gamma^{\mu} V^{-1}\)

myös \(\hat{\gamma}_5\) toteuttaa yhtälön \(\hat{\gamma^5}=V \gamma^5 V^{-1}\), missä

\( \hat{\gamma}_5=-i(\hat{\gamma}^0\hat{\gamma}^1\hat{\gamma}^2\hat{\gamma}^3)\).

Itse asiassa taitaa olla niin, että kaikki gammamatriiseista muodostetut 4-muuttujan "polynomit" säilyttävät muotonsa Paulin teoreman mukaisessa munnoksessa.

[Disputator]

...
Itse asiassa taitaa olla niin, että kaikki gammamatriiseista muodostetut 4-muuttujan "polynomit" säilyttävät muotonsa Paulin teoreman mukaisessa munnoksessa.

Vielä tarkemmin ajatellen, itseasiassa kaikki matriisien A,B,C,D,... väliset polynomiyhtälöt kuten esimerkiksi:

\(D=6A^2-66 A^9 B^{39} -666C+6666 A^2 B C^9\)

säilyttävät muotonsa similariteettimuunnoksissa \(\hat{X}=V X V^{-1}:\), mikä vastaa kannan vaihtoa:

\(\hat{D}=6\hat{A}^2-66 \hat{A}^9\hat{B}^{39} -666\hat{C}+ 6666 \hat{A}^2 \hat{B} \hat{C}^9\).

Siksi gammamatriiseista muodostetut polynomit ovat gammamatriisien valinnasta riippumattomia Paulin teoreemassa.

[Disputator]

Jos tehdään similariteettimuunnos

\(\hat{X} = V X V^{-1}\)

kaavalle:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

saadaan

\(\{\hat{\gamma}^\mu,\hat{\gamma}^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

Tämä pätee aina eli voin syöttää erilaisia matriiseja V tuohon muunnokseen \(\hat{X} = V X V^{-1}\) ja saada erilaisia gammamatriiseja \(\hat{\gamma}^{\mu} \) ulos, jotka toteuttavat täsmälleen samat antikommutaattoriehdot. Mutta Paulin teoreeman sisältö oli juuri se, että voin löytää muunnoksen V kahden eri gammamatriisiesityksen välillä, joka vakiota vaille yksikäsitteinen. Edellä mainittujen lisäehtojen ollessa voimassa V on unitaarinen ja yksikäsitteinen.

Kyllä taas sitä joskus ajattelee nurinkurisesti, ennen kuin sokeakin kana löytää jyvän.

[QS]

Kyllä joo. Spinorisisätulo oleellinen kun muodostetaan esim. vapaan spinorikentän Lagrange

\(\mathcal{L} = -m\bar{\psi}\psi+i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\)

missä kahden eri kentän \(\bar{\psi}\) ja \(\psi\) sisätulo on invariantti skalaari.

Tuli mieleeni asia, joka ei liity tähän, mutta sivuaa aihetta. Weinberg määrittelee mm. pariteettimuunnoksen

\(P = i\gamma^0\)

mikä toimii Diracin matriiseihin siten, että \(P\gamma^iP^{-1}=-\gamma^i\). Tämän lisäksi hän huomauttaa, että \(\gamma_5\) on pseudoskalaari siinä mielessä, että se ja SO(1,3)-generaattorit kommutoivat

\([J^{\rho\sigma},\gamma_5]=0\)

ja lisäksi

\(P\gamma_5P^{-1}=-\gamma_5\).

Toteamus pseudoskalaarista palautti mieleeni viime syksyisen omassa päässäni keksimäni (luulemani) ongelman, joka liittyi siihen, että miksi Minkowskiavaruudessa 3-dim paikka- ja nopeusvektorit eivät kertakaikkiaan toteuta mitään vektorien perusominaisuuksia. Ainoa niiden vektoriominaisuus on lihavoitu fontti tai nuoli pään päällä.

No minä hyväuskoinen pöljä selvittelin asiaa, ja päädyin geometrisen algebran pariin. Tämähän on matematiikan haara, jonka hallitsee keskimäärin vain 3,14 ihmistä koko universumissa kullakin kosmisella ajanhetkellä t. Ongelmani sai toki ratkaisun. Paikka ei ole vektori vaan 2-terä (blade) ja nopeus on tuon kummituksen aikaderivaatta. En voi väittää, että osaisin 2-terän aikaderivaattaa järjellisesti kuvailla, mutta tulipahan selvitettyä

Mutta tuossa salatieteessä gammamatriisit saavat aivan megalomaanisen roolin. Ne ovat suurinpiirtein aika-avaruuden olemassaolon mahdollistavia kantavektoreita, ja toden totta, \(\gamma_5\) on geometrisessa algebrassa pseudoskalaari.

Tämä ei liity mitenkään mihinkään oikeastaan. Kunhan tuli mieleeni Weinbergia lukiessa.