Fysiikan kaavalotto

[Varaktori]

Meikäläinen lähinnä kateellisena katselee kun noita täällä pyöritellään. Tiedättekös mikä se tämä on?
\(F(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\)
Se osuu toisinaan suurilla n arvoilla meikäläisen tontille.

Tämän luulisin tietäväni. Se tuottaa Fibonaccin lukujonon. Kaavassa \(\psi = (1-\phi)\), missä \( \phi \) on kultainen leikkaus.

Ihan oikein meni.

[QS]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

En ymmärrä muuta kuin, että muistutaa etäisesti metriikkaa, jossa u-koordinaatin etäisyydet kasvavat ajan funktiona. Jonkinlainen skaalafunktio \(a(t)=t^2\), samaan tapaan kuin FLRW-metriikassa. Mutta en saa termien etumerkkejä suhteellisuusteorian mukaiseksi, vaikka koetin jotain koordinaattien muunnoksia tyyliin t -> x-t tai t -> x+t tai vastaavaa.

Ilmeisesti juovuksissa voi keksiä asioita, joita ei selväpäinen voi ymmärtää. Tai pitäisi riipaista känni, että ymmärtäisin.

Minä olin tuossa näkevinäni infinitesimaalisen etäisyyden elementtin, differentiaalikoordinaatit aika-avaruudessa, aikakoordinaatin ja avaruuskoordinaatit. Nyt vaan pitää muistaa että täällä kirjoitellaan mitään tietämättömän varmuudella.

Joo, kyllä, metriikka se on.
Jos muutan koordinaattien nimet siten, että du=dx ja dv=dy, ja tuo dt on kolmas koordinaatti (vastaavasti kuin dz olisi). Jos sitten päättäisin, että koordinaattien kantavektorit ovat ortogonaalisia, niin saisin euklidisen avaruuden, jonka metriikka \(ds^2=dt^2 + t^2dx^2 + dy^2\).

Tässä avaruudessa x-akseli "laajenee" kertoimella t² samalla, kun t-akelin suuntainen etäisyys origosta kasvaa. Eli 3-diemensioinen avaruus, joka paisuu leveyssuunnassa mutta ei syvyys- ja pystysuunnissa.

Mutta kysymyksen esittäjällä lienee se oikea vastaus, joka ei ole näin yksinkertainen.

[Varaktori]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

En ymmärrä muuta kuin, että muistutaa etäisesti metriikkaa, jossa u-koordinaatin etäisyydet kasvavat ajan funktiona. Jonkinlainen skaalafunktio \(a(t)=t^2\), samaan tapaan kuin FLRW-metriikassa. Mutta en saa termien etumerkkejä suhteellisuusteorian mukaiseksi, vaikka koetin jotain koordinaattien muunnoksia tyyliin t -> x-t tai t -> x+t tai vastaavaa.

Ilmeisesti juovuksissa voi keksiä asioita, joita ei selväpäinen voi ymmärtää. Tai pitäisi riipaista känni, että ymmärtäisin.

Minä olin tuossa näkevinäni infinitesimaalisen etäisyyden elementtin, differentiaalikoordinaatit aika-avaruudessa, aikakoordinaatin ja avaruuskoordinaatit. Nyt vaan pitää muistaa että täällä kirjoitellaan mitään tietämättömän varmuudella.

Joo, kyllä, metriikka se on.
Jos muutan koordinaattien nimet siten, että du=dx ja dv=dy, ja tuo dt on kolmas koordinaatti (vastaavasti kuin dz olisi). Jos sitten päättäisin, että koordinaattien kantavektorit ovat ortogonaalisia, niin saisin euklidisen avaruuden, jonka metriikka \(ds^2=dt^2 + t^2dx^2 + dy^2\).

Tässä avaruudessa x-akseli "laajenee" kertoimella t² samalla, kun t-akelin suuntainen etäisyys origosta kasvaa. Eli 3-diemensioinen avaruus, joka paisuu leveyssuunnassa mutta ei syvyys- ja pystysuunnissa.

Mutta kysymyksen esittäjällä lienee se oikea vastaus, joka ei ole näin yksinkertainen.

Jokin Schwarzschildin metriikka tuli etäisesti mieleen, mutta mulla ei ole riittävää kompetenssia kyllä tähänkään.

[QS]

Suhteellisuusteoriaa tutkiva tiedemiehemme päätyi löytämään seuraavan kaavan omissa tutkimuksissaan:

\(ds^2 = dt^2+t^2 du^2+dv^2\)

Valitettavasti keksiessään tämän kaavan hän oli (hieman) juovuksissa, kuten tavallisesti ja seuraavana päivänä hän ei enää muistanut miten hän oli päätynyt tähän tulokseen ja mitä tuo edes tarkoittaa. Voitko auttaa häntä tulkitsemaan tuota kaavaa? Hän ei edes muista oliko kyseessä suhteellisuusteoria tai joku Newtonin viritelmä tai mikä lie.

En ymmärrä muuta kuin, että muistutaa etäisesti metriikkaa, jossa u-koordinaatin etäisyydet kasvavat ajan funktiona. Jonkinlainen skaalafunktio \(a(t)=t^2\), samaan tapaan kuin FLRW-metriikassa. Mutta en saa termien etumerkkejä suhteellisuusteorian mukaiseksi, vaikka koetin jotain koordinaattien muunnoksia tyyliin t -> x-t tai t -> x+t tai vastaavaa.

Ilmeisesti juovuksissa voi keksiä asioita, joita ei selväpäinen voi ymmärtää. Tai pitäisi riipaista känni, että ymmärtäisin.

Minä olin tuossa näkevinäni infinitesimaalisen etäisyyden elementtin, differentiaalikoordinaatit aika-avaruudessa, aikakoordinaatin ja avaruuskoordinaatit. Nyt vaan pitää muistaa että täällä kirjoitellaan mitään tietämättömän varmuudella.

Joo, kyllä, metriikka se on.
Jos muutan koordinaattien nimet siten, että du=dx ja dv=dy, ja tuo dt on kolmas koordinaatti (vastaavasti kuin dz olisi). Jos sitten päättäisin, että koordinaattien kantavektorit ovat ortogonaalisia, niin saisin euklidisen avaruuden, jonka metriikka \(ds^2=dt^2 + t^2dx^2 + dy^2\).

Tässä avaruudessa x-akseli "laajenee" kertoimella t² samalla, kun t-akelin suuntainen etäisyys origosta kasvaa. Eli 3-diemensioinen avaruus, joka paisuu leveyssuunnassa mutta ei syvyys- ja pystysuunnissa.

Mutta kysymyksen esittäjällä lienee se oikea vastaus, joka ei ole näin yksinkertainen.

Jokin Schwarzschildin metriikka tuli etäisesti mieleen, mutta mulla ei ole riittävää kompetenssia kyllä tähänkään.

Mahdolliseseti. Notaatio du ja dv on vihjaava siinä mielessä, että metriikan kirjoittaja on ehkä tehnyt alkuperäisille koordinaateille muunnoksen eli siis muodostanut uudet koordintaatit u ja v asettamalla esimerkiksi u = f(t,x,y) ja v = g(t,x,y) tai u=f(t,r, φ) ja v=g(t,r, φ) tai vastaavaa.

Koetin arvailla mikä tuo muunnos olisi, mutta en saanut mitään järjellistä aikaan.

[Disputator]

Jokin Schwarzschildin metriikka tuli etäisesti mieleen, mutta mulla ei ole riittävää kompetenssia kyllä tähänkään.

Mahdolliseseti. Notaatio du ja dv on vihjaava siinä mielessä, että metriikan kirjoittaja on ehkä tehnyt alkuperäisille koordinaateille muunnoksen eli siis muodostanut uudet koordintaatit u ja v asettamalla esimerkiksi u = f(t,x,y) ja v = g(t,x,y) tai u=f(t,r, φ) ja v=g(t,r, φ) tai vastaavaa.

Koetin arvailla mikä tuo muunnos olisi, mutta en saanut mitään järjellistä aikaan.

Joo, se mun "lottokysymys" oli vähän hämäävä.

Läheltä liippaa QS, tavallaan, hyvin läheltä. Itse asiassa tehtävä on helppo (kun sen ratkaisun ensin näkee) ja on aikaisemmin siis leikkinyt koordinaattien kanssa. Metriikka

\( ds^2 = dt^2 + t^2du^2 +dv^2\\ \)

on ihan tavallinen kolmiulotteisen euklidisen avaruuden R³ metriikka

\( ds^2 = dr^2 + r^2d\phi^2 +dz^2,\\\)

missä siis koordinaatit \({r,\phi,z}\) ovat tavallisia sylinterikoordinaatteja. Olen vain käyttänyt kirjaimia \((t,u,v)\) tavallisten \((r,\phi,z)\) sijasta. Eli tuo kirjain t oli vain hämäystä, se ei ole aika, eikä se oikein voikkaan olla suhteellisuusteoreettisesti, koska metrikka positiividefiniitti. Voi se t-koordinaatti toki olla aika jossain merkillisessä Newtonilaisessa laajenevassa avaruudessa, kuten jo hahmottelit. Sellainen on kuitenkin joku ihmeellinen ajan ja paikan sekoittava laakea avaruus edelleen, joten lienee olisi kyseessä joitain ajan suhteen venyviä koordinaatteja, mutta sellaista en hakenut.

Tuo on mielestäni hyvä esimerkki, siitä että nimistä ei saa päätellä ominaisuuksia (vrt. esim hitausvoima). Tuo esimerkki on mun oma, mutta olen kopsannut idean siihen jostain suhtiksen kirjasta, jossa oli joku abstrakti metriikka ja sitten piti päätellä mikä tutumpi metriikka se oli valepuvussa.

Olihan tuo vähän veemäinen, mutta tehty mikä tehty..

[Disputator]

Tässä eräistä mekaniikan ym. oppikirjoista löytyvä kaava, joka on ihan kätevä, mutta mitä siinä oikein lasketaan:

\(r' = r \cos \phi +n(n\cdot r)(1-\cos \phi) + (r\times n)\sin\phi\)

Kaavassa r, r' ja n ovat vektoriavaruuden R³ vektoreita ja ne pitäisi olla oikeassa notaatiossa boldattuja, mutta tuo editorin boldaus B ja LaTeX eivät ymmärrä toisiaan (nähtävästi?) ja en nyt viitsi boldata LaTeXilla. Kaava on kai vähän vähemmän tunnettu perusoppikirjoissa, mutta se on tosiaan näppärä sisällöltään.

[QS]

Joo, se mun "lottokysymys" oli vähän hämäävä.

Läheltä liippaa QS, tavallaan, hyvin läheltä. Itse asiassa tehtävä on helppo (kun sen ratkaisun ensin näkee) ja on aikaisemmin siis leikkinyt koordinaattien kanssa. Metriikka

\( ds^2 = dt^2 + t^2du^2 +dv^2\\ \)

on ihan tavallinen kolmiulotteisen euklidisen avaruuden R³ metriikka

\( ds^2 = dr^2 + r^2d\phi^2 +dz^2,\\\)

Nyt meitsiä hävettää . En halvatun puusilmä nähnyt yksinkertaista asiaa, vaan mietin ylimonimutkaista.

Erittäin hyvä kompakysymys oli tämä.

[Varaktori]

Tässä eräistä mekaniikan ym. oppikirjoista löytyvä kaava, joka on ihan kätevä, mutta mitä siinä oikein lasketaan:

\(r' = r \cos \phi +n(n\cdot r)(1-\cos \phi) + (r\times n)\sin\phi\)

Kaavassa r, r' ja n ovat vektoriavaruuden R³ vektoreita ja ne pitäisi olla oikeassa notaatiossa boldattuja, mutta tuo editorin boldaus B ja LaTeX eivät ymmärrä toisiaan (nähtävästi?) ja en nyt viitsi boldata LaTeXilla. Kaava on kai vähän vähemmän tunnettu perusoppikirjoissa, mutta se on tosiaan näppärä sisällöltään.

Jokin pyörivä akseli tulee mieleen.

[Disputator]

Tässä eräistä mekaniikan ym. oppikirjoista löytyvä kaava, joka on ihan kätevä, mutta mitä siinä oikein lasketaan:

\(r' = r \cos \phi +n(n\cdot r)(1-\cos \phi) + (r\times n)\sin\phi\)

Kaavassa r, r' ja n ovat vektoriavaruuden R³ vektoreita ja ne pitäisi olla oikeassa notaatiossa boldattuja, mutta tuo editorin boldaus B ja LaTeX eivät ymmärrä toisiaan (nähtävästi?) ja en nyt viitsi boldata LaTeXilla. Kaava on kai vähän vähemmän tunnettu perusoppikirjoissa, mutta se on tosiaan näppärä sisällöltään.

Jokin pyörivä akseli tulee mieleen.

Olet mahdollisesti oikeilla jäljillä. Tosin akseli itse ei yleensä pyöri, vaan jokin pyörii akselin ympäri, paitsi insinöörijutuissa on kaikki mahdollista. Eihän Maan vuorokautisen pyörimisliikkeen kuvitteellinen akseli itse pyöri, vaan Maa. Tykkään aina olla kieliopillisesti natsi (tai paholainen) luonnontieteellisissä jutuissa.

[Varaktori]

Tässä eräistä mekaniikan ym. oppikirjoista löytyvä kaava, joka on ihan kätevä, mutta mitä siinä oikein lasketaan:

\(r' = r \cos \phi +n(n\cdot r)(1-\cos \phi) + (r\times n)\sin\phi\)

Kaavassa r, r' ja n ovat vektoriavaruuden R³ vektoreita ja ne pitäisi olla oikeassa notaatiossa boldattuja, mutta tuo editorin boldaus B ja LaTeX eivät ymmärrä toisiaan (nähtävästi?) ja en nyt viitsi boldata LaTeXilla. Kaava on kai vähän vähemmän tunnettu perusoppikirjoissa, mutta se on tosiaan näppärä sisällöltään.

Jokin pyörivä akseli tulee mieleen.

Olet mahdollisesti oikeilla jäljillä. Tosin akseli itse ei yleensä pyöri, vaan jokin pyörii akselin ympäri, paitsi insinöörijutuissa on kaikki mahdollista. Eihän Maan vuorokautisen pyörimisliikkeen kuvitteellinen akseli itse pyöri, vaan Maa. Tykkään aina olla kieliopillisesti natsi (tai paholainen) luonnontieteellisissä jutuissa.

No kuvaisiko se vektorin r rotaatiota kulmassa ϕ akselin n ympärillä tai joitain sinne päin?