Spinori

[Disputator]

Kyllä joo. Spinorisisätulo oleellinen kun muodostetaan esim. vapaan spinorikentän Lagrange

\(\mathcal{L} = -m\bar{\psi}\psi+i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\)

missä kahden eri kentän \(\bar{\psi}\) ja \(\psi\) sisätulo on invariantti skalaari.
...

Kyllä, mutta se spinoriadjungaatti riippuu ainakin näennäisesti siitä valitusta \(\gamma^0\) matriisista ja siten myös spinorisisätulo riippuu matriisin \(\gamma^0\) valinnasta. Siksi ei mun mielestä voi sanoa suoraan spinorisisätulon olevan invariantti. Se on sitä muunnoksissa \(S(\Lambda)\) , mutta siinä on edelleen se \(\gamma^0\)-matriisin valinnan vapaus eli eri \(\gamma^0\) valinnoilla saadaan eri spinoriadjungaatteja ja sisätuloja.

Miten itse asian ymmärrän on se, että oikeasti invariantin spinorisisätulon pitää olla:

- invariantti muunnoksissa \(S(\Lambda)\)
- invariantti \(\gamma\)-matriisien valinnoissa

Lasku, että näin todella käy ei ole varmaan vaikea, mutta en ole sitä vielä tehnyt, mutta asia on tekeillä. Siksi sanoin viesteissäni aikaisemmin, että yksi syy Paulin teoreemaan mulla oli tämä spinorisisätulo.

Joo, kaikki 2-blade/viiltely/Jack the Ripper-systeemit ovat hieman sellaisia. Mutta palaan ydinkohtiin. Ja palaan taatusti niihin kenttien ym. muutosjuttuihin. Olen edistynyt niiden ymmärryksessä ihan mukavasti.

[QS]

Kyllä joo. Spinorisisätulo oleellinen kun muodostetaan esim. vapaan spinorikentän Lagrange

\(\mathcal{L} = -m\bar{\psi}\psi+i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\)

missä kahden eri kentän \(\bar{\psi}\) ja \(\psi\) sisätulo on invariantti skalaari.
...

Kyllä, mutta se spinoriadjungaatti riippuu ainakin näennäisesti siitä valitusta \(\gamma^0\) matriisista ja siten myös spinorisisätulo riippuu matriisin \(\gamma^0\) valinnasta. Siksi ei mun mielestä voi sanoa suoraan spinorisisätulon olevan invariantti. Se on sitä muunnoksissa \(S(\Lambda)\) , mutta siinä on edelleen se \(\gamma^0\)-matriisin valinnan vapaus eli eri \(\gamma^0\) valinnoilla saadaan eri spinoriadjungaatteja ja sisätuloja.

Miten itse asian ymmärrän on se, että oikeasti invariantin spinorisisätulon pitää olla:

- invariantti muunnoksissa \(S(\Lambda)\)
- invariantti \(\gamma\)-matriisien valinnoissa

Lasku, että näin todella käy ei ole varmaan vaikea, mutta en ole sitä vielä tehnyt, mutta asia on tekeillä. Siksi sanoin viesteissäni aikaisemmin, että yksi syy Paulin teoreemaan mulla oli tämä spinorisisätulo.

Joo tajuan mitä tarkoitat. Mutta käsitän siten, että Lagrangelle riittävä ehto on invarianssi Lorentzmuunnoksissa. Toinen asia on se, että onko spinorisisätulo invariantti gammamatriisien ja spinorien kantamuunnoksessa.

Perusajatuksena siis se, että muodostetaan spinoriteoria valitussa (spinori+gammma -) kannassa ja tästä muodostetaan Lagrange. Kahden eri kantavalinnan Lagrangen ei tarvitse olla sama, mutta erikseen niiden on oltava Lorentzinvariantteja.

Kun gammamatriisit muunnetaan unitaarilla muunnoksella U siten, että \(\gamma^\mu \to U\gamma^\mu U^{-1}\), niin samalla myös spinori muuntuu \(\psi \to U\psi\). Molemmat muuntuvat, jotta Diracin yhtälö pätee. Pitäisi ajan kanssa tarkistaa, että onko tuo sisätulo invariantti tässä kantamuunnoksessa. Hyvä kysymys, ja mulla saattoi mennä ohi tuo ajatuksesi Paulin teoreemasta.

[QS]

Ainakin nk. sisätulo on invariantti \(\gamma\) -valinnassa, joka tehdään unitaarisella U

\(\psi^\dagger\gamma^0\psi \to (U\psi)^\dagger\ U\gamma^0U^{-1}\ (U\psi) = \psi^\dagger\ U^\dagger U \ \gamma^0 \ U^{-1}U\ \psi = \psi^\dagger\gamma^0\psi\)

missä \(\psi^\dagger\gamma^0\psi\) on skalaari, joten se on invariantti Lorentzmuunnoksessa.

[QS]

Nyt ehdin sitä Lagrangen toista termiä ihmetellä. Kyllä sekin mielestäni on invariantti, kun U (eli \(\gamma\)-matriisien muunnos) on unitaarinen

\(\begin{align*}
i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi &\to i(U\psi)^\dagger\ U\gamma^0U^{-1}\ U\gamma^\mu U^{-1}\ \partial_\mu(U\psi) \\ &=i\psi^\dagger\ U^\dagger U\ \gamma^0\ U^{-1}U\ \gamma^\mu\ U^{-1}\partial_\mu U\psi \\
&=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\ U^{-1}U\ \psi\\
&=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi
\end{align*}\)

Tuossa U ja \(\partial_\mu\) kommutoivat, joten U voidaan siirtää derivaatan oikealle puolelle.

[Disputator]

Iltaa,

Nyt ehdin sitä Lagrangen toista termiä ihmetellä. Kyllä sekin mielestäni on invariantti, kun U (eli \(\gamma\)-matriisien muunnos) on unitaarinen

\(\begin{align*}
i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi &\to i(U\psi)^\dagger\ U\gamma^0U^{-1}\ U\gamma^\mu U^{-1}\ \partial_\mu(U\psi) \\ &=i\psi^\dagger\ U^\dagger U\ \gamma^0\ U^{-1}U\ \gamma^\mu\ U^{-1}\partial_\mu U\psi \\
&=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\ U^{-1}U\ \psi\\
&=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi
\end{align*}\)

Tuossa U ja \(\partial_\mu\) kommutoivat, joten U voidaan siirtää derivaatan oikealle puolelle.

 

No niinpäs onkin. Se olikin sitten näin lyhyt lasku Oikeastaan asiantila on hyvin mukava, että sisätulo on invariantti myös gammamatriisien sopivissa muunnoksissa.

[Disputator]

Innostuin jälleen muistelemaan operaattorien muunnosta. Kvanttioperaattori A muuntuu unitaaristi \(U A U^{-1}\), missä \(U^\dagger=U^{-1}\). Komponenteilla ilmaistuna A_i muuntuu rotaatioissa

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

Tämä pätee paikka-, liikemäärä- ja kulmaliikemääräoperaattoreille X_i, P_i ja J_i, jotka ovat vektorioperaattoreita. Muunnos vastaa koordinaatiston kantavektorimuunnosta

\(\mathbf{e}_i \to \mathbf{e}_i' = {R^j}_i\ \mathbf{e}_j\)

missä indeksi on alhaalla. Noiden X_i, P_i ja J_i muunnos on tavallaan passiivinen, jossa koordinaatiston operaattorit pyöräytetään. Esimerkiksi J_k, missä k={1,2,3} muuntuvat rotaatioissa

\(U[R]\ J_k\ U[R]^{-1}={R^l}_k\ J_l\)

Mielivaltaisen pyörimisakselin \(\mathbf{n} = n^k\ \mathbf{e}_k\) rotaatio-operaattori \(J_\mathbf{n} = n^k\ J_k\).

Tuo \(J_\mathbf{n}\) voidaan pyöräyttää

\(U[R]\ J_\mathbf{n}\ U[R]^{-1} = J_{\mathbf{n'}}\),

missä \(\mathbf{n'} = R\ \mathbf{n}\). Operaattorin muunnos riippuu operaattorin tyypistä kuten klassisen kentän muunnoskin kentän tyypistä. Hamilton H muuntuu rotaatiossa kuten skalaari, mutta toisaalta puskuissa H ei ole invariantti.

Kvanttikentän operaattorit ovat paikan funktioita. Operaattrikentän muunnos on hiukan erikoinen, jonka joudun aina opettelemaan uudestaan. Kirjoitan esimerkin, jonka lähteinä ovat esoteerinen Quantum Theory of Fields by Weinberg sekä eräs ryhmäteorian opus. Yhdistelen oraakkelien tekstejä ketjun notaatiolla (onnistun ilman virheitä, tai sitten en).

Tuo sun toinen kirja on se Wu-Ki Tung (ainakin allaolevasta päätellen), suosittelit sitä mulle vanhalla palstalla. Mulla on nyt tuo opus ja se on kyllä hyvin kirjoitettu.

Esimerkkinä 2-komponenttinen spin-operaattorikenttä \(\Psi^{\sigma}(\mathbf{x})\), joka aluksi epärelativistinen, jotta säilyy yhteys aiemmin mainittuihin. Merkitään kenttää \(\Psi\), aaltofunktiota \(\psi\), ja tilavektoria \(|\psi \rangle\).
...

Palaan tähän tarkemmin, mutta eikös tuo (monikomponenttisen) operaattorikentän muunnos ole ihan käypä, se on eri kuin (monikomponenttisen) aaltofunktion muunnos, koska aaltofunktiot ovat eri olioita kuin operaattorikentät? Tai ainakin mulle tämä kohta oli ollut epäselvä ja jotenkin ajattelin että aaltofunktioiden muunnosominaisuudet jotenkin säilyisivät kun tehdään se toinen kvantisointi, eli että aaltofunktiot "ylennetään" operaattoriarvoisiksi.

Muutenkin tosta Tungin kirjasta varmasti riittää aiheita.

[QS]

Innostuin jälleen muistelemaan operaattorien muunnosta. Kvanttioperaattori A muuntuu unitaaristi \(U A U^{-1}\), missä \(U^\dagger=U^{-1}\). Komponenteilla ilmaistuna A_i muuntuu rotaatioissa

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

Tämä pätee paikka-, liikemäärä- ja kulmaliikemääräoperaattoreille X_i, P_i ja J_i, jotka ovat vektorioperaattoreita. Muunnos vastaa koordinaatiston kantavektorimuunnosta

\(\mathbf{e}_i \to \mathbf{e}_i' = {R^j}_i\ \mathbf{e}_j\)

missä indeksi on alhaalla. Noiden X_i, P_i ja J_i muunnos on tavallaan passiivinen, jossa koordinaatiston operaattorit pyöräytetään. Esimerkiksi J_k, missä k={1,2,3} muuntuvat rotaatioissa

\(U[R]\ J_k\ U[R]^{-1}={R^l}_k\ J_l\)

Mielivaltaisen pyörimisakselin \(\mathbf{n} = n^k\ \mathbf{e}_k\) rotaatio-operaattori \(J_\mathbf{n} = n^k\ J_k\).

Tuo \(J_\mathbf{n}\) voidaan pyöräyttää

\(U[R]\ J_\mathbf{n}\ U[R]^{-1} = J_{\mathbf{n'}}\),

missä \(\mathbf{n'} = R\ \mathbf{n}\). Operaattorin muunnos riippuu operaattorin tyypistä kuten klassisen kentän muunnoskin kentän tyypistä. Hamilton H muuntuu rotaatiossa kuten skalaari, mutta toisaalta puskuissa H ei ole invariantti.

Kvanttikentän operaattorit ovat paikan funktioita. Operaattrikentän muunnos on hiukan erikoinen, jonka joudun aina opettelemaan uudestaan. Kirjoitan esimerkin, jonka lähteinä ovat esoteerinen Quantum Theory of Fields by Weinberg sekä eräs ryhmäteorian opus. Yhdistelen oraakkelien tekstejä ketjun notaatiolla (onnistun ilman virheitä, tai sitten en).

Tuo sun toinen kirja on se Wu-Ki Tung (ainakin allaolevasta päätellen), suosittelit sitä mulle vanhalla palstalla. Mulla on nyt tuo opus ja se on kyllä hyvin kirjoitettu.

Täsmälleen! Hankin Group Theory in Physics -teoksen useampi vuosi sitten, ja pääosin tankannut sen kokonaan läpi noin harrastusmielessä. Teos on mainio, koska asioihin johdatellaan todella yksinkertaisilla esimerkeillä. Näitä sovelletaan askel kerrallaan haastavampiin ongelmiin. Sisäiset kaavaviittaukset työllistävät hiukan, mutta ne lopulta auttavat kytkemään yksinkertaiset säännöt haastavampiinkin tilanteisiin.

Teoksen avulla koin eka kerran ahaa-elämyksen kvanttikentän ja ryhmäteorian yhteydestä, joka on kimurantti. Yhteys ei ole matemaattisesti lainkaan "kaunis", mutta on olemassa. Kvanttikentän osalta kirjan huipentuma on mielestäni luku 10.5 Relation between Representation of the Lorentz and Poincare Group, jossa muutamalla sivulla esitellään kvanttikentän ryhmäteoreettinen rakenne. Paino sanalla *kenttä*. Wigner selvitteli aikanaan hiukkastilat varsin perusteellisesti, mutta kvanttikenttä on huomattavasti sotkuisempi objekti.

Esimerkkinä 2-komponenttinen spin-operaattorikenttä \(\Psi^{\sigma}(\mathbf{x})\), joka aluksi epärelativistinen, jotta säilyy yhteys aiemmin mainittuihin. Merkitään kenttää \(\Psi\), aaltofunktiota \(\psi\), ja tilavektoria \(|\psi \rangle\).
...

Palaan tähän tarkemmin, mutta eikös tuo (monikomponenttisen) operaattorikentän muunnos ole ihan käypä, se on eri kuin (monikomponenttisen) aaltofunktion muunnos, koska aaltofunktiot ovat eri olioita kuin operaattorikentät? Tai ainakin mulle tämä kohta oli ollut epäselvä ja jotenkin ajattelin että aaltofunktioiden muunnosominaisuudet jotenkin säilyisivät kun tehdään se toinen kvantisointi, eli että aaltofunktiot "ylennetään" operaattoriarvoisiksi.

Tämä on se kysymys, mikä aina tulee mieleen, kun näkee kirjallisuudessa kvanttikentän muunnoksen. Klassisen kentän ja aaltofunktion (mikä on tavallaan klassinen kompleksiarvoinen kenttä) muunnos on 'väärin päin' kvanttikenttään verrattuna.

Esimerkiksi moni-komponenttinen aaltofunktio \(\psi^\sigma(\mathbf{x})\) muuntuu rotaatiossa (\(\sigma\) on komponentin indeksi)

\(\psi^\sigma(\mathbf{x}) \to \psi'^\sigma(\mathbf{x}) = {D[R]^\lambda}_\sigma\ \psi^\sigma(R^{-1}\mathbf{x})\)

missä rotaatioryhmän esitys \(D\) miksaa komponentit \(\psi^\sigma\). Käänteismuunnos

\(\psi'^\sigma(\mathbf{x}) \to \psi^\sigma(\mathbf{x}) = {D[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \psi'^\lambda(R\mathbf{x})\)

näyttää kvanttikentän ('väärin päin') muunnokselta, mutta tällä ei ole suoranaisesti tekemistä kvanttikentän muuntumisen kanssa, sillä kvanttikenttä muuntuu unitaarisella \(U[R]\), mikä pyöräyttää kvanttikenttää 'oikein päin'

\(U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1}\)

Tuossa pitkähkössä viestissäni, jota lainasitkin, sain mielestäni perusteltua muunnoksen

\(\Psi^\sigma(\mathbf{x}) \to U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1} = {D[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \Psi^\lambda(R\mathbf{x})\)

missä näkyy muunnoksen vastakkaisuus verrattuna aaltofunktion ja klassisen kentän muunnokseen. Tämän voi yleistää Lorentzmuunnoksiin. No, käytin sanoja 'väärin päin' ja 'oikein päin', jotka voin nyt tulkita miten haluaa.

Tuo muunnoskaava on Tungin kirjassa, mutta en aluksi ymmärtänyt välivaiheita, kun hän ei niitä auki kirjoita.

Anyway, kvanttikentän muunnos vastaa kvanttimekaniikan mittausoperaattorin muunnosta, joka on myös 'väärin päin', mikä tarkoittaa passiivista muunnosta. Mittausoperaattorit ovat osa koordinaatistojärjestelmää, jonka mukana ne muuntuvat. Ihan konkreettisestikin spin-mittari pyörähtää kun sen lihasvoimalla pyöräyttää. Tarkasteltava kvanttisysteemi ei pyörähdä.

Wu-Ki Tung ja Weinberg molemmat muuntavat kirjoissaan poisto- ja luontioperaattoreita, jotka pyörähtävät ja Lorentzmuuntuvat, kun niitä käsitellään itsenäisinä operaattoreina. Kumpikaan teos ei eksplisiittisesti kirjoita auki muunnosta, missä operaattorit ovat osa muuntuvaa kvanttikenttää.

Hiukan erikoista on se, että kvanttikentän osana nuo poisto/luontioperaattorit eivät muunnu. Muuntuvia ovat operaattorien kertoimina olevat spinorifunktiot. Tämä on mulle vielä keskeneräinen aihe, mutta näin se vaikuttaa olevan.

[Disputator]

...
Group Theory in Physics -teoksen useampi vuosi sitten, ja pääosin tankannut sen kokonaan läpi noin harrastusmielessä. Teos on mainio, koska asioihin johdatellaan todella yksinkertaisilla esimerkeillä. Näitä sovelletaan askel kerrallaan haastavampiin ongelmiin. Sisäiset kaavaviittaukset työllistävät hiukan, mutta ne lopulta auttavat kytkemään yksinkertaiset säännöt haastavampiinkin tilanteisiin.

Tutkin heti teoksen saatuani mitä Tung kirjoittaa noista aaltofunktioiden ja kenttien kenttien muunnoksista. Siinä kirjassa on se sinunkin esittämä konstruktio operaattorin muuntumiselle rotaatioissa (7.16-5). Siinä sitten alla sanotaan että ajatus on sama kuin kaavassa 7.8-12...Harmittavasti kyseistä kaavaa ei löydy. Juuri kriittinen kaava! No hän kai viittasi siihen 7.6-12-kaavaan.

Teoksen avulla koin eka kerran ahaa-elämyksen kvanttikentän ja ryhmäteorian yhteydestä, joka on kimurantti. Yhteys ei ole matemaattisesti lainkaan "kaunis", mutta on olemassa. Kvanttikentän osalta kirjan huipentuma on mielestäni luku 10.5 Relation between Representation of the Lorentz and Poincare Group, jossa muutamalla sivulla esitellään kvanttikentän ryhmäteoreettinen rakenne. Paino sanalla *kenttä*. Wigner selvitteli aikanaan hiukkastilat varsin perusteellisesti, mutta kvanttikenttä on huomattavasti sotkuisempi objekti.
...

Jep. Siinä luvussa on juuri alussa niitä muunnoskaavoja ja sitten lisää kaikenlaista jännää.

[Disputator]

Innostuin jälleen muistelemaan operaattorien muunnosta. Kvanttioperaattori A muuntuu unitaaristi \(U A U^{-1}\), missä \(U^\dagger=U^{-1}\). Komponenteilla ilmaistuna A_i muuntuu rotaatioissa

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

Tämä pätee paikka-, liikemäärä- ja kulmaliikemääräoperaattoreille X_i, P_i ja J_i, jotka ovat vektorioperaattoreita. Muunnos vastaa koordinaatiston kantavektorimuunnosta

\(\mathbf{e}_i \to \mathbf{e}_i' = {R^j}_i\ \mathbf{e}_j\)

missä indeksi on alhaalla. Noiden X_i, P_i ja J_i muunnos on tavallaan passiivinen, jossa koordinaatiston operaattorit pyöräytetään. Esimerkiksi J_k, missä k={1,2,3} muuntuvat rotaatioissa

\(U[R]\ J_k\ U[R]^{-1}={R^l}_k\ J_l\)

Mielivaltaisen pyörimisakselin \(\mathbf{n} = n^k\ \mathbf{e}_k\) rotaatio-operaattori \(J_\mathbf{n} = n^k\ J_k\).

Tuo \(J_\mathbf{n}\) voidaan pyöräyttää

\(U[R]\ J_\mathbf{n}\ U[R]^{-1} = J_{\mathbf{n'}}\),

missä \(\mathbf{n'} = R\ \mathbf{n}\). Operaattorin muunnos riippuu operaattorin tyypistä kuten klassisen kentän muunnoskin kentän tyypistä. Hamilton H muuntuu rotaatiossa kuten skalaari, mutta toisaalta puskuissa H ei ole invariantti.
...

Tätä olen yrittänyt ymmärtää tässä spin-yhteydessä ja luentomonisteeni käsittelee tuota spin=1/2 tapauksessa, jossa siis spinorit ovat 2d-vektoreita ja jotka voidaan esittää S_z-matriisin ominaisvektorien (1,0) ja (0,1) kannassa (pystyvektoreita):

Määritellään suuntavektori \(\vec{n}\) pallokoordinaateissa:

\(\vec{n}=(sin\theta cos\phi, sin\theta sin\phi, cos\theta )\).

Rotaatio, joka kääntää fysikaalisen avaruuden vektorin (0,0,1) vektoriksi \(\vec{n}\), voidaan esittää eksponenttimuodossa:

\(R(\theta,\phi)=e^{-i \theta J_z} e^{-i \phi J_y}\)

Tämä indusoi muunnoksen \(u(\theta,\phi) \) spinoriavaruuteen:

\(u(\theta,\phi)=e^{-i \theta/2\: \sigma_z} e^{-i \phi/2\: \sigma_y}\),

missä \( \sigma_z\) ja \(\sigma_y\) ovat Paulin matriiseja. Käytän tuossa monisteeni pientä u kirjainta, kun sulla U.

Antamasi kaava:

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

voidaan kirjoittaa tässä spinoritapauksessa:

\(u(\theta,\phi)\ S_i\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j\).

Tätä en tarkistanut mutta tuon vasemman puolen pitäisi antaa kaava:

\(u(\theta,\phi)\ S_3\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j= \vec{n}\cdot \vec{S}\).

Tuo \(\vec{n}\cdot \vec{S}\) on nyt 2x2-matriisi tai operaattori ja se nyt yrittää esittää "rotaatiolla käännettyä spiniä". Haluan siis kääntää spinit suuntaan \(\vec{n}\), mihin haluan tehdä puskun.

Koska olen muuntanut spinoperaattoria, muunnan nyt sitten kantavektorit (1,0) ja (0,1) samalla unitaarisella muunnoksella \(u(\theta,\phi)\) ja asetan:

\(\chi_{+}\equiv u(\theta,\phi)(1,0)^{T}\)
\(\chi_{-}\equiv u(\theta,\phi)(0,1)^{T}\)

Nyt pätee:

\(
(\vec{n}\cdot \vec{S})\chi_{\pm}=\pm \frac{1}{2} \chi_{\pm}
\)

Okei, tuo näyttää hyvältä, mutta mitä ihmettä oikein edes tein. Kun tein rotaation \(R(\theta,\phi)\) fysikaalisessa avaruudessa sain tuon, mutta eikö tuo ole vain yhtälöiden

\(\begin{align}
S_z (1,0)^{T}&=\frac{1}{2} (1,0)^{T}\\
S_z (0,1)^{T}&=-\frac{1}{2} (0,1)^{T}
\end{align}\)

esitys uudessa spinoriavaruuden kannassa? Vai onko tuossa mahdollista tulkita tuo aktiivisesti, jolloin olen oikeasti "kääntänyt" spinoria?

Luentomonisteeni käyttää tuota melkoisen paljon ja siksi tuo on kriittinen kohta.

[QS]

...
Group Theory in Physics -teoksen useampi vuosi sitten, ja pääosin tankannut sen kokonaan läpi noin harrastusmielessä. Teos on mainio, koska asioihin johdatellaan todella yksinkertaisilla esimerkeillä. Näitä sovelletaan askel kerrallaan haastavampiin ongelmiin. Sisäiset kaavaviittaukset työllistävät hiukan, mutta ne lopulta auttavat kytkemään yksinkertaiset säännöt haastavampiinkin tilanteisiin.

Tutkin heti teoksen saatuani mitä Tung kirjoittaa noista aaltofunktioiden ja kenttien kenttien muunnoksista. Siinä kirjassa on se sinunkin esittämä konstruktio operaattorin muuntumiselle rotaatioissa (7.16-5). Siinä sitten alla sanotaan että ajatus on sama kuin kaavassa 7.8-12...Harmittavasti kyseistä kaavaa ei löydy. Juuri kriittinen kaava! No hän kai viittasi siihen 7.6-12-kaavaan.

Mäkin aikanaan huomasin saman viittausvirheen. Kaava (7.6-15) on

\(\Psi^\sigma(\mathbf{x}) \to U[R]\ \Psi^\sigma(\mathbf{x})\ U[R]^{-1} = {D^{1/2}[R^{-1}]^\sigma}_\lambda\ \Psi^\lambda(R\mathbf{x})\)

Tässä viitataan kaavaan (7.1-2)

\(x'^i=R^i{}_jx^j\)

mikä on pyöräytyskaava vektorin \( \mathbf{x}=x^i\mathbf{e}_i\) komponentille \(x^i\). Samassa yhteydessä viitataan myös kaavaan (7.8-12) mikä kait painovirhe. Pitäisi olla (7.6-12) missä pyöräytetään kvanttimekaniikan (vektori-)operaattori

\(U[R]\ X^i\ U[R]^{-1} = (R^{-1})^i{}_j\ X^j\)

Tämä voidaan kirjoittaa Eulidisessa avaruudessa myös indeksit alhaalla

\(U[R]\ X_i\ U[R]^{-1} = R^j{}_i\ X_j\)

Tuo edellinen kaava vastaa koordinaatiston kantavektorimuunnosta (7.1-1)

\(\mathbf{e}_i' = {R^j}_i\ \mathbf{e}_j\)

missä myös indeksi alhaalla. Vektorin komponentit muuntuvat tähän verrattuna toisin päin (7.1.-2). Näissä näkyy mainittu aktiivinen/passiivinen -ominaisuus, \({R^j}_i\) vs \({R^i}_j\). Monikomponenttinen klassinen kenttä ja aaltofunktiot muuntuvat kuten vektorin komponentit (aktiivinen). Operaattorit muuntuvat kuten kantavektorit (passiivinen).

Monikomponenttisesta kvanttikentästä \(\Psi^\sigma\) kirja mainitsee pienen tärkeän yksityiskohdan. Kaava (7.6-15) on rotaatioesitys, joka kohdistuu operaattorijoukkoon \(\{\Psi^\sigma\}\).

\( \Psi^\sigma\) ei siis ole vektori, spinori tai muukaan Lorentzryhmän esitysavaruuden alkio, vaan joukko operaattoriarvoisia funktioita. Toisin sanoen kvanttikentälle ei ole olemassa Lorentzryhmän esitystä perinteisessä mielessä, vaikkakin (7.6-15) näyttää tuossa muodossa kirjoitettuna hyvin samalta kuin esim. spinorimuunnos.

Tuon \( \Psi^\sigma\):n problematiikka tulee näkyviin, kun muunnoksen tosiaan kirjoittaa konkreettisesti, jolloin huomaa, että se sisältää äärellisulotteisena Lorentzesityksenä mutta myös ääretönulotteisena Poincare-esityksenä muuntuvia objekteja.

Jälkimmäinen viestisi liittyy noiden kvanttimekaniikan operaattorien muunnoskuvioon. Nyt en vaan ehdi paneutua. Mutta huomasin, että Latexin

Koodi: Valitse kaikki

\begin{equation}

ei taida toimia oikein. Mulla punaiset merkit katoavat, kun käytän sen tilalla alignia tyyliin

Koodi: Valitse kaikki

\begin{align*}
x&=1 \\
y&=2
\end{align}