Disputator kirjoitti: 22 Helmi 2024, 17:11
Laitankin tämän allaolevan tähän ketjuun, koska se paremmin tänne sopii. Tehdään tavallinen pusku 2d-Minkowskiavaruudessa ja käytetään rapiditeettia \(\psi\), jolloin pusku voidaan esittää hyperbolisena rotaationa:
\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & -sinh(\psi)\\
-sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)
tai
\(
\begin{bmatrix}
x'^0 &\\
x'^1 &
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & -sinh(\psi)\\
-sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x^0 &\\
x^1 &
\end{bmatrix}\)
Tuohan näyttää rumalta (tuohon jää tyhjä tila) joten:
\(
\begin{align}
t' &=& t\: cosh(\psi)- x\: sinh(\psi)\\
x' &=& -t\: sinh(\psi)+x\: cosh(\psi)
\end{align}
\)
Eli siis tehdään koordinaatistonmuunnos (t,x)--> (t',x') ja siis tämä on luonteeltaan passiivinen muunnos ei siirretä itse systeemiä.
Tähän asti kaikki okei, mutta se mitä ihmettelen ja olen ihmetellyt on se, että jotkut kirjat (minulla 3 sellaista) määrittelevät Lorentz-puskun eri tavalla:
\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & sinh(\psi)\\
sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)
tai
\(
\begin{align}
t' &=& t\: cosh(\psi)+ x\: sinh(\psi)\\
x' &=& t\: sinh(\psi)+x\: cosh(\psi)
\end{align}
\)
Esimerkiksi Tungin kirja s.176 (kaava 10.1-9) tekee juuri noin. Ainoastaan yksi kirja (*) yrittää perustella tuota ja sanoo sen olevan sopimus jolla yritetään minimoida kaavoissa esiintyvien miinusmerkkien lukumäärä

ja siihen päästäkseen kirjoittaja antaa tavallisessa tarkastelussa boostatulle liikkuvalle koordinaatistolle nimet (t,x) ja paikallaan olevalle (t',x'). Tällä sopimuksella v-> -v ja Lorentz-muunnokset ovat juuri muotoa:
\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & sinh(\psi)\\
sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)
Mä laitoin tämän näkyviin siksi, että tämä on vielä yksi lisäkerros näissä muunnos vs. käänteismuunnosjutuissa (esim. spinoriketju)
(*)Kirja:
Zee: Group Theory in a Nutshell for Physisists.
edit: mulla näkyy tuo t' punaisella värillä ???
Joo, näitä määrittelykysymyksiä harmillisesti ei perustella. Koetin selvittää miten Tung:n teoksessa asia menee. Luvussa 7.1 määritellään ryhmän SO(3) matriisit, joista kierto xy-tasossa
\(R(\psi)=\begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0\\\sin\psi & \cos\psi & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Tässä koordinaatisto on oikeakätinen, ja positiivinen kulma \(\psi\) on kierto vastapäivään. Vektorin \(\mathbf{x}=x^i\ \mathbf{\hat e}_i\) komponentit kiertyvät kaavalla
\({x'}^i=R^i{}_j\ x^j\)
mikä on komponenttien aktiivinen kierto. Muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\mathbf{\hat e}_i\}\), jolloin vektori on \(\mathbf{x'}={x'}^i\ \mathbf{\hat e}_i\). Tämä on siis aktiivinen kierto ilman kantamuunnosta.
Luvussa 10 määritellään vektorin \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) komponenttien Lorentzmuunnos
\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)
Tämä on vektorin x aktiivinen pusku. Kirjassa määritelty puskumatriisi
\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)
noudattaa samaa sääntöä kuin kierroissa. Positiivinen rapiditeettikulma \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\), missä siis v>0, vastaa tx-tasossa hyperbolista kiertoa vastapäivään (kuvassa 10.2). Kun tämän tulkitsee aktiiviseksi puskuksi, ovat muunnetun vektorin komponentit
\(\begin{align*}{x'}^0&=x^0\cosh\psi+ x^1\sinh\psi =\gamma(x^0 + v x^1)\\ {x'}^1 &= x^0\sinh\psi+x^1\cosh\psi=\gamma(x^1+v x^0) \end{align*}\)
missä v>0. Aktiivisessa puskussa muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\)
\(x'={x'}^0\ \hat e_0 + {x'}^1\ \hat e_1\)
Tämä vastaa kysymykseen "miltä systeemi näyttää, kun se liikkuu x-akselin suuntaisesti nopeudella +v". Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)
\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)
missä \(\Lambda^{-1}\) muuntaa tx-tason kantavektorit
\(\begin{align*} {\hat e'}_0&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_0\ \hat e_\nu = \cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_1\ \hat e_\nu= -\sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)
Tässä muunnetussa kannassa alkuperäisen vektorin komponentit \(x^\mu\) eivät muunnu. Sijoittamalla alkuperäiset komponentit muunnettuun kantaan, saadaan
\(\begin{align*} {x'}^0&= x^0(\cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1) \\
{x'}^1&=x^1(-sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1) \end{align*}\)
minkä voi kirjoittaa vektorina
\(\begin{align*} x'&=(x^0\cosh\psi - x^1\sinh\psi)\ \hat e_0\ + (x^1\cosh\psi -x^0\sinh\psi)\ \hat e_1 \\
&=\gamma(x^0-vx^1)\ \hat e_0 + \gamma(x^1-vx^0)\ \hat e_1\end{align*}\)
missä nuo tutut miinusmerkit. Tässä on kuitenkin notaatiohaaste. Tuo vektori tulee ajatella muunnetun koordinaatiston vektorina
\(x'=x^0\ \hat {e}'_0 + x^1\ \hat {e}'_1\)
missä kanta on eri kuin alkuperäisen vektorin kanta. Passiivinen muunnos vastaa siis kysymykseen "miltä systeemi näyttää koordinaatistossa (t',x'), joka liikkuu alkuperäisen koordinaatiston suhteen nopeudella +v".
Akt/pass -muunnos on periaatteessa yksinkertainen, mutta näissä saa itsensä solmuun varsinkin, jos lähteessä ei sanota onko matriisi komponettien vai kannan muunnokseen. Ja kumpi muuntuu käänteisenä. Ja joskus jopa koko universumin kattavat kentät pusketaan aktiivisesti. En tiedä mihin rinnakkaisuniversumiin kentän reunat pusketaan
