Spinori

[QS]

Innostuin jälleen muistelemaan operaattorien muunnosta. Kvanttioperaattori A muuntuu unitaaristi \(U A U^{-1}\), missä \(U^\dagger=U^{-1}\). Komponenteilla ilmaistuna A_i muuntuu rotaatioissa

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

Tämä pätee paikka-, liikemäärä- ja kulmaliikemääräoperaattoreille X_i, P_i ja J_i, jotka ovat vektorioperaattoreita. Muunnos vastaa koordinaatiston kantavektorimuunnosta

\(\mathbf{e}_i \to \mathbf{e}_i' = {R^j}_i\ \mathbf{e}_j\)

missä indeksi on alhaalla. Noiden X_i, P_i ja J_i muunnos on tavallaan passiivinen, jossa koordinaatiston operaattorit pyöräytetään. Esimerkiksi J_k, missä k={1,2,3} muuntuvat rotaatioissa

\(U[R]\ J_k\ U[R]^{-1}={R^l}_k\ J_l\)

Mielivaltaisen pyörimisakselin \(\mathbf{n} = n^k\ \mathbf{e}_k\) rotaatio-operaattori \(J_\mathbf{n} = n^k\ J_k\).

Tuo \(J_\mathbf{n}\) voidaan pyöräyttää

\(U[R]\ J_\mathbf{n}\ U[R]^{-1} = J_{\mathbf{n'}}\),

missä \(\mathbf{n'} = R\ \mathbf{n}\). Operaattorin muunnos riippuu operaattorin tyypistä kuten klassisen kentän muunnoskin kentän tyypistä. Hamilton H muuntuu rotaatiossa kuten skalaari, mutta toisaalta puskuissa H ei ole invariantti.
...

Tätä olen yrittänyt ymmärtää tässä spin-yhteydessä ja luentomonisteeni käsittelee tuota spin=1/2 tapauksessa, jossa siis spinorit ovat 2d-vektoreita ja jotka voidaan esittää S_z-matriisin ominaisvektorien (1,0) ja (0,1) kannassa (pystyvektoreita):

Määritellään suuntavektori \(\vec{n}\) pallokoordinaateissa:

\(\vec{n}=(sin\theta cos\phi, sin\theta sin\phi, cos\theta )\).

Rotaatio, joka kääntää fysikaalisen avaruuden vektorin (0,0,1) vektoriksi \(\vec{n}\), voidaan esittää eksponenttimuodossa:

\(R(\theta,\phi)=e^{-i \theta J_z} e^{-i \phi J_y}\)

Tämä indusoi muunnoksen \(u(\theta,\phi) \) spinoriavaruuteen:

\(u(\theta,\phi)=e^{-i \theta/2\: \sigma_z} e^{-i \phi/2\: \sigma_y}\),

missä \( \sigma_z\) ja \(\sigma_y\) ovat Paulin matriiseja. Käytän tuossa monisteeni pientä u kirjainta, kun sulla U.

Antamasi kaava:

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

voidaan kirjoittaa tässä spinoritapauksessa:

\(u(\theta,\phi)\ S_i\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j\).

Tätä en tarkistanut mutta tuon vasemman puolen pitäisi antaa kaava:

\(u(\theta,\phi)\ S_3\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j= \vec{n}\cdot \vec{S}\).

Tuo \(\vec{n}\cdot \vec{S}\) on nyt 2x2-matriisi tai operaattori ja se nyt yrittää esittää "rotaatiolla käännettyä spiniä". Haluan siis kääntää spinit suuntaan \(\vec{n}\), mihin haluan tehdä puskun.

Koska olen muuntanut spinoperaattoria, muunnan nyt sitten kantavektorit (1,0) ja (0,1) samalla unitaarisella muunnoksella \(u(\theta,\phi)\) ja asetan:

\(\chi_{+}\equiv u(\theta,\phi)(1,0)^{T}\)
\(\chi_{-}\equiv u(\theta,\phi)(0,1)^{T}\)

Nyt pätee:

\(
(\vec{n}\cdot \vec{S})\chi_{\pm}=\pm \frac{1}{2} \chi_{\pm}
\)

Okei, tuo näyttää hyvältä, mutta mitä ihmettä oikein edes tein. Kun tein rotaation \(R(\theta,\phi)\) fysikaalisessa avaruudessa sain tuon, mutta eikö tuo ole vain yhtälöiden

\(\begin{align}
S_z (1,0)^{T}&=\frac{1}{2} (1,0)^{T}\\
S_z (0,1)^{T}&=-\frac{1}{2} (0,1)^{T}
\end{align}\)

esitys uudessa spinoriavaruuden kannassa? Vai onko tuossa mahdollista tulkita tuo aktiivisesti, jolloin olen oikeasti "kääntänyt" spinoria?

Luentomonisteeni käyttää tuota melkoisen paljon ja siksi tuo on kriittinen kohta.

 

Iltaa! Rakensin tähän jälleen helpohkon palikkalaskun.

Kun spiniin ja spin-operaattoriin kohdistetaan sama rotaatio, niin kyseessähän on identiteettimuunnos, joka käsittääkseni sulla tuossa tuloksena.

Otetaan näkökulma, jossa spinin kierto on aktiivinen muunnos. Yksinkertainen esimerkki olisi \(S_z\):n ominaistila (z-akselin suuntainen spin)

\(|\psi\rangle = |\uparrow \rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)

Kierretään tämä x-akselin ympäri matriisilla

\(D_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & i\sin\frac{\theta}{2} \\ i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\)

siten, että kiretokulma \( \theta=\pi/2\). Jos laskin oikein, saadaan tilavektori

\(
\begin{align*}|\psi'\rangle = D_x(\frac{\pi}{2})\ |\uparrow \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\frac{i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{align*}\)

Tuo on siis aktiivinen muunnos. Tarkistin, että \(|\psi'\rangle\) on \(S_y\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on +1/2 kuten pitääkin.

Passiivinen muunnos on sellainen, jossa aktiivista muunnosta vastaava tilanne saavutetaan muuntamalla koordinaatiston kantavektorit. S on vektorioperaattori

\(\vec S = \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \\ S_z \end{pmatrix}\)

joka muuntuu kuten 3-dimensioinen kantavektorijoukko passiivisessa muunnoksessa. Muunnosta \(D_x(\theta)\) vastaava käänteinen 3-dimensioinen rotaatiomatriisi on

\(R_x(\theta)^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & -\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\)

Kun operaattoriin \(\vec S = (0,0,S_z)^T\) kohdistetaan kiertokulmaa \(\theta=\pi/2\) vastaava käänteinen rotaatio, saadaan

\(\vec S' = R_x(\frac{\pi}{2})^{-1}\ \begin{pmatrix} 0\\0\\S_z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\S_z\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S'_x\\S'_y\\S'_z\end{pmatrix}\)

missä muuntunut \(S'_y = S_z\). Passiivisessa muunnoksessa tila \(|\psi\rangle\) ei muunnu. Tila \(|\psi\rangle\) on \(S'_y\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on +1/2. Sama lopputulos kuin aktiivisessa muunnoksessa.

Eli siis aktiivisessa muunnoksessa kierretään spin-tilavektori, ja passiivisessa kierretään spin-vektorioperaattori, mutta aktiiviseen verrattuna käänteisrotaatiolla. Molempia muunnoksia ei voi tehdä yhtä aikaa. Ja molempien aktiivinen tai molempien passiivinen johtaa identiteettimuunnokseen.

[QS]

...
Kun operaattoriin \(\vec S = (0,0,S_z)^T\) kohdistetaan kiertokulmaa \(\theta=\pi/2\) vastaava käänteinen rotaatio, saadaan

\(\vec S' = R_x(\frac{\pi}{2})^{-1}\ \begin{pmatrix} 0\\0\\S_z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\S_z\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S'_x\\S'_y\\S'_z\end{pmatrix}\)

missä muuntunut \(S'_y = S_z\)
...

Hmm. Miksiköhän asetin nuo muut komponentit nolliksi. Eihän niitä operaattorista poistaa voi. Pitää siis olla \(\vec S = (S_x,S_y,S_z)^T\), mikä on pyöräytettynä

\(\vec S' = R_x(\frac{\pi}{2})^{-1}\ \begin{pmatrix} S_x\\S_y\\S_z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} S_x\\S_z\\-S_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {S'}_x\\ {S'}_y \\ {S'}_z \end{pmatrix}\)

[Disputator]

...
Tätä olen yrittänyt ymmärtää tässä spin-yhteydessä ja luentomonisteeni käsittelee tuota spin=1/2 tapauksessa, jossa siis spinorit ovat 2d-vektoreita ja jotka voidaan esittää S_z-matriisin ominaisvektorien (1,0) ja (0,1) kannassa (pystyvektoreita):

Määritellään suuntavektori \(\vec{n}\) pallokoordinaateissa:

\(\vec{n}=(sin\theta cos\phi, sin\theta sin\phi, cos\theta )\).

Rotaatio, joka kääntää fysikaalisen avaruuden vektorin (0,0,1) vektoriksi \(\vec{n}\), voidaan esittää eksponenttimuodossa:

\(R(\theta,\phi)=e^{-i \theta J_z} e^{-i \phi J_y}\)

Tämä indusoi muunnoksen \(u(\theta,\phi) \) spinoriavaruuteen:

\(u(\theta,\phi)=e^{-i \theta/2\: \sigma_z} e^{-i \phi/2\: \sigma_y}\),

missä \( \sigma_z\) ja \(\sigma_y\) ovat Paulin matriiseja. Käytän tuossa monisteeni pientä u kirjainta, kun sulla U.

Antamasi kaava:

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

voidaan kirjoittaa tässä spinoritapauksessa:

\(u(\theta,\phi)\ S_i\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j\).

Tätä en tarkistanut mutta tuon vasemman puolen pitäisi antaa kaava:

\(u(\theta,\phi)\ S_3\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j= \vec{n}\cdot \vec{S}\).

Tuo \(\vec{n}\cdot \vec{S}\) on nyt 2x2-matriisi tai operaattori ja se nyt yrittää esittää "rotaatiolla käännettyä spiniä". Haluan siis kääntää spinit suuntaan \(\vec{n}\), mihin haluan tehdä puskun.

Koska olen muuntanut spinoperaattoria, muunnan nyt sitten kantavektorit (1,0) ja (0,1) samalla unitaarisella muunnoksella \(u(\theta,\phi)\) ja asetan:

\(\chi_{+}\equiv u(\theta,\phi)(1,0)^{T}\)
\(\chi_{-}\equiv u(\theta,\phi)(0,1)^{T}\)

Nyt pätee:

\(
(\vec{n}\cdot \vec{S})\chi_{\pm}=\pm \frac{1}{2} \chi_{\pm}
\)

Okei, tuo näyttää hyvältä, mutta mitä ihmettä oikein edes tein. Kun tein rotaation \(R(\theta,\phi)\) fysikaalisessa avaruudessa sain tuon, mutta eikö tuo ole vain yhtälöiden

\(\begin{align}
S_z (1,0)^{T}&=&\frac{1}{2} (1,0)^{T}\\
S_z (0,1)^{T}&=&-\frac{1}{2} (0,1)^{T}
\end{align}\)

esitys uudessa spinoriavaruuden kannassa? Vai onko tuossa mahdollista tulkita tuo aktiivisesti, jolloin olen oikeasti "kääntänyt" spinoria?

Luentomonisteeni käyttää tuota melkoisen paljon ja siksi tuo on kriittinen kohta.
 

Iltaa! Rakensin tähän jälleen helpohkon palikkalaskun.

Iltapäivää! Palikkalaskut ovat ihan parasta, ne havainnollistavat (toivottavasti) tilannetta.

Kun spiniin ja spin-operaattoriin kohdistetaan sama rotaatio, niin kyseessähän on identiteettimuunnos, joka käsittääkseni sulla tuossa tuloksena.

Kyllä, näin on (katso kuitenkin alla lisää)

Otetaan näkökulma, jossa spinin kierto on aktiivinen muunnos. Yksinkertainen esimerkki olisi \(S_z\):n ominaistila (z-akselin suuntainen spin)

\(|\psi\rangle = |\uparrow \rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)

Kierretään tämä x-akselin ympäri matriisilla

\(D_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & i\sin\frac{\theta}{2} \\ i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\)

siten, että kiretokulma \( \theta=\pi/2\). Jos laskin oikein, saadaan tilavektori

\(
\begin{align*}|\psi'\rangle = D_x(\frac{\pi}{2})\ |\uparrow \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\frac{i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{align*}\)

Tuo on siis aktiivinen muunnos. Tarkistin, että \(|\psi'\rangle\) on \(S_y\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on +1/2 kuten pitääkin.
 

Kävin läpi tuota ja oikealta tuo näyttää.

Passiivinen muunnos on sellainen, jossa aktiivista muunnosta vastaava tilanne saavutetaan muuntamalla koordinaatiston kantavektorit. S on vektorioperaattori

\(\vec S = \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \\ S_z \end{pmatrix}\)

joka muuntuu kuten 3-dimensioinen kantavektorijoukko passiivisessa muunnoksessa. Muunnosta \(D_x(\theta)\) vastaava käänteinen 3-dimensioinen rotaatiomatriisi on

\(R_x(\theta)^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & -\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\)

Kun operaattoriin \(\vec S = (0,0,S_z)^T\) kohdistetaan kiertokulmaa \(\theta=\pi/2\) vastaava käänteinen rotaatio, saadaan

\(\vec S' = R_x(\frac{\pi}{2})^{-1}\ \begin{pmatrix} 0\\0\\S_z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\S_z\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S'_x\\S'_y\\S'_z\end{pmatrix}\)

missä muuntunut \(S'_y = S_z\). Passiivisessa muunnoksessa tila \(|\psi\rangle\) ei muunnu. Tila \(|\psi\rangle\) on \(S'_y\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on +1/2. Sama lopputulos kuin aktiivisessa muunnoksessa.

Eli siis aktiivisessa muunnoksessa kierretään spin-tilavektori, ja passiivisessa kierretään spin-vektorioperaattori, mutta aktiiviseen verrattuna käänteisrotaatiolla. Molempia muunnoksia ei voi tehdä yhtä aikaa. Ja molempien aktiivinen tai molempien passiivinen johtaa identiteettimuunnokseen.

Tämä on mielestäni ihan oikein, tosin nyt en ole ihan varma tuosta passiivinen tulkinnasta, mutta varmaan noinkin voi ajatella. Tämä on se kirottu aihe, jonka on mielestäni keksinyt joku Universumin fysiikan lakeja kontrolloiva Saatana matemaatikoiden ja fyysikoiden kiusaksi. En ikinä opi näitä passiivinen vs. aktiivinen juttuja.

Yritin sitten avainnollistaa tuota siten että meillä olisi kaksi objektia jota aktiivisesti kierretään. Ensimmäinen on spinvektori \((1,0)^T\) ja toinen on spinoperaattori S_z tai S₃. Jos tulkitsen jälkimmäisen jonkinlaiseksi spinmittariksi \(\vec{S}=(S_x,S_y,S_z)\), joka mittaa laboratoriossa spin-operaattorin \(\vec{S}\) arvoja niin neljä erilaista tilannetta on mielestäni mahdollista:

1) spinvektoria ja spinmittaria käännetään rotaatiossa, tämä on se mun esimerkkini, mitä ihmettelin.
2) spinvektoria käännetään, mutta spinmittaria ei käännetä (tämä on ensimmäinen esimerkkisi)
3) spinvektoria ei käännetä, mutta spinmittaria käännetään vastakkaiseen suuntaan (tämä on toinen esimerkkisi)
4) mitään ei käännetä

Tossa ekassa mittaukset antavat samat tulokset ennen ja jälkeen kierron, kuten kai oikeastaan pitääkin. Toinen ja kolmas kohta antavat saman tuloksen, koska niiden "suhteellinen muutos" on sama.

No en tiedä, mutta tavallaan kai noinkin voi ajatella. En tunne tarkemmin kvanttimekaniikan mittaamisen mystiikkaa, lukuunottamatta perusmääritelmiä odotusarvoineen.

edit: kohta 4 on ylimääräinen, koska se sisältyy edellisiin..
edi2: meni väärään paikkaa eräs editointi.

[Eusa]

Kvanttimekaniikassa muunnosten jako aktiivisiin ja passiivisiin jäsentää saavutetut tilat sen mukaan onko kyse todellisesta aktiivisesta muutoksesta fysikaalisessa systeemissä vai havainnointitavan muunnoksesta systeemin säilyessä fysikaalisesti muuttumattomana.

On totta, ettei teksteissä ole aina osattu toimia selvästi tuon jäsennysperiaatteen mukaan ja käsitteiden raja on voinut jäädä häilyväksi.

[Eusa]

Kvanttimekaniikassa muunnosten jako aktiivisiin ja passiivisiin jäsentää saavutetut tilat sen mukaan onko kyse todellisesta aktiivisesta muutoksesta fysikaalisessa systeemissä vai havainnointitavan muunnoksesta systeemin säilyessä fysikaalisesti muuttumattomana.

On totta, ettei teksteissä ole aina osattu toimia selvästi tuon jäsennysperiaatteen mukaan ja käsitteiden raja on voinut jäädä häilyväksi.

Kas, nyt huomasin, että suhteellisuusteorian ketjussa tätä samaa olikin jo todettu.

[Eusa]

https://matejpavsic.wordpress.com/2012/ ... nd-beyond/

Löysin Cliffordin algebralla intuitiivisesti ehjän selvityksen, jossa spinorit ovat elementtejä Fock-avaruudessa ja aktiiviset muunnokset passiivisiin upotettuja elementtioperaatioita.

Tuossa voi nähdä hierarkisuuden, jossa elementille passiivinen muunnos upotetussa monistossa onkin ylemmän tason monistossa aktiivinen muunnos...

[QS]

...
Tätä olen yrittänyt ymmärtää tässä spin-yhteydessä ja luentomonisteeni käsittelee tuota spin=1/2 tapauksessa, jossa siis spinorit ovat 2d-vektoreita ja jotka voidaan esittää S_z-matriisin ominaisvektorien (1,0) ja (0,1) kannassa (pystyvektoreita):

Määritellään suuntavektori \(\vec{n}\) pallokoordinaateissa:

\(\vec{n}=(sin\theta cos\phi, sin\theta sin\phi, cos\theta )\).

Rotaatio, joka kääntää fysikaalisen avaruuden vektorin (0,0,1) vektoriksi \(\vec{n}\), voidaan esittää eksponenttimuodossa:

\(R(\theta,\phi)=e^{-i \theta J_z} e^{-i \phi J_y}\)

Tämä indusoi muunnoksen \(u(\theta,\phi) \) spinoriavaruuteen:

\(u(\theta,\phi)=e^{-i \theta/2\: \sigma_z} e^{-i \phi/2\: \sigma_y}\),

missä \( \sigma_z\) ja \(\sigma_y\) ovat Paulin matriiseja. Käytän tuossa monisteeni pientä u kirjainta, kun sulla U.

Antamasi kaava:

\(U[R]\ A_i\ U[R]^{-1} = {R^j}_i \ A_j\).

voidaan kirjoittaa tässä spinoritapauksessa:

\(u(\theta,\phi)\ S_i\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j\).

Tätä en tarkistanut mutta tuon vasemman puolen pitäisi antaa kaava:

\(u(\theta,\phi)\ S_3\ u(\theta,\phi)^{-1} = {R^j}_i \ S_j= \vec{n}\cdot \vec{S}\).

Tuo \(\vec{n}\cdot \vec{S}\) on nyt 2x2-matriisi tai operaattori ja se nyt yrittää esittää "rotaatiolla käännettyä spiniä". Haluan siis kääntää spinit suuntaan \(\vec{n}\), mihin haluan tehdä puskun.

Koska olen muuntanut spinoperaattoria, muunnan nyt sitten kantavektorit (1,0) ja (0,1) samalla unitaarisella muunnoksella \(u(\theta,\phi)\) ja asetan:

\(\chi_{+}\equiv u(\theta,\phi)(1,0)^{T}\)
\(\chi_{-}\equiv u(\theta,\phi)(0,1)^{T}\)

Nyt pätee:

\(
(\vec{n}\cdot \vec{S})\chi_{\pm}=\pm \frac{1}{2} \chi_{\pm}
\)

Okei, tuo näyttää hyvältä, mutta mitä ihmettä oikein edes tein. Kun tein rotaation \(R(\theta,\phi)\) fysikaalisessa avaruudessa sain tuon, mutta eikö tuo ole vain yhtälöiden

\(\begin{align}
S_z (1,0)^{T}&=\frac{1}{2} (1,0)^{T}\\
S_z (0,1)^{T}&=-\frac{1}{2} (0,1)^{T}
\end{align}\)

esitys uudessa spinoriavaruuden kannassa? Vai onko tuossa mahdollista tulkita tuo aktiivisesti, jolloin olen oikeasti "kääntänyt" spinoria?

Luentomonisteeni käyttää tuota melkoisen paljon ja siksi tuo on kriittinen kohta.
 

Iltaa! Rakensin tähän jälleen helpohkon palikkalaskun.

Iltapäivää! Palikkalaskut ovat ihan parasta, ne havainnollistavat (toivottavasti) tilannetta.

Kun spiniin ja spin-operaattoriin kohdistetaan sama rotaatio, niin kyseessähän on identiteettimuunnos, joka käsittääkseni sulla tuossa tuloksena.

Kyllä, näin on (katso kuitenkin alla lisää)

Otetaan näkökulma, jossa spinin kierto on aktiivinen muunnos. Yksinkertainen esimerkki olisi \(S_z\):n ominaistila (z-akselin suuntainen spin)

\(|\psi\rangle = |\uparrow \rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)

Kierretään tämä x-akselin ympäri matriisilla

\(D_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & i\sin\frac{\theta}{2} \\ i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\)

siten, että kiretokulma \( \theta=\pi/2\). Jos laskin oikein, saadaan tilavektori

\(
\begin{align*}|\psi'\rangle = D_x(\frac{\pi}{2})\ |\uparrow \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\frac{i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{align*}\)

Tuo on siis aktiivinen muunnos. Tarkistin, että \(|\psi'\rangle\) on \(S_y\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on +1/2 kuten pitääkin.
 

Kävin läpi tuota ja oikealta tuo näyttää.

Passiivinen muunnos on sellainen, jossa aktiivista muunnosta vastaava tilanne saavutetaan muuntamalla koordinaatiston kantavektorit. S on vektorioperaattori

\(\vec S = \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \\ S_z \end{pmatrix}\)

joka muuntuu kuten 3-dimensioinen kantavektorijoukko passiivisessa muunnoksessa. Muunnosta \(D_x(\theta)\) vastaava käänteinen 3-dimensioinen rotaatiomatriisi on

\(R_x(\theta)^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & -\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\)

Kun operaattoriin \(\vec S = (0,0,S_z)^T\) kohdistetaan kiertokulmaa \(\theta=\pi/2\) vastaava käänteinen rotaatio, saadaan

\(\vec S' = R_x(\frac{\pi}{2})^{-1}\ \begin{pmatrix} 0\\0\\S_z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\S_z\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S'_x\\S'_y\\S'_z\end{pmatrix}\)

missä muuntunut \(S'_y = S_z\). Passiivisessa muunnoksessa tila \(|\psi\rangle\) ei muunnu. Tila \(|\psi\rangle\) on \(S'_y\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on +1/2. Sama lopputulos kuin aktiivisessa muunnoksessa.

Eli siis aktiivisessa muunnoksessa kierretään spin-tilavektori, ja passiivisessa kierretään spin-vektorioperaattori, mutta aktiiviseen verrattuna käänteisrotaatiolla. Molempia muunnoksia ei voi tehdä yhtä aikaa. Ja molempien aktiivinen tai molempien passiivinen johtaa identiteettimuunnokseen.

Tämä on mielestäni ihan oikein, tosin nyt en ole ihan varma tuosta passiivinen tulkinnasta, mutta varmaan noinkin voi ajatella. Tämä on se kirottu aihe, jonka on mielestäni keksinyt joku Universumin fysiikan lakeja kontrolloiva Saatana matemaatikoiden ja fyysikoiden kiusaksi. En ikinä opi näitä passiivinen vs. aktiivinen juttuja.

Yritin sitten avainnollistaa tuota siten että meillä olisi kaksi objektia jota aktiivisesti kierretään. Ensimmäinen on spinvektori \((1,0)^T\) ja toinen on spinoperaattori S_z tai S₃. Jos tulkitsen jälkimmäisen jonkinlaiseksi spinmittariksi \(\vec{S}=(S_x,S_y,S_z)\), joka mittaa laboratoriossa spin-operaattorin \(\vec{S}\) arvoja niin neljä erilaista tilannetta on mielestäni mahdollista:

1) spinvektoria ja spinmittaria käännetään rotaatiossa, tämä on se mun esimerkkini, mitä ihmettelin.
2) spinvektoria käännetään, mutta spinmittaria ei käännetä (tämä on ensimmäinen esimerkkisi)
3) spinvektoria ei käännetä, mutta spinmittaria käännetään vastakkaiseen suuntaan (tämä on toinen esimerkkisi)
4) mitään ei käännetä

..
edit: kohta 4 on ylimääräinen, koska se sisältyy edellisiin..

 

Tämä onkin oivallinen tilanne, jossa voi vetää hihasta globaalin symmetrian. Kohta kohta 1), josta saitkin tuloksena "mikään ei muuttunut" on globaalin symmetrian ilmentymä. Jos mittalaite+systeemi -kokonaisuuden kierto johtaisi eri fysiikkaan kuin ennen kiertoa, niin globaali symmetria ei olisi voimassa.

Kohdassa 4 ei tiedetä, päteekö globaali symmetria, kun mitään ei ole käännetty. Vielä.