Suhteellisuusteoriaa

[Disputator]

Laitankin tämän allaolevan tähän ketjuun, koska se paremmin tänne sopii. Tehdään tavallinen pusku 2d-Minkowskiavaruudessa ja käytetään rapiditeettia \(\psi\), jolloin pusku voidaan esittää hyperbolisena rotaationa:

\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & -sinh(\psi)\\
-sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)

tai

\(
\begin{bmatrix}
x'^0 &\\
x'^1 &
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & -sinh(\psi)\\
-sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x^0 &\\
x^1 &
\end{bmatrix}\)

Tuohan näyttää rumalta (tuohon jää tyhjä tila) joten:

\(
\begin{align}
t' &= t\: cosh(\psi)- x\: sinh(\psi)\\
x' &= -t\: sinh(\psi)+x\: cosh(\psi)
\end{align}
\)

Eli siis tehdään koordinaatistonmuunnos (t,x)--> (t',x') ja siis tämä on luonteeltaan passiivinen muunnos ei siirretä itse systeemiä.

Tähän asti kaikki okei, mutta se mitä ihmettelen ja olen ihmetellyt on se, että jotkut kirjat (minulla 3 sellaista) määrittelevät Lorentz-puskun eri tavalla:

\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & sinh(\psi)\\
sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)

tai

\(
\begin{align}
t' &= t\: cosh(\psi)+ x\: sinh(\psi)\\
x' &= t\: sinh(\psi)+x\: cosh(\psi)
\end{align}
\)

Esimerkiksi Tungin kirja s.176 (kaava 10.1-9) tekee juuri noin. Ainoastaan yksi kirja (*) yrittää perustella tuota ja sanoo sen olevan sopimus jolla yritetään minimoida kaavoissa esiintyvien miinusmerkkien lukumäärä ja siihen päästäkseen kirjoittaja antaa tavallisessa tarkastelussa boostatulle liikkuvalle koordinaatistolle nimet (t,x) ja paikallaan olevalle (t',x'). Tällä sopimuksella v-> -v ja Lorentz-muunnokset ovat juuri muotoa:

\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & sinh(\psi)\\
sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)

Mä laitoin tämän näkyviin siksi, että tämä on vielä yksi lisäkerros näissä muunnos vs. käänteismuunnosjutuissa (esim. spinoriketju)

(*)Kirja:

Zee: Group Theory in a Nutshell for Physisists.

edit: mulla näkyy tuo t' punaisella värillä ???

[QS]

Laitankin tämän allaolevan tähän ketjuun, koska se paremmin tänne sopii. Tehdään tavallinen pusku 2d-Minkowskiavaruudessa ja käytetään rapiditeettia \(\psi\), jolloin pusku voidaan esittää hyperbolisena rotaationa:

\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & -sinh(\psi)\\
-sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)

tai

\(
\begin{bmatrix}
x'^0 &\\
x'^1 &
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & -sinh(\psi)\\
-sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x^0 &\\
x^1 &
\end{bmatrix}\)

Tuohan näyttää rumalta (tuohon jää tyhjä tila) joten:

\(
\begin{align}
t' &=& t\: cosh(\psi)- x\: sinh(\psi)\\
x' &=& -t\: sinh(\psi)+x\: cosh(\psi)
\end{align}
\)

Eli siis tehdään koordinaatistonmuunnos (t,x)--> (t',x') ja siis tämä on luonteeltaan passiivinen muunnos ei siirretä itse systeemiä.

Tähän asti kaikki okei, mutta se mitä ihmettelen ja olen ihmetellyt on se, että jotkut kirjat (minulla 3 sellaista) määrittelevät Lorentz-puskun eri tavalla:

\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & sinh(\psi)\\
sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)

tai

\(
\begin{align}
t' &=& t\: cosh(\psi)+ x\: sinh(\psi)\\
x' &=& t\: sinh(\psi)+x\: cosh(\psi)
\end{align}
\)

Esimerkiksi Tungin kirja s.176 (kaava 10.1-9) tekee juuri noin. Ainoastaan yksi kirja (*) yrittää perustella tuota ja sanoo sen olevan sopimus jolla yritetään minimoida kaavoissa esiintyvien miinusmerkkien lukumäärä ja siihen päästäkseen kirjoittaja antaa tavallisessa tarkastelussa boostatulle liikkuvalle koordinaatistolle nimet (t,x) ja paikallaan olevalle (t',x'). Tällä sopimuksella v-> -v ja Lorentz-muunnokset ovat juuri muotoa:

\(\Lambda=\Lambda(\psi)=
\begin{bmatrix}
cosh(\psi) & sinh(\psi)\\
sinh(\psi) & cosh(\psi)
\end{bmatrix}
\)

Mä laitoin tämän näkyviin siksi, että tämä on vielä yksi lisäkerros näissä muunnos vs. käänteismuunnosjutuissa (esim. spinoriketju)

(*)Kirja:

Zee: Group Theory in a Nutshell for Physisists.

edit: mulla näkyy tuo t' punaisella värillä ???
 

Joo, näitä määrittelykysymyksiä harmillisesti ei perustella. Koetin selvittää miten Tung:n teoksessa asia menee. Luvussa 7.1 määritellään ryhmän SO(3) matriisit, joista kierto xy-tasossa

\(R(\psi)=\begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0\\\sin\psi & \cos\psi & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Tässä koordinaatisto on oikeakätinen, ja positiivinen kulma \(\psi\) on kierto vastapäivään. Vektorin \(\mathbf{x}=x^i\ \mathbf{\hat e}_i\) komponentit kiertyvät kaavalla

\({x'}^i=R^i{}_j\ x^j\)

mikä on komponenttien aktiivinen kierto. Muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\mathbf{\hat e}_i\}\), jolloin vektori on \(\mathbf{x'}={x'}^i\ \mathbf{\hat e}_i\). Tämä on siis aktiivinen kierto ilman kantamuunnosta.

Luvussa 10 määritellään vektorin \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) komponenttien Lorentzmuunnos

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)

Tämä on vektorin x aktiivinen pusku. Kirjassa määritelty puskumatriisi

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

noudattaa samaa sääntöä kuin kierroissa. Positiivinen rapiditeettikulma \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\), missä siis v>0, vastaa tx-tasossa hyperbolista kiertoa vastapäivään (kuvassa 10.2). Kun tämän tulkitsee aktiiviseksi puskuksi, ovat muunnetun vektorin komponentit

\(\begin{align*}{x'}^0&=x^0\cosh\psi+ x^1\sinh\psi =\gamma(x^0 + v x^1)\\ {x'}^1 &= x^0\sinh\psi+x^1\cosh\psi=\gamma(x^1+v x^0) \end{align*}\)

missä v>0. Aktiivisessa puskussa muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\)

\(x'={x'}^0\ \hat e_0 + {x'}^1\ \hat e_1\)

Tämä vastaa kysymykseen "miltä systeemi näyttää, kun se liikkuu x-akselin suuntaisesti nopeudella +v". Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)

\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

missä \(\Lambda^{-1}\) muuntaa tx-tason kantavektorit

\(\begin{align*} {\hat e'}_0&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_0\ \hat e_\nu = \cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_1\ \hat e_\nu= -\sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tässä muunnetussa kannassa alkuperäisen vektorin komponentit \(x^\mu\) eivät muunnu. Sijoittamalla alkuperäiset komponentit muunnettuun kantaan, saadaan

\(\begin{align*} {x'}^0&= x^0(\cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1) \\
{x'}^1&=x^1(-sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1) \end{align*}\)

minkä voi kirjoittaa vektorina

\(\begin{align*} x'&=(x^0\cosh\psi - x^1\sinh\psi)\ \hat e_0\ + (x^1\cosh\psi -x^0\sinh\psi)\ \hat e_1 \\
&=\gamma(x^0-vx^1)\ \hat e_0 + \gamma(x^1-vx^0)\ \hat e_1\end{align*}\)

missä nuo tutut miinusmerkit. Tässä on kuitenkin notaatiohaaste. Tuo vektori tulee ajatella muunnetun koordinaatiston vektorina

\(x'=x^0\ \hat {e}'_0 + x^1\ \hat {e}'_1\)

missä kanta on eri kuin alkuperäisen vektorin kanta. Passiivinen muunnos vastaa siis kysymykseen "miltä systeemi näyttää koordinaatistossa (t',x'), joka liikkuu alkuperäisen koordinaatiston suhteen nopeudella +v".

Akt/pass -muunnos on periaatteessa yksinkertainen, mutta näissä saa itsensä solmuun varsinkin, jos lähteessä ei sanota onko matriisi komponettien vai kannan muunnokseen. Ja kumpi muuntuu käänteisenä. Ja joskus jopa koko universumin kattavat kentät pusketaan aktiivisesti. En tiedä mihin rinnakkaisuniversumiin kentän reunat pusketaan

[Disputator]

Hyvää huomenta, vastaan tässä lyhyehkösti.

...
Joo, näitä määrittelykysymyksiä harmillisesti ei perustella. Koetin selvittää miten Tung:n teoksessa asia menee. Luvussa 7.1 määritellään ryhmän SO(3) matriisit, joista kierto xy-tasossa

\(R(\psi)=\begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0\\\sin\psi & \cos\psi & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Tässä koordinaatisto on oikeakätinen, ja positiivinen kulma \(\psi\) on kierto vastapäivään. Vektorin \(\mathbf{x}=x^i\ \mathbf{\hat e}_i\) komponentit kiertyvät kaavalla

\({x'}^i=R^i{}_j\ x^j\)

mikä on komponenttien aktiivinen kierto. Muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\mathbf{\hat e}_i\}\), jolloin vektori on \(\mathbf{x'}={x'}^i\ \mathbf{\hat e}_i\). Tämä on siis aktiivinen kierto ilman kantamuunnosta.

Luvussa 10 määritellään vektorin \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) komponenttien Lorentzmuunnos

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)

Tämä on vektorin x aktiivinen pusku. Kirjassa määritelty puskumatriisi

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

noudattaa samaa sääntöä kuin kierroissa. Positiivinen rapiditeettikulma \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\), missä siis v>0, vastaa tx-tasossa hyperbolista kiertoa vastapäivään (kuvassa 10.2). Kun tämän tulkitsee aktiiviseksi puskuksi, ovat muunnetun vektorin komponentit

\(\begin{align*}{x'}^0&=x^0\cosh\psi+ x^1\sinh\psi =\gamma(x^0 + v x^1)\\ {x'}^1 &= x^0\sinh\psi+x^1\cosh\psi=\gamma(x^1+v x^0) \end{align*}\)

missä v>0. Aktiivisessa puskussa muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\)

\(x'={x'}^0\ \hat e_0 + {x'}^1\ \hat e_1\)

Tämä vastaa kysymykseen "miltä systeemi näyttää, kun se liikkuu x-akselin suuntaisesti nopeudella +v".

 

Joo, tämä on ihan ok ja selvä, kun tehdään tuo aktiivinen muunnos.

Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)
\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

missä \(\Lambda^{-1}\) muuntaa tx-tason kantavektorit

\(\begin{align*} {\hat e'}_0&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_0\ \hat e_\nu = \cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_1\ \hat e_\nu= -\sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tässä muunnetussa kannassa alkuperäisen vektorin komponentit \(x^\mu\) eivät muunnu. Sijoittamalla alkuperäiset komponentit muunnettuun kantaan, saadaan

\(\begin{align*} {x'}^0&= x^0(\cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1) \\
{x'}^1&=x^1(-sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1) \end{align*}\)
...

 

Hmm, tuo näyttää ihan oikealta, mutta tuossa on mielestäni yksi miinus liikaa Nimittäin nuo uudet kantavektorit olisi käsittääkseni oltava muodossa:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tavallaan nuo esitykset voi katsoa ihan paperille piirretystä diagrammista.

Me tiedetään jo etukäteen, että passiivinen muunnos on vain koordinaatistomuunnos ja siten ihan tavallinen Lorentz-muunnos miinusmerkkeineen (ilman aktiivista puskua), jolloin \( \Lambda\)-matriisi olisi muotoa:

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & -\sinh\psi\\ -\sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Silloin käänteismatriisi olisi:

\(\Lambda(\psi)^{-1}=\Lambda(-\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Tässä matriisissa kaikki kertoimet ovat positiivisia ja niitä käyttäen saataisiin nuo kantavektorit oikein, siis:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Nyt ei ehdi enempää kirjoittaa , palaan kyllä aiheeseen.

EDIT: joo, heh...
Toki aktiivista puskua vastapäivään vastaa kantavektorien hyperbolinen rotaatio myötäpäivään, jolloin \(\psi<0\). Juu emmä opi näitä koskaan...

[QS]

Hyvää huomenta, vastaan tässä lyhyehkösti.

...
Joo, näitä määrittelykysymyksiä harmillisesti ei perustella. Koetin selvittää miten Tung:n teoksessa asia menee. Luvussa 7.1 määritellään ryhmän SO(3) matriisit, joista kierto xy-tasossa

\(R(\psi)=\begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0\\\sin\psi & \cos\psi & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Tässä koordinaatisto on oikeakätinen, ja positiivinen kulma \(\psi\) on kierto vastapäivään. Vektorin \(\mathbf{x}=x^i\ \mathbf{\hat e}_i\) komponentit kiertyvät kaavalla

\({x'}^i=R^i{}_j\ x^j\)

mikä on komponenttien aktiivinen kierto. Muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\mathbf{\hat e}_i\}\), jolloin vektori on \(\mathbf{x'}={x'}^i\ \mathbf{\hat e}_i\). Tämä on siis aktiivinen kierto ilman kantamuunnosta.

Luvussa 10 määritellään vektorin \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) komponenttien Lorentzmuunnos

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)

Tämä on vektorin x aktiivinen pusku. Kirjassa määritelty puskumatriisi

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

noudattaa samaa sääntöä kuin kierroissa. Positiivinen rapiditeettikulma \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\), missä siis v>0, vastaa tx-tasossa hyperbolista kiertoa vastapäivään (kuvassa 10.2). Kun tämän tulkitsee aktiiviseksi puskuksi, ovat muunnetun vektorin komponentit

\(\begin{align*}{x'}^0&=x^0\cosh\psi+ x^1\sinh\psi =\gamma(x^0 + v x^1)\\ {x'}^1 &= x^0\sinh\psi+x^1\cosh\psi=\gamma(x^1+v x^0) \end{align*}\)

missä v>0. Aktiivisessa puskussa muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\)

\(x'={x'}^0\ \hat e_0 + {x'}^1\ \hat e_1\)

Tämä vastaa kysymykseen "miltä systeemi näyttää, kun se liikkuu x-akselin suuntaisesti nopeudella +v".
 

Joo, tämä on ihan ok ja selvä, kun tehdään tuo aktiivinen muunnos.

Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)
\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

missä \(\Lambda^{-1}\) muuntaa tx-tason kantavektorit

\(\begin{align*} {\hat e'}_0&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_0\ \hat e_\nu = \cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_1\ \hat e_\nu= -\sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tässä muunnetussa kannassa alkuperäisen vektorin komponentit \(x^\mu\) eivät muunnu. Sijoittamalla alkuperäiset komponentit muunnettuun kantaan, saadaan

\(\begin{align*} {x'}^0&= x^0(\cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1) \\
{x'}^1&=x^1(-sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1) \end{align*}\)
...
 

Hmm, tuo näyttää ihan oikealta, mutta tuossa on mielestäni yksi miinus liikaa Nimittäin nuo uudet kantavektorit olisi käsittääkseni oltava muodossa:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tavallaan nuo esitykset voi katsoa ihan paperille piirretystä diagrammista.

Me tiedetään jo etukäteen, että passiivinen muunnos on vain koordinaatistomuunnos ja siten ihan tavallinen Lorentz-muunnos miinusmerkkeineen (ilman aktiivista puskua), jolloin \( \Lambda\)-matriisi olisi muotoa:

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & -\sinh\psi\\ -\sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Silloin käänteismatriisi olisi:

\(\Lambda(\psi)^{-1}=\Lambda(-\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Tässä matriisissa kaikki kertoimet ovat positiivisia ja niitä käyttäen saataisiin nuo kantavektorit oikein, siis:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Nyt ei ehdi enempää kirjoittaa , palaan kyllä aiheeseen.

EDIT: joo, heh...
Toki aktiivista puskua vastapäivään vastaa kantavektorien hyperbolinen rotaatio myötäpäivään, jolloin \(\psi<0\). Juu emmä opi näitä koskaan...
 

On pyhiin kirjoihin ikuiseksi saatanalliseksi kiusankappaleeksi kirottu tämä aktiivinen vs passiivinen

Tämä alla on mun oma näkemys siitä, miten akt/pass idea pysyy päässä. Ei tarkoita sitä, ettenkö tekisi joka kerta kuitenkin etumerkkivirheitä, kun kaikki lähteet ja tekstit määrittelevät suunnat ja matriisit eri tavalla.

Kun aktiivisen puskun matriisi määritellään

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

niin kyseessä on tarkasteltavan systeemin potkaisu rapiditeettiin \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\). Nopeus v on positiivinen tai negatiivinen, tai yleisessä muunnoksessa mielivaltainen nopeusvektori v, mikä on siis potkaistun systeemin nopeus koordinaatistossa K.

Tämän määrittelyn jälkeen en saa muuttaa paramterin \(\psi\) etumerkkiä. Seuraavaksi pidän mielessä muunnoksen perusperiaatteen: passiivinen muunnos johtaa samaa lopputulokseen kuin aktiivinen muunnos. Okei. Tästä seuraa, että passiivinen muunnos on käänteinen aktiiviseen verrattuna. Selvä. Siispä passiivinen muunnos on aktiivisen matriisin käänteismatriisi. Kirjoitan

\(\ [\Lambda(\psi)]^{-1}= \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \cosh\psi & -\sinh\psi\\ -\sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Nyt mulla on kaksi matriisia. \(\Lambda(\psi)\) on aktiiviseen muunnokseen, ja \([\Lambda(\psi)]^{-1}\) on passiiviseen muunnokseen. Pidän mielessä, että parametri \(\psi\) on molemmissa sama

a) \(\Lambda(\psi)\) potkaisee systeemin koordinaatistossa K nopeuteen v (rapiditeettiin \(\psi\))
b) \([\Lambda(\psi)]^{-1}\) siirtää tarkastelun koordinaatistoon K', joka liikkuu K:n suhteen nopeudella v (rapiditeetilla \(\psi\))

Mun ei tarvitse miettiä laitanko matriisin parametriksi +v vai -v, kun matriisi itsessään huolehtii etumerkin oikeaksi.

Parametrin pysyminen samana molemmissa helpottaa kenttien muunnosta, jossa mukana molemmat \(\Lambda\) ja \(\Lambda^{-1}\). Jos näihin pitäisi eri parametrit asettaa, niin mulla menisi ainakin pää aivan solmuun.

Asiaa tässä sotkee toki se, että eri lähteet määrittelevät muunnoksen alunperin toisin päin. Usein ensiksi mainittu (edellä aktiivinen \(\Lambda\)) todetaankin passiiviseksi, ja \(\Lambda\)-matriisissa on miinusmerkit sinh-funktion edessä. Tässä tilanteessa pitää ajatella, että käänteismatriisi \(\Lambda^{-1}\) onkin aktiivinen muunnos (edellä oli passiivinen).

[Eusa]

Hyvää huomenta, vastaan tässä lyhyehkösti.

...
Joo, näitä määrittelykysymyksiä harmillisesti ei perustella. Koetin selvittää miten Tung:n teoksessa asia menee. Luvussa 7.1 määritellään ryhmän SO(3) matriisit, joista kierto xy-tasossa

\(R(\psi)=\begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0\\\sin\psi & \cos\psi & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Tässä koordinaatisto on oikeakätinen, ja positiivinen kulma \(\psi\) on kierto vastapäivään. Vektorin \(\mathbf{x}=x^i\ \mathbf{\hat e}_i\) komponentit kiertyvät kaavalla

\({x'}^i=R^i{}_j\ x^j\)

mikä on komponenttien aktiivinen kierto. Muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\mathbf{\hat e}_i\}\), jolloin vektori on \(\mathbf{x'}={x'}^i\ \mathbf{\hat e}_i\). Tämä on siis aktiivinen kierto ilman kantamuunnosta.

Luvussa 10 määritellään vektorin \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) komponenttien Lorentzmuunnos

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)

Tämä on vektorin x aktiivinen pusku. Kirjassa määritelty puskumatriisi

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

noudattaa samaa sääntöä kuin kierroissa. Positiivinen rapiditeettikulma \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\), missä siis v>0, vastaa tx-tasossa hyperbolista kiertoa vastapäivään (kuvassa 10.2). Kun tämän tulkitsee aktiiviseksi puskuksi, ovat muunnetun vektorin komponentit

\(\begin{align*}{x'}^0&=x^0\cosh\psi+ x^1\sinh\psi =\gamma(x^0 + v x^1)\\ {x'}^1 &= x^0\sinh\psi+x^1\cosh\psi=\gamma(x^1+v x^0) \end{align*}\)

missä v>0. Aktiivisessa puskussa muunnetut komponentit esitetään alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\)

\(x'={x'}^0\ \hat e_0 + {x'}^1\ \hat e_1\)

Tämä vastaa kysymykseen "miltä systeemi näyttää, kun se liikkuu x-akselin suuntaisesti nopeudella +v".
 

Joo, tämä on ihan ok ja selvä, kun tehdään tuo aktiivinen muunnos.

Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)
\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

missä \(\Lambda^{-1}\) muuntaa tx-tason kantavektorit

\(\begin{align*} {\hat e'}_0&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_0\ \hat e_\nu = \cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&=(\Lambda^{-1})^\nu{}_1\ \hat e_\nu= -\sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tässä muunnetussa kannassa alkuperäisen vektorin komponentit \(x^\mu\) eivät muunnu. Sijoittamalla alkuperäiset komponentit muunnettuun kantaan, saadaan

\(\begin{align*} {x'}^0&= x^0(\cosh\psi\ \hat e_0 - \sinh\psi\ \hat e_1) \\
{x'}^1&=x^1(-sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1) \end{align*}\)
...
 

Hmm, tuo näyttää ihan oikealta, mutta tuossa on mielestäni yksi miinus liikaa Nimittäin nuo uudet kantavektorit olisi käsittääkseni oltava muodossa:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tavallaan nuo esitykset voi katsoa ihan paperille piirretystä diagrammista.

Me tiedetään jo etukäteen, että passiivinen muunnos on vain koordinaatistomuunnos ja siten ihan tavallinen Lorentz-muunnos miinusmerkkeineen (ilman aktiivista puskua), jolloin \( \Lambda\)-matriisi olisi muotoa:

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & -\sinh\psi\\ -\sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Silloin käänteismatriisi olisi:

\(\Lambda(\psi)^{-1}=\Lambda(-\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Tässä matriisissa kaikki kertoimet ovat positiivisia ja niitä käyttäen saataisiin nuo kantavektorit oikein, siis:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Nyt ei ehdi enempää kirjoittaa , palaan kyllä aiheeseen.

EDIT: joo, heh...
Toki aktiivista puskua vastapäivään vastaa kantavektorien hyperbolinen rotaatio myötäpäivään, jolloin \(\psi<0\). Juu emmä opi näitä koskaan...
 

On pyhiin kirjoihin ikuiseksi saatanalliseksi kiusankappaleeksi kirottu tämä aktiivinen vs passiivinen

Tämä alla on mun oma näkemys siitä, miten akt/pass idea pysyy päässä. Ei tarkoita sitä, ettenkö tekisi joka kerta kuitenkin etumerkkivirheitä, kun kaikki lähteet ja tekstit määrittelevät suunnat ja matriisit eri tavalla.

Kun aktiivisen puskun matriisi määritellään

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

niin kyseessä on tarkasteltavan systeemin potkaisu rapiditeettiin \(\psi=\textup{tanh}^{-1}\ v\). Nopeus v on positiivinen tai negatiivinen, tai yleisessä muunnoksessa mielivaltainen nopeusvektori v, mikä on siis potkaistun systeemin nopeus koordinaatistossa K.

Tämän määrittelyn jälkeen en saa muuttaa paramterin \(\psi\) etumerkkiä. Seuraavaksi pidän mielessä muunnoksen perusperiaatteen: passiivinen muunnos johtaa samaa lopputulokseen kuin aktiivinen muunnos. Okei. Tästä seuraa, että passiivinen muunnos on käänteinen aktiiviseen verrattuna. Selvä. Siispä passiivinen muunnos on aktiivisen matriisin käänteismatriisi. Kirjoitan

\(\ [\Lambda(\psi)]^{-1}= \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \cosh\psi & -\sinh\psi\\ -\sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Nyt mulla on kaksi matriisia. \(\Lambda(\psi)\) on aktiiviseen muunnokseen, ja \([\Lambda(\psi)]^{-1}\) on passiiviseen muunnokseen. Pidän mielessä, että parametri \(\psi\) on molemmissa sama

a) \(\Lambda(\psi)\) potkaisee systeemin koordinaatistossa K nopeuteen v (rapiditeettiin \(\psi\))
b) \([\Lambda(\psi)]^{-1}\) siirtää tarkastelun koordinaatistoon K', joka liikkuu K:n suhteen nopeudella v (rapiditeetilla \(\psi\))

Mun ei tarvitse miettiä laitanko matriisin parametriksi +v vai -v, kun matriisi itsessään huolehtii etumerkin oikeaksi.

Parametrin pysyminen samana molemmissa helpottaa kenttien muunnosta, jossa mukana molemmat \(\Lambda\) ja \(\Lambda^{-1}\). Jos näihin pitäisi eri parametrit asettaa, niin mulla menisi ainakin pää aivan solmuun.

Asiaa tässä sotkee toki se, että eri lähteet määrittelevät muunnoksen alunperin toisin päin. Usein ensiksi mainittu (edellä aktiivinen \(\Lambda\)) todetaankin passiiviseksi, ja \(\Lambda\)-matriisissa on miinusmerkit sinh-funktion edessä. Tässä tilanteessa pitää ajatella, että käänteismatriisi \(\Lambda^{-1}\) onkin aktiivinen muunnos (edellä oli passiivinen).

Niin. Eikös homman juju ole ilmoittamisessa? Kun ilmoitetaan aktiivinen, ei olla muuttamassa kantaa vaan annetaan matriisi koko systeemin uudelle tilalle. Kun ilmoitetaan passiivinen, muunnetaan nimenomaan koordinaatiston kantaa toiseen kuvausvalmiuteen... Samannäköiseen tilanteeseen päätymisen aktiivisen muutoksen ja passiivisen muunnoksen matriisit ovat toisilleen käänteismatriisit.

[QS]

...
Tämä alla on mun oma näkemys siitä, miten akt/pass idea pysyy päässä. Ei tarkoita sitä, ettenkö tekisi joka kerta kuitenkin etumerkkivirheitä, kun kaikki lähteet ja tekstit määrittelevät suunnat ja matriisit eri tavalla.
...

Ei oo todellista . Tein jälleen väärin päin. Sanoin, että mulla muka pysy muunnoksen suunnat järjestyksessä. No ei pysyneet. Unohdetaan viimeisin viestini, kun en nyt ehdi korjata. Korjaan myöhemmin. Olisi pitänyt lukea Tungia tarkemmin, kun siellä oikea kantamuunnoksen suunta on annettu:

\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Kun systeemi paikassa x pusketaan aktiivisella muunnoksella \(\Lambda\) nopeuteen +v, niin vastaava passiivinen muunnos tulee tehdä siirtymällä koordinaatostoon K', joka liikkuu nopeudella -v. Tämä tehdään samalla \(\Lambda\):lla, ei sen käänteismatriisilla.

Huomastikin mokani tässä:

Hmm, tuo näyttää ihan oikealta, mutta tuossa on mielestäni yksi miinus liikaa Nimittäin nuo uudet kantavektorit olisi käsittääkseni oltava muodossa:

\(\begin{align*} {\hat e'}_0& = \cosh\psi\ \hat e_0 + \sinh\psi\ \hat e_1 \\
{\hat e'}_1&= \sinh\psi\ \hat e_0 + \cosh\psi\ \hat e_1 \end{align*}\)

Tavallaan nuo esitykset voi katsoa ihan paperille piirretystä diagrammista.

Me tiedetään jo etukäteen, että passiivinen muunnos on vain koordinaatistomuunnos ja siten ihan tavallinen Lorentz-muunnos miinusmerkkeineen (ilman aktiivista puskua), jolloin \( \Lambda\)-matriisi olisi muotoa:

\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & -\sinh\psi\\ -\sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

Silloin käänteismatriisi olisi:

\(\Lambda(\psi)^{-1}=\Lambda(-\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)

 

[Eusa]

Ei oo todellista . Tein jälleen väärin päin. Sanoin, että mulla muka pysy muunnoksen suunnat järjestyksessä. No ei pysyneet. Unohdetaan viimeisin viestini, kun en nyt ehdi korjata. Korjaan myöhemmin. Olisi pitänyt lukea Tungia tarkemmin, kun siellä oikea kantamuunnoksen suunta on annettu:

\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Kun systeemi paikassa x pusketaan aktiivisella muunnoksella \(\Lambda\) nopeuteen +v, niin vastaava passiivinen muunnos tulee tehdä siirtymällä koordinaatostoon K', joka liikkuu nopeudella -v. Tämä tehdään samalla \(\Lambda\):lla, ei sen käänteismatriisilla.

Silloin kun samaan lähtötilanteeseen ilmoitetaan aktiivinen muutos \(\Lambda\):lla, samalla matriisilla ilmoitettu passiivinen muunnos antaa tarkastelusysteemille koordinaatiston, jossa systeemi on luettavissa vastakkaisessa tilassa kuin mihin se aktiivisella päätyy.

On muistettava, että passiivisessa muunnoksessa myös kaikki muut systeemit joutuvat samaan muuntuneeseen asemaan, mutta aktiivinen muutos koskettaa vain tarkastelusysteemiä eli se todellisesti vaihtaa fysikaalista tilaansa muiden systeemien suhteen.

[Disputator]

...
Tämä alla on mun oma näkemys siitä, miten akt/pass idea pysyy päässä. Ei tarkoita sitä, ettenkö tekisi joka kerta kuitenkin etumerkkivirheitä, kun kaikki lähteet ja tekstit määrittelevät suunnat ja matriisit eri tavalla.
...

Ei oo todellista . Tein jälleen väärin päin. Sanoin, että mulla muka pysy muunnoksen suunnat järjestyksessä. No ei pysyneet. Unohdetaan viimeisin viestini, kun en nyt ehdi korjata. Korjaan myöhemmin.

Heh, kyllä tämä aktiivi vs.passiivimuunnos tulee selväksi... joskus kai vuonna 2027. Itse asiassa nyt syyttävä sormi osoittaa kyllä Tungin suuntaan, sillä hän on vähän epäselvä siinä mitä nuo uudet kantavektorit ovat. Tai hän ei avaa sitä tarkemmin ja siten ne helposti ajattelee olevan aktiivimuunnosta vastaavan passiivimuunnoksen uusia kantavektoreita.

..
Olisi pitänyt lukea Tungia tarkemmin, kun siellä oikea kantamuunnoksen suunta on annettu:

\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Kun systeemi paikassa x pusketaan aktiivisella muunnoksella \(\Lambda\) nopeuteen +v, niin vastaava passiivinen muunnos tulee tehdä siirtymällä koordinaatostoon K', joka liikkuu nopeudella -v. Tämä tehdään samalla \(\Lambda\):lla, ei sen käänteismatriisilla.
...

Tässä on ne Tungin kaavat, ymmärsin (toivottavasti) vasta nyt mitä Tung tarkoittaa:

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)
\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Mun mielestä nuo kummatkin ovat aktiivisia, tai oikeastaan siinä on vain yksi aktiivinen muunnos eli vektoreita kierretään aktiivisesti vastapäivään tuossa hyperbolisen rotaation tapauksessa.

Kantavektorit ovat myös vektoreita ja ne muuttuvat samalla kaavalla kuin yleinen vektori. Tuosta seuraa se, että 4-vektorin komponentit eivät muutu tuossa muunnoksessa eli ne ovat samat \( \hat e_\nu\) ja \({\hat e'}_\mu\) kannoissa. Jos siis haluaa asian niin esittää, tämä siis jos haluaa hämmentää lisää asiaa...

Eli ymmärrän tuon niin, että tehdään aktiivinen muunnos jolloin vektorin koordinaatit muuttuvat alkuperäisessä koordinaatistossa, mutta halutessaan voi kääntää lisäksi koko koordinaatistoa jolloin vektorin koordinaattiesitys on sama vanhassa vanhassa kannassa (ennen kääntöä) ja uudessa kannassa (kun vektori ja kantavektorit on käännetty). edit: viimeistä lausetta koetettu parantaa.

Eli tuossa nuo \({\hat e'}_\mu\) eivät olekkaan aktiivista vektorin kiertoa vastaavan passiivisen kannanmuutoksen uusia kantavektoreita.

Teit siis nimenomaan tässä alla aivan oikein:

Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)

\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

eli tuo on mielestäni täsmälleen oikea kaava passiiviselle muunnokselle.

Minä kuitenkin tulkitsin tietysti taas jotain väärin ylläolevassa..

[Eusa]

Gemini-kamulta saatua tekstituotosta. Keskustelu tekoälyn kanssa voi johtaa hakoteille, mutta voi myös säästää aikaa, ettei tarvi ihmetellä vuoteen 2027...

Matriisi voi olla joko passiivinen tai aktiivinen muunnos riippuen siitä, miten sitä käytetään:
- Passiivinen muunnos: Jos matriisia käytetään aaltofunktion muuntamiseen uuteen koordinaatistoon, se on passiivinen muunnos.
- Aktiivinen muunnos: Jos matriisia käytetään systeemin ominaisuuksien, kuten spinin, muuttamiseen, se on aktiivinen muunnos.

Siksi on tärkeää, että kirjoittaja ilmoittaa, kumpaa muunnoslajia hän tarkoittaa. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
- Nimeämällä matriisi: Matriisille voidaan antaa nimi, joka selkeästi ilmaisee sen tarkoituksen, esimerkiksi "passiivinen rotaatiomatriisi" tai "aktiivinen rotaatiomatriisi".
- Kuvaamalla matriisin käyttötapaa: Tekstissä voidaan kuvata, miten matriisia käytetään systeemin tilaan tai ominaisuuksiin vaikuttaessa.

Jos kirjoittaja ei ilmoita, kumpaa muunnoslajia hän tarkoittaa, lukijan voi olla vaikeaa ymmärtää matriisin oikeaa käyttötapaa.

[QS]

Matriisi voi olla joko passiivinen tai aktiivinen muunnos riippuen siitä, miten sitä käytetään:
- Passiivinen muunnos: Jos matriisia käytetään aaltofunktion muuntamiseen uuteen koordinaatistoon, se on passiivinen muunnos.
- Aktiivinen muunnos: Jos matriisia käytetään systeemin ominaisuuksien, kuten spinin, muuttamiseen, se on aktiivinen muunnos.

Siksi on tärkeää, että kirjoittaja ilmoittaa, kumpaa muunnoslajia hän tarkoittaa. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
- Nimeämällä matriisi: Matriisille voidaan antaa nimi, joka selkeästi ilmaisee sen tarkoituksen, esimerkiksi "passiivinen rotaatiomatriisi" tai "aktiivinen rotaatiomatriisi".
- Kuvaamalla matriisin käyttötapaa: Tekstissä voidaan kuvata, miten matriisia käytetään systeemin tilaan tai ominaisuuksiin vaikuttaessa.

Jos kirjoittaja ei ilmoita, kumpaa muunnoslajia hän tarkoittaa, lukijan voi olla vaikeaa ymmärtää matriisin oikeaa käyttötapaa.

Kieltämättä tuossa AI antaa kohtuu virheettömän ohjeistuksen.

...
Tämä alla on mun oma näkemys siitä, miten akt/pass idea pysyy päässä. Ei tarkoita sitä, ettenkö tekisi joka kerta kuitenkin etumerkkivirheitä, kun kaikki lähteet ja tekstit määrittelevät suunnat ja matriisit eri tavalla.
...

Ei oo todellista . Tein jälleen väärin päin. Sanoin, että mulla muka pysy muunnoksen suunnat järjestyksessä. No ei pysyneet. Unohdetaan viimeisin viestini, kun en nyt ehdi korjata. Korjaan myöhemmin.

Heh, kyllä tämä aktiivi vs.passiivimuunnos tulee selväksi... joskus kai vuonna 2027. Itse asiassa nyt syyttävä sormi osoittaa kyllä Tungin suuntaan, sillä hän on vähän epäselvä siinä mitä nuo uudet kantavektorit ovat. Tai hän ei avaa sitä tarkemmin ja siten ne helposti ajattelee olevan aktiivimuunnosta vastaavan passiivimuunnoksen uusia kantavektoreita.

..
Olisi pitänyt lukea Tungia tarkemmin, kun siellä oikea kantamuunnoksen suunta on annettu:

\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Kun systeemi paikassa x pusketaan aktiivisella muunnoksella \(\Lambda\) nopeuteen +v, niin vastaava passiivinen muunnos tulee tehdä siirtymällä koordinaatostoon K', joka liikkuu nopeudella -v. Tämä tehdään samalla \(\Lambda\):lla, ei sen käänteismatriisilla.
...

Tässä on ne Tungin kaavat, ymmärsin (toivottavasti) vasta nyt mitä Tung tarkoittaa:

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)
\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Mun mielestä nuo kummatkin ovat aktiivisia, tai oikeastaan siinä on vain yksi aktiivinen muunnos eli vektoreita kierretään aktiivisesti vastapäivään tuossa hyperbolisen rotaation tapauksessa.

Kantavektorit ovat myös vektoreita ja ne muuttuvat samalla kaavalla kuin yleinen vektori. Tuosta seuraa se, että 4-vektorin komponentit eivät muutu tuossa muunnoksessa eli ne ovat samat \( \hat e_\nu\) ja \({\hat e'}_\mu\) kannoissa. Jos siis haluaa asian niin esittää, tämä siis jos haluaa hämmentää lisää asiaa...

Eli ymmärrän tuon niin, että tehdään aktiivinen muunnos jolloin vektorin koordinaatit muuttuvat alkuperäisessä koordinaatistossa, mutta halutessaan voi kääntää lisäksi koko koordinaatistoa jolloin vektorin koordinaattiesitys on sama vanhassa vanhassa kannassa (ennen kääntöä) ja uudessa kannassa (kun vektori ja kantavektorit on käännetty). edit: viimeistä lausetta koetettu parantaa.

Eli tuossa nuo \({\hat e'}_\mu\) eivät olekkaan aktiivista vektorin kiertoa vastaavan passiivisen kannanmuutoksen uusia kantavektoreita.

Teit siis nimenomaan tässä alla aivan oikein:

Passiivinen muunnos kohdistuisi kantavektoreihin (tätä kaavaa en Tungista sellaisenaan löytänyt)

\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

eli tuo on mielestäni täsmälleen oikea kaava passiiviselle muunnokselle.

Minä kuitenkin tulkitsin tietysti taas jotain väärin ylläolevassa..

Minäkin melkein syytän Tungia asian sotkemisesta, mutta ehkä hän on vain kryptinen ja jättää määritelmänsä selittämättä.

Kuten sanoit, alunperin kirjoittamani kantamuunnos

\({\hat e'}_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

näyttää oikealta passiiviselta muunnokselta. Mutta kun käytän tätä, niin en saa samoja komponentteja kuin aktiivisessa muunnoksessa. Kun aktiivisen matriisi on \(\Lambda(\psi)\) ja passiivisen \(\Lambda(\psi)^{-1}\), niin homma ei toimi. Saan oikean tuloksen, kun käytän passiiviseen matriisia \(\Lambda(-\psi)^{-1}\), missä parametri on vastakkainen.

Kuitenkin akt/pass -muunnoksen pitää mielestäni toimia samoin kuin SO(3)-rotaatiossa, jossa käytän aktiivista \(R(\psi)\) ja passiivista \(R(\psi)^{-1}\). Nämä toimivat ilman parametrin kääntämistä.

Tässä on selvästi kiukkuinen koira haudattuna ilman, että varpaat maan pinnalla vihjeenä. Pitää kaivaa multaa pois.

Tuhertamani passiivinen muunnos toimii, kun muunnan kontravariantit komponentit \(x^\mu\) tai puhtaan rotaation euklidiset komponentit \(x^i\).

Toimii myös puhtaan rotaation euklidisen kannan \(\mathbf{\hat e}_i\) muunnoksessa. Mutta menee pieleen, kun muunnan 4-dim kannan \(\mathbf{\hat e}_\mu\). Syynä täytyy olla se, että muunsin Minkowskiavaruuden kantavektorit ikään kuin ne olisivat kontravariantteja komponentteja. Kantavektorit muuntuvat kovariantisti ! Tässä tapauksessa siis kyse on kontravariantin matriisin \(\Lambda(\psi)^{-1}\) käänteismatriisista, joka on tietysti \(\Lambda(\psi)\).

Pitää siis vielä kerran vetää takaisin aiempi passiivinen kantamuunnos, ja kirjoittaa se

\({\hat e'}_\mu=\Lambda^\nu{}_\mu\ \hat e_\nu\)

Passiivisessa kantamuunnoksessa komponentit pysyvät alkuperäisinä. Aktiivisessa muunnoksessa komponentit muuntuvat

\({x'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\ x^\nu\)

mutta kanta pysyy alkuperäisenä. Näillä saan aktiivisen ja passiivisen tuottamaan saman tuloksen, ja toimivat samalla periaatteella kuin 3d-rotaatiot. Menikö nyt oikein?