Suhteellisuusteoriaa

[Eusa]

Niin. Voisiko aktiivisen ja passiivisen muunnoksen sekavuus aiheutua siitä, että niitä koitetaan esittää formaalisti eri notaatioina, vaikka asia olisi hoidettavissa niin, että notaatio on sama mutta lähtöjoukko eri? Passiivisessa koko kuvausavaruuden laajuus, aktiivisessa vain muuttuvan systeemin määrityspisteet...

[QS]

Nyt kun aktiivinen ja passiivinen ovat selkeitä (jep ), niin kehittelin helpohkon, mutta pienen yksityiskohdan sisältävän tehtävän.

Tehdään aktiivinen muunnos siten, että ensin puhdas rotaatio \(R(\vec \theta)\), jonka jälkeen puhdas pusku \(B(\vec \psi)\). Parametreina kulma \( \vec \theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\) ja rapiditeetti \(\vec \psi=(\psi_1,\psi_2,\psi_3)\).

Vektori \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) muuntuu siten, että \(x' = Tx\), missä T sisältää matriisit R ja B edellä kuvatun mukaisessa järjestyksessä. Muunnettu \(x'\) lausutaan aktiivisen muunnoksen periaatetta noudattaen alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\).

Vastaava passiivinen muunnos \(T'\) kohdistuu kantavektoreihin, ja tuottaa lopulta samat komponentit kuin aktiivinen muunnos.

Kysymys kuuluu, että miten \(T'\) lausutaan matriiseilla \(R(\vec \theta)\) ja \(B(\vec \psi)\) ?

[Eusa]

Nyt kun aktiivinen ja passiivinen ovat selkeitä (jep ), niin kehittelin helpohkon, mutta pienen yksityiskohdan sisältävän tehtävän.

Tehdään aktiivinen muunnos siten, että ensin puhdas rotaatio \(R(\vec \theta)\), jonka jälkeen puhdas pusku \(B(\vec \psi)\). Parametreina kulma \( \vec \theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\) ja rapiditeetti \(\vec \psi=(\psi_1,\psi_2,\psi_3)\).

Vektori \(x = x^\mu\ \hat e_\mu\) muuntuu siten, että \(x' = Tx\), missä T sisältää matriisit R ja B edellä kuvatun mukaisessa järjestyksessä. Muunnettu \(x'\) lausutaan aktiivisen muunnoksen periaatetta noudattaen alkuperäisessä kannassa \(\{\hat e_\mu\}\).

Vastaava passiivinen muunnos \(T'\) kohdistuu kantavektoreihin, ja tuottaa lopulta samat komponentit kuin aktiivinen muunnos.

Kysymys kuuluu, että miten \(T'\) lausutaan matriiseilla \(R(\vec \theta)\) ja \(B(\vec \psi)\) ?

Hyperbolisuudella on lusikkansa sopassa, mutta kai lopputulosten tasa-arvoon voidaan jotenkin päästä - vaikka tietokonegrafiikassa paljon käytettyjen homogeenisten koordinaattien avulla?

Toinen varma tapahan olisi ilmoittaa tyynesti, että tehdäänpä seuraavaksi sama aktiivinen muunnos kaikille koordinaatistossa esiintyville systeemeille ja nimetään se passiiviseksi muunnokseksi.

Tässähän ilmeisimmin ollaan sen äärellä kuinka suppeasta suhteellisuudesta siirrytään yleiseen; aktiivinen liike sinänsä kaareuttaa avaruutta. Öitä.

[QS]

...
Joo tuo e =(1,0) on komponenteilla esitetty kanta-yksikkövektori v=v¹e₁, missä komponentti v¹=1. Ja tämähän on kontravariantti komponentti. Ja tuo maaginen e₁ muuntuu kovariantisti.
...

Jäi tämä perusasia nyt häiritsemään. Voi kai kantavektorijoukon \({\hat e_\mu}\) ajatella järjestettynä monikkona, joka on rivivektorin muodossa. Ja komponentit pystyvektorina, jolloin

\(\begin{pmatrix}\hat e_0 & \hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix} = v^\mu\hat e_\mu = v\)

missä kannan elementit on nimetty \(\hat e_0=(1,0,0,0)\) , \(\hat e_1=(0,1,0,0)\) jne., jotka ovat joukko ortogonaalisia ja kovariantisti muuntuvia vaakavektoreita. Ja lisäksi sisätulo \((e_\mu,\hat e_\nu)=\eta_{\mu\nu}\)

[Disputator]

Iltaa, ihan lyhyesti:

...
Joo tuo e =(1,0) on komponenteilla esitetty kanta-yksikkövektori v=v¹e₁, missä komponentti v¹=1. Ja tämähän on kontravariantti komponentti. Ja tuo maaginen e₁ muuntuu kovariantisti.
...

Jäi tämä perusasia nyt häiritsemään. Voi kai kantavektorijoukon \({\hat e_\mu}\) ajatella järjestettynä monikkona, joka on rivivektorin muodossa. Ja komponentit pystyvektorina, jolloin

\(\begin{pmatrix}\hat e_0 & \hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix} = v^\mu\hat e_\mu = v\)

missä kannan elementit on nimetty \(\hat e_0=(1,0,0,0)\) , \(\hat e_1=(0,1,0,0)\) jne., jotka ovat joukko ortogonaalisia ja kovariantisti muuntuvia vaakavektoreita. Ja lisäksi sisätulo \((e_\mu,\hat e_\nu)=\eta_{\mu\nu}\)

Kyllä olen tuota nähnyt jossain käytettävän, ihan tehokkaastikkin.

[QS]

Iltaa, ihan lyhyesti:

...
Joo tuo e =(1,0) on komponenteilla esitetty kanta-yksikkövektori v=v¹e₁, missä komponentti v¹=1. Ja tämähän on kontravariantti komponentti. Ja tuo maaginen e₁ muuntuu kovariantisti.
...

Jäi tämä perusasia nyt häiritsemään. Voi kai kantavektorijoukon \({\hat e_\mu}\) ajatella järjestettynä monikkona, joka on rivivektorin muodossa. Ja komponentit pystyvektorina, jolloin

\(\begin{pmatrix}\hat e_0 & \hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix} = v^\mu\hat e_\mu = v\)

missä kannan elementit on nimetty \(\hat e_0=(1,0,0,0)\) , \(\hat e_1=(0,1,0,0)\) jne., jotka ovat joukko ortogonaalisia ja kovariantisti muuntuvia vaakavektoreita. Ja lisäksi sisätulo \((e_\mu,\hat e_\nu)=\eta_{\mu\nu}\)

Kyllä olen tuota nähnyt jossain käytettävän, ihan tehokkaastikkin.

Jep. Periaatteessa kannan ja komponenttien muuntuminen vastakkaisiin suuntiin on selvä: Kun haluan kuvata puupalikan koordinaateilla \(v^i\) kannssa \(e_i\), ja vaihtoehtoisesti koordinaateilla \(v'^i\) kannassa \(e'_i\), niin palikka kuvautuu oikein vain, kun muunnokset \(v^i \to v'^i\) ja \(e_i \to e'_i\) ovat vastakkaisia. Mutta ei tämä matemaattisesti kovin kaunis perustelu ole . Kun tässä \(e_i\) ei ole suuntaderivaatta \(\partial_i\), jolloin kovariantti muuntuminen voidaan johtaa täsmällisesti.

[Eusa]

...
Joo tuo e =(1,0) on komponenteilla esitetty kanta-yksikkövektori v=v¹e₁, missä komponentti v¹=1. Ja tämähän on kontravariantti komponentti. Ja tuo maaginen e₁ muuntuu kovariantisti.
...

Jäi tämä perusasia nyt häiritsemään. Voi kai kantavektorijoukon \({\hat e_\mu}\) ajatella järjestettynä monikkona, joka on rivivektorin muodossa. Ja komponentit pystyvektorina, jolloin

\(\begin{pmatrix}\hat e_0 & \hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix} = v^\mu\hat e_\mu = v\)

missä kannan elementit on nimetty \(\hat e_0=(1,0,0,0)\) , \(\hat e_1=(0,1,0,0)\) jne., jotka ovat joukko ortogonaalisia ja kovariantisti muuntuvia vaakavektoreita. Ja lisäksi sisätulo \((e_\mu,\hat e_\nu)=\eta_{\mu\nu}\)

Kun joukon \({\hat e_\mu}\) järjestää pystyyn, kyseessä ovatkin yksikkövektorit eikä kantavektorit.

[Disputator]

Iltaa,

Iltaa, ihan lyhyesti:

...
Joo tuo e =(1,0) on komponenteilla esitetty kanta-yksikkövektori v=v¹e₁, missä komponentti v¹=1. Ja tämähän on kontravariantti komponentti. Ja tuo maaginen e₁ muuntuu kovariantisti.
...

Jäi tämä perusasia nyt häiritsemään. Voi kai kantavektorijoukon \({\hat e_\mu}\) ajatella järjestettynä monikkona, joka on rivivektorin muodossa. Ja komponentit pystyvektorina, jolloin

\(\begin{pmatrix}\hat e_0 & \hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix} = v^\mu\hat e_\mu = v\)

missä kannan elementit on nimetty \(\hat e_0=(1,0,0,0)\) , \(\hat e_1=(0,1,0,0)\) jne., jotka ovat joukko ortogonaalisia ja kovariantisti muuntuvia vaakavektoreita. Ja lisäksi sisätulo \((e_\mu,\hat e_\nu)=\eta_{\mu\nu}\)

Kyllä olen tuota nähnyt jossain käytettävän, ihan tehokkaastikkin.

Jep. Periaatteessa kannan ja komponenttien muuntuminen vastakkaisiin suuntiin on selvä: Kun haluan kuvata puupalikan koordinaateilla \(v^i\) kannssa \(e_i\), ja vaihtoehtoisesti koordinaateilla \(v'^i\) kannassa \(e'_i\), niin palikka kuvautuu oikein vain, kun muunnokset \(v^i \to v'^i\) ja \(e_i \to e'_i\) ovat vastakkaisia. Mutta ei tämä matemaattisesti kovin kaunis perustelu ole . Kun tässä \(e_i\) ei ole suuntaderivaatta \(\partial_i\), jolloin kovariantti muuntuminen voidaan johtaa täsmällisesti.

Jotain allaolevaa voi kehitellä:

Vektori v voidaan esittää vanhassa ja uudessa kannassa:

\(\mathbf{v}=e_i\: v^i=e'_c\: v'^c \)

Jos matriisi A antaa vektorin v komponentit uudessa kannassa vanhan kannan komponenttien avulla:

\(v'^c= A^c{}_j\: v^j\)

Tämän käänteismuunnos:

\(v^i= (A^{-1})^i{}_c\: v'^c\)

Matriisin A ja sen käänteismatriisille inv(A) pätee:

\(\delta^{i}_{j}=(A^{-1})^i{}_c A^c{}_j= A^i{}_c \: (A^{-1})^c{}_j\)

Tätä deltan lauseketta voidaan käyttää seuraavasti:

\(\mathbf{v}=e_i v^i= e_i\:\delta^{i}_{j}\: v^j = e_i\: (A^{-1})^i{}_c A^c{}_j v^j\)

Koska \(v'^c=A^c{}_j v^j\) on myös oltava \(e'_c=e_i\: (A^{-1})^i{}_c\), siis muunnoskaavat ovat:

\(v'^c=A^c{}_j v^j\)
\(e'_c=e_i\: (A^{-1})^i{}_c\)

Tuo ylläoleva argumentointi on matemaattisesti vähän niin ja näin, mutta mielestäni tuo osoittaa miten nuo muunnoskaavat koordinaattien ja kantavektorien välillä uuden ja vanhan kannan välillä saadaan uskottavalla tavalla näkyviin.

[QS]

Iltaa,

Iltaa, ihan lyhyesti:

...
Joo tuo e =(1,0) on komponenteilla esitetty kanta-yksikkövektori v=v¹e₁, missä komponentti v¹=1. Ja tämähän on kontravariantti komponentti. Ja tuo maaginen e₁ muuntuu kovariantisti.
...

Jäi tämä perusasia nyt häiritsemään. Voi kai kantavektorijoukon \({\hat e_\mu}\) ajatella järjestettynä monikkona, joka on rivivektorin muodossa. Ja komponentit pystyvektorina, jolloin

\(\begin{pmatrix}\hat e_0 & \hat e_1 & \hat e_2 & \hat e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix} = v^\mu\hat e_\mu = v\)

missä kannan elementit on nimetty \(\hat e_0=(1,0,0,0)\) , \(\hat e_1=(0,1,0,0)\) jne., jotka ovat joukko ortogonaalisia ja kovariantisti muuntuvia vaakavektoreita. Ja lisäksi sisätulo \((e_\mu,\hat e_\nu)=\eta_{\mu\nu}\)

Kyllä olen tuota nähnyt jossain käytettävän, ihan tehokkaastikkin.

Jep. Periaatteessa kannan ja komponenttien muuntuminen vastakkaisiin suuntiin on selvä: Kun haluan kuvata puupalikan koordinaateilla \(v^i\) kannssa \(e_i\), ja vaihtoehtoisesti koordinaateilla \(v'^i\) kannassa \(e'_i\), niin palikka kuvautuu oikein vain, kun muunnokset \(v^i \to v'^i\) ja \(e_i \to e'_i\) ovat vastakkaisia. Mutta ei tämä matemaattisesti kovin kaunis perustelu ole . Kun tässä \(e_i\) ei ole suuntaderivaatta \(\partial_i\), jolloin kovariantti muuntuminen voidaan johtaa täsmällisesti.

Jotain allaolevaa voi kehitellä:

Vektori v voidaan esittää vanhassa ja uudessa kannassa:

\(\mathbf{v}=e_i\: v^i=e'_c\: v'^c \)

Jos matriisi A antaa vektorin v komponentit uudessa kannassa vanhan kannan komponenttien avulla:

\(v'^c= A^c{}_j\: v^j\)

Tämän käänteismuunnos:

\(v^i= (A^{-1})^i{}_c\: v'^c\)

Matriisin A ja sen käänteismatriisille inv(A) pätee:

\(\delta^{i}_{j}=(A^{-1})^i{}_c A^c{}_j= A^i{}_c \: (A^{-1})^c{}_j\)

Tätä deltan lauseketta voidaan käyttää seuraavasti:

\(\mathbf{v}=e_i v^i= e_i\:\delta^{i}_{j}\: v^j = e_i\: (A^{-1})^i{}_c A^c{}_j v^j\)

Koska \(v'^c=A^c{}_j v^j\) on myös oltava \(e'_c=e_i\: (A^{-1})^i{}_c\), siis muunnoskaavat ovat:

\(v'^c=A^c{}_j v^j\)
\(e'_c=e_i\: (A^{-1})^i{}_c\)

Tuo ylläoleva argumentointi on matemaattisesti vähän niin ja näin, mutta mielestäni tuo osoittaa miten nuo muunnoskaavat koordinaattien ja kantavektorien välillä uuden ja vanhan kannan välillä saadaan uskottavalla tavalla näkyviin.

Totta. Tuo osoittaa, että koordinaatistomuunnoksessa kanta muuntuu käänteisesti.

Pyörittelin asiaa aktiivisen/passiivisen näkökulmasta, ja keksin ehkä jotain. Matriisinotaatiolla kontravariantin vektorin \(x \in V\) aktiivinen muunnos on

\(x' = A\ x\)

missä matriisi A on SO(1,3) esitys vektoriavaruudessa V. Voidaan kirjoittaa \(A = D(g)\), missä D on Minkowskiavaruuden nelivektoriesitys, ja \(g \in SO(1,3)\).

Passiiviseen muunnokseen tarvitaan käänteinen \(A^{-1} = D(g^{-1})\), mutta tämäkin on esitys avaruudessa V, samoin kuin on A.

Kirjoittamasi perusteella kanta muuntuu käänteisesti (kovariantisti) verrattuna kontravariantteihin komponentteihin. Tämä tarkoittaa sitä, että kanta muuntuu kuten duaaliavaruuden (kotangenttiavaruuden) vektori, vaikka kantavektori ei olekaan duaaliavaruuden vektori.

Ryhmäteorian perusteella duaaliavaruuden \(V^*\) esitys \(D^*\) saadaan \(V\):n esityksestä kaavalla

\(D^*(h) = D(h^{-1})^T\)

missä h on se ryhmäelementti, jolla V:n esitys muodostetaan. Käänteistranspoosi oikealla ei viittaa aktiiviseen tai passiiviseen, vaan on osa kaavaa. Käyttämällä kaavaa tähän passiiviseen muunnokseen, saan

\(D^*(g^{-1}) = D\left((g^{-1})^{-1}\right )^T = D(g)^T\)

mikä on siis esitys \(V^*\):ssa aiemmin mainitulle V:n käänteismuunnoksen elementille \(g^{-1}\). Matriisinotaatiolla kanta E muuntuu passiivisesti

\(\begin{align*} E' &= D^*(g^{-1})\ E\\&= D(g)^T\ E\\ &=A^T\ E \end{align*}\)

Sama indekseillä

\({\hat e}'_\nu = \hat e_\mu (A^T)^\mu{}_\nu\)

Tämä on mielestäni uskottavaa, sillä aiemmin ihmettelin miksi puhtaan rotaation R on passiivisessa muunnoksessa \(R^{-1}\), mutta puhtaan puskun \(\Lambda\) on passiivisessa muunnoksessa edelleen \(\Lambda\). Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).

[Disputator]

Iltaa, edellisen viestini muunnoskaavat:

...
\(v'^c=A^c{}_j v^j\)
\(e'_c=e_i\: (A^{-1})^i{}_c\)
...

Nimitys kovariantti vektori on joskus vähän hämärä, minkä suhteen vektori muuttuu kovariantisti = "mukana muuttuvasti tms.".

Joskus tosiaan vektoriavaruudessa V on annettuna kanta {e_i} ja sitten annetaan kaavalla \(e'_c=e_i\: (A)^i{}_c\) uusi kanta {e'_c}. Tässä siis tehdään tavallaan passiivinen muunnos, vektorit (ja kovektorit) ovat muuttumattomia, mutta niiden komponentit ja komponentteihin liittyvät kannat muuttuvat, siten että itse vektorit (ja kovektorit) ovat muuttumattomia.

Ero mun tuohon lainattuun kaavaan on se, että tällöin kutsutaan matriisiksi A tuota kantavektorien muunnoskaavassa esiintyvää objektia. Silloin kovektorin komponentit v_j muuntuvat samalla kaavalla \(v'_c=v_i\: (A)^i{}_c\), kun taas vektorin komponentit v^j muuntuvat vastakkaisesti tai kontravariantisti verraten kannan muunnoksen matriisiin nähden:

\(v'^c=(A^{-1})^c{}_j v^j\)

ja kovektoriavaruuuden tai duaalin V^* kantavektorit e^j muuttuvat myös "kontravariantisti":

\(e'^c=(A^{-1})^c{}_je^j \).

Nuo kaavat voi esittää yhdessä:

\(e'_c=e_i\: (A)^i{}_c\)
\(v'_c=v_i\: (A)^i{}_c\)

ja

\(v'^c=(A^{-1})^c{}_j v^j\)
\(e'^c=(A^{-1})^c{}_je^j \).

Tämä toimii missä tahansa vektoriavaruudessa V, mutta tuossa on sellainen sudenkuoppa, että duaaliavaruuden V^* ja avaruuden V välillä ei ole olemassa mitään "kanonista" tapaa liittää niiden alkioita toisiinsa, ellei vektoriavaruuuteen V ole ensin annettu kantaa e_i, jolloin duaaliavaruuteen voidaan määritellä duaalikanta e^j kaavalla:

\(e^j(e_i) = \delta^j_i\).

Kun V on sisätuloavaruus, niin silloin tuo on mahdollista ilman vektoriavaruuden V kannan käyttöä, sillä sisätulo määrittelee kannoista riippumattomasti tuon vektoriavaruuden V ja sen duaaliavaruuden V^* välisen yhteyden.