Suhteellisuusteoriaa

[Disputator]

...
Pyörittelin asiaa aktiivisen/passiivisen näkökulmasta, ja keksin ehkä jotain. Matriisinotaatiolla kontravariantin vektorin \(x \in V\) aktiivinen muunnos on

\(x' = A\ x\)

missä matriisi A on SO(1,3) esitys vektoriavaruudessa V. Voidaan kirjoittaa \(A = D(g)\), missä D on Minkowskiavaruuden nelivektoriesitys, ja \(g \in SO(1,3)\).
...
Sama indekseillä

\({\hat e}'_\nu = \hat e_\mu (A^T)^\mu{}_\nu\)

Tämä on mielestäni uskottavaa, sillä aiemmin ihmettelin miksi puhtaan rotaation R on passiivisessa muunnoksessa \(R^{-1}\), mutta puhtaan puskun \(\Lambda\) on passiivisessa muunnoksessa edelleen \(\Lambda\). Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).
 

Mä en ihan nyt heti ensiyrittämällä pysynyt mukana, mitä hait takaa, mutta palaan tarkemmin tuohon, mutta ihan hyppään tuohon loppuun, jossa sulla on tuo \(\Lambda^T = \Lambda\), kun \(\Lambda\) on pusku. Tuo on ihan hyvä huomio ja tuo tosiaan säilyy infintesimaalisessakin muunnoksessa eli puskujen generaattorit eli puskuja vastaavat Lie-algebran alkiot ovat myös symmetrisiä matriiseja, kun ei käytetä imaginaariyksiköitä, kun taas puhtaiden rotaatioiden generaattorit ovat antisymmetrisiä (ilman imaginaariyksiköitä).

Eli ilman imaginaariyksiköitä:

- puskujen generaattorit ovat symmetrisiä (hermiittisiä reaalimatriiseita)
- rotaatioiden generaattorit ovat antisymmetrisiä (antihermiittisiä reaalimatriiseita)

kun taas imaginaariyksiköiden kanssa:

- puskujen generaattorit ovat antihermiittisiä
- rotaatioiden generaattorit ovat hermiittisiä.

No joo, onhan tuo ollut täällä aikaisemminkin tiedossa, mutta laitoin nyt näkyviin.

Tosiaan, mun pitää miettiä tuota sun toteamusta:

Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).

siinä tuntuu olevan ajatusta tuohon vallitsevaan muunnos/käänteismuunnos sekamelskaan.

[QS]

...
Pyörittelin asiaa aktiivisen/passiivisen näkökulmasta, ja keksin ehkä jotain. Matriisinotaatiolla kontravariantin vektorin \(x \in V\) aktiivinen muunnos on

\(x' = A\ x\)

missä matriisi A on SO(1,3) esitys vektoriavaruudessa V. Voidaan kirjoittaa \(A = D(g)\), missä D on Minkowskiavaruuden nelivektoriesitys, ja \(g \in SO(1,3)\).
...
Sama indekseillä

\({\hat e}'_\nu = \hat e_\mu (A^T)^\mu{}_\nu\)

Tämä on mielestäni uskottavaa, sillä aiemmin ihmettelin miksi puhtaan rotaation R on passiivisessa muunnoksessa \(R^{-1}\), mutta puhtaan puskun \(\Lambda\) on passiivisessa muunnoksessa edelleen \(\Lambda\). Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).
 

Mä en ihan nyt heti ensiyrittämällä pysynyt mukana, mitä hait takaa, mutta palaan tarkemmin tuohon, mutta ihan hyppään tuohon loppuun, jossa sulla on tuo \(\Lambda^T = \Lambda\), kun \(\Lambda\) on pusku. Tuo on ihan hyvä huomio ja tuo tosiaan säilyy infintesimaalisessakin muunnoksessa eli puskujen generaattorit eli puskuja vastaavat Lie-algebran alkiot ovat myös symmetrisiä matriiseja, kun ei käytetä imaginaariyksiköitä, kun taas puhtaiden rotaatioiden generaattorit ovat antisymmetrisiä (ilman imaginaariyksiköitä).

Eli ilman imaginaariyksiköitä:

- puskujen generaattorit ovat symmetrisiä (hermiittisiä reaalimatriiseita)
- rotaatioiden generaattorit ovat antisymmetrisiä (antihermiittisiä reaalimatriiseita)

kun taas imaginaariyksiköiden kanssa:

- puskujen generaattorit ovat antihermiittisiä
- rotaatioiden generaattorit ovat hermiittisiä.

No joo, onhan tuo ollut täällä aikaisemminkin tiedossa, mutta laitoin nyt näkyviin.

Tosiaan, mun pitää miettiä tuota sun toteamusta:

Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).

siinä tuntuu olevan ajatusta tuohon vallitsevaan muunnos/käänteismuunnos sekamelskaan.

Juu, viestini oli tiivis. Löysin Brian Hall:sta (Lie Groups, Lie Algebras and Representations, luku 4) tuon kaavan duaaliavaruuden esitykselle. Se antaa esitysmatriisin D* duaaliavaruudessa V*, kun tiedetään esitys D vektoriavaruudessa V.

En tiedä miksi kaava toimii passiivisen muunnoksen muodostamisessa. Jos uskon väitteeseen "vektoriavaruuden V kanta \(\{e_\mu\}\) muuntuu kovariantisti", niin voin sanoa identtisesti "vektoriavaruuden V kanta \(\{e_\mu\}\) muuntuu kuten duaaliavaruuden V* vektorin komponetti \(w_\mu\)".

Ongelma tässä on se, että kaava on kantamuunnoksessa järjetön. V:n kanta \(\{e_\mu\}\) ei asu avaruudessa V*, eikä se ole duaaliavaruuden kanta \(\{dx^\mu\}\). Silti passiivisen muunnoksen tilanteissa saadaan oikea tulos. Kokeilin lukuisiin konkreettisiin muunnoksiin.

Esimerkiksi pieni tehtävä, jonka kehittelin muutama viesti sitten. Aktiivinen muunnos \(A = \Lambda R\), missä ensin komponenttien \(v^\mu\) aktiivinen puhdas rotaatio \(R\), jonka jälkeen puhdas pusku \(\Lambda\).

Tavoitteena muodostaa kannan passiivinen muunnos P, joka tuottaa aktiivista muunnosta vastaavan kuvauksen systeemistä. Voin erinäisillä päättelyillä todeta, että \(P = R^{-1}\Lambda\), mutta tämä on vain päättelyä ilman matemaattista perustelua. Käyttämällä duaaliavaruuden esityksen kaavaa, saan P:n suoraan laskettua siten, että sijoitan ryhmäalkioon h käänteisen aktiivisen muunnoksen ryhmäalkion \(g^{-1}\)

\(P = D(h^{-1})^T = A^T = (\Lambda R)^T = R^T\Lambda^T = R^{-1}\Lambda\)

Kokeilin myös yleisellä Lorentzmatriisilla (joka ei ole symmetrinen tai antisymmetrinen), ja kaava toimii silloinkin. Tuo transpoosi tekee tehtävänsä. Mutta miksi kaava toimii. En tiedä

[Eusa]

...
Pyörittelin asiaa aktiivisen/passiivisen näkökulmasta, ja keksin ehkä jotain. Matriisinotaatiolla kontravariantin vektorin \(x \in V\) aktiivinen muunnos on

\(x' = A\ x\)

missä matriisi A on SO(1,3) esitys vektoriavaruudessa V. Voidaan kirjoittaa \(A = D(g)\), missä D on Minkowskiavaruuden nelivektoriesitys, ja \(g \in SO(1,3)\).
...
Sama indekseillä

\({\hat e}'_\nu = \hat e_\mu (A^T)^\mu{}_\nu\)

Tämä on mielestäni uskottavaa, sillä aiemmin ihmettelin miksi puhtaan rotaation R on passiivisessa muunnoksessa \(R^{-1}\), mutta puhtaan puskun \(\Lambda\) on passiivisessa muunnoksessa edelleen \(\Lambda\). Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).
 

Mä en ihan nyt heti ensiyrittämällä pysynyt mukana, mitä hait takaa, mutta palaan tarkemmin tuohon, mutta ihan hyppään tuohon loppuun, jossa sulla on tuo \(\Lambda^T = \Lambda\), kun \(\Lambda\) on pusku. Tuo on ihan hyvä huomio ja tuo tosiaan säilyy infintesimaalisessakin muunnoksessa eli puskujen generaattorit eli puskuja vastaavat Lie-algebran alkiot ovat myös symmetrisiä matriiseja, kun ei käytetä imaginaariyksiköitä, kun taas puhtaiden rotaatioiden generaattorit ovat antisymmetrisiä (ilman imaginaariyksiköitä).

Eli ilman imaginaariyksiköitä:

- puskujen generaattorit ovat symmetrisiä (hermiittisiä reaalimatriiseita)
- rotaatioiden generaattorit ovat antisymmetrisiä (antihermiittisiä reaalimatriiseita)

kun taas imaginaariyksiköiden kanssa:

- puskujen generaattorit ovat antihermiittisiä
- rotaatioiden generaattorit ovat hermiittisiä.

No joo, onhan tuo ollut täällä aikaisemminkin tiedossa, mutta laitoin nyt näkyviin.

Tosiaan, mun pitää miettiä tuota sun toteamusta:

Nyt se on selvää, sillä \(R^T = R^{-1}\), mutta \(\Lambda^T = \Lambda\).

siinä tuntuu olevan ajatusta tuohon vallitsevaan muunnos/käänteismuunnos sekamelskaan.

Juu, viestini oli tiivis. Löysin Brian Hall:sta (Lie Groups, Lie Algebras and Representations, luku 4) tuon kaavan duaaliavaruuden esitykselle. Se antaa esitysmatriisin D* duaaliavaruudessa V*, kun tiedetään esitys D vektoriavaruudessa V.

En tiedä miksi kaava toimii passiivisen muunnoksen muodostamisessa. Jos uskon väitteeseen "vektoriavaruuden V kanta \(\{e_\mu\}\) muuntuu kovariantisti", niin voin sanoa identtisesti "vektoriavaruuden V kanta \(\{e_\mu\}\) muuntuu kuten duaaliavaruuden V* vektorin komponetti \(w_\mu\)".

Ongelma tässä on se, että kaava on kantamuunnoksessa järjetön. V:n kanta \(\{e_\mu\}\) ei asu avaruudessa V*, eikä se ole duaaliavaruuden kanta \(\{dx^\mu\}\). Silti passiivisen muunnoksen tilanteissa saadaan oikea tulos. Kokeilin lukuisiin konkreettisiin muunnoksiin.

Esimerkiksi pieni tehtävä, jonka kehittelin muutama viesti sitten. Aktiivinen muunnos \(A = \Lambda R\), missä ensin komponenttien \(v^\mu\) aktiivinen puhdas rotaatio \(R\), jonka jälkeen puhdas pusku \(\Lambda\).

Tavoitteena muodostaa kannan passiivinen muunnos P, joka tuottaa aktiivista muunnosta vastaavan kuvauksen systeemistä. Voin erinäisillä päättelyillä todeta, että \(P = R^{-1}\Lambda\), mutta tämä on vain päättelyä ilman matemaattista perustelua. Käyttämällä duaaliavaruuden esityksen kaavaa, saan P:n suoraan laskettua siten, että sijoitan ryhmäalkioon h käänteisen aktiivisen muunnoksen ryhmäalkion \(g^{-1}\)

\(P = D(h^{-1})^T = A^T = (\Lambda R)^T = R^T\Lambda^T = R^{-1}\Lambda\)

Kokeilin myös yleisellä Lorentzmatriisilla (joka ei ole symmetrinen tai antisymmetrinen), ja kaava toimii silloinkin. Tuo transpoosi tekee tehtävänsä. Mutta miksi kaava toimii. En tiedä

Käsittääkseni toimivuus liittyy rapiditeetin tuottaman hyperbolisuuden huomioimiseen. Levosta lähtiessä saman muodon muunnosmatriisilla transitio tuottaa yhtä suuren siirtymän. Sen sijaan kiertosuunta on prioriteetti ja käänteisyys on istutettava sinne. Siis ääneen ajattelua tämäkin - myönnän kunnollisen perehtymisen puutteeni.

Todellisessa olevaisuudessa fysikaalisia muutoksia ei voi kuvitella pysähdyskuviin, vaan liikemäärä tai pyörimismäärä on huomioitava.

Nämä ovat niitä kappalevalinta-asioita. Kun siirrytään passiivisella muunnoksella toisen kappaleen luontaiseen tilanteeseen, pysäytyskuva on sallittua. Fysikaalisessa muutoksessa on käsiteltävä aktiivista muunnosta myös vuorovaikutuskiihtyvyyksille tai kyseessä on jatkuva liike tai pyöriminen, jolloin jokin tarkasteluväli voi olla mikä tahansa ihan mielenkiinnon mukaan, mutta ilman kiihtyvyyksiä ei mikään oikeasti muutu.

Altiivinen muunnos ilman kiihtyvyysvaiheita johtaa ns. hyviin tiloihin, jotka antavat symmetria-asemien kvantitukset. Esim. spin-kierto 720 astetta faasiavaruudessa on eräs merkittävä symmetria-asema, kiertopätevyydessä ikään kuin sittenkin passiivinen muunnos mutta ulkopuolisille vuorovaikutussuhteille sitten todellinen diskreetti aktiivinen muunnos. 360 asteen kiertoa voisi pohtia enemmän, mutta katsotaan mahdollisesti Spinori-keskustelussa...

Fysiikan hierarkisuus antaa uteliaisuudelle loppumattomasti tutkittavaa.

[Eusa]

Mattin ajankohtaisraportti on aivan pakko linkata tähän.

Liittyy siihen kuinka fundamentaaliksi mielletty voi sittenkin olla emergenssi.

[QS]

Hassuttelin Lorentzryhmän nelivektoriesityksen kanssa. Pusku rapiditeetilla \(\psi_1\) x-akselin suunnassa on

\(B=\begin{bmatrix} \cosh (\psi1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi1) & \cosh (\psi1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

Tämän ominaisvektorit ovat

\(v_1=(0,0,\pm 1,0)^T\), \(v_2=(0,0,0,\pm 1)^T\), \(v_3=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_4=(-1,1,0,0)^T\)

Näistä \(v_1\) on y-akselin suuntainen paikanluonteinen yksikkövektori, ja \(v_2\) on z-akselin suuntainen. Nuo \(v_3\) ja \(v_4\) ovat valonluonteisen nollageodeesin yksikkövektorit x-akselilla. Tässä \(v_3\):n ominaisarvo on \(\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}\) ja \(v_4\):n on \(\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\).

Ensiksi mainittu on etääntyvän valonlähteen dopplerkerroin (punasiirtymä) ja jälkimmäinen lähestyvän kerroin (sinisiirtymä). Matriisi, missä x-akselilla puskun lisäksi kierto \(\theta_1\) x-akselin ympäri, on

\(\Lambda=\begin{bmatrix} \cosh (\psi1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi1) & \cosh (\psi1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta_1) & -\sin(\theta_1) \\ 0 & 0 & \sin(\theta_1) & \cos(\theta_1) \\ \end{bmatrix}\)

Tämän ainoat reaaliset ominaisvektorit ja ominasarvot ovat samat kuin edellä \(v_3\) ja \(v_4\) (lisäksi kompleksisia ominaisarvoja on). Muita ei ole, sillä kaikki paikanluonteiset vektorit kiertyvät muunnoksessa.

Pyysin vielä tietokoneelta matriisin, missä kierto \(\theta_2\) y-akselin ympäri yhdistettynä puskuun x-akselilla nopeudella v

\( \Lambda=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v \cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{v \sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\ \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{\cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{\sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -\sin (\theta_2) & 0 & \cos (\theta_2) \\ \end{bmatrix}\)

Tällä jälleen on paikanluonteinen ominaisvektori \(v_1=(0,0,1,0)^T\). Mutta lisäksi tietokoneen mielestä myös

\(v_2=\begin{bmatrix} -\coth(\frac{\psi_1}{2})\tan(\frac{\theta_2}{2})\\\\ -\tan(\theta_2) \\\\ 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}\)

Tuo ei ole paikanluonteinen eikä valonluonteinen. Se on siis ajanluonteinen, mutta mikähän halvatun otus tuo on? Ja yleisemminkin, onko mahdollista luokitella Lorentzmatriisin reaalisia ominaisvektoreita, kun tiedetään matriisieksponentin parametrit. Minä en ainakaan tiedä lineaarialgebrasta kikkaa, jolla näin rumia matariiseja voisi luokitella helposti.

[QS]

...

\(v_2=\begin{bmatrix} -\coth(\frac{\psi_1}{2})\tan(\frac{\theta_2}{2})\\\\ -\tan(\theta_2) \\\\ 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}\)

Tuo ei ole paikanluonteinen eikä valonluonteinen. Se on siis ajanluonteinen, mutta mikähän halvatun otus tuo on? Ja yleisemminkin, onko mahdollista luokitella Lorentzmatriisin reaalisia ominaisvektoreita, kun tiedetään matriisieksponentin parametrit. Minä en ainakaan tiedä lineaarialgebrasta kikkaa, jolla näin rumia matariiseja voisi luokitella helposti.

Sain tuon hiukan siistimpään (kait..) muotoon

\(v_2=\begin{bmatrix} \frac{\gamma v\sin(\theta_2)}{(1-\gamma)(\cos(\theta)+1)}\\\\ -\tan(\theta_2) \\\\ 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}\)

Tämä on siis eräs ominaisvektori ominaisarvolla 1, kun \(\Lambda = BR\), missä \(R\) on rotaatio y-akselin ympäri, ja \(B\) on pusku x-akselin suuntaan. On ymmärrettävää, että tällä matriisilla ei ole valonluonteisia reaalisia ominaisvektoreita, sillä R pyöräyttää vektorin y-akselin ympäri, ja B puskee sen x-akselilla. Mutta en välttämättä ymmärrä miten tämä mokoma v₂ pitää 'tulkita'.

Aina kun näihin lorentzmatriiseihin sotkeutuu, niin osoittautuu, että ovat vallan mutkikkaita vekottimia.

[Disputator]

Iltapäivää, muutamia hajanaisia huomioita:

Hassuttelin Lorentzryhmän nelivektoriesityksen kanssa. Pusku rapiditeetilla \(\psi_1\) x-akselin suunnassa on

\(B=\begin{bmatrix} \cosh (\psi1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi1) & \cosh (\psi1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

Tämän ominaisvektorit ovat

\(v_1=(0,0,\pm 1,0)^T\), \(v_2=(0,0,0,\pm 1)^T\), \(v_3=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_4=(-1,1,0,0)^T\)

Näistä \(v_1\) on y-akselin suuntainen paikanluonteinen yksikkövektori, ja \(v_2\) on z-akselin suuntainen. Nuo \(v_3\) ja \(v_4\) ovat valonluonteisen nollageodeesin yksikkövektorit x-akselilla. Tässä \(v_3\):n ominaisarvo on \(\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}\) ja \(v_4\):n on \(\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\).

Ensiksi mainittu on etääntyvän valonlähteen dopplerkerroin (punasiirtymä) ja jälkimmäinen lähestyvän kerroin (sinisiirtymä).
...

Nyt ollaan mielenkiintoisten asioiden äärellä. Tuollaisia ovat ominaisvektorit ja arvot, kuten kirjoitit. Ominaisarvo on myös 1 vastaten ykkösiä matriisissa B, joka toki on sulla implisiittisesti.

Tuo sun matriisi on selvästi symmetrinen eli B = B^T, niin lineaarialegrasta tiedetään, että B voidaan diagonalisoida SO(4)-matriisilla eli on olemassa \(P\in SO(4)\) siten että:

\(P^T B P=diag(d_0,d_1,d_2,d_3) =D\)

Tuossa nuo diagonaaliarvot ovat antamasi (hieman eri numeroinnilla):


\(diag(d_0,d_1,d_2,d_3) = (\sqrt{\frac{1-v}{1+v}},\sqrt{\frac{1+v}{1-v}},1,1)\)

Siis tuo matriisi B ei tiedä olevansa suhteellisuusteorian puskumatriisi vaan se on matemaatikolle ihan tavallinen symmetrinen matriisi, joka voidaan diagonalisoida ortogonaalimatriisilla P. Tuo ortogonaalisuus viittaa sisätuloon (+,+,+,+).

Itseasiassa antamasi ominaisvektorit ovat ortogonaalisia sisätulossa (+,+,+,+), kuten pitääkin, mä laitan ne tähän hieman eri numeroinnilla ja jätin pois miinusmerkkejä (voi mennä pieleen):

\(\begin{align*}
v_0&=(1,1,0,0)^T\\
v_1&=(-1,1,0,0)^T\\
v_2&=(0,0, 1,0)^T\\
v_3&=(0,0,0, 1)^T
\end{align*}\)

En nyt ole tarkistanut sitä, että nuo muodostavat positiivisesti orientoidun kannan, jos ei, niin tuo P olisi O(4):n alkio. Mutta siitä selviää kertomalla joku noista ominaisvektoreista luvulla -1 ja silloin P on SO(4):n alkio.

Samaa ideaa voi käyttää mielestäni yleiselle puskumatriisille \(\Lambda\), jolloin siis olisi\( \Lambda^T=\Lambda\) eli tiedetään ainoastaan, että matriisi \(\Lambda \)on symmetrinen. Silloin lineaarialgebrasta tiedetään, että on olemassa ortogonaali matriisi P (eli P on SO(4):n alkio) jolle:

\(P^T \Lambda P=diag(d_0,d_1,d_2,d_3) =D\).

Nyt kun puskun \(\Lambda \) kuuluu rajoitettuun Lorentz-ryhmään SO(1,3)₊ tai lyhyesti vain SO(1,3), niin silloin determinattiehto \(det(\Lambda) = 1\) antaa:

\(1 = d_0 d_1 d_2 d_3\),

jonka toteuttaa myös antamasi matriisin B ominaisarvot.

Kirjoitan lisää jatkossa.

[Disputator]

Hajanainen huomio lisänä edellisiin:

...
Matriisi, missä x-akselilla puskun lisäksi kierto \(\theta_1\) x-akselin ympäri, on

\(\Lambda=\begin{bmatrix} \cosh (\psi1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi1) & \cosh (\psi1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta_1) & -\sin(\theta_1) \\ 0 & 0 & \sin(\theta_1) & \cos(\theta_1) \\ \end{bmatrix}\)

Tämän ainoat reaaliset ominaisvektorit ja ominasarvot ovat samat kuin edellä \(v_3\) ja \(v_4\) (lisäksi kompleksisia ominaisarvoja on). Muita ei ole, sillä kaikki paikanluonteiset vektorit kiertyvät muunnoksessa.

Kyllä, näin on. Antamasi muotoiset matriisit muodostavat Lorentz-ryhmän SO(1,3) aliryhmän eli jos:

\(\Lambda_1=\begin{bmatrix} \cosh (\psi_1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi_1) & \cosh (\psi_1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta_1) & -\sin(\theta_1) \\ 0 & 0 & \sin(\theta_1) & \cos(\theta_1) \\ \end{bmatrix}\)

ja

\(\Lambda_2=\begin{bmatrix} \cosh (\psi_2) & \sinh (\psi_2) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi_2) & \cosh (\psi_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta_2) & -\sin(\theta_2) \\ 0 & 0 & \sin(\theta_2) & \cos(\theta_2) \\ \end{bmatrix}\)

Niin silloin:

\( \Lambda_1 \Lambda_2 = \Lambda_2 \Lambda_1= \begin{bmatrix} \cosh (\psi_1+\psi_2) & \sinh (\psi_1+\psi_2) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi_1+\psi_2) & \cosh (\psi_1+\psi_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ 0 & 0 & \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \\ \end{bmatrix} \)

Lien ryhmien teorian hengessä tuollaisten matriisien aliryhmä muodostaa Lorentz-ryhmän 2-ulotteisen kommutatiivisen aliryhmän. Vastaava tulos pätee Lien algebran so(1,3)-tasolla, jossa on löydettävissä 2-ulotteinen kommutatiivinen Lien alialgebra (palaan tähän myöhemmin).

Yleisesti Lien algebran L rankki (rank) on maksimaalisen kommutatiivisen aliagebran dimensio. Maksimaalisuus merkitsee, että ei ole kommutatiivista aliagebraa, jolla olisi suurempi dimensio.

Rankki antaa myös Lien algebraan L liittyvien Casimir-operaattoreiden lukumäärän, joilla sitten voi yrittää luokitella redusoimattomia esityksiä. Nyt siis Lien algebran so(1,3) rankki = 2, joten Casimir-operaattoreita on 2 kpl. Tämä nyt ei ole mikään todistus, mutta mielestäni tarpeellinen (?) huomio, joka syntyi tuosta sun esimerkistäsi.

[QS]

Iltapäivää, muutamia hajanaisia huomioita:

Hassuttelin Lorentzryhmän nelivektoriesityksen kanssa. Pusku rapiditeetilla \(\psi_1\) x-akselin suunnassa on

\(B=\begin{bmatrix} \cosh (\psi1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi1) & \cosh (\psi1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

Tämän ominaisvektorit ovat

\(v_1=(0,0,\pm 1,0)^T\), \(v_2=(0,0,0,\pm 1)^T\), \(v_3=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_4=(-1,1,0,0)^T\)

Näistä \(v_1\) on y-akselin suuntainen paikanluonteinen yksikkövektori, ja \(v_2\) on z-akselin suuntainen. Nuo \(v_3\) ja \(v_4\) ovat valonluonteisen nollageodeesin yksikkövektorit x-akselilla. Tässä \(v_3\):n ominaisarvo on \(\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}\) ja \(v_4\):n on \(\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\).

Ensiksi mainittu on etääntyvän valonlähteen dopplerkerroin (punasiirtymä) ja jälkimmäinen lähestyvän kerroin (sinisiirtymä).
...

Nyt ollaan mielenkiintoisten asioiden äärellä. Tuollaisia ovat ominaisvektorit ja arvot, kuten kirjoitit. Ominaisarvo on myös 1 vastaten ykkösiä matriisissa B, joka toki on sulla implisiittisesti.

Tuo sun matriisi on selvästi symmetrinen eli B = B^T, niin lineaarialegrasta tiedetään, että B voidaan diagonalisoida SO(4)-matriisilla eli on olemassa \(P\in SO(4)\) siten että:

\(P^T B P=diag(d_0,d_1,d_2,d_3) =D\)

Tuossa nuo diagonaaliarvot ovat antamasi (hieman eri numeroinnilla):


\(diag(d_0,d_1,d_2,d_3) = (\sqrt{\frac{1-v}{1+v}},\sqrt{\frac{1+v}{1-v}},1,1)\)

Siis tuo matriisi B ei tiedä olevansa suhteellisuusteorian puskumatriisi vaan se on matemaatikolle ihan tavallinen symmetrinen matriisi, joka voidaan diagonalisoida ortogonaalimatriisilla P. Tuo ortogonaalisuus viittaa sisätuloon (+,+,+,+).

Itseasiassa antamasi ominaisvektorit ovat ortogonaalisia sisätulossa (+,+,+,+), kuten pitääkin, mä laitan ne tähän hieman eri numeroinnilla ja jätin pois miinusmerkkejä (voi mennä pieleen):

\(\begin{align*}
v_0&=(1,1,0,0)^T\\
v_1&=(-1,1,0,0)^T\\
v_2&=(0,0, 1,0)^T\\
v_3&=(0,0,0, 1)^T
\end{align*}\)

En nyt ole tarkistanut sitä, että nuo muodostavat positiivisesti orientoidun kannan, jos ei, niin tuo P olisi O(4):n alkio. Mutta siitä selviää kertomalla joku noista ominaisvektoreista luvulla -1 ja silloin P on SO(4):n alkio.

Samaa ideaa voi käyttää mielestäni yleiselle puskumatriisille \(\Lambda\), jolloin siis olisi\( \Lambda^T=\Lambda\) eli tiedetään ainoastaan, että matriisi \(\Lambda \)on symmetrinen. Silloin lineaarialgebrasta tiedetään, että on olemassa ortogonaali matriisi P (eli P on SO(4):n alkio) jolle:

\(P^T \Lambda P=diag(d_0,d_1,d_2,d_3) =D\).

Nyt kun puskun \(\Lambda \) kuuluu rajoitettuun Lorentz-ryhmään SO(1,3)₊ tai lyhyesti vain SO(1,3), niin silloin determinattiehto \(det(\Lambda) = 1\) antaa:

\(1 = d_0 d_1 d_2 d_3\),

jonka toteuttaa myös antamasi matriisin B ominaisarvot.

Kirjoitan lisää jatkossa.
 

Näin se on. Tässä tapauksessa tuo ortogonaalinen SO(4)-matriisi

\(P=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}\)

jolle pätee \(PP^T=\mathbb{I}\) ja \(\det(P)=1\).

Mainitsemiisi Casimir-operaattoreihin pitää kyllä palata myöhemmin. Olen nimittäin aktviivisesti puskenut ne unohlaan ajan saatossa.

[Disputator]

Iltapäivää, muutamia hajanaisia huomioita:

Hassuttelin Lorentzryhmän nelivektoriesityksen kanssa. Pusku rapiditeetilla \(\psi_1\) x-akselin suunnassa on

\(B=\begin{bmatrix} \cosh (\psi1) & \sinh (\psi_1) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi1) & \cosh (\psi1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

Tämän ominaisvektorit ovat

\(v_1=(0,0,\pm 1,0)^T\), \(v_2=(0,0,0,\pm 1)^T\), \(v_3=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_4=(-1,1,0,0)^T\)

Näistä \(v_1\) on y-akselin suuntainen paikanluonteinen yksikkövektori, ja \(v_2\) on z-akselin suuntainen. Nuo \(v_3\) ja \(v_4\) ovat valonluonteisen nollageodeesin yksikkövektorit x-akselilla. Tässä \(v_3\):n ominaisarvo on \(\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}\) ja \(v_4\):n on \(\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\).

Ensiksi mainittu on etääntyvän valonlähteen dopplerkerroin (punasiirtymä) ja jälkimmäinen lähestyvän kerroin (sinisiirtymä).
...

Nyt ollaan mielenkiintoisten asioiden äärellä. Tuollaisia ovat ominaisvektorit ja arvot, kuten kirjoitit. Ominaisarvo on myös 1 vastaten ykkösiä matriisissa B, joka toki on sulla implisiittisesti.

Tuo sun matriisi on selvästi symmetrinen eli B = B^T, niin lineaarialegrasta tiedetään, että B voidaan diagonalisoida SO(4)-matriisilla eli on olemassa \(P\in SO(4)\) siten että:

\(P^T B P=diag(d_0,d_1,d_2,d_3) =D\)

Tuossa nuo diagonaaliarvot ovat antamasi (hieman eri numeroinnilla):


\(diag(d_0,d_1,d_2,d_3) = (\sqrt{\frac{1-v}{1+v}},\sqrt{\frac{1+v}{1-v}},1,1)\)

Siis tuo matriisi B ei tiedä olevansa suhteellisuusteorian puskumatriisi vaan se on matemaatikolle ihan tavallinen symmetrinen matriisi, joka voidaan diagonalisoida ortogonaalimatriisilla P. Tuo ortogonaalisuus viittaa sisätuloon (+,+,+,+).

Itseasiassa antamasi ominaisvektorit ovat ortogonaalisia sisätulossa (+,+,+,+), kuten pitääkin, mä laitan ne tähän hieman eri numeroinnilla ja jätin pois miinusmerkkejä (voi mennä pieleen):

\(\begin{align*}
v_0&=(1,1,0,0)^T\\
v_1&=(-1,1,0,0)^T\\
v_2&=(0,0, 1,0)^T\\
v_3&=(0,0,0, 1)^T
\end{align*}\)

En nyt ole tarkistanut sitä, että nuo muodostavat positiivisesti orientoidun kannan, jos ei, niin tuo P olisi O(4):n alkio. Mutta siitä selviää kertomalla joku noista ominaisvektoreista luvulla -1 ja silloin P on SO(4):n alkio.

Samaa ideaa voi käyttää mielestäni yleiselle puskumatriisille \(\Lambda\), jolloin siis olisi\( \Lambda^T=\Lambda\) eli tiedetään ainoastaan, että matriisi \(\Lambda \)on symmetrinen. Silloin lineaarialgebrasta tiedetään, että on olemassa ortogonaali matriisi P (eli P on SO(4):n alkio) jolle:

\(P^T \Lambda P=diag(d_0,d_1,d_2,d_3) =D\).

Nyt kun puskun \(\Lambda \) kuuluu rajoitettuun Lorentz-ryhmään SO(1,3)₊ tai lyhyesti vain SO(1,3), niin silloin determinattiehto \(det(\Lambda) = 1\) antaa:

\(1 = d_0 d_1 d_2 d_3\),

jonka toteuttaa myös antamasi matriisin B ominaisarvot.

Kirjoitan lisää jatkossa.
 

Näin se on. Tässä tapauksessa tuo ortogonaalinen SO(4)-matriisi

\(P=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}\)

jolle pätee \(PP^T=\mathbb{I}\) ja \(\det(P)=1\).

Mainitsemiisi Casimir-operaattoreihin pitää kyllä palata myöhemmin. Olen nimittäin aktviivisesti puskenut ne unohlaan ajan saatossa.

Tuossa sun P-matriisissa vähän ihmetyttää se, että nuo y ja z-koordinaatit, B matriisi on jo valmiiksi diagonalisoitu niiden osalta, joten niitä ei tarvitse muuttaa eli kokeilematta jonkinlainen allaoleva ehkä tms:

\(P=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\)

Siis koko diagonalisointi koskee vain B-matriisin aika t- ja x-koordinaattia.

edit: Okei, syy voi olla siinä että muutin noita indeksejä ja se sitten tekee tuon eron.