Eräästä paikasta internetissä löytyi päättely, joka meni suunnilleen näin:
"Kun mitataan lasertutkalla etäisyys Maasta satelliittiin, saadaan lyhempi etäisyys, kuin mitattaessa sama matka satelliitista Maahan. (1) Kun aika satelliitissa kulkee nopeammin kuin Maassa, valopulssin samaan edestakaiseen matkaan kuluu aikaa enemmän kuin Maassa mitattuna, jolloin (2) satelliitista mitattuna valon nopeudella c, etäisyys mitataan pidemmäksi, kuin Maasta mitattuna."
Merkitsin tekstiin väitteet (1) ja (2). Lainatussa tekstissä on taustana se, että oletetaan valon käyttäytyvän kuten se käyttäytyisi gravitaation ulkopuolella, laakeassa avaruudessa.
Tämä sopii ajanvietteeksi yleisen suhteellisuusteorian perusteiden parissa. Kuitenkin integroiminen by tietokone.
Schwartzschildin metriikka etäisen havaitsijan koordinaateilla (t,r) ja signatuurilla (-,+,+,+) on
\(ds^2=-d\tau^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) ^{-1} dr^2\)
missä M on planeetan massa ja \(r_s=2M\) on Schwarzschildin säde, ja tässä tapauksessa \(d\theta=d\phi=0\). Valon nollageodeesilla pätee \(d\tau^2=0\), mistä seuraa
\(dt=\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}\ dr\)
Merkitään planeetan pinnan vakioetäisyyttä \(R\) ja satelliitin vakioetäisyyttä \(R+d\), missä \(d>0\). Schwarzschild-koordinaateilla valon kulkuaika \(R \to R+d\) tai \(R+d \to R\) on
\(\begin{align*}\Delta t&=\int_{R}^{R+d}\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr \\ &= d+r_s \ln\left(\frac{R+d-r_s}{R-r_s} \right )\end{align*}\)
Merkitään planeetan pinnalla olevan havaitsijan aika-koordinaattia \(t_p\) ja satelliitin \(t_s\). Näiden 'aikadilataatiot' gravitaatiossa ovat
\(\begin{align*} dt_p &= dt \sqrt{1-\frac{r_s}{R}}\\ dt_s &= dt \sqrt{1-\frac{r_s}{R+d}} \end{align*}\)
mistä nähdään, että etäisyyksillä \(R\) ja \(R+d\) mitatut valon kulkuajat \(\Delta t_p\) ja \(\Delta t_s\) toteuttavat
\(\frac{\Delta t_p}{\Delta t_s} = \frac{\Delta t}{\Delta t}\frac{\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}}{{\sqrt{1-\frac{r_s}{R+d}}}} < 1\)
Satelliitissa valon kululle mitataan siis pidempi aika kuin planeetalla. Väite (1) pitää paikkaansa. Tästä seuraa, että myös väite (2) pitää paikkansa, kun mittaus tehdään (virheellisellä) oletuksella, että valo etenee kuten laakeassa avaruudessa etenisi.
Kuitenkin gravitaatiossa valon kulkema todellinen etäisyys \(\Delta s\) (proper distance) välillä \(R \to R+d \) tai \(R+d \to R\) on pisteitä yhdistävän paikanluonteisen käyrän pituus. Tuo pituus saadaan asettamalla metriikkaan \(dt=0\) ja integoimalla
\(\begin{align*}\Delta s = \int_{R}^{R+d}ds &=\int_{R}^{R+d} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} \ dr\\&= (R+d) \sqrt{1 - \frac{r_s}{R+d}} - R\sqrt{1 - \frac{r_s}{R}} + r_s \left(\tanh^{-1}(\sqrt{1 - \frac{r_s}{R+d}}) - \tanh^{-1}(\sqrt{1 - \frac{r_s}{R}})\right)\end{align*}\)
Jätän tähän jatkokysymyksen: Miten planeetan pinnalla tulisi laskea satelliitin todellinen etäisyys \(\Delta s\), kun valon kulkuajaksi mitataan \(\Delta t_p\) ? Oletetaan, että planeetan pinnan etäisyys R tiedetään Schwartzchild-koordinaateilla ilmaistuna. Nuo pari valmiiksi laskettua integraalia voivat olla laskussa tarpeellisia, tai sitten eivät ole. Who knows.
. Tämä suure tulisi lausua planeetan pinnalla mitatulla kulkuajalla \(\Delta t_p\) , kun valo etenee välin \( R_p \to R_s\) .