Suhteellisuusteoriaa

[QS]

Iltapäivää,

...
Pyysin vielä tietokoneelta matriisin, missä kierto \(\theta_2\) y-akselin ympäri yhdistettynä puskuun x-akselilla nopeudella v

\( \Lambda=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v \cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{v \sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\ \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{\cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{\sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -\sin (\theta_2) & 0 & \cos (\theta_2) \\ \end{bmatrix}\)
...

Mä kokeilin samaa ja sain hieman eri tuloksia.

EDIT: En saannutkaan . Laitan laskut kuitenkin näkyviin, kun kerran kerkesin niitä tässä kirjoitaa:

Eli sulla on\( \Lambda = B R\), missä B on busku x-akselin suunnassa ja R on rotaatio y-akselin ympäri:

Laskin tuon suoraviivaisesti matriisitulona, jossa matriisit B ja R ovat mulla:

\( R=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 &cos(\theta)& 0 &sin(\theta) \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -\sin (\theta) & 0 & \cos (\theta) \\ \end{bmatrix}\)

ja

\( B=\begin{bmatrix} cosh(\psi) & sinh(\psi) & 0 &\: 0 \\\ sinh(\psi) &cosh(\psi)& 0 &\:0 \\\\ 0 & 0 & 1 &\: 0 \\\\ 0 & 0& 0 &\: 1 \\ \end{bmatrix}\)

silloin:

\(\Lambda =BR =\begin{bmatrix} cosh(\psi) & cos(\theta) sinh(\psi) & 0 & sin(\theta) sinh(\psi) \\\ sinh(\psi) &cos(\theta) cosh(\psi)& 0 &sin(\theta) cosh(\psi) \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -sin(\theta)& 0 & cos(\theta) \\ \end{bmatrix}\)

ja

\(\Lambda' =RB =\begin{bmatrix} cosh(\psi) & sinh(\psi) & 0 & 0 \\\ cos(\theta) sinh(\psi) &cos(\theta) cosh(\psi)& 0 &sin(\theta) \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ -sin(\theta) sinh(\psi) & -sin(\theta) cosh(\psi)& 0 & cos(\theta) \\ \end{bmatrix}\)

On tuo sun \(\Lambda=BR\) mielestäni sama kuin mulla. Itse sijoitin \(\cosh(\psi)=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) ja \(\sinh(\psi)=\gamma v=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}\), kun ovat käytännössä helpompia.

Asiassa on myöhemmän viestini kannalta oleellista sekin, että \(e^{-i\psi \cdot K -i\theta\cdot J}\) tuottaa aivan eri matriisin kuin tämä "helppo" matriisitulo \(BR = e^{-i\psi \cdot K}\ e^{-i\theta\cdot J}\).

Ihan mielenkiinnosta laskin (koneella) yleisemmän pusku+rotaatio-tapauksen, joka tässä tapauksessa olisi

\(e^{-i\psi \cdot K -i\theta\cdot J} = \begin{bmatrix} \frac{\theta ^2-\xi ^2 \cosh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\theta ^2-\xi ^2} & \frac{\xi \sinh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}} & 0 & -\frac{\theta \xi \left(\cosh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)-1\right)}{\theta ^2-\xi ^2} \\ \frac{\xi \sinh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}} & \cosh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right) & 0 & \frac{\theta \sinh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{2 \theta \xi \sinh ^2\left(\frac{1}{2} \sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\theta ^2-\xi ^2} & -\frac{\theta \sinh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}} & 0 & \frac{\xi ^2-\theta ^2 \cosh \left(\sqrt{\xi ^2-\theta ^2}\right)}{\xi ^2-\theta ^2} \\ \end{bmatrix}\)

Tämä on jokin eksoottisempi x-puskun ja y-rotaation yhdistelmä, mikä on siis eri muunnos kuin tulo BR.

Kokeilin vielä vähän mutkikkaampaakin yleistä tapausta, missä rotaatio on y- ja z-akselin yhdistelmä. Kone laski matiriisin, jota en viitsi edes tähän kopioida. Ominaisarvoja ei suostunut suoraan laskemaan, vaan sanoi jotain, että liikaa roinaa muistissa. Ominasivektorien laskeminen jäi sekin tekemättä, kun softa jäi running-tilaan, eikä tullut sieltä ulos .

[Disputator]

...
On tuo sun \(\Lambda=BR\) mielestäni sama kuin mulla. Itse sijoitin \(\cosh(\psi)=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) ja \(\sinh(\psi)=\gamma v=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}\), kun ovat käytännössä helpompia.

Asiassa on myöhemmän viestini kannalta oleellista sekin, että \(e^{-i\psi \cdot K -i\theta\cdot J}\) tuottaa aivan eri matriisin kuin tämä "helppo" matriisitulo \(BR = e^{-i\psi \cdot K}\ e^{-i\theta\cdot J}\).
...

Jes, mun virheellinen laskenta johtui siitä, että olin koneelle merkinnyt symbolilla R puskua jostain ihmeellisestä syystä ja sitten koko homma meni pieleen, koska tässä taasen R oli rotaatio. Vaikka kone laski oikein, niin lopputulos oli sitten väärä.
Garbage in, garbage out.

Tuo sun viestisi, mihin viittaat on oikein hyvä, niin tuo menee.

Mutta.

Mä jätän tähän vaan cliffhangerin että se mun väite on käsittääkseni myös totta, jossa se matriisi esittää jollain tavalla "yleistä" Lorentz-muunnosta. Mä perustelen sen jollain tavalla myöhemmin, koska se vaatii vaivaa ja työtä. Sun argumentti on ihan oikein, mutta siinä on omat ongelmansa . Mä palaan viikonloppuna tähän.

[QS]

Mä jätän tähän vaan cliffhangerin että se mun väite on käsittääkseni myös totta, jossa se matriisi esittää jollain tavalla "yleistä" Lorentz-muunnosta. Mä perustelen sen jollain tavalla myöhemmin, koska se vaatii vaivaa ja työtä. Sun argumentti on ihan oikein, mutta siinä on omat ongelmansa . Mä palaan viikonloppuna tähän.

Aivan varmasti totta, sillä mun argumenetit harvoin kestävät kaikenkattavan matemaattisen rikihapposateen

Mutta ihan hassuttelumielessä: en muista koskaan nähneeni mahdollisimman yleistä Lorentzmatriisia, missä rapiditeetti \(\xi= (\xi_1,\xi_2,\xi_3)\) ja kulma \(\theta =(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\).

Tietokone suostui matriisieksponentin laskemaan, joten sain ihasteltua sitä. Koko matriisia en saa tähän mitenkään, kun on niin massiivinen. Mutta kuvassa eräs komponentti \(\Lambda_{11}\). Vastaavia lausekkeita matriisissa 16 kpl. Jösses.

[Disputator]

Iltapäivää,

mun kirjoittaminen vähän viivästyi. Juttu on pitkähkö ja otan ekaksi ihan tavalliset 3d-avaruuden rotaatiot ja sitten Lorentz-muunnokset sen jälkeen. Rotaatio ja Lorentz-muunnos on tässä aina aktiivinen.

EDIT: mulla on erilaiset generaattorit eksponettifunktiossa, kuin sulla QS, mutta siitä ei ole haittaa tässä.

Merkitsen tässä abstraktia lineaarikuvausta (ilman kantoja) hatullisella notaatiolla, esimerkiksi rotaatio \(\hat{R} \) ja jossain ortonormaalissa kannassa E={E₁,E₂,E₃,} annettua rotaation matriisia vain R tai R=R(E).

Kuten tunnettua 3d-rotaatio \(\hat{R} \) määräytyy täysin suunnatusta kiertoakselin määräämästä yksikkövektorista n ja kiertokulmasta \(\theta\) ja oikean käden säännöstä. Kulma on määrätty koska suoritetaan aktiivista rotaatiota. Tässä ei tarvita kantaa.

Jos on annettu mikä tahansa rotaatio \(\hat{R}=\hat{R}(\mathbf{n},\theta)\) niin silloin jossain valitussa mielivaltaisessa otronormaalissa kannassa E sillä on rotaatiomatriisi R=R(E). Tällöin lineaarialgebrasta tiedetään, että on olemassa matriisi \( S\in SO(3)\) siten että uudessa kannassa F= {F₁,F₂,F₃,} on rotaatiomatriisilla tässä uudessa kannassa F muoto:

\(
R(F)=S R(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\
sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

\)

Tuossa voidaan vielä permutoida koordinaattiakseleita eli uusia kantavektoreita F, mutta muuten tuo on melkoisen yksikäsitteinen.

Kannassa F voidaan tuo rotaatio esittää Lie-algebran generaattoria L_z käyttäen eksponenttimuodossa:

\(
R(F)=e^{\theta L_z}=\begin{bmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\
sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\)

kuitenkin kannassa E matriisieksponentilla on yleisempi muoto:

\(
R(E)=e^{\vec{\theta}\cdot \vec{L}}
\),

missä siis \(\vec{\theta} =(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\) ja jokainen komponentti voi olla nollasta poikkeava, koska kanta E oli mielivaltaisesti valittu. Seuraava on tärkeä havainto:

Annetulla rotaatiolla \(\hat{R}= \hat{R}(\mathbf{n},\theta)\) on olemassa erilaisia matriiseja riippuen kannan valinnasta ja siten myös erilaisia eksponenttiesityksiä.

Ihan pedanttisesti ottaen kannanvaihto kannasta E kantaan F aiheuttaa Lie-algebraan so(3) Lie-algebran kantojen muunnoksen, jossa E-kannan rotaation generaattorit (L_x,L_y,L_z) korvataan uusilla (L'_x,L'_y,L'_z), jolloin:

\(
R(E)=e^{\vec{\theta}\cdot \vec{L}}
\),

muuttuisi muotoon:

\(
R(F)=e^{\vec{\theta}\cdot \vec{L'}}
\),

misä siis \(\vec{\theta}\) on kummassakin sama. Tämä vaatii kyllä perustelun ja voin laittaa sen myöhemmin, siis jos olen oikein ymmärtänyt jutun.

Näin ei kuitenkaan menetellä oikeastaan missään, vaan käytetään alkuperäistä Lie-algebran kantaa (L_x,L_y,L_z), jolloin sitten vektoriin \(\vec{\theta}\) kohdistuu muunnos vektoriksi \(\vec{\theta'}\). Tämä olisi sopusoinnussa sen kanssa, että esimerkiksi Paulin spin-matriisit ovat samoja kaikissa 3d-avaruuden koordinaatiston kierroissa.

Taustalla oleva idea tässä jutussani on se, että on olemassa 3d-avaruuden kannoista riippumaton 3d-avaruuden rotaatioiden \( \hat{R} \) muodostama monisto M jonka määrää 3d-avaruuden sisätulon säilyminen:

\(<\hat{R}v,\hat{R}w>=<v,w>\),

missä v,w ovat 3d-avaruuden vektoreita (ilman kantoja). Vasta kun valitaan 3d-avaruuden kanta, esimerkiksi E, siirrytään matriisien maailmaan.

[Disputator]

Iltaa, meni vähän aikaa, mutta tässä nyt jotakin, mista lupasin kirjoittaa. Allaolevassa voi olla virheitä, mutta pääsisällöltään lienee oikein.

Notaatiot&sopimukset; Kuvaukset tulkittava aktiivisesti. Hatulliset kuvaukset \(\hat{L}\) astaavat abstrakteja lineaarikuvauksia ja ilman hattua kuvauksen matriisia L jossain Minkoskiavaruuden M kannassa \(E=(E_0,E_1,E_2,E_3)\). Jos halutaan korostaa missä kannassa matriisi L on muodostettu merkitään L(E).

Jos M on Minkowskiavaruus, niin metriikan g säilyttävä lineaarikuvaus \(\hat{L}\) on Lorentz-muunnos, siis jolle pätee \(g(\hat{L}v,\hat{L}w) = g(v,w)\:\forall v,w \in M\). Tämä ryhmä jakautuu topologisesti 4 eri komponenttiin ja valitaan niistä se joka sisältää identtisen kuvauksen \(Id\).

Nyt pätee mielenkiintoinen teoreema: Jos \(\hat{L} \) on Lorentz-muunnos, niin silloin se kuuluu johonkin seuraavista luokista:

1. Kuvauksella \(\hat{L} \) on 2 eri valolaatuista ominaisvektoria
2. Kuvauksella \(\hat{L} \) on yksi valonlaatuinen ominaisvektori
3.  Kuvaus \( \hat{L} \) on identtinen kuvaus, siis \(\hat{L}=Id\)

Lähteet kutsuu noita vastaavasti:

1. Loksodrominen (loxodromic) tai 4-screw tai screw
2. null-rotaatio (joka on suomenntettus sanasta null-rotation, heh!)
3. Identtinen kuvaus

Nyt jos sitten \(\hat{L} \)on Lorentz-muunnos, se kuuluu johonkin noista kolmesta ryhmästä. Valitaan Minkowskiavaruuteen M mielivaltaisesti ortonormaali kanta  \(E=(E_0,E_1,E_2,E_3)\), jossa silloin \(\hat{L}\):n matriisi on L = L(E).

EDIT: poistettu tästä leijumaan jäänyt ylimääräinen lause.

Case 1:

Jos \(\hat{L}\) kuuluu luokkaan 1, niin silloin on olemassa SO(1,3) matriisi S ja ortonormaali Minkowskiavaruuden M kanta \(F=(F_0,F_1,F_2,F_3)\) siten että kuvauksella \(\hat{L}\) on kannassa F matriisi L(F):

\(
L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}
 cosh(\psi) & sinh(\psi) & 0 & 0 \\
 sinh(\psi) & cosh(\psi) & 0 & 0\\
 0 & 0 & cos(\theta) & sin(\theta)\\
0 & 0 & sin(\theta) & cos(\theta)
\end{bmatrix}
\)

Parametrit \(\psi\) ja \(\theta\) ovat yksikäsitteisiä ja \(\psi\in\mathbb{R}\) ja \(\theta\in [0,2\pi)\), mun täytyy tarkistaa nuo vielä. Tuossa saattaa olla jotain pielessä, mun toinen lähde on tässä hieman rajoittuneempi parametrien suhteen. Mutta siinä puhutaan vähän eri asiasta joten en nyt osaa sanoa.

Tässä keississä siis löytyy havaitsija eli koordinaatisto, jossa Lorentz-muunnoksella \(\hat{L}\) on siis ylläoleva matriisi L(F).


Case 2:

Jos \(\hat{L}\) kuuluu luokkaan 2, niin silloin on olemassa SO(1,3) matriisi S ja ortonormaali Minkowskiavaruuden M kanta \(F=(F_0,F_1,F_2,F_3)\) siten että kuvauksella \(\hat{L}\) on kannassa F matriisi L(F):

\(
L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}
 1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
 2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
 2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Tuosa ylläolevassa parametri \(\alpha>0\). Tässä keississä myös löytyy havaitsija eli koordinaatisto, jossa Lorentz-muunnoksella \(\hat{L}\) on ylläoleva muoto L(F).


Case 3:

Idettisellä matriisilla on tietysti identtinen matriisi


Loppupäätelmiä

Tuo null-rotaatio on kyllä ihan uusi tuttavuus mulle. Se on eräänlainen rajatapaus, jossa kaksi eri valonlaatuista ominaisvektoria lähestyy toisiaan ja yhtyvät (matemaattisessa mielessä..) yhdeksi valonlaatuiseksi ominaisvektoriksi eli se on rajatapaus. Null-rotaatio näkyy myös Lie-algebra tasolla, mutta siitä sitten myöhemmin.

[Disputator]

...
Nyt pätee mielenkiintoinen teoreema: Jos \(\hat{L} \) on Lorentz-muunnos, niin silloin se kuuluu johonkin seuraavista luokista:

1. Kuvauksella \(\hat{L} \) on 2 eri valolaatuista ominaisvektoria
2. Kuvauksella \(\hat{L} \) on yksi valonlaatuinen ominaisvektori
3.  Kuvaus \( \hat{L} \) on identtinen kuvaus, siis \(\hat{L}=Id\)

Lähteet kutsuu noita vastaavasti:

1. Loksodrominen (loxodromic) tai 4-screw tai screw
2. null-rotaatio (joka on suomenntettus sanasta null-rotation, heh!)
3. Identtinen kuvaus

 

 

 

 

Tosiaan noissa nimityksissä on hajontaa. Mun käyttämäni lähteet antoivat tuollaisia nimiä, mutta muita muunnelmia löytyy, esimerkiksi mun termi loksodrominen voidaan jakaa kolmeen eri luokkaan seuraavasti:

1. Elliptinen, vastaten tapausta \(\psi = 0\) ja \( \theta\neq 0\) eli puhdas rotaatio.
2. Hyperbolinen, vastaten tapausta \(\psi\neq 0\) ja \( \theta= 0\), eli puhdas pusku.
3. Loksodrominen, vastaten tapausta \(\psi \neq 0\) ja \( \theta\neq 0\).

Tässä notaatiosysteemissä mun edellisen viestin null-rotaatio on sitten nimeltään parabolinen. 

[QS]

Iltapäivää,

mun kirjoittaminen vähän viivästyi. Juttu on pitkähkö ja otan ekaksi ihan tavalliset 3d-avaruuden rotaatiot ja sitten Lorentz-muunnokset sen jälkeen. Rotaatio ja Lorentz-muunnos on tässä aina aktiivinen.

EDIT: mulla on erilaiset generaattorit eksponettifunktiossa, kuin sulla QS, mutta siitä ei ole haittaa tässä.

Merkitsen tässä abstraktia lineaarikuvausta (ilman kantoja) hatullisella notaatiolla, esimerkiksi rotaatio \(\hat{R} \) ja jossain ortonormaalissa kannassa E={E₁,E₂,E₃,} annettua rotaation matriisia vain R tai R=R(E).

Kuten tunnettua 3d-rotaatio \(\hat{R} \) määräytyy täysin suunnatusta kiertoakselin määräämästä yksikkövektorista n ja kiertokulmasta \(\theta\) ja oikean käden säännöstä. Kulma on määrätty koska suoritetaan aktiivista rotaatiota. Tässä ei tarvita kantaa.

Jos on annettu mikä tahansa rotaatio \(\hat{R}=\hat{R}(\mathbf{n},\theta)\) niin silloin jossain valitussa mielivaltaisessa otronormaalissa kannassa E sillä on rotaatiomatriisi R=R(E). Tällöin lineaarialgebrasta tiedetään, että on olemassa matriisi \( S\in SO(3)\) siten että uudessa kannassa F= {F₁,F₂,F₃,} on rotaatiomatriisilla tässä uudessa kannassa F muoto:

\(
R(F)=S R(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\
sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

\)

Tuossa voidaan vielä permutoida koordinaattiakseleita eli uusia kantavektoreita F, mutta muuten tuo on melkoisen yksikäsitteinen.

Kannassa F voidaan tuo rotaatio esittää Lie-algebran generaattoria L_z käyttäen eksponenttimuodossa:

\(
R(F)=e^{\theta L_z}=\begin{bmatrix}
cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\
sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\)

kuitenkin kannassa E matriisieksponentilla on yleisempi muoto:

\(
R(E)=e^{\vec{\theta}\cdot \vec{L}}
\),

missä siis \(\vec{\theta} =(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\) ja jokainen komponentti voi olla nollasta poikkeava, koska kanta E oli mielivaltaisesti valittu. Seuraava on tärkeä havainto:

Annetulla rotaatiolla \(\hat{R}= \hat{R}(\mathbf{n},\theta)\) on olemassa erilaisia matriiseja riippuen kannan valinnasta ja siten myös erilaisia eksponenttiesityksiä.

Ihan pedanttisesti ottaen kannanvaihto kannasta E kantaan F aiheuttaa Lie-algebraan so(3) Lie-algebran kantojen muunnoksen, jossa E-kannan rotaation generaattorit (L_x,L_y,L_z) korvataan uusilla (L'_x,L'_y,L'_z), jolloin:

\(
R(E)=e^{\vec{\theta}\cdot \vec{L}}
\),

muuttuisi muotoon:

\(
R(F)=e^{\vec{\theta}\cdot \vec{L'}}
\),

misä siis \(\vec{\theta}\) on kummassakin sama. Tämä vaatii kyllä perustelun ja voin laittaa sen myöhemmin, siis jos olen oikein ymmärtänyt jutun.

Näin ei kuitenkaan menetellä oikeastaan missään, vaan käytetään alkuperäistä Lie-algebran kantaa (L_x,L_y,L_z), jolloin sitten vektoriin \(\vec{\theta}\) kohdistuu muunnos vektoriksi \(\vec{\theta'}\). Tämä olisi sopusoinnussa sen kanssa, että esimerkiksi Paulin spin-matriisit ovat samoja kaikissa 3d-avaruuden koordinaatiston kierroissa.

Taustalla oleva idea tässä jutussani on se, että on olemassa 3d-avaruuden kannoista riippumaton 3d-avaruuden rotaatioiden \( \hat{R} \) muodostama monisto M jonka määrää 3d-avaruuden sisätulon säilyminen:

\(<\hat{R}v,\hat{R}w>=<v,w>\),

missä v,w ovat 3d-avaruuden vektoreita (ilman kantoja). Vasta kun valitaan 3d-avaruuden kanta, esimerkiksi E, siirrytään matriisien maailmaan.

Tämä kuulostikin tutulta, kun olin hiljattain selannut aiemmin mainittua kirjaa Group Theory in Physics, Wu-Ki Tung. Kirja määrittelee Lie-algebran kannan \(L(\mathbf{n})\), jolla muodostetaan yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri rotaatiomatriisi

\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta)=e^{\theta\ L(\mathbf{n})}\)

Kanta \(L(\mathbf{n})\) muuntuu annetulla rotaatiolla \(R\) ja yksikkövektorilla \(\mathbf{n}\)

\(R\ L(\mathbf{n})\ R^{-1} = L(\mathbf{n'}),\)

siten, että \(\mathbf{n'}=R\mathbf{n}\). Tämän perusteella \(L(\mathbf{n})\) käyttäytyy rotaatiossa kuten vektori. Kirja antaa generaattorille \(\mathbf{L} = (L_1,L_2,L_3)\) nimityksen vektorigeneraattori, jonka komponetit \(L_k\) muuntuvat samalla tavalla kuin kantavektorit \(\hat{e_k}\)

\(R\ J_k\ R^{-1}=J_l\ {R^l}_k.\)

Generaattori rotaatiolle, joka tehdään annetun yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri, voidaan sitten kirjoittaa

\(L(\mathbf{n}) = J_k n^k,\)

missä \(\mathbf{n} = \hat{e_k} n^k\). Tämä todistetaan kirjassa vielä erikseen. Lopulta kaikki SO(3) matriisit voidaan kirjoittaa

\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta) = e^{\theta\ L_k\ n^k}.\)

Jälkimmäinen Lorentz-matriisien luokittelua koskeva viestisi oli mielenkiintoinen. Paneudun siihen ajan kanssa.

[QS]

No niin. Nyt hetki aikaa ihmetellä tätä luokittelua.

Nyt pätee mielenkiintoinen teoreema: Jos \(\hat{L} \) on Lorentz-muunnos, niin silloin se kuuluu johonkin seuraavista luokista:

1. Kuvauksella \(\hat{L} \) on 2 eri valolaatuista ominaisvektoria
2. Kuvauksella \(\hat{L} \) on yksi valonlaatuinen ominaisvektori
3.  Kuvaus \( \hat{L} \) on identtinen kuvaus, siis \(\hat{L}=Id\)

....
Case 1:

\(L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}

 cosh(\psi) & sinh(\psi) & 0 & 0 \\

 sinh(\psi) & cosh(\psi) & 0 & 0\\

 0 & 0 & cos(\theta) & sin(\theta)\\

0 & 0 & sin(\theta) & cos(\theta)

\end{bmatrix}\)

 

Mietin, että pitäisikö viimeisen sarakkeen \(\sin(\theta)\):ssa, eli siis komponentissa \(L^{23}\) olla \(-\sin(\theta)\) ? Kun luokkia tuijottelin, niin luokkaan 1 kuuluu esimerkiksi (jostain aiemmasta mun viestistä) $$\Lambda=\begin{bmatrix} \cosh (\psi) & \sinh (\psi) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi) & \cosh (\psi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{bmatrix}$$Tällä on tosiaan 2 valonlaatuista ominaisvektoria \(v_1=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_2=(1,-1,0,0)^T\), jotka ovat x-akselin suuntaisia.

Luokkaan 1 kuuluu myös (aiemmasta mun viestistä)$$\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v \cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{v \sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\
\frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{\cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{\sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\
0 & 0 & 1 & 0 \\\\
0 & -\sin (\theta_2) & 0 & \cos (\theta_2) \\
\end{bmatrix}$$Tämän muodostin rotaatiosta R ja puskusta B siten, että ensin y-akselin ympäri rotaatio R, jonka jälkeen x-akselin suuntainen pusku B. Mielestäni myös B ja R erikseen kuuluvat luokkaan 1.

Mielenkiintoisin on luokka 2

\(
L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Tuosa ylläolevassa parametri \(\alpha>0\). Tässä keississä myös löytyy havaitsija eli koordinaatisto, jossa Lorentz-muunnoksella \(\hat{L}\) on ylläoleva muoto L(F).

Ainakaan puhtaat 3d-rotaatiot eivät tähän kuulu, sillä komponentti \(L^{00}\) ei voi olla 1, kun \(\alpha>0\). Äkkiseltään en pystynyt muodostamaan konkreettisesta puskusta ja rotaatiosta (käyttämällä \(\psi\) ja \(\theta\)) matriisia, joka tämän toteuttaisi. Varmasti sellaisia on, ja koetan jossain välissä moisen rakentaa, koska tähän null rotaatioon liittyy varmasti yksityiskohtia.

[Disputator]

No niin. Nyt hetki aikaa ihmetellä tätä luokittelua.

Nyt pätee mielenkiintoinen teoreema: Jos \(\hat{L} \) on Lorentz-muunnos, niin silloin se kuuluu johonkin seuraavista luokista:

1. Kuvauksella \(\hat{L} \) on 2 eri valolaatuista ominaisvektoria
2. Kuvauksella \(\hat{L} \) on yksi valonlaatuinen ominaisvektori
3.  Kuvaus \( \hat{L} \) on identtinen kuvaus, siis \(\hat{L}=Id\)

....
Case 1:

\(L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}

 cosh(\psi) & sinh(\psi) & 0 & 0 \\

 sinh(\psi) & cosh(\psi) & 0 & 0\\

 0 & 0 & cos(\theta) & sin(\theta)\\

0 & 0 & sin(\theta) & cos(\theta)

\end{bmatrix}\)


 

Mietin, että pitäisikö viimeisen sarakkeen \(\sin(\theta)\):ssa, eli siis komponentissa \(L^{23}\) olla \(-\sin(\theta)\) ? Kun luokkia tuijottelin, niin luokkaan 1 kuuluu esimerkiksi (jostain aiemmasta mun viestistä) $$\Lambda=\begin{bmatrix} \cosh (\psi) & \sinh (\psi) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi) & \cosh (\psi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{bmatrix}$$Tällä on tosiaan 2 valonlaatuista ominaisvektoria \(v_1=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_2=(1,-1,0,0)^T\), jotka ovat x-akselin suuntaisia.

 

Heh, no tottahan toki se miinusmerkki unohtui. Mä palaan näihin juttuihin tarkemmin, kun kerkeän ja saan selvää joistain detaljeista, mutta laitan nyt näkyviin yhtälön Lorentz-muunnosten karakteristiselle yhtälölle, josta saa ominaisarvot:
$$
P(\lambda)= (\lambda-e^{\psi})(\lambda-e^{-\psi})(\lambda^2-2\lambda cos\phi+1)
$$
Tämän voi johtaa varmasti laskemalla tapauksen 1 loksodromisen muunnoksen karakteristisen yhtälön, mutta tuo on oikeastaan yleisempi (mitä ei kyllä ei sitten millään suoraan näe), se sisältää myös tuon tapauksen 2 eli null-rotaatioiden ominaisarvot, jolloin täytyy olla (heh, pitkä juttu, ) \(\psi=\phi=0\) ja yhtälö redusoituu muotoon:
$$
P(\lambda)= (\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+1)= (\lambda-1)^4
$$
Sama tapahtuu myös identtisen muunnoksen kanssa, tapauksen 1 muunnos redusoituu asettamalla \(\psi=\phi=0\) identtiseksi muunnokseksi, eli tapaus 3, jolloin myös karakteristinen yhtälö on \((\lambda-1)^4=0\)

Kopsaan edellisestä viestistäni tuon null-rotaation L(F) tähän:
$$
L(F)=\begin{bmatrix}
 1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
 2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
 2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

$$
Tuosta näkee testaamalla, että valonlaatuinen ominaisvektori on X=(1,1,0,0) vastaten ominaisarvoa \(\lambda=1\) ja toinen (EDIT paikanlaatuinen) ominasvektori Y=(0,0,0,1) vastaten myös ominaisarvoa \(\lambda=1\).Tuosta matriisista en nyt kyllä osaa päätellä, että X on ainoa valonlaatuinen ominaisvektori.

[Disputator]

No niin. Nyt hetki aikaa ihmetellä tätä luokittelua.

Nyt pätee mielenkiintoinen teoreema: Jos \(\hat{L} \) on Lorentz-muunnos, niin silloin se kuuluu johonkin seuraavista luokista:

1. Kuvauksella \(\hat{L} \) on 2 eri valolaatuista ominaisvektoria
2. Kuvauksella \(\hat{L} \) on yksi valonlaatuinen ominaisvektori
3. Kuvaus \( \hat{L} \) on identtinen kuvaus, siis \(\hat{L}=Id\)

....
Case 1:

\(L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}

cosh(\psi) & sinh(\psi) & 0 & 0 \\

sinh(\psi) & cosh(\psi) & 0 & 0\\

0 & 0 & cos(\theta) & sin(\theta)\\

0 & 0 & sin(\theta) & cos(\theta)

\end{bmatrix}\)


 

Mietin, että pitäisikö viimeisen sarakkeen \(\sin(\theta)\):ssa, eli siis komponentissa \(L^{23}\) olla \(-\sin(\theta)\) ? Kun luokkia tuijottelin, niin luokkaan 1 kuuluu esimerkiksi (jostain aiemmasta mun viestistä) $$\Lambda=\begin{bmatrix} \cosh (\psi) & \sinh (\psi) & 0 & 0 \\ \sinh (\psi) & \cosh (\psi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{bmatrix}$$Tällä on tosiaan 2 valonlaatuista ominaisvektoria \(v_1=(1,1,0,0)^T\) ja \(v_2=(1,-1,0,0)^T\), jotka ovat x-akselin suuntaisia.

Luokkaan 1 kuuluu myös (aiemmasta mun viestistä)$$\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v \cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{v \sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\
\frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{\cos (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} & 0 & \frac{\sin (\theta_2)}{\sqrt{1-v^2}} \\\\
0 & 0 & 1 & 0 \\\\
0 & -\sin (\theta_2) & 0 & \cos (\theta_2) \\
\end{bmatrix}$$Tämän muodostin rotaatiosta R ja puskusta B siten, että ensin y-akselin ympäri rotaatio R, jonka jälkeen x-akselin suuntainen pusku B. Mielestäni myös B ja R erikseen kuuluvat luokkaan 1.

Mielenkiintoisin on luokka 2

\(
L(F)=S\: L(E) S^{-1} =\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Tuosa ylläolevassa parametri \(\alpha>0\). Tässä keississä myös löytyy havaitsija eli koordinaatisto, jossa Lorentz-muunnoksella \(\hat{L}\) on ylläoleva muoto L(F).

Ainakaan puhtaat 3d-rotaatiot eivät tähän kuulu, sillä komponentti \(L^{00}\) ei voi olla 1, kun \(\alpha>0\). Äkkiseltään en pystynyt muodostamaan konkreettisesta puskusta ja rotaatiosta (käyttämällä \(\psi\) ja \(\theta\)) matriisia, joka tämän toteuttaisi. Varmasti sellaisia on, ja koetan jossain välissä moisen rakentaa, koska tähän null rotaatioon liittyy varmasti yksityiskohtia.

Aivan, en osaa sanoa minäkään miten niitä voisi rakentaa. Kuitenkin yksi vihje voisi tulla Lie-algebrasta. Nuo null-rotaatiot on parametrisoitu parametrin \(\alpha\) avulla ja harrastamalla reverse-engineeringiä tuohon matriisiin saa tuloksen, että Lie-algebran elementti\(A = 2(K_2-J_3)\) antaa eksponentiaatiolla alkuperäisen null-rotaation, siis lasketaan \(e^{\alpha A}\). Tuossa siis puskun generaattori:

$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja rotaation generaattori:

$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$,
jolloin matriisi A on:

$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Nyt jos lasketaan matriisieksponentti generaattorille A saadaan:

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$,
mikä oli alkuperäinen null-rotaatio parametrina \(\alpha\). Oliko tästä sitten mitään hyötyä, en tiedä. Se tavallaan tulee selväksi miksi tuossa null-rotaation kaavassa on matriisielementeissä parametrin \(\alpha\) polynomeja, joiden aste on korkeintaan 2. Syy on se, että kun lasketaan matriisieksponenttia sarjakehitelmällä, joka sisältää matriisin A potensseja \(A^n\), niin termit ovat nollia, kun n>2. Laskemalla koneella näkee, että
\(A^3=0\).