Suhteellisuusteoriaa

[QS]

Aivan, en osaa sanoa minäkään miten niitä voisi rakentaa. Kuitenkin yksi vihje voisi tulla Lie-algebrasta. Nuo null-rotaatiot on parametrisoitu parametrin \(\alpha\) avulla ja harrastamalla reverse-engineeringiä tuohon matriisiin saa tuloksen, että Lie-algebran elementti\(A = 2(K_2-J_3)\) antaa eksponentiaatiolla alkuperäisen null-rotaation, siis lasketaan \(e^{\alpha A}\). Tuossa siis puskun generaattori:

$$K_2=\begin{bmatrix}
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0\\
 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja rotaation generaattori:

$$J_3=\begin{bmatrix}
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & -1 & 0\\
 0 & 1 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$,
jolloin matriisi A on:

$$A=\begin{bmatrix}
 0 & 0 & 2 & 0 \\
 0 & 0 & 2 & 0\\
 2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Nyt jos lasketaan matriisieksponentti generaattorille A saadaan:

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
 1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
 2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
 2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$,
mikä oli alkuperäinen null-rotaatio parametrina \(\alpha\). Oliko tästä sitten mitään hyötyä, en tiedä. Se tavallaan tulee selväksi miksi tuossa null-rotaation kaavassa on matriisielementeissä parametrin \(\alpha\) polynomeja, joiden aste on korkeintaan 2. Syy on se, että kun lasketaan matriisieksponenttia sarjakehitelmällä, joka sisältää matriisin A potensseja \(A^n\), niin termit ovat nollia, kun n>2. Laskemalla koneella näkee, että
\(A^3=0\).

Tämä onkin mielenkiintoinen. Tuo selvästi vastaa Lorentzryhmän matriisia (pakotan nyt fysiikan i:n mukaan )

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\),

missä rapiditeetti \(\vec\psi = (0,\psi_2,0)\) ja rotaatio \(\vec\theta = (0,0,\theta_3)\) siten, että \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\). Sain matriisin
$$L = \begin{pmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
-2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & -2 \alpha & 0 \\
2 \alpha & 2 \alpha & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$
Matriisin ja ominaisvektorien etumerkit hiukan eri kuin sulla, mikä ei mielestäni ole ongelma, kun näkökulma tässä aktiivinen.

Tuo null-rotaatio siis saadaan, kun euklidinen kulma \(\theta_3\) on sama kuin rapiditeettikulma \(\psi_2\). Kun jätän parametrin \(2\alpha\) sijoittamatta, ja käytän yleisemmin nollasta poikkeavia komponentteja \(\psi_2\) ja \(\theta_3\), on tuloksena ikävän mutkikas Lorentzmatriisi, mikä ei ole null-rotaatio. Null-rotaatio on erikoistapaus näiden joukossa.

Konkreettisen null-rotaation saan, kun sijoitan esimerkiksi euklidisen rotaation \(\theta_3 = \pi\), mikä on kierto z-akselin ympäri, ja rapiditeetin \(\psi_2 = \pi\), joka vastaa y-akselin suuntaista puskua \(v = \tanh(\psi_2) \approx 0.996\)

Pienemmällä kulmalla \(\theta_3 = \pi/18 = 10^\circ\) on tietysti puskunopeuskin pienempi \(v \approx 0.173\).

Pitäisi ehkä vielä koettaa laskea, että mitkä ovat ne kaksi erisuuntaista puskua, joiden jälkeen käsissä on tuo ihmeellinen null-rotaatio. Tällä on varmasti olemassa jokin yhteys Wigner-rotaatioon.

En nyt tiedä oliko tästä reverse-engineeringistä hyötyä, mutta ainakin näin, että null-rotaation Lorentzmatriisi sisältää uskottavia kulmia ja nopeuksia.

[Disputator]

Aivan, en osaa sanoa minäkään miten niitä voisi rakentaa. Kuitenkin yksi vihje voisi tulla Lie-algebrasta. Nuo null-rotaatiot on parametrisoitu parametrin \(\alpha\) avulla ja harrastamalla reverse-engineeringiä tuohon matriisiin saa tuloksen, että Lie-algebran elementti\(A = 2(K_2-J_3)\) antaa eksponentiaatiolla alkuperäisen null-rotaation, siis lasketaan \(e^{\alpha A}\). Tuossa siis puskun generaattori:

$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja rotaation generaattori:

$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$,
jolloin matriisi A on:

$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Nyt jos lasketaan matriisieksponentti generaattorille A saadaan:

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$,
mikä oli alkuperäinen null-rotaatio parametrina \(\alpha\). Oliko tästä sitten mitään hyötyä, en tiedä. Se tavallaan tulee selväksi miksi tuossa null-rotaation kaavassa on matriisielementeissä parametrin \(\alpha\) polynomeja, joiden aste on korkeintaan 2. Syy on se, että kun lasketaan matriisieksponenttia sarjakehitelmällä, joka sisältää matriisin A potensseja \(A^n\), niin termit ovat nollia, kun n>2. Laskemalla koneella näkee, että
\(A^3=0\).

Tämä onkin mielenkiintoinen. Tuo selvästi vastaa Lorentzryhmän matriisia (pakotan nyt fysiikan i:n mukaan )

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\),

missä rapiditeetti \(\vec\psi = (0,\psi_2,0)\) ja rotaatio \(\vec\theta = (0,0,\theta_3)\) siten, että \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\). Sain matriisin
$$L = \begin{pmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
-2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & -2 \alpha & 0 \\
2 \alpha & 2 \alpha & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$
Matriisin ja ominaisvektorien etumerkit hiukan eri kuin sulla, mikä ei mielestäni ole ongelma, kun näkökulma tässä aktiivinen.

 

Heh, fyysikoiden imaginaariyksiköt ovat aina riesanamme! Okei, mä kokeilin kanssa ja
käytin nyt generaattoreille esityksiä:
$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja
$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Laskin sitten matriisiexponentin käyttäen kaavaa:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)] = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\)

ja sain tuloksen

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
Hmm, nyt sain hieman eri tuloksen kuin sulla eli alkuperäisen tuloksen, heh. Luulisin, että ero syntyy noista eksponenttilausekkeista, ylempi sun, alempi mun:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)]\) Dis

joihin sitten sijoitetaan \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\) ja siten:

\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 + 2\alpha\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\) Dis

En nyt sitten kokeillut muita valintoja generaattoreille, niiden valinta jollain muulla tavalla voi muuttaa lopputulosta ja siksi lausekkeet näyttävät erilaisilta, vaikka ovat kumpikin oikein.

[Disputator]

Pätee myös seuraava mielivaltaisen Lorentz-muunnoksen \(\Lambda\) hajotelma (jos nyt oikein ymmärrän), joka sanoo että valitulla ajanlaatuisella vektorilla \(E_0\) on olemassa yksikäsitteinen hajotelma:
$$\Lambda=BR$$ missä B on pusku ajanlaatuisessa 2-tasossa \(T\), joka sisältää ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) ja R on rotaatio vektoriin \(E_0\) nähden ortogonaalissa 2-tasossa. Kohtisuoruus määrittyy metriikasta g. Ajanlaatuinen 2-taso on 2-taso joka sisältää ajanlaatuisen vektorin. Vektoriin \(E_0\) nähden kohtisuora 2-taso on joko avaruudenlaatuinen, jolloin se sisältää vain avaruudenlaatuisia vektoreita tai sitten se sisältää valonlaatuisen vektorin, jolloin taso on valonlaatuinen tai null-taso.

Tällä voi olla monia sovellutuksia, mutta yksi on se, että jos on annettu Lorentz-muunnokset \(\Lambda_1,\Lambda_2,\cdots \Lambda_n\), niin niiden tulo

\(\Lambda=\Pi_i^n\Lambda_i\)

voidaan aina esittää yksikäsitteisesti puskun B ja rotaation R tulona:

\(\Lambda =BR =\Pi_{i=0}^n\Lambda_i\)

Tuo alussa mainittu yleinen väite on hieman hämärästi asetettu, sillä siinä on tuo ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) asettaminen vaadittu. Itse ymmärrän asian niin, että ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) asettaminen fiksaa nuo muunnokset B ja R. Koska ajanlaatuinen vektori voi olla 4-nopeus jollekkin havaitsijalle, niin tuo väite sisältää sen, että annetulle havaitsijalle mielivaltainen Lorentz-muunnos \(\Lambda\) hajoaa puskun ja rotaation tuloksi \(\Lambda= BR\).

Tämän teoreeman pitäisi kattaa edellisen luokittelun mukaiset luokan 1 mukaiset loksodromit ja luokan 2 null-rotaatiot, mutta tuo null-rotaatio on edelleen melkoisen mysteerinen. Jos halutaan esittää null-rotaatio puskun ja rotaation tulona, niin vaadittavat parametrit eivät välttämättä ole ne matriisieksponentiin menevät \(\psi \)ja \(\phi\), ne toki voivat olla, en tiedä vielä.
 

[QS]

Aivan, en osaa sanoa minäkään miten niitä voisi rakentaa. Kuitenkin yksi vihje voisi tulla Lie-algebrasta. Nuo null-rotaatiot on parametrisoitu parametrin \(\alpha\) avulla ja harrastamalla reverse-engineeringiä tuohon matriisiin saa tuloksen, että Lie-algebran elementti\(A = 2(K_2-J_3)\) antaa eksponentiaatiolla alkuperäisen null-rotaation, siis lasketaan \(e^{\alpha A}\). Tuossa siis puskun generaattori:

$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja rotaation generaattori:

$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$,
jolloin matriisi A on:

$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Nyt jos lasketaan matriisieksponentti generaattorille A saadaan:

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$,
mikä oli alkuperäinen null-rotaatio parametrina \(\alpha\). Oliko tästä sitten mitään hyötyä, en tiedä. Se tavallaan tulee selväksi miksi tuossa null-rotaation kaavassa on matriisielementeissä parametrin \(\alpha\) polynomeja, joiden aste on korkeintaan 2. Syy on se, että kun lasketaan matriisieksponenttia sarjakehitelmällä, joka sisältää matriisin A potensseja \(A^n\), niin termit ovat nollia, kun n>2. Laskemalla koneella näkee, että
\(A^3=0\).

Tämä onkin mielenkiintoinen. Tuo selvästi vastaa Lorentzryhmän matriisia (pakotan nyt fysiikan i:n mukaan )

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\),

missä rapiditeetti \(\vec\psi = (0,\psi_2,0)\) ja rotaatio \(\vec\theta = (0,0,\theta_3)\) siten, että \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\). Sain matriisin
$$L = \begin{pmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
-2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & -2 \alpha & 0 \\
2 \alpha & 2 \alpha & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$
Matriisin ja ominaisvektorien etumerkit hiukan eri kuin sulla, mikä ei mielestäni ole ongelma, kun näkökulma tässä aktiivinen.

 

Heh, fyysikoiden imaginaariyksiköt ovat aina riesanamme! Okei, mä kokeilin kanssa ja
käytin nyt generaattoreille esityksiä:
$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja
$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Laskin sitten matriisiexponentin käyttäen kaavaa:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)] = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\)

ja sain tuloksen

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
Hmm, nyt sain hieman eri tuloksen kuin sulla eli alkuperäisen tuloksen, heh. Luulisin, että ero syntyy noista eksponenttilausekkeista, ylempi sun, alempi mun:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)]\) Dis

joihin sitten sijoitetaan \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\) ja siten:

\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 + 2\alpha\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\) Dis

En nyt sitten kokeillut muita valintoja generaattoreille, niiden valinta jollain muulla tavalla voi muuttaa lopputulosta ja siksi lausekkeet näyttävät erilaisilta, vaikka ovat kumpikin oikein.

Joo, tässä jälleen aktiivinen vs passiivinen -ongelma. Kun otan transpoosin aiemman viestini matriisista, eli siis muodostan aktiivisesta muunnoksesta passiivisen, niin matriisi on sama kuin sulla.

Tai vaihtoehtoisesti lasken käyttämällä \(A = -i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)\)

$$\begin{align} [\exp(2\alpha A)]^T &= \exp[2\alpha A^T]\\ &= \exp[-i(2\alpha\ (K_2)^T + 2\alpha\ (J_3)^T]\\\\ &= \begin{bmatrix}

1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\

2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\

2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\

0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\end{align}$$

mikä on sama kuin sulla alunperin. Ja tosiaan ehkä paras käyttää tätä passiivista näkökulmaa.

[Disputator]

Pätee myös seuraava mielivaltaisen Lorentz-muunnoksen \(\Lambda\) hajotelma (jos nyt oikein ymmärrän), joka sanoo että valitulla ajanlaatuisella vektorilla \(E_0\) on olemassa yksikäsitteinen hajotelma:
$$\Lambda=BR$$ missä B on pusku ajanlaatuisessa 2-tasossa \(T\), joka sisältää ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) ja R on rotaatio vektoriin \(E_0\) nähden ortogonaalissa 2-tasossa. Kohtisuoruus määrittyy metriikasta g. Ajanlaatuinen 2-taso on 2-taso joka sisältää ajanlaatuisen vektorin. Vektoriin \(E_0\) nähden kohtisuora 2-taso on joko avaruudenlaatuinen, jolloin se sisältää vain avaruudenlaatuisia vektoreita tai sitten se sisältää valonlaatuisen vektorin, jolloin taso on valonlaatuinen tai null-taso.

 

Huonosti ja melkoisen väärin esitetty valonlaatuisessa tapauksessa. Vektoriin \(E_0\) liittyvä teoreeman mukainen kohtisuora 2-taso on aina paikanlaatuinen, riippumatta siitä onko Lorentz-muunnos null tai ei ole. Null-tapauksessa on olemassa 3-taso, joka sivuaa valokartiota, jolla on olemassa 2-ulotteinen paikanlaatuinen aliavaruus, jossa rotaatio tapahtuu. Ei siis siten, että 2-ulotteinen aliavaruus sivuaisi valokartiota, kuten kirjoitin.

[Disputator]

Aivan, en osaa sanoa minäkään miten niitä voisi rakentaa. Kuitenkin yksi vihje voisi tulla Lie-algebrasta. Nuo null-rotaatiot on parametrisoitu parametrin \(\alpha\) avulla ja harrastamalla reverse-engineeringiä tuohon matriisiin saa tuloksen, että Lie-algebran elementti\(A = 2(K_2-J_3)\) antaa eksponentiaatiolla alkuperäisen null-rotaation, siis lasketaan \(e^{\alpha A}\). Tuossa siis puskun generaattori:

$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja rotaation generaattori:

$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$,
jolloin matriisi A on:

$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Nyt jos lasketaan matriisieksponentti generaattorille A saadaan:

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$,
mikä oli alkuperäinen null-rotaatio parametrina \(\alpha\). Oliko tästä sitten mitään hyötyä, en tiedä. Se tavallaan tulee selväksi miksi tuossa null-rotaation kaavassa on matriisielementeissä parametrin \(\alpha\) polynomeja, joiden aste on korkeintaan 2. Syy on se, että kun lasketaan matriisieksponenttia sarjakehitelmällä, joka sisältää matriisin A potensseja \(A^n\), niin termit ovat nollia, kun n>2. Laskemalla koneella näkee, että
\(A^3=0\).

Tämä onkin mielenkiintoinen. Tuo selvästi vastaa Lorentzryhmän matriisia (pakotan nyt fysiikan i:n mukaan )

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\),

missä rapiditeetti \(\vec\psi = (0,\psi_2,0)\) ja rotaatio \(\vec\theta = (0,0,\theta_3)\) siten, että \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\). Sain matriisin
$$L = \begin{pmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
-2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & -2 \alpha & 0 \\
2 \alpha & 2 \alpha & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$
Matriisin ja ominaisvektorien etumerkit hiukan eri kuin sulla, mikä ei mielestäni ole ongelma, kun näkökulma tässä aktiivinen.


 

Heh, fyysikoiden imaginaariyksiköt ovat aina riesanamme! Okei, mä kokeilin kanssa ja
käytin nyt generaattoreille esityksiä:
$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja
$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Laskin sitten matriisiexponentin käyttäen kaavaa:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)] = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\)

ja sain tuloksen

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
Hmm, nyt sain hieman eri tuloksen kuin sulla eli alkuperäisen tuloksen, heh. Luulisin, että ero syntyy noista eksponenttilausekkeista, ylempi sun, alempi mun:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)]\) Dis

joihin sitten sijoitetaan \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\) ja siten:

\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 + 2\alpha\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\) Dis

En nyt sitten kokeillut muita valintoja generaattoreille, niiden valinta jollain muulla tavalla voi muuttaa lopputulosta ja siksi lausekkeet näyttävät erilaisilta, vaikka ovat kumpikin oikein.

Joo, tässä jälleen aktiivinen vs passiivinen -ongelma. Kun otan transpoosin aiemman viestini matriisista, eli siis muodostan aktiivisesta muunnoksesta passiivisen, niin matriisi on sama kuin sulla.

Tai vaihtoehtoisesti lasken käyttämällä \(A = -i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)\)

$$\begin{align} [\exp(2\alpha A)]^T &= \exp[2\alpha A^T]\\ &= \exp[-i(2\alpha\ (K_2)^T + 2\alpha\ (J_3)^T]\\\\ &= \begin{bmatrix}

1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\

2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\

2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\

0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\end{align}$$

mikä on sama kuin sulla alunperin. Ja tosiaan ehkä paras käyttää tätä passiivista näkökulmaa.

Olisiko tuossa myös mahdollista, että miinusmerkki olisi väärin, siis ennen transpoosin ottoa? Tai jättämällä transpoosin ottaminen kokonaan, en ihan näe syytä sille. Tavallaan eksponenttifunktiossa pitäisi olla lauseke, jonka muoto on:

\(L = \exp [-i2\alpha ( K_2 - J_3)]\)

Siis, tuossa pitäisi olla puskun ja rotaation generaattorin erotus eikä summa.

[QS]

Aivan, en osaa sanoa minäkään miten niitä voisi rakentaa. Kuitenkin yksi vihje voisi tulla Lie-algebrasta. Nuo null-rotaatiot on parametrisoitu parametrin \(\alpha\) avulla ja harrastamalla reverse-engineeringiä tuohon matriisiin saa tuloksen, että Lie-algebran elementti\(A = 2(K_2-J_3)\) antaa eksponentiaatiolla alkuperäisen null-rotaation, siis lasketaan \(e^{\alpha A}\). Tuossa siis puskun generaattori:

$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja rotaation generaattori:

$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$,
jolloin matriisi A on:

$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Nyt jos lasketaan matriisieksponentti generaattorille A saadaan:

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$,
mikä oli alkuperäinen null-rotaatio parametrina \(\alpha\). Oliko tästä sitten mitään hyötyä, en tiedä. Se tavallaan tulee selväksi miksi tuossa null-rotaation kaavassa on matriisielementeissä parametrin \(\alpha\) polynomeja, joiden aste on korkeintaan 2. Syy on se, että kun lasketaan matriisieksponenttia sarjakehitelmällä, joka sisältää matriisin A potensseja \(A^n\), niin termit ovat nollia, kun n>2. Laskemalla koneella näkee, että
\(A^3=0\).

Tämä onkin mielenkiintoinen. Tuo selvästi vastaa Lorentzryhmän matriisia (pakotan nyt fysiikan i:n mukaan )

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\),

missä rapiditeetti \(\vec\psi = (0,\psi_2,0)\) ja rotaatio \(\vec\theta = (0,0,\theta_3)\) siten, että \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\). Sain matriisin
$$L = \begin{pmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
-2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & -2 \alpha & 0 \\
2 \alpha & 2 \alpha & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$$
Matriisin ja ominaisvektorien etumerkit hiukan eri kuin sulla, mikä ei mielestäni ole ongelma, kun näkökulma tässä aktiivinen.




 

Heh, fyysikoiden imaginaariyksiköt ovat aina riesanamme! Okei, mä kokeilin kanssa ja
käytin nyt generaattoreille esityksiä:
$$K_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
ja
$$J_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Laskin sitten matriisiexponentin käyttäen kaavaa:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)] = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\)

ja sain tuloksen

$$e^{\alpha A}= \begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
Hmm, nyt sain hieman eri tuloksen kuin sulla eli alkuperäisen tuloksen, heh. Luulisin, että ero syntyy noista eksponenttilausekkeista, ylempi sun, alempi mun:

\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(\psi_2\ K_2 - \theta_3\ J_3)]\) Dis

joihin sitten sijoitetaan \(\psi_2=\theta_3=2\alpha\) ja siten:

\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 + 2\alpha\ J_3)]\) QS
\(L = \exp [-i(2\alpha\ K_2 - 2\alpha\ J_3)]\) Dis

En nyt sitten kokeillut muita valintoja generaattoreille, niiden valinta jollain muulla tavalla voi muuttaa lopputulosta ja siksi lausekkeet näyttävät erilaisilta, vaikka ovat kumpikin oikein.

Joo, tässä jälleen aktiivinen vs passiivinen -ongelma. Kun otan transpoosin aiemman viestini matriisista, eli siis muodostan aktiivisesta muunnoksesta passiivisen, niin matriisi on sama kuin sulla.

Tai vaihtoehtoisesti lasken käyttämällä \(A = -i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)\)

$$\begin{align} [\exp(2\alpha A)]^T &= \exp[2\alpha A^T]\\ &= \exp[-i(2\alpha\ (K_2)^T + 2\alpha\ (J_3)^T]\\\\ &= \begin{bmatrix}

1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\

2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\

2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\

0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\end{align}$$

mikä on sama kuin sulla alunperin. Ja tosiaan ehkä paras käyttää tätä passiivista näkökulmaa.

Olisiko tuossa myös mahdollista, että miinusmerkki olisi väärin, siis ennen transpoosin ottoa? Tai jättämällä transpoosin ottaminen kokonaan, en ihan näe syytä sille. Tavallaan eksponenttifunktiossa pitäisi olla lauseke, jonka muoto on:

\(L = \exp [-i2\alpha ( K_2 - J_3)]\)

Siis, tuossa pitäisi olla puskun ja rotaation generaattorin erotus eikä summa.

Tässä onkin nyt joku koira haudattuna. Nimittäin passiivinen muunnos noilla fysiikan generaattoreilla, joissa i edessä, saadaan matriisieksponentilla

\(L = \exp [+i ( \psi_2K_2 + \theta_3J_3)]\)

Jotta tämä tuottaisi oikean null-rotaation, niin on asetettava \(\psi_2=-2\alpha\) ja \(\theta_3=2\alpha\). Sanoin aiemmin, että molemmat ovat \(2\alpha\), mutta ensiksi mainitun pitääkin olla \(-2\alpha\).

Jos generaattorit ovat reaalisia, niin passiivinen muunnos on

\(L = \exp [-\psi_2K_2 - \theta_3J_3].\)

Tähän kun sijoitetaan \(\psi_2=-2\alpha\) ja \(\theta_3=2\alpha\), saadaan alkuperäinen kaavasi

\(L = \exp [-(-2\alpha) K_2 - (2\alpha)J_3)] = \exp [2\alpha(K_2 - J_3)].\)

Tämä sotki mun etumerkit.

[QS]

Tai vaihtoehtoisesti lasken käyttämällä \(A = -i(\psi_2\ K_2 + \theta_3\ J_3)\)

$$\begin{align} [\exp(2\alpha A)]^T &= \exp[2\alpha A^T]\\ &= \exp[-i(2\alpha\ (K_2)^T + 2\alpha\ (J_3)^T]\\\\ &= \begin{bmatrix}

1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\

2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\

2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\

0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\end{align}$$

mikä on sama kuin sulla alunperin. Ja tosiaan ehkä paras käyttää tätä passiivista näkökulmaa.

Edellisen viestini lisäksi huomasin, että tässä mulla oli transpoosi otettu väärin. Kun muodostetaan aktiivisesta Lorentzmuunnoksesta passiivinen, niin se saadaan \(\eta\Lambda^T\eta\).

Tämän lainauksen transpoosi tuottaa vahingossa oikean tuloksen, kun mulla olin väärin \(\psi_2 = 2\alpha\), jonka pitäisi olla \(\psi_2=-2\alpha\).

[QS]

Pätee myös seuraava mielivaltaisen Lorentz-muunnoksen \(\Lambda\) hajotelma (jos nyt oikein ymmärrän), joka sanoo että valitulla ajanlaatuisella vektorilla \(E_0\) on olemassa yksikäsitteinen hajotelma:
$$\Lambda=BR$$ missä B on pusku ajanlaatuisessa 2-tasossa \(T\), joka sisältää ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) ja R on rotaatio vektoriin \(E_0\) nähden ortogonaalissa 2-tasossa. Kohtisuoruus määrittyy metriikasta g. Ajanlaatuinen 2-taso on 2-taso joka sisältää ajanlaatuisen vektorin. Vektoriin \(E_0\) nähden kohtisuora 2-taso on joko avaruudenlaatuinen, jolloin se sisältää vain avaruudenlaatuisia vektoreita tai sitten se sisältää valonlaatuisen vektorin, jolloin taso on valonlaatuinen tai null-taso.

Tällä voi olla monia sovellutuksia, mutta yksi on se, että jos on annettu Lorentz-muunnokset \(\Lambda_1,\Lambda_2,\cdots \Lambda_n\), niin niiden tulo

\(\Lambda=\Pi_i^n\Lambda_i\)

voidaan aina esittää yksikäsitteisesti puskun B ja rotaation R tulona:

\(\Lambda =BR =\Pi_{i=0}^n\Lambda_i\)

Tuo alussa mainittu yleinen väite on hieman hämärästi asetettu, sillä siinä on tuo ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) asettaminen vaadittu. Itse ymmärrän asian niin, että ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) asettaminen fiksaa nuo muunnokset B ja R. Koska ajanlaatuinen vektori voi olla 4-nopeus jollekkin havaitsijalle, niin tuo väite sisältää sen, että annetulle havaitsijalle mielivaltainen Lorentz-muunnos \(\Lambda\) hajoaa puskun ja rotaation tuloksi \(\Lambda= BR\).

Tämän teoreeman pitäisi kattaa edellisen luokittelun mukaiset luokan 1 mukaiset loksodromit ja luokan 2 null-rotaatiot, mutta tuo null-rotaatio on edelleen melkoisen mysteerinen. Jos halutaan esittää null-rotaatio puskun ja rotaation tulona, niin vaadittavat parametrit eivät välttämättä ole ne matriisieksponentiin menevät \(\psi \)ja \(\phi\), ne toki voivat olla, en tiedä vielä.

Ylipäänsäkin tuo yleisen muunnoksen hajottaminen puskuksi ja rotaatioksi, tai rotaatioksi ja puskuksi, on mielenkiintoinen. En ole koskaan käytännössä laskenut. Käsitykseni on, että tehtävä ei ole triviaali muutamia yksinkertaisia poikkeauksia lukuunottamatta. Tähän kaninkoloon täytyy mennä jossain välissä!

[Disputator]

Pätee myös seuraava mielivaltaisen Lorentz-muunnoksen \(\Lambda\) hajotelma (jos nyt oikein ymmärrän), joka sanoo että valitulla ajanlaatuisella vektorilla \(E_0\) on olemassa yksikäsitteinen hajotelma:
$$\Lambda=BR$$ missä B on pusku ajanlaatuisessa 2-tasossa \(T\), joka sisältää ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) ja R on rotaatio vektoriin \(E_0\) nähden ortogonaalissa 2-tasossa. Kohtisuoruus määrittyy metriikasta g. Ajanlaatuinen 2-taso on 2-taso joka sisältää ajanlaatuisen vektorin. Vektoriin \(E_0\) nähden kohtisuora 2-taso on joko avaruudenlaatuinen, jolloin se sisältää vain avaruudenlaatuisia vektoreita tai sitten se sisältää valonlaatuisen vektorin, jolloin taso on valonlaatuinen tai null-taso.

Tällä voi olla monia sovellutuksia, mutta yksi on se, että jos on annettu Lorentz-muunnokset \(\Lambda_1,\Lambda_2,\cdots \Lambda_n\), niin niiden tulo

\(\Lambda=\Pi_i^n\Lambda_i\)

voidaan aina esittää yksikäsitteisesti puskun B ja rotaation R tulona:

\(\Lambda =BR =\Pi_{i=0}^n\Lambda_i\)

Tuo alussa mainittu yleinen väite on hieman hämärästi asetettu, sillä siinä on tuo ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) asettaminen vaadittu. Itse ymmärrän asian niin, että ajanlaatuisen vektorin \(E_0\) asettaminen fiksaa nuo muunnokset B ja R. Koska ajanlaatuinen vektori voi olla 4-nopeus jollekkin havaitsijalle, niin tuo väite sisältää sen, että annetulle havaitsijalle mielivaltainen Lorentz-muunnos \(\Lambda\) hajoaa puskun ja rotaation tuloksi \(\Lambda= BR\).

Tämän teoreeman pitäisi kattaa edellisen luokittelun mukaiset luokan 1 mukaiset loksodromit ja luokan 2 null-rotaatiot, mutta tuo null-rotaatio on edelleen melkoisen mysteerinen. Jos halutaan esittää null-rotaatio puskun ja rotaation tulona, niin vaadittavat parametrit eivät välttämättä ole ne matriisieksponentiin menevät \(\psi \)ja \(\phi\), ne toki voivat olla, en tiedä vielä.

Ylipäänsäkin tuo yleisen muunnoksen hajottaminen puskuksi ja rotaatioksi, tai rotaatioksi ja puskuksi, on mielenkiintoinen. En ole koskaan käytännössä laskenut. Käsitykseni on, että tehtävä ei ole triviaali muutamia yksinkertaisia poikkeauksia lukuunottamatta. Tähän kaninkoloon täytyy mennä jossain välissä!

Kyllä! Tämä on mullekin ihan uutta juttua ja jotenkin tässä on joutunut vaihtamaan näkökulmaa Lorentz-ryhmää SO(1,3) koskien ( = tässä yksikkömatriisin sisältävä topologinen komponentti). Perinteellisesti SO(1,3) määritellään matriiseina, jotka säilyttävät sisätulon. Tällöin kuitenkin on mukana implisiittisesti ajatus, että on valittu joku ortonormaali kanta tai koordinaatisto, jonka suhteen tehdään Lorentz-muunnoksia passiivisesti (koordinaatistomuunnos) tai aktiivisesti (pusketaan ja kierretään systeemiä), annetussa koordinaatistossa.

Tuossa aktiivisessa tavassa on se etu, että siinä voidaan ajatella matriisien olevan abstraktin Lorentz-muunnoksen matriisiesityksiä tietyssä ortonormaalissa kannassa, vähän samaan tapaan kuin abstraktin äärellisulotteinsen vektoriavaruuden V (EDIT: kääntyvien) lineaaristen kuvausten ryhmä GL(V) on kannoista riippumaton. Valitsemalla vektoriavaruuteen V kanta, saadaan vastaava matriisiryhmä Mat(V,E), jonka alkiot edustavat ryhmän GL(V) elementtejä T annetussa kannassa E. Vaihtamalla kantaa E saadaan erilaisia matriiseja annetulle T, eli samalla kuvauksella T on erilaisia matriiseja riippuen valitusta kannasta.

EDIT: notaatiota muutettu radikaalisti. Mat(V,E) on kääntyvien matriisien ryhmä, joka vastaa vektoriavaruuden V kääntyvien lineaarikuvausten ryhmää GL(V), annetussa kannassa E.