Disputator kirjoitti: ↑27.12.2025, 19:22 Iltaa!Laskeskelin vähän tuota enemmän seuraavasti:QS kirjoitti: ↑22.12.2025, 16:31Joo, tuo mitä kirjoitit on munkin mielestä totta.Disputator kirjoitti: ↑22.12.2025, 12:37 Laskin tuota hieman enemmän ja lähdin olettamuksesta että kaikilla \(s,t\in \mathbb R\) pätee \(U(s,t)=U(s-t,0)\) Siis myös kaikilla \(t_0,t_1,t_2\in \mathbb R\) pätee
\(U(t_2-t_1,0)=U(t_2,t_1)\)
\(U(t_1-t_0,0)=U(t_1,t_0)\)
Noista saa aikakehitysoperaattorin määritelmän perusteella kertomalla oikeat puolet keskenään:
\(U(t_2,t_1)U(t_1,t_0) =U(t_2,t_0)\).
Olettamuksen \(U(s,t)=U(s-t,0)\) perusteella tuo voidaan kirjoittaa:
\(U(t_2-t_1,0)U(t_1-t_0,0)=U(t_2-t_0,0)
\)
Tuo jo näyttää melkein yksiparametriryhmältä ja jos asetan \(s_2=t_2-t_1\) ja \(s_1=t_1-t_0\) saan tuon muotoon:
\(U(s_2,0)U(s_1,0)=U(s_2+s_1,0)\)
Tuohon kun käyttää määritelmääsi \(U(t,0) \equiv U(t)\) saa sitten:
\(U(s_2)U(s_1)=U(s_2+s_1)\)
Tavallaan nyt tuossa aikakehitysoperaattorissa vain aikojen erotukset ovat merkitseviä ei absoluuttiset ajan arvot, tai sama asia voidaan kirjoittaa muodossa, kun \(T\in \mathbb R\):
\(U(s+T,t+T)= U(s+T - (t+T),0) = U(s-t,0)=U(s,t)\)
Tuosta varmaan joku Noetherin sukulainen voisi päätellä jonkinlaisen säilymislain, vahva arvaus on \(A\) Stonen lauseen \(U(t) =e^{i A t}\) muodossa tms. Tosin \(A \) on operaattori, mutta silti.
Oletus \(U(s,t)=U(s-t,0)\), ja myöhemmin kirjoittamasi \(U(s+T,t+T)=U(s,t)\) tarkoittaa sitä, että \(U\) on invariantti ajansiirrossa, joten on Noetherin lausetta muistuttava tilanne.
Kun \(A\) generoi ajansiirron, ja kyseessä on ajansiirron symmetria, niin varmastikin odotusarvo \(\langle A \rangle\) on aikariippumaton, eli siis \((d/dt)\ \langle A \rangle = 0\). Tämä olisi se operaattorin A säilymislaki.
Oletetaan että kaikilla t ja s pätee \(U(t,s)=U(t-s,0)\) niin silloin ainakin formaalisti \(U = exp(i A t)\), missä \(A\) on vakio-operaatori eli se ei riipu ajasta. Tämän näkee muodollisesti muodostamalla derivaatta:
\( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(s+\Delta t,s)-U(s,s)}{\Delta t}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).
Tuota oikeanpuolista kaavaa kun tuijottaa hetken havaitsee sen olevan vakio-operaatori eli asetetaan määritelmä:
\(i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).
Siis \( U(t,s)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön \( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s} =i A\). Tällä differentiaaliyhtälöllä on ratkaisuna myös \(U_1(t,s)= exp(i A (t-s))\). Siis \(U(t,s)\) ja \(U_1(t,s)\) toteuttavat saman DY:n alkuarvolla \(U(s,s)=U_1(s,s)=Id_{\mathcal H}\) joten ne ovat samat:
\(U(t,s)=U(t-s,0)=exp(i A(t-s))\).
Nyt jos asetetaan uusi aikaparametri t'=t-s voidaan kirjoittaa lyhyemmin
\(U(t',0)= exp (i A t')\)
tai määritellen \(U(t')=U(t',0)\) ja poistamalla pilkut:
\(U(t)= exp(i A t)\).
Tälläisen kehittelin. En kyllä ole oikein tyytyväinen tuohon, edes formaalina laskuna, mulla on sellainen epämääräinen tunne, että siinä on jotain hämärää.
Huomasin nyt että muutama merkintä on väärinpäin eli s ja t ovat jossain kohtaa vaihtaneet paikkaa, tässä korjattu versio:
SI Resurrection!
Iltaa! Ehkä ymmärsin mitä tässä lasketaan, mutta on jotain hämmentävää, jota koetan selittää alla
Mutta toisaalta Stonen lauseen perusteella kuvauksen \(t \mapsto U(t)\) derivaatta on kuitenkin mahdollista määritellä, vaikka \(U(t)\) on vain jatkuva, ei derivoituva.
\( i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\)
on Stonen lauseessa muodostettu hiukan eri tavalla. Wikin mukaan generaattorin \(A\) määrittelyjoukko \(\mathcal D_A\) on
\(\displaystyle \mathcal D_A = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i\ \left(U_\varepsilon \psi - \psi\right)}{\varepsilon}\ \text{on olemassa}\Big\}\)
Tuo määrittelyjoukko muodostuu siis joukosta vektoreita \(\psi \in \mathcal D_A\), joille mainittu raja-arvo on olemassa. Generaattori A voidaan sitten laskea seuraavasta
\(\displaystyle A\psi = -i\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{U_\varepsilon \psi - \psi}{\varepsilon}\)
missä oikean puolen raja-arvo on \(U(t)\):n derivaatta pisteessä \(t=0\), mutta tämä ei ole differentiaaliyhtälö. Tämä on kai se Stonen varsinainen pihvi, että tuo raja-arvo on olemassa, ja se määrittelee derivaatan.
Hmm. Ehkä laskusi on pätevä silloin, kun \(A\) on rajoitettu, mutta ei välttämättä silloin kun \(A\) on rajoittamaton? Tai entä jos ei kirjoitetakaan differentiaaliyhtälöä operaattorille, vaan kirjoitetaan se vektorille
\(\displaystyle i\frac{d}{dt} (\ U(t,s)\ \psi\ ) =i A\ (\ U(t,s)\psi\ )\)
No en tiedä onko tuosta mitään iloa.
Jos vertaan Stonen lauseeseen (wiki-artikkeliin ainakin), niin sen mukaan \(U(t)\) on vahvasti jatkuva, mutta ei välttämättä differentoituva. Stonen lauseessa tuo derivaatta \( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s}\) ei välttämättä ole olemassa, näin ainakin ymmärsin asian. Ja sen seurauksena differentiaaliyhtälön ratkaisu voi olla määrittelemätön.Disputator kirjoitti: ↑22.12.2025, 12:37
Laskeskelin vähän tuota enemmän seuraavasti:
Oletetaan että kaikilla t ja s pätee \(U(t,s)=U(t-s,0)\) niin silloin ainakin formaalisti \(U = exp(i A t)\), missä \(A\) on vakio-operaatori eli se ei riipu ajasta. Tämän näkee muodollisesti muodostamalla derivaatta:
\( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(s+\Delta t,s)-U(s,s)}{\Delta t}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).
Tuota oikeanpuolista kaavaa kun tuijottaa hetken havaitsee sen olevan vakio-operaatori eli asetetaan määritelmä:
\(i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).
Siis \( U(t,s)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön \( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s} =i A\).
Mutta toisaalta Stonen lauseen perusteella kuvauksen \(t \mapsto U(t)\) derivaatta on kuitenkin mahdollista määritellä, vaikka \(U(t)\) on vain jatkuva, ei derivoituva.
Tuo differentiaaliyhtälö on kyllä uskottavan näköinen, kuten myös ratkaisu, mutta kirjoittamasti määritelmäDisputator kirjoitti: ↑22.12.2025, 12:37 Tällä differentiaaliyhtälöllä on ratkaisuna myös \(U_1(t,s)= exp(i A (t-s))\). Siis \(U(t,s)\) ja \(U_1(t,s)\) toteuttavat saman DY:n alkuarvolla \(U(s,s)=U_1(s,s)=Id_{\mathcal H}\) joten ne ovat samat:
\(U(t,s)=U(t-s,0)=exp(i A(t-s))\).
Nyt jos asetetaan uusi aikaparametri t'=t-s voidaan kirjoittaa lyhyemmin
\(U(t',0)= exp (i A t')\)
tai määritellen \(U(t')=U(t',0)\) ja poistamalla pilkut:
\(U(t)= exp(i A t)\).
Tälläisen kehittelin. En kyllä ole oikein tyytyväinen tuohon, edes formaalina laskuna, mulla on sellainen epämääräinen tunne, että siinä on jotain hämärää.
\( i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\)
on Stonen lauseessa muodostettu hiukan eri tavalla. Wikin mukaan generaattorin \(A\) määrittelyjoukko \(\mathcal D_A\) on
\(\displaystyle \mathcal D_A = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i\ \left(U_\varepsilon \psi - \psi\right)}{\varepsilon}\ \text{on olemassa}\Big\}\)
Tuo määrittelyjoukko muodostuu siis joukosta vektoreita \(\psi \in \mathcal D_A\), joille mainittu raja-arvo on olemassa. Generaattori A voidaan sitten laskea seuraavasta
\(\displaystyle A\psi = -i\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{U_\varepsilon \psi - \psi}{\varepsilon}\)
missä oikean puolen raja-arvo on \(U(t)\):n derivaatta pisteessä \(t=0\), mutta tämä ei ole differentiaaliyhtälö. Tämä on kai se Stonen varsinainen pihvi, että tuo raja-arvo on olemassa, ja se määrittelee derivaatan.
Hmm. Ehkä laskusi on pätevä silloin, kun \(A\) on rajoitettu, mutta ei välttämättä silloin kun \(A\) on rajoittamaton? Tai entä jos ei kirjoitetakaan differentiaaliyhtälöä operaattorille, vaan kirjoitetaan se vektorille
\(\displaystyle i\frac{d}{dt} (\ U(t,s)\ \psi\ ) =i A\ (\ U(t,s)\psi\ )\)
No en tiedä onko tuosta mitään iloa.
Myöhäistä iltaa!
Juu, mun laskuni oli toki formaali tai muodollinen (kuten kirjoitinkin), joka nojaa lähinnä intuitioltaan matriisialgebraan tai sitten ehkä Hilbert-avaruuden rajoitettujen operaattorien luokaan, sopivassa ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa.
Mun argumenttini tai "argumenttini" toki sisälsi differentiaaliyhtälöiden teoriaa sovellettuna vapaasti objekteihin, jotka ovat yleensä ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaatttoreita, eikä äärellisulotteisen avaruuden matriiseihin, joiden teoria on ongemattomampi.
Tavallaan kuitenkin äärellisulotteisen tapauksen kaavat ja määritelmät luovat ideoita, joita voi yrittää määritellä myös ääretönulotteisessa tapauksessa. Mutta kuten tunnettua, ääretönulotteinen tapaus vaatii useasti aivan uusia matemaattisia käsitteitä ja niistä sitten johdettuja teoreemoja. Kuitenkin monet äärellisulotteisen tapauksen ideat voidaan säilyttää, kun ne oikein määritellään ääretönulotteisessa kontekstissa.
Mulla oli kyllä jo paljon aikaisemmin ajatus avata ketju, jossa käsitellään funktionaalianalyysiä kvanttimekaniikan valossa tms. jossa käydään ainakin semitäsmällisesti joitain ideoita, kuitenkaan uppoamatta funktionaalianalyysin syövereihin ihan kokonaan, koska silloin sivumäärät kasvavat eksponentiaalisesti.
Palaan kyllä huomenna ylläoleviin kommentteihisi tarkemmin.
Palaan myös tämän ketjun Dysonin sarjaan lähiaikoina, olen siis yrittänyt vääntää itselleni rautalangasta, mitä esimerkiksi se aikajärjestysoperaattori oikeastaan tekee.
Juu, mun laskuni oli toki formaali tai muodollinen (kuten kirjoitinkin), joka nojaa lähinnä intuitioltaan matriisialgebraan tai sitten ehkä Hilbert-avaruuden rajoitettujen operaattorien luokaan, sopivassa ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa.
Mun argumenttini tai "argumenttini" toki sisälsi differentiaaliyhtälöiden teoriaa sovellettuna vapaasti objekteihin, jotka ovat yleensä ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaatttoreita, eikä äärellisulotteisen avaruuden matriiseihin, joiden teoria on ongemattomampi.
Tavallaan kuitenkin äärellisulotteisen tapauksen kaavat ja määritelmät luovat ideoita, joita voi yrittää määritellä myös ääretönulotteisessa tapauksessa. Mutta kuten tunnettua, ääretönulotteinen tapaus vaatii useasti aivan uusia matemaattisia käsitteitä ja niistä sitten johdettuja teoreemoja. Kuitenkin monet äärellisulotteisen tapauksen ideat voidaan säilyttää, kun ne oikein määritellään ääretönulotteisessa kontekstissa.
Mulla oli kyllä jo paljon aikaisemmin ajatus avata ketju, jossa käsitellään funktionaalianalyysiä kvanttimekaniikan valossa tms. jossa käydään ainakin semitäsmällisesti joitain ideoita, kuitenkaan uppoamatta funktionaalianalyysin syövereihin ihan kokonaan, koska silloin sivumäärät kasvavat eksponentiaalisesti.
Palaan kyllä huomenna ylläoleviin kommentteihisi tarkemmin.
Palaan myös tämän ketjun Dysonin sarjaan lähiaikoina, olen siis yrittänyt vääntää itselleni rautalangasta, mitä esimerkiksi se aikajärjestysoperaattori oikeastaan tekee.
SI Resurrection!
Tämä on tosiaan yksi raskaimpia taakkoja kvanttimekaniikan täsmällisen matemaattisen muotoilun ymmärtämiseen. En ainakaan itse väitä ymmärtäväni puoliakaan ääretönulottisten Banachin, Sobolevin ja Hilbertin avaruuksien ominaisuuksista, saati sitten jostain Hamelin ja Schauderin kannasta, jne jne, jotka pyörivät mukana siellä täällä kun asiaan koettaa paneutua.Disputator kirjoitti: ↑29.12.2025, 22:31 Mutta kuten tunnettua, ääretönulotteinen tapaus vaatii useasti aivan uusia matemaattisia käsitteitä ja niistä sitten johdettuja teoreemoja.
Ihan vaan poimittuna joku asiaan liittyvä lause: Jokainen ääretönulottinen separoituva Hilbertin avaruus on unitaarisesti ekvivalentti 'neliösummautuvan kompleksilukujonon' (square-summable complex sequence) kanssa. Vaikka tämä on tod näk aika peruslauseita, niin päätä särkee ennen kuin haluaa edes tietää miten lause on todistettu.
Uudenvuoden aattoa!
Kirjani antaa kvanttimekaniikan aksiooman koskien aikakehitysoperaattoria \(U(t,s)\) ja siinä vaaditaan, että kaikilla \( s\) ja \(t \in\mathbb R\) on olemassa unitaarinen operaattori \(U(t,s)\), joka toteuttaa ehdon \(U(s,s)=Id\) (tai \(U(t,t)=Id \)). Lisäksi \(U(t,s)U(s,u)=U(t,u)
\). Tämä ei siis ole välttämättä yksiparametrinen ryhmä.
Antamasi operaattorin A määrittelyalueen määritelmä:
\(\displaystyle \mathcal D_A = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i\ \left(U_\varepsilon \psi - \psi\right)}{\varepsilon}\ \text{on olemassa}\Big\}\)
korvautuu ajasta riippuvalla operaattorilla \(A=A(s)\) ja vastaavasti määrittelyalue \( \mathcal D_A \) on myös ajasta riippuva:
\(\displaystyle \mathcal D_{A(s)} = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{t \to s} \frac{-i\ \left(U(t,s) \psi - \psi\right)}{t-s}\ \text{on olemassa}\Big\}\).
Kirja vaatii myös derivoinnin onnistuvan myös jälkimmäisen parametrin suhteen eli sama määrittelyalue \(\displaystyle \mathcal D_{A(s)}\) saadaan myös määrittelemällä:
\(\displaystyle \mathcal D_{A(s)} = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{h \to s} \frac{-i\ \left(U(s,h) \psi - \psi\right)}{s-h}\ \text{on olemassa}\Big\}\).
Vastaten ylläolevia generaattorin määritelmä on:
\(\displaystyle A(s)\psi = -i\ \lim_{t\to s} \frac{U(t,s) \psi - \psi}{t-s}\).
ja
\(\displaystyle A(s)\psi = -i\ \lim_{h\to s} \frac{U(s,h) \psi - \psi}{s-h}\).
Kirjassani\( A(s) \)on ajasta riippuva Hamiltonin funktio \(H(s)\) ja sillä oletetaan olevan nuo ominaisuudet. Jos nyt ymmärrän oikein, silloin kun generaattori A riippuu ajasta, ollaan pian sen varsinaisen Dysonin sarjan tilanteessa, jossa unitaarisen aikakehitysoperaattorin muoto ei ole enää \(U(t)=exp(-iAt)\) vaan se on:
\(U(t,s)= \exp(-i\int_s^t A(t')\:dt')\),
kun \([A(t'),A(t'')]=0\) kaikilla \(t',\: t'' \in \mathbb R\) ja
\(U(t,s) = \text{se Dysonin sarja}\),
kun \([A(t'),A(t'')]=0\) ei ole identtisesti voimassa.
Jäi vielä paljon kommentoimatta sun vastaukseesi liittyen, mutta palaan asiaan!
Joo, kritiikkisi on tietysti aivan oikeutettua, se oli mulla sellainen formaali kehitelmä. Mulla on yhdessä kirjassa Stonen lauseen kaltainen asetelma, joka vastaa tilannetta, jossa ei ole voimassa \(U(t,s)=U(t-s)\). Jos tuo olisi voimassa oltaisiin Stonen lauseen tilanteeessa.QS kirjoitti: ↑29.12.2025, 21:21 Iltaa! Ehkä ymmärsin mitä tässä lasketaan, mutta on jotain hämmentävää, jota koetan selittää alla
Jos vertaan Stonen lauseeseen (wiki-artikkeliin ainakin), niin sen mukaan \(U(t)\) on vahvasti jatkuva, mutta ei välttämättä differentoituva. Stonen lauseessa tuo derivaatta \( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s}\) ei välttämättä ole olemassa, näin ainakin ymmärsin asian. Ja sen seurauksena differentiaaliyhtälön ratkaisu voi olla määrittelemätön.Disputator kirjoitti: ↑22.12.2025, 12:37
Laskeskelin vähän tuota enemmän seuraavasti:
Oletetaan että kaikilla t ja s pätee \(U(t,s)=U(t-s,0)\) niin silloin ainakin formaalisti \(U = exp(i A t)\), missä \(A\) on vakio-operaatori eli se ei riipu ajasta. Tämän näkee muodollisesti muodostamalla derivaatta:
\( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(s+\Delta t,s)-U(s,s)}{\Delta t}=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).
Tuota oikeanpuolista kaavaa kun tuijottaa hetken havaitsee sen olevan vakio-operaatori eli asetetaan määritelmä:
\(i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\).
Siis \( U(t,s)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön \( i\frac{d}{dt}U(t,s)|_{t=s} =i A\).
Mutta toisaalta Stonen lauseen perusteella kuvauksen \(t \mapsto U(t)\) derivaatta on kuitenkin mahdollista määritellä, vaikka \(U(t)\) on vain jatkuva, ei derivoituva.
Tuo differentiaaliyhtälö on kyllä uskottavan näköinen, kuten myös ratkaisu, mutta kirjoittamasti määritelmäDisputator kirjoitti: ↑22.12.2025, 12:37 Tällä differentiaaliyhtälöllä on ratkaisuna myös \(U_1(t,s)= exp(i A (t-s))\). Siis \(U(t,s)\) ja \(U_1(t,s)\) toteuttavat saman DY:n alkuarvolla \(U(s,s)=U_1(s,s)=Id_{\mathcal H}\) joten ne ovat samat:
\(U(t,s)=U(t-s,0)=exp(i A(t-s))\).
Nyt jos asetetaan uusi aikaparametri t'=t-s voidaan kirjoittaa lyhyemmin
\(U(t',0)= exp (i A t')\)
tai määritellen \(U(t')=U(t',0)\) ja poistamalla pilkut:
\(U(t)= exp(i A t)\).
Tälläisen kehittelin. En kyllä ole oikein tyytyväinen tuohon, edes formaalina laskuna, mulla on sellainen epämääräinen tunne, että siinä on jotain hämärää.
\( i A=i\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{U(\Delta t,0)-U(0,0)}{\Delta t}\)
on Stonen lauseessa muodostettu hiukan eri tavalla. Wikin mukaan generaattorin \(A\) määrittelyjoukko \(\mathcal D_A\) on
\(\displaystyle \mathcal D_A = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i\ \left(U_\varepsilon \psi - \psi\right)}{\varepsilon}\ \text{on olemassa}\Big\}\)
Tuo määrittelyjoukko muodostuu siis joukosta vektoreita \(\psi \in \mathcal D_A\), joille mainittu raja-arvo on olemassa. Generaattori A voidaan sitten laskea seuraavasta
\(\displaystyle A\psi = -i\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{U_\varepsilon \psi - \psi}{\varepsilon}\)
missä oikean puolen raja-arvo on \(U(t)\):n derivaatta pisteessä \(t=0\), mutta tämä ei ole differentiaaliyhtälö. Tämä on kai se Stonen varsinainen pihvi, että tuo raja-arvo on olemassa, ja se määrittelee derivaatan.
Hmm. Ehkä laskusi on pätevä silloin, kun \(A\) on rajoitettu, mutta ei välttämättä silloin kun \(A\) on rajoittamaton? Tai entä jos ei kirjoitetakaan differentiaaliyhtälöä operaattorille, vaan kirjoitetaan se vektorille
\(\displaystyle i\frac{d}{dt} (\ U(t,s)\ \psi\ ) =i A\ (\ U(t,s)\psi\ )\)
No en tiedä onko tuosta mitään iloa.
Kirjani antaa kvanttimekaniikan aksiooman koskien aikakehitysoperaattoria \(U(t,s)\) ja siinä vaaditaan, että kaikilla \( s\) ja \(t \in\mathbb R\) on olemassa unitaarinen operaattori \(U(t,s)\), joka toteuttaa ehdon \(U(s,s)=Id\) (tai \(U(t,t)=Id \)). Lisäksi \(U(t,s)U(s,u)=U(t,u)
\). Tämä ei siis ole välttämättä yksiparametrinen ryhmä.
Antamasi operaattorin A määrittelyalueen määritelmä:
\(\displaystyle \mathcal D_A = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-i\ \left(U_\varepsilon \psi - \psi\right)}{\varepsilon}\ \text{on olemassa}\Big\}\)
korvautuu ajasta riippuvalla operaattorilla \(A=A(s)\) ja vastaavasti määrittelyalue \( \mathcal D_A \) on myös ajasta riippuva:
\(\displaystyle \mathcal D_{A(s)} = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{t \to s} \frac{-i\ \left(U(t,s) \psi - \psi\right)}{t-s}\ \text{on olemassa}\Big\}\).
Kirja vaatii myös derivoinnin onnistuvan myös jälkimmäisen parametrin suhteen eli sama määrittelyalue \(\displaystyle \mathcal D_{A(s)}\) saadaan myös määrittelemällä:
\(\displaystyle \mathcal D_{A(s)} = \Big\{\psi \in \mathcal H\ \Big|\ \lim_{h \to s} \frac{-i\ \left(U(s,h) \psi - \psi\right)}{s-h}\ \text{on olemassa}\Big\}\).
Vastaten ylläolevia generaattorin määritelmä on:
\(\displaystyle A(s)\psi = -i\ \lim_{t\to s} \frac{U(t,s) \psi - \psi}{t-s}\).
ja
\(\displaystyle A(s)\psi = -i\ \lim_{h\to s} \frac{U(s,h) \psi - \psi}{s-h}\).
Kirjassani\( A(s) \)on ajasta riippuva Hamiltonin funktio \(H(s)\) ja sillä oletetaan olevan nuo ominaisuudet. Jos nyt ymmärrän oikein, silloin kun generaattori A riippuu ajasta, ollaan pian sen varsinaisen Dysonin sarjan tilanteessa, jossa unitaarisen aikakehitysoperaattorin muoto ei ole enää \(U(t)=exp(-iAt)\) vaan se on:
\(U(t,s)= \exp(-i\int_s^t A(t')\:dt')\),
kun \([A(t'),A(t'')]=0\) kaikilla \(t',\: t'' \in \mathbb R\) ja
\(U(t,s) = \text{se Dysonin sarja}\),
kun \([A(t'),A(t'')]=0\) ei ole identtisesti voimassa.
Jäi vielä paljon kommentoimatta sun vastaukseesi liittyen, mutta palaan asiaan!
SI Resurrection!
Laitan tähän vielä näkyviin erilaisia määritelmiä parametrista \(t\) riippuvan Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) operaattorin \(U(t)\) raja-arvolle U, kun \(U(t)\) on rajoitettu (=jatkuva), olkoon \(t_0\in \mathbb R\) annettu ja pyritään määrittelemään \(\displaystyle \lim_{t\to t_0}U(t)=U\):
1) Heikko konvergenssi:
Operaattori U(t) suppenee heikosti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x,y\in \mathcal H\)
\(<x,Uy>=\displaystyle \lim_{t\to t_0}<x,U(t)y>
\)
2) Vahva konvergenssi:
Operaattori \(U(t)\) suppenee vahvasti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x\in \mathcal H\) \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)x||_{\mathcal H}=0\), missä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) määräämä normi \(||x||_{\mathcal H}=\sqrt{<x,x>}\) on käytössä.
3) normikonvergenssi (tai tasainen konvergenssi):
Operaattori \(U(t)\) suppenee operaattorinormissa kohti operaattoria U, jos \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)||_{\mathcal B(\mathcal H)}=0\) missä Hilbert-avaruuden \( \mathcal H\) operaattoreille A on määritelty normi \(||A||_{\mathcal B(\mathcal H)}=\displaystyle \sup_{||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}\)
Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa nuo eivät ole keskenään ekvivalentteja, kaikkein vahvin konvergenssi on 3) eli normikonvergenssi ja se takaa konvergenssin 2) eli vahvan konvergenssin. Vastaavasti konvergenssi 2) eli vahva konvergenssi takaa heikon konvergenssin 1) eli siis tiiviisti:
\(3)\Rightarrow 2)\Rightarrow 1)\).
1) Heikko konvergenssi:
Operaattori U(t) suppenee heikosti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x,y\in \mathcal H\)
\(<x,Uy>=\displaystyle \lim_{t\to t_0}<x,U(t)y>
\)
2) Vahva konvergenssi:
Operaattori \(U(t)\) suppenee vahvasti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x\in \mathcal H\) \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)x||_{\mathcal H}=0\), missä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) määräämä normi \(||x||_{\mathcal H}=\sqrt{<x,x>}\) on käytössä.
3) normikonvergenssi (tai tasainen konvergenssi):
Operaattori \(U(t)\) suppenee operaattorinormissa kohti operaattoria U, jos \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)||_{\mathcal B(\mathcal H)}=0\) missä Hilbert-avaruuden \( \mathcal H\) operaattoreille A on määritelty normi \(||A||_{\mathcal B(\mathcal H)}=\displaystyle \sup_{||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}\)
Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa nuo eivät ole keskenään ekvivalentteja, kaikkein vahvin konvergenssi on 3) eli normikonvergenssi ja se takaa konvergenssin 2) eli vahvan konvergenssin. Vastaavasti konvergenssi 2) eli vahva konvergenssi takaa heikon konvergenssin 1) eli siis tiiviisti:
\(3)\Rightarrow 2)\Rightarrow 1)\).
SI Resurrection!
Sunnuntai-iltaa!
Kun olen nyt Dyson-sarjaan käyttänyt aikaa, niin sellainen tuli mieleen, että onko tämä Dyson-sarja vain kvanttimekaniikkaan liittyvä nimitys, koska olen löytänyt matemaatiikan alaan kuuluvia lähteitä, jossa ratkaistaan yleistä differentiaaliyhtälöä
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=A(t)x(t) \),
missä \(A(t\)) on \( n\times n\)-matriisi tai yleisemmin \(A(t\)) on operaattori Hilbert-avaruudessa tai Banach-avaruudessa, vastaavalla sarjakehitelmällä. Aavistelen, että tämä dysonsarja-metodi on paljon vanhempi kuin se varsinainen Dysonin mukaan nimetty ratkaisutapa sarjakehitelmällä kvanttimekaniikan aikakehitysoperaattorille.
Jossain sirontateoriassa on järkevää tarkastella tilannetta, jossa aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) sijasta tarkastellaan sirontamatriisia \(S\), joka määritellään määritellään raja-arvona \(S=U(\infty,-\infty)\), ajatuksena se, että vuorovaikutukset eri prosesseissa tapahtuvat hyvin pienessä alueessa aika-avaruudessa ja me havaitsemme sitten tai käytämme kaytännössä \( S\)-matriisia \(U(t,t_0)\) asemesta.
Periaatteessa Dyson-sarjalla voisi siis tarkoittaa tätä sirontamatriisitilannetta ja se erottaisi Dyson-sarjan tuosta tavallisemmasta tilanteesta, jossa tarkoitetaan \(U(t,t_0\)) operaattoria.
Operaattoriin \(U(t,t_0)\) liittyy samankaltaiset matemaattiset ongelmat, kuin Stonen lauseessa, mutta on olemassa tilanteita jossa \(U(t,t_0)\) on hyvin määritelty.
Kun olen nyt Dyson-sarjaan käyttänyt aikaa, niin sellainen tuli mieleen, että onko tämä Dyson-sarja vain kvanttimekaniikkaan liittyvä nimitys, koska olen löytänyt matemaatiikan alaan kuuluvia lähteitä, jossa ratkaistaan yleistä differentiaaliyhtälöä
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=A(t)x(t) \),
missä \(A(t\)) on \( n\times n\)-matriisi tai yleisemmin \(A(t\)) on operaattori Hilbert-avaruudessa tai Banach-avaruudessa, vastaavalla sarjakehitelmällä. Aavistelen, että tämä dysonsarja-metodi on paljon vanhempi kuin se varsinainen Dysonin mukaan nimetty ratkaisutapa sarjakehitelmällä kvanttimekaniikan aikakehitysoperaattorille.
Jossain sirontateoriassa on järkevää tarkastella tilannetta, jossa aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) sijasta tarkastellaan sirontamatriisia \(S\), joka määritellään määritellään raja-arvona \(S=U(\infty,-\infty)\), ajatuksena se, että vuorovaikutukset eri prosesseissa tapahtuvat hyvin pienessä alueessa aika-avaruudessa ja me havaitsemme sitten tai käytämme kaytännössä \( S\)-matriisia \(U(t,t_0)\) asemesta.
Periaatteessa Dyson-sarjalla voisi siis tarkoittaa tätä sirontamatriisitilannetta ja se erottaisi Dyson-sarjan tuosta tavallisemmasta tilanteesta, jossa tarkoitetaan \(U(t,t_0\)) operaattoria.
Operaattoriin \(U(t,t_0)\) liittyy samankaltaiset matemaattiset ongelmat, kuin Stonen lauseessa, mutta on olemassa tilanteita jossa \(U(t,t_0)\) on hyvin määritelty.
SI Resurrection!
Iltaa!
Laitan tässä ihan lyhyesti näkyviin yhtälöitä, jotka liittyvät aikakehitysoperaattoriin \(U(t,t_0)\), kun \(U(t,t_0\)) ei ole muotoa \(U(t,t_0)=\exp(i(A(t-t_0)))\) eli \(U(t,t_0)\) ei ole välttämättäyksiparametriryhmä. Tässä voi ajatella matriiseja, niin ei tarvitse miettiä derivaattojen määritelmiä.
EDIT: poistan kaikki imaginaariyksiköt, koska olen alunperin laskenut tämän ilman niitä.
Oletetaan, että \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\). Silloin voidaan johtaa differentiaaliyhtälöt:
\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&= -\frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
B(t)U(t,s)&=-\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}
\),
missä määritellään matriisit:
\(\begin{align*}
A(s)&= \frac{\partial U}{\partial t}(t,s)\Big|_{t=s}\\
B(t)&= \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\Big|_{s=t}
\end{align*}
\).
Nyt kuitenkin \(A(t)=-B(t)\) tai \(A(s)=-B(s)\), kun \(s=t\), jolloin ylläolevat differentiaaliyhtälöt (DY) saavat muodon:
\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&=- \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
A(t)U(t,s)&=\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}
\).
Esimerkiksi tuossa jälkimmäisessä \( A(t)\) on laskettu kun \(s=t\) ja tulos kerrotaan oikealta operaattorilla \(U(t,s)\), missä ei enää välttämättä \(s=t \). Tämä on hieman kinkkistä, mutta nuo kaavat pitäisi olla oikeita, mutta mun kaavojen johtaminen (mitä en kirjoittanut) voi sisältää päättelyvirheitä. Noilla on vastine ajasta riippuvien vektorikenttien \(X(t,x(t))\) tai differentiaaliyhtälöiden vastaavissa kaavoissa, jossa differentiaaliyhtälö on muotoa:
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=X(t,x(t))\).
Lisäksi löysin netistä vastaavat differentiaaliyhtälöt (DY) koskien juuri tätä keissiä, mutta ilman johtamista.
Laitan tässä ihan lyhyesti näkyviin yhtälöitä, jotka liittyvät aikakehitysoperaattoriin \(U(t,t_0)\), kun \(U(t,t_0\)) ei ole muotoa \(U(t,t_0)=\exp(i(A(t-t_0)))\) eli \(U(t,t_0)\) ei ole välttämättäyksiparametriryhmä. Tässä voi ajatella matriiseja, niin ei tarvitse miettiä derivaattojen määritelmiä.
EDIT: poistan kaikki imaginaariyksiköt, koska olen alunperin laskenut tämän ilman niitä.
Oletetaan, että \(U(t,s)U(s,r)=U(t,r\)) kaikilla \(t,s,r\in\mathbb R\). Silloin voidaan johtaa differentiaaliyhtälöt:
\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&= -\frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
B(t)U(t,s)&=-\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}
\),
missä määritellään matriisit:
\(\begin{align*}
A(s)&= \frac{\partial U}{\partial t}(t,s)\Big|_{t=s}\\
B(t)&= \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\Big|_{s=t}
\end{align*}
\).
Nyt kuitenkin \(A(t)=-B(t)\) tai \(A(s)=-B(s)\), kun \(s=t\), jolloin ylläolevat differentiaaliyhtälöt (DY) saavat muodon:
\(\begin{align*}
U(t,s)A(s)&=- \frac{\partial U}{\partial s}(t,s)\\
A(t)U(t,s)&=\frac{\partial U}{\partial t}(t,s)
\end{align*}
\).
Esimerkiksi tuossa jälkimmäisessä \( A(t)\) on laskettu kun \(s=t\) ja tulos kerrotaan oikealta operaattorilla \(U(t,s)\), missä ei enää välttämättä \(s=t \). Tämä on hieman kinkkistä, mutta nuo kaavat pitäisi olla oikeita, mutta mun kaavojen johtaminen (mitä en kirjoittanut) voi sisältää päättelyvirheitä. Noilla on vastine ajasta riippuvien vektorikenttien \(X(t,x(t))\) tai differentiaaliyhtälöiden vastaavissa kaavoissa, jossa differentiaaliyhtälö on muotoa:
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=X(t,x(t))\).
Lisäksi löysin netistä vastaavat differentiaaliyhtälöt (DY) koskien juuri tätä keissiä, mutta ilman johtamista.
SI Resurrection!
Iltaa! Joo, historiallisesti Dysonin sarjan nimitys on kai fysiikan kautta jäänyt elämään. Kun toisessa ketjussa puhuttiin tulo-integraaleista, niin samalla törmäsin Volterran sarjaan, joka on itselleni tuntematon, mutta liittyy myös aikajärjestettyihin sarjoihin. Volterran tulointegraalit ja Volterran sarja ovat peräisin 1880-luvulta, mutta niitä alettiin (wikin mukaan) soveltaa vasta 1950-luvun jälkeen. Ja näköjään Volterran sarjaa sovelletaan insinööritieteissä tänä päivänäkin epälineaaristen järjestelmien yhteydessä.Disputator kirjoitti: ↑11.1.2026, 17:19 Sunnuntai-iltaa!
Kun olen nyt Dyson-sarjaan käyttänyt aikaa, niin sellainen tuli mieleen, että onko tämä Dyson-sarja vain kvanttimekaniikkaan liittyvä nimitys, koska olen löytänyt matemaatiikan alaan kuuluvia lähteitä, jossa ratkaistaan yleistä differentiaaliyhtälöä
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=A(t)x(t) \),
missä \(A(t\)) on \( n\times n\)-matriisi tai yleisemmin \(A(t\)) on operaattori Hilbert-avaruudessa tai Banach-avaruudessa, vastaavalla sarjakehitelmällä. Aavistelen, että tämä dysonsarja-metodi on paljon vanhempi kuin se varsinainen Dysonin mukaan nimetty ratkaisutapa sarjakehitelmällä kvanttimekaniikan aikakehitysoperaattorille.
Jossain sirontateoriassa on järkevää tarkastella tilannetta, jossa aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) sijasta tarkastellaan sirontamatriisia \(S\), joka määritellään määritellään raja-arvona \(S=U(\infty,-\infty)\), ajatuksena se, että vuorovaikutukset eri prosesseissa tapahtuvat hyvin pienessä alueessa aika-avaruudessa ja me havaitsemme sitten tai käytämme kaytännössä \( S\)-matriisia \(U(t,t_0)\) asemesta.
Periaatteessa Dyson-sarjalla voisi siis tarkoittaa tätä sirontamatriisitilannetta ja se erottaisi Dyson-sarjan tuosta tavallisemmasta tilanteesta, jossa tarkoitetaan \(U(t,t_0\)) operaattoria.
Operaattoriin \(U(t,t_0)\) liittyy samankaltaiset matemaattiset ongelmat, kuin Stonen lauseessa, mutta on olemassa tilanteita jossa \(U(t,t_0)\) on hyvin määritelty.
Dysonin sarja on kai tosiaankin S-matriisiin liittyvä sovellus. Kun ratkaistaan operaattoriyhtälö
\(\require{physics} \displaystyle i\dv t U(t,t_0) = H_I(t)\ U(t,t_0)\)
tilanteessa, jossa \(H_I(t)\) ei kommutoi eri ajanhetkillä, niin muodollinen ratkaisu on aikajärjestetty eksponentti
\(\displaystyle U(t,t_0) =\mathcal T \exp \left(-i \int_{t_0}^{t}dt'\ H_I(t')\right)\)
Tässä vaiheessa ei ehkä pitäisi puhua Dysonin sarjasta, vaan Dysonin kaavasta (wikin mukaan). Vasta sitten, kun määritellään mainitsemasi sirontamatriisi
\(\displaystyle S=U(\infty,-\infty)=\mathcal T \exp \left(-i \int_{-\infty}^{\infty}dt\ H_I(t) \right)\)
ja kirjoitetaan se sarjana
\(\displaystyle S= \sum_{n=0}^{\infty} (-i)^n \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \dots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n\ H_I(t_1) H_I(t_2) \dots H_I(t_n)\)
missä \(t_1 \ge t_2 \ge \dots \ge t_n\), niin tämä sarjakehitelmä on Dysonin sarja, joka on Freeman Dyson lanseeraama sarja.