Disputator kirjoitti: ↑30 Maalis 2024, 14:46
Jos siis raketti, jonka pituus on d ja sen alku-ja loppupää sijaitsee hetkellä t =0 pisteissä r ja r + d, niiden etäisyys d (=proper distance ?) säilyy vakiona parametrin t muuttuessa, hintana tästä on se, että raketin alku-ja loppupää kokevat eri kiihtyvyyden. Tai ainakin niin minä tuon käsitän.
Additkoiduin tähän, piti ihan laskea.
Unohdetaan Schwartzschild hetkeksi. Asetetaan Minkowskiavaruuteen inertiaalihavatsija S(t,r). Kaksi kiihtyvää havaitsijaa S'(t',r') ja S''(t'',r'') ovat aluksi S:n tapahtumissa (0,1/g
1) ja (0,1/g
2), missä vakio-ominaiskiihtyvyydet g
1 > g
2. Hetkellä t=0 nuo S' ja S'' eivät liiku, niiden nopeus v=0. Tässä S'' on kauempana r-akselilla, S' lähempänä origoa. Tämä alkuasetelma on ehto sille, että alku- ja loppupäiden etäisyydet eivät muutu, kun etäisyyttä tarkastellaan kahdessa oleellisessa koordinaatistossa.
S määrittelee hetkellä t=0 proper distancen \(\Delta s = \sqrt{(\frac{1}{g_2} - \frac{1}{g_1})^2}\).
Kiihtyvän havaitsijan nopeus ja paikka myöhemmillä hetkillä inertiaalissa S on
\(\begin{align*}v(t) &= \frac{gt}{\sqrt{1+(gt)^2}} \\ r(t) &= g^{-1}\left(\sqrt{1+(gt)^2}\right )\end{align*}\)
Tästä nähdään, että S'':n nopeus on pienempi kuin S':n, ja näiden välinen etäisyys pienenee S:ssä tarkasteluna, kun aika t kasvaa.
Voidaan tehdä Lorentzmuunnos S':n mukana hetkellisesti liikkuvaan inertiaaliin K(T,R), jossa voidaan tarkastella toista kiihtyvää havaitsijaa S''. Tämän K:n nopeus S:n suuhteen on vakio. Kiihtyvään S':uun ei Lorentzmuunnosta voida tehdä, sillä muunnos pätee vain intertiaaleille.
Muunnoksessa on yksityiskohta, joka pitää huomioida. Tässä ei käytetä nopeusfunktiota v(t), vaan hetken t vakionopeutta v(t)=u=vakio.
Havaitsija S'' voidaan lausua koordinaatistossa S(t,r) tapahtumana
\(E = \begin{pmatrix}t\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\\frac{1}{g_2}\left(\sqrt{1+(g_2\ t)^2}\right )\end{pmatrix}\)
Muunnos hetkelliseen inertiaaliin K(T,R) vakiorapiditeetilla \(\xi\) on
\(\begin{pmatrix}T\\R\end{pmatrix}= \begin{bmatrix} \cosh\xi & -\sinh\xi\\ -\sinh\xi & \cosh\xi \end{bmatrix}\begin{pmatrix}t\\\\\frac{1}{g_2^{-1}}\left(\sqrt{1+(g_2\ t)^2}\right )\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
t \cosh (\xi )-\frac{\sqrt{g_2^2\ t^2+1} \sinh (\xi )}{g_2} \\\\ \frac{\sqrt{g_2^2\ t^2+1} \cosh (\xi )}{g_2}-t \sinh (\xi )
\end{pmatrix}\)
missä hiukan ikävät koordinaatit. K:n origoon siirrytään asettamalla T=0 ja ratkaisemalla t, jonka jälkeen S'':n koordinaatit ovat
\(\begin{pmatrix}T\\R\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\\frac{1}{g_2}\end{pmatrix}\)
Toisin sanoen S':n mukana hetkellisesti liikkuva inertiaalihavaitsija K määrittelee itsensä ja S'':n välisen proper distancen vakioksi \(\Delta S = \frac{1}{g_2}\).
Tämä pätee, kun S' ja S'' aloittavat liikkeen pisteistä (0,1/g
1) ja (0,1/g
2), joita voi siirtää, mutta translaation kohdistuttava molempiin. Kun nämä ehdot ovat voimassa, niin pisteitä yhdistävä massakappale ei veny tai puristu rikki kiihdytyksessä.
Kiihtyvään kehykseen ei voida siirtyä Lorentzmuunnoksella, mutta tiedetään, että S' on Rindler-havaitsija, jonka koordinaatit ovat
\((t',r')=\left( \frac{1}{g_1}\tanh^{-1}\frac{t}{r}\ , \ \sqrt{r^2-t^2}\right )\)
missä t ja r ovat referenssi-inertiaalin S koordinaatteja. S' on omassa origossaan (0,0). Toinen havaitsija S'' voidaan nyt lausua S':n koordinaateilla, kun sijoitetaean S'':n paikkakoordinaatti r(t)
\(\begin{pmatrix}t'\\r'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{g_1}\tanh^{-1}\frac{t}{r(t)}\\\\ \sqrt{r(t)^2-t^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{g_1}\tanh^{-1}\sqrt{1-\frac{1}{g_2^2\ r^2}}\\\\\frac{1}{g_2}\end{pmatrix}\)
missä havaitsijan S'' paikka r'-akselilla on ajasta riippumaton, ja proper distance siis vakio. Sama tulos kuin hetkellisessä inertiaalissa K, mikä on järkevää, sillä S' voidaan ajatella erääksi pisteitä yhdistävän jäykän kappaleen osaksi. Tämä pätee tietysti vain silloin, kun edellä mainitut lähtöpisteen ehdot ovat voimassa.
Minkowskiavaruudessa näin. Mutta edelleen mietityttää vastaava tilanne Schwartzschild-metriikassa, kun ajatellaan aiempaa planeetan pintaa ja vakioetäisyydellä olevaa satelliittia. Paikallisesti tuo Rindler-havaitsija ja maan pinnalla olevan shell observer ovat ekvivalentteja. Kun kyse on laajemmasta avaruuden alueesta shell observerin ja satelliitin välissä, niin epäilen, että proper distance ei mene samalla tavalla.
. Tämä suure tulisi lausua planeetan pinnalla mitatulla kulkuajalla \(\Delta t_p\) , kun valo etenee välin \( R_p \to R_s\) .