Suhteellisuusteoriaa

[Disputator]

Iltapäivää, tähän piti jo aikaisemmin vastata.

QSTämä kuulostikin tutulta, kun olin hiljattain selannut aiemmin mainittua kirjaa Group Theory in Physics, Wu-Ki Tung. Kirja määrittelee Lie-algebran kannan \(L(\mathbf{n})\), jolla muodostetaan yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri rotaatiomatriisi

\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta)=e^{\theta\ L(\mathbf{n})}\)

Kanta \(L(\mathbf{n})\) muuntuu annetulla rotaatiolla \(R\) ja yksikkövektorilla \(\mathbf{n}\) siten, että \(\mathbf{n'}=R\mathbf{n}\).

Hmm, mulla on tuo sama kirja ja mielestäni Tung tarkastelee rotaatiota eri näkökulmasta kuin mulla oli. Eli mulla oli abstrakti rotaatio \(R(\mathbf{n},\phi)\) jonkun annetun akselin ympäri, jonka määrää yksikkövektori n, jonka matriisi riippuu valitusta kannasta. Käsittääkseni Tung muuttaa aktiivisesti rotaatioakselia kaavassa (7.1-9), jossa uusi rotaatioakseli saadaan kaavasta n'= Rn, missä R on annettu rotaatiomatriisi. Hänellä on sitten teoreema 7.1, joka sanoo, että saman kulman \(\psi\) rotaatiot kuuluvat samaan (konjugaatti)luokkaan eli ne on muunnettavissa toisikseen kaavan 7.1-9 mukaisella muunnoksella:

$$
R(n',\psi)= R\:R(n,\psi)R^{-1}
$$

Matemaattisesti ne ovat samanarvoisia eli tässä on taas kerran tämä passiivinen vs. passiivinen problematiikka läsnä, siis tässä tapauksessa:

Dis:

Tarkastellaan yhtä fixattua rotaatiota \(R(\mathbf{n},\phi)\) eri avaruuden \(\mathbf{R}^3\) kannoissa.

Tung:

Tarkastellaan avaruuden \(\mathbf{R}^3\) fixatussa kannassa rotaation \(R(\mathbf{n},\phi)\) muunnosta uudeksi rotaatioksi \(R(\mathbf{n'},\phi)\) akselin n'= Rn suhteen saman kulman verran.

Tuossa voi mennä termit sekaisin, sillä mulla rotaatio tarkoittaa kannasta riippumatonta transformaatiota ja sitten valitulla \(\mathbf{R}^3\):n kannalla saadaan rotaation matriisiesitys tai rotaatiomatriisi tai vai rotaatio, ihan miten sattuu. Tung käyttää mielestäni sanaa rotaatio kaavassa 7.1-9 tarkoittaen rotaatiomatriisia ja sitten vain rotaatiota tarkoittaen.

Jotta homma menisi ihan hämäräksi, niin tuo kaava 7.1-9 voidaan mielestäni myös ymmärtää ilman matriiseja ja kantoja transformaatiokaavaksi kahden eri abstraktin rotaation välillä, jotka ovat kumpikin aktiivisia avaruuden vektoreiden muunnoksia ja silloin matriisi R on korvattava abstraktilla kannasta riippumattomalla rotaatiolla \(\hat{R}\).

= matemaattinen fasisti. Tarkkailee ympäristöään valppaasti.

[Disputator]

Tämä kuulostikin tutulta, kun olin hiljattain selannut aiemmin mainittua kirjaa Group Theory in Physics, Wu-Ki Tung. Kirja määrittelee Lie-algebran kannan \(L(\mathbf{n})\), jolla muodostetaan yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri rotaatiomatriisi

\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta)=e^{\theta\ L(\mathbf{n})}\)

Kanta \(L(\mathbf{n})\) muuntuu annetulla rotaatiolla \(R\) ja yksikkövektorilla \(\mathbf{n}\)

\(R\ L(\mathbf{n})\ R^{-1} = L(\mathbf{n'}),\)

siten, että \(\mathbf{n'}=R\mathbf{n}\). Tämän perusteella \(L(\mathbf{n})\) käyttäytyy rotaatiossa kuten vektori. Kirja antaa generaattorille \(\mathbf{L} = (L_1,L_2,L_3)\) nimityksen vektorigeneraattori, jonka komponetit \(L_k\) muuntuvat samalla tavalla kuin kantavektorit \(\hat{e_k}\)

\(R\ J_k\ R^{-1}=J_l\ {R^l}_k.\)

 

Hmm, tuossa tuo mainisemasi kanta \(L(\mathbf{n})\) ei mielestäni tarkoita kantaa, vaan tuo \(L(\mathbf{n})\) viittaa mielestäni siihen, että annetussa \(\mathbf{R}^3\) kannassa rotaatiot ovat matriiseja ja jokainen rotaatiomatriisi \(R(n,\psi)\) esittää matriisieksponentin avulla muodossa (Tung 7.2-1):
$$
R(n,\psi)= e^{-i\psi J_n}
$$

Tuossa siis notaatio \(L(\mathbf{n})\) on korvattu Tungin notaatiolla \(J_n\). Koska matriisi \(J_n\) kuuluu SO(3):n Lie-algebraan so(3), se on esitettävissä so(3):n standardikantavektorien \({J_1,J_2,J_3}\) (jotka ovat matriiseja) lineaarikombinaationa (Tung, kaava 7.2-6):

\(J_n = J_k n^k\)

Lisäksi, mun mielestä Tungin lemman kaava 7.2-2 kertoo miten tuo matriisi \(J_{n'}\) lasketaan kun matriisi \(J_n\) tunnetaan. Tämä siis vastaa vastaa Tungin kaavan 7.1-9 \(R(n',\psi)= R\:R(n,\psi)R^{-1} \) Lie-algebra vastinetta \(J_{n'}= R\:J_n R^{-1}\).

Koska kyseessä olevat matriisit \(J_n\) ja \(J_{n'}\) ovat numeerisia matriiseita, ne voidaan esittää kantamatriisien \({J_1,J_2,J_3}\) lineaarikombinaationa kumpikin eli voidaan käyttää samaa Lie-algebran kantaa kummallekkin matriisille.

Tungin kaava 7.2-5 tulkitaan monesti fyysikoiden jargonissa jonkinlaiseksi Lie-algebran so(3) kantavektorien \({J_1,J_2,J_3}\) muunnoskaavaksi, mitä se ei suoraan ole, se enemmänkin kertoo että laskemalla vasen puoli saadaan paljon yksinkertaisempi oikean puolen kaava. Tung muotoilee asian käyttäen ilmaisua "behave in the same way..."

Disclaimer. Asiaan voi olla muitakin tulkintoja, joista en ole tietoinen, heh

[QS]

Tämä kuulostikin tutulta, kun olin hiljattain selannut aiemmin mainittua kirjaa Group Theory in Physics, Wu-Ki Tung. Kirja määrittelee Lie-algebran kannan \(L(\mathbf{n})\), jolla muodostetaan yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri rotaatiomatriisi

\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta)=e^{\theta\ L(\mathbf{n})}\)

Kanta \(L(\mathbf{n})\) muuntuu annetulla rotaatiolla \(R\) ja yksikkövektorilla \(\mathbf{n}\) siten, että \(\mathbf{n'}=R\mathbf{n}\).

Hmm, mulla on tuo sama kirja ja mielestäni Tung tarkastelee rotaatiota eri näkökulmasta kuin mulla oli. Eli mulla oli abstrakti rotaatio \(R(\mathbf{n},\phi)\) jonkun annetun akselin ympäri, jonka määrää yksikkövektori n, jonka matriisi riippuu valitusta kannasta. Käsittääkseni Tung muuttaa aktiivisesti rotaatioakselia kaavassa (7.1-9), jossa uusi rotaatioakseli saadaan kaavasta n'= Rn, missä R on annettu rotaatiomatriisi. Hänellä on sitten teoreema 7.1, joka sanoo, että saman kulman \(\psi\) rotaatiot kuuluvat samaan (konjugaatti)luokkaan eli ne on muunnettavissa toisikseen kaavan 7.1-9 mukaisella muunnoksella:

$$
R(n',\psi)= R\:R(n,\psi)R^{-1}
$$

Matemaattisesti ne ovat samanarvoisia eli tässä on taas kerran tämä passiivinen vs. passiivinen problematiikka läsnä, siis tässä tapauksessa:

Dis:

Tarkastellaan yhtä fixattua rotaatiota \(R(\mathbf{n},\phi)\) eri avaruuden \(\mathbf{R}^3\) kannoissa.

Tung:

Tarkastellaan avaruuden \(\mathbf{R}^3\) fixatussa kannassa rotaation \(R(\mathbf{n},\phi)\) muunnosta uudeksi rotaatioksi \(R(\mathbf{n'},\phi)\) akselin n'= Rn suhteen saman kulman verran.

Tuossa voi mennä termit sekaisin, sillä mulla rotaatio tarkoittaa kannasta riippumatonta transformaatiota ja sitten valitulla \(\mathbf{R}^3\):n kannalla saadaan rotaation matriisiesitys tai rotaatiomatriisi tai vai rotaatio, ihan miten sattuu. Tung käyttää mielestäni sanaa rotaatio kaavassa 7.1-9 tarkoittaen rotaatiomatriisia ja sitten vain rotaatiota tarkoittaen.

Jotta homma menisi ihan hämäräksi, niin tuo kaava 7.1-9 voidaan mielestäni myös ymmärtää ilman matriiseja ja kantoja transformaatiokaavaksi kahden eri abstraktin rotaation välillä, jotka ovat kumpikin aktiivisia avaruuden vektoreiden muunnoksia ja silloin matriisi R on korvattava abstraktilla kannasta riippumattomalla rotaatiolla \(\hat{R}\).

= matemaattinen fasisti. Tarkkailee ympäristöään valppaasti.

Tämä on totta, ei käy kiistäminen. Tung käsittelee rotaation aktiivisena ja fiksatussa kannassa. Sun esitys oli kantariippumaton.

Tämä kuulostikin tutulta, kun olin hiljattain selannut aiemmin mainittua kirjaa Group Theory in Physics, Wu-Ki Tung. Kirja määrittelee Lie-algebran kannan \(L(\mathbf{n})\), jolla muodostetaan yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri rotaatiomatriisi

\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta)=e^{\theta\ L(\mathbf{n})}\)

Kanta \(L(\mathbf{n})\) muuntuu annetulla rotaatiolla \(R\) ja yksikkövektorilla \(\mathbf{n}\)

\(R\ L(\mathbf{n})\ R^{-1} = L(\mathbf{n'}),\)

siten, että \(\mathbf{n'}=R\mathbf{n}\). Tämän perusteella \(L(\mathbf{n})\) käyttäytyy rotaatiossa kuten vektori. Kirja antaa generaattorille \(\mathbf{L} = (L_1,L_2,L_3)\) nimityksen vektorigeneraattori, jonka komponetit \(L_k\) muuntuvat samalla tavalla kuin kantavektorit \(\hat{e_k}\)

\(R\ J_k\ R^{-1}=J_l\ {R^l}_k.\)



 

Hmm, tuossa tuo mainisemasi kanta \(L(\mathbf{n})\) ei mielestäni tarkoita kantaa, vaan tuo \(L(\mathbf{n})\) viittaa mielestäni siihen, että annetussa \(\mathbf{R}^3\) kannassa rotaatiot ovat matriiseja ja jokainen rotaatiomatriisi \(R(n,\psi)\) esittää matriisieksponentin avulla muodossa (Tung 7.2-1):
$$
R(n,\psi)= e^{-i\psi J_n}
$$

Tuossa siis notaatio \(L(\mathbf{n})\) on korvattu Tungin notaatiolla \(J_n\). Koska matriisi \(J_n\) kuuluu SO(3):n Lie-algebraan so(3), se on esitettävissä so(3):n standardikantavektorien \({J_1,J_2,J_3}\) (jotka ovat matriiseja) lineaarikombinaationa (Tung, kaava 7.2-6):

\(J_n = J_k n^k\)

Lisäksi, mun mielestä Tungin lemman kaava 7.2-2 kertoo miten tuo matriisi \(J_{n'}\) lasketaan kun matriisi \(J_n\) tunnetaan. Tämä siis vastaa vastaa Tungin kaavan 7.1-9 \(R(n',\psi)= R\:R(n,\psi)R^{-1} \) Lie-algebra vastinetta \(J_{n'}= R\:J_n R^{-1}\).

Koska kyseessä olevat matriisit \(J_n\) ja \(J_{n'}\) ovat numeerisia matriiseita, ne voidaan esittää kantamatriisien \({J_1,J_2,J_3}\) lineaarikombinaationa kumpikin eli voidaan käyttää samaa Lie-algebran kantaa kummallekkin matriisille.

Tungin kaava 7.2-5 tulkitaan monesti fyysikoiden jargonissa jonkinlaiseksi Lie-algebran so(3) kantavektorien \({J_1,J_2,J_3}\) muunnoskaavaksi, mitä se ei suoraan ole, se enemmänkin kertoo että laskemalla vasen puoli saadaan paljon yksinkertaisempi oikean puolen kaava. Tung muotoilee asian käyttäen ilmaisua "behave in the same way..."

Disclaimer. Asiaan voi olla muitakin tulkintoja, joista en ole tietoinen, heh

Jotenkin itse tulkitsin teoreemaan 7.2 liittyvän kaavan 7.2-5 vektorigeneraattorin muunnoskaavana. Tässä Tung käsittelee generaattorin \(\vec J=(J_1,J_2,J_3)\) vektorina. Nyt kun generaatorin (vektori) komponentit \(J_1,J_2,J_3\) ovat algebran kantavektoreita (joita tosin usein sanotaan generaattoreiksi. Tung sanoo näistä muodostettua vektoria generattoriksi), niin näiden kierto on kantamuunnos.

Voi olla niinkin, että lankesin mainittuun fysiikan jargoniin

[QS]

\(
\Lambda =\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Tämän mielenkiintoisen null-rotaation hajotus puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\) jäi aikanaan tekemättä. Yleisesti ottaen mielivaltaiselle Lorentzmuunnokselle tuo tehtävä ei ole helppo. Mutta mielestäni sain tämän matriisin hajotuksen laskettua. Yksinkertaistin asiaa kirjoittamalla avaruudessa, jonka vektorit ovat \(x=(t,x,y)\), missä siis poistettu z-dimensio.
$$\Lambda=\begin{bmatrix}
2 \alpha ^2+1 & -2 \alpha ^2 & 2 \alpha \\
2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & 2 \alpha \\
2 \alpha & -2 \alpha & 1 \\
\end{bmatrix}$$
Tavoitteena saada tämä muotoon \(\Lambda(\alpha) = B(\mathbf{v})\ R(\theta)\), missä puskunopeus on \(\mathbf{v}=(v_x,v_y)\) ja kiertokulma xy-tasossa on \(\theta\). Puhdas pusku \(B\) voidaan yleisessä muodossaan kirjoittaa
$$B(\mathbf{v})=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y \\
-\gamma v_x & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2} & (\gamma-1) \frac{v_x v_y}{v^2} \\
-\gamma v_y & (\gamma-1) \frac{v_y^2}{v^2} & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2}\\
\end{bmatrix},$$
missä \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) ja \(v^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\). Puhdas rotaatio xy-tasossa voidaan kirjoittaa
$$R(d)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & d & \sqrt{1-d^2} \\
0 & -\sqrt{1-d^2} & d \\
\end{bmatrix},$$
missä \(d=\cos(\theta)\) ja \(\sqrt{1-d^2}=\sin(\theta)\). Näiden matriisien tulo on
$$\Lambda(\alpha)=B(\mathbf{v})\ R(d) =
\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma\left(v_x\ d-v_y \sqrt{1-d^2}\right) & -\gamma\left(v_y\ d + v_x\sqrt{1-d^2}\right)\\
-\gamma v_x & \cdot& \cdot\\
-\gamma v_y & \cdot& \cdot\\
\end{bmatrix}$$
Oikean alakulman komponentit jätin pois, kun ovat ikävän näköisiä lausekkeita, joissa esiintyy nopeuskomponentit ja \(d\). Vertaamalla tätä tuloa alkuperäiseen matriisiin \(\Lambda\), voidaan suoraan ratkaista \(\gamma=1+2\alpha^2\), jota käyttämällä matriisin ensimmäisestä sarakkeesta ratkeavat nopeuskomponentit

\(v_x=-\frac{2\alpha^2}{1+2\alpha^2}\)

\(v_y=-\frac{2\alpha}{1+2\alpha^2}\)

Vastaavasti \(d\) saadaan ratkaistua siten, että sijoitetaan \(\gamma\), \(v_y\) ja \(v_x\) esimerkiksi komponenttiin \({\Lambda^0}_2\)

\(\begin{align*}2 \alpha \left(\alpha \sqrt{1-d^2}+d\right) &= 2\alpha\\ d &= \frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}\end{align*}\)

Nopeuskomponentit \(v_x\) ja \(v_y\) sekä \(d\) voidaan sitten sijoittaa matriiseihin \(R\) ja \(B\) (lisäsin 3. avaruusdimension, ja mukana myös pois jättämäni oikean alakulman komponentit)

$$R=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & \frac{2\alpha}{1+\alpha ^2} & 0\\
0 & -\frac{2\alpha}{1+\alpha ^2} & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}$$
ja
$$B=\begin{bmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
2 \alpha ^2 & 2 \alpha ^2+\frac{2}{1+\alpha ^2}-1 & \frac{2 \alpha ^3}{1+\alpha ^2} & 0 \\
2 \alpha & \frac{2 \alpha ^3}{1+\alpha ^2} & 3-\frac{2}{1+\alpha ^2}& 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

Näiden tulo \(BR\) on tuo alkuperäinen null-rotaatio \(\Lambda\). Nämähän voisi helposti lausua myös nopeudella \(\mathbf{v}\) ja kulmalla \(\theta\).

[QS]

Puhdas pusku \(B\) voidaan yleisessä muodossaan kirjoittaa
$$B(\mathbf{v})=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y \\
-\gamma v_x & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2} & (\gamma-1) \frac{v_x v_y}{v^2} \\
-\gamma v_y & (\gamma-1) \frac{v_y^2}{v^2} & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2}\\
\end{bmatrix}$$

Tuohon jäi joku pieni hönö virhe, korjattuna:
$$B(\mathbf{v})=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y \\
-\gamma v_x & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2} & (\gamma-1) \frac{v_x v_y}{v^2} \\
-\gamma v_y & (\gamma-1) \frac{v_x v_y}{v^2} & 1+(\gamma-1) \frac{v_y^2}{v^2}\\
\end{bmatrix}$$

[Disputator]

\(
\Lambda =\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Tämän mielenkiintoisen null-rotaation hajotus puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\) jäi aikanaan tekemättä. Yleisesti ottaen mielivaltaiselle Lorentzmuunnokselle tuo tehtävä ei ole helppo. Mutta mielestäni sain tämän matriisin hajotuksen laskettua. Yksinkertaistin asiaa kirjoittamalla avaruudessa, jonka vektorit ovat \(x=(t,x,y)\), missä siis poistettu z-dimensio.
$$\Lambda=\begin{bmatrix}
2 \alpha ^2+1 & -2 \alpha ^2 & 2 \alpha \\
2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & 2 \alpha \\
2 \alpha & -2 \alpha & 1 \\
\end{bmatrix}$$
Tavoitteena saada tämä muotoon \(\Lambda(\alpha) = B(\mathbf{v})\ R(\theta)\), missä puskunopeus on \(\mathbf{v}=(v_x,v_y)\) ja kiertokulma xy-tasossa on \(\theta\). Puhdas pusku \(B\) voidaan yleisessä muodossaan kirjoittaa
$$B(\mathbf{v})=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y \\
-\gamma v_x & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2} & (\gamma-1) \frac{v_x v_y}{v^2} \\
-\gamma v_y & (\gamma-1) \frac{v_y^2}{v^2} & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2}\\
\end{bmatrix},$$
missä \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) ja \(v^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\). Puhdas rotaatio xy-tasossa voidaan kirjoittaa
$$R(d)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & d & \sqrt{1-d^2} \\
0 & -\sqrt{1-d^2} & d \\
\end{bmatrix},$$
missä \(d=\cos(\theta)\) ja \(\sqrt{1-d^2}=\sin(\theta)\). Näiden matriisien tulo on
$$\Lambda(\alpha)=B(\mathbf{v})\ R(d) =
\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma\left(v_x\ d-v_y \sqrt{1-d^2}\right) & -\gamma\left(v_y\ d + v_x\sqrt{1-d^2}\right)\\
-\gamma v_x & \cdot& \cdot\\
-\gamma v_y & \cdot& \cdot\\
\end{bmatrix}$$
Oikean alakulman komponentit jätin pois, kun ovat ikävän näköisiä lausekkeita, joissa esiintyy nopeuskomponentit ja \(d\). Vertaamalla tätä tuloa alkuperäiseen matriisiin \(\Lambda\), voidaan suoraan ratkaista \(\gamma=1+2\alpha^2\), jota käyttämällä matriisin ensimmäisestä sarakkeesta ratkeavat nopeuskomponentit

\(v_x=-\frac{2\alpha^2}{1+2\alpha^2}\)

\(v_y=-\frac{2\alpha}{1+2\alpha^2}\)

Vastaavasti \(d\) saadaan ratkaistua siten, että sijoitetaan \(\gamma\), \(v_y\) ja \(v_x\) esimerkiksi komponenttiin \({\Lambda^0}_2\)

\(\begin{align*}2 \alpha \left(\alpha \sqrt{1-d^2}+d\right) &= 2\alpha\\ d &= \frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}\end{align*}\)

Nopeuskomponentit \(v_x\) ja \(v_y\) sekä \(d\) voidaan sitten sijoittaa matriiseihin \(R\) ja \(B\) (lisäsin 3. avaruusdimension, ja mukana myös pois jättämäni oikean alakulman komponentit)

$$R=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & \frac{2\alpha}{1+\alpha ^2} & 0\\
0 & -\frac{2\alpha}{1+\alpha ^2} & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}$$
ja
$$B=\begin{bmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
2 \alpha ^2 & 2 \alpha ^2+\frac{2}{1+\alpha ^2}-1 & \frac{2 \alpha ^3}{1+\alpha ^2} & 0 \\
2 \alpha & \frac{2 \alpha ^3}{1+\alpha ^2} & 3-\frac{2}{1+\alpha ^2}& 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

Näiden tulo \(BR\) on tuo alkuperäinen null-rotaatio \(\Lambda\). Nämähän voisi helposti lausua myös nopeudella \(\mathbf{v}\) ja kulmalla \(\theta\).

Tämä oli todella hienosti päätelty ja laskettu!

Palaan tähän null-rotaatioon tarkemmin kun kerkeän. En ole mitenkään onnistunut hahmottamaan tuon \(\alpha\)-parametrin fysikaalista merkitystä ja alkuperää millään järkevällä tavalla, koska lähteeni esittää sen tavalla, joka muistuttaa jotain kikkailua. Kuitenkin se realisoituu selvästi esimättäsi hajotelman matriisien parametrina, jossa parametrin \(\alpha\) arvo määrää esittämäsi puskun B ja rotaation R.

[QS]

\(
\Lambda =\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Tämän mielenkiintoisen null-rotaation hajotus puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\) jäi aikanaan tekemättä. Yleisesti ottaen mielivaltaiselle Lorentzmuunnokselle tuo tehtävä ei ole helppo. Mutta mielestäni sain tämän matriisin hajotuksen laskettua. Yksinkertaistin asiaa kirjoittamalla avaruudessa, jonka vektorit ovat \(x=(t,x,y)\), missä siis poistettu z-dimensio.
$$\Lambda=\begin{bmatrix}
2 \alpha ^2+1 & -2 \alpha ^2 & 2 \alpha \\
2 \alpha ^2 & 1-2 \alpha ^2 & 2 \alpha \\
2 \alpha & -2 \alpha & 1 \\
\end{bmatrix}$$
Tavoitteena saada tämä muotoon \(\Lambda(\alpha) = B(\mathbf{v})\ R(\theta)\), missä puskunopeus on \(\mathbf{v}=(v_x,v_y)\) ja kiertokulma xy-tasossa on \(\theta\). Puhdas pusku \(B\) voidaan yleisessä muodossaan kirjoittaa
$$B(\mathbf{v})=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y \\
-\gamma v_x & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2} & (\gamma-1) \frac{v_x v_y}{v^2} \\
-\gamma v_y & (\gamma-1) \frac{v_y^2}{v^2} & 1+(\gamma-1) \frac{v_x^2}{v^2}\\
\end{bmatrix},$$
missä \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) ja \(v^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\). Puhdas rotaatio xy-tasossa voidaan kirjoittaa
$$R(d)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & d & \sqrt{1-d^2} \\
0 & -\sqrt{1-d^2} & d \\
\end{bmatrix},$$
missä \(d=\cos(\theta)\) ja \(\sqrt{1-d^2}=\sin(\theta)\). Näiden matriisien tulo on
$$\Lambda(\alpha)=B(\mathbf{v})\ R(d) =
\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma\left(v_x\ d-v_y \sqrt{1-d^2}\right) & -\gamma\left(v_y\ d + v_x\sqrt{1-d^2}\right)\\
-\gamma v_x & \cdot& \cdot\\
-\gamma v_y & \cdot& \cdot\\
\end{bmatrix}$$
Oikean alakulman komponentit jätin pois, kun ovat ikävän näköisiä lausekkeita, joissa esiintyy nopeuskomponentit ja \(d\). Vertaamalla tätä tuloa alkuperäiseen matriisiin \(\Lambda\), voidaan suoraan ratkaista \(\gamma=1+2\alpha^2\), jota käyttämällä matriisin ensimmäisestä sarakkeesta ratkeavat nopeuskomponentit

\(v_x=-\frac{2\alpha^2}{1+2\alpha^2}\)

\(v_y=-\frac{2\alpha}{1+2\alpha^2}\)

Vastaavasti \(d\) saadaan ratkaistua siten, että sijoitetaan \(\gamma\), \(v_y\) ja \(v_x\) esimerkiksi komponenttiin \({\Lambda^0}_2\)

\(\begin{align*}2 \alpha \left(\alpha \sqrt{1-d^2}+d\right) &= 2\alpha\\ d &= \frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}\end{align*}\)

Nopeuskomponentit \(v_x\) ja \(v_y\) sekä \(d\) voidaan sitten sijoittaa matriiseihin \(R\) ja \(B\) (lisäsin 3. avaruusdimension, ja mukana myös pois jättämäni oikean alakulman komponentit)

$$R=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & \frac{2\alpha}{1+\alpha ^2} & 0\\
0 & -\frac{2\alpha}{1+\alpha ^2} & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}$$
ja
$$B=\begin{bmatrix}
2 \alpha ^2+1 & 2 \alpha ^2 & 2 \alpha & 0 \\
2 \alpha ^2 & 2 \alpha ^2+\frac{2}{1+\alpha ^2}-1 & \frac{2 \alpha ^3}{1+\alpha ^2} & 0 \\
2 \alpha & \frac{2 \alpha ^3}{1+\alpha ^2} & 3-\frac{2}{1+\alpha ^2}& 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

Näiden tulo \(BR\) on tuo alkuperäinen null-rotaatio \(\Lambda\). Nämähän voisi helposti lausua myös nopeudella \(\mathbf{v}\) ja kulmalla \(\theta\).

Tämä oli todella hienosti päätelty ja laskettu!

Palaan tähän null-rotaatioon tarkemmin kun kerkeän. En ole mitenkään onnistunut hahmottamaan tuon \(\alpha\)-parametrin fysikaalista merkitystä ja alkuperää millään järkevällä tavalla, koska lähteeni esittää sen tavalla, joka muistuttaa jotain kikkailua. Kuitenkin se realisoituu selvästi esimättäsi hajotelman matriisien parametrina, jossa parametrin \(\alpha\) arvo määrää esittämäsi puskun B ja rotaation R.

Yllätin itsekin itseni, kun sain hajotuksen tehtyä kohtuu helposti

Parametri \(\alpha\) on erikoinen, kun koettaa fysikaalisesti tulkita. Tein sekalaisia havaintoja. Näistä ei välttämättä ole mitään hyötyä, mutta null-rotaatio on mulle uusi tuttavuus, joten minäkin haluan jotenkin ymmärtää tuon parametrin.

Voisi lähteä liikkeelle siitä, että suuhteellisuusteorian mukaisesti nopeuden neliö \(v^2 \in [0,1)\) ja xy-tason kulma \(\theta\in[0,2\pi)\), mikä tarkoittaa positiivista kiertokulmaa myötäpäivään. Lisäksi \(\sin(\theta) \in [-1,1]\) ja \(\cos(\theta) \in [-1,1]\).

Puskumatriisin B nopeuskomponenteista

\(\begin{align*}v_x&=\frac{-2\alpha^2}{1+2\alpha^2}\\\\
v_y&=\frac{-2\alpha}{1+2\alpha^2}\\\\
v_z&=0\end{align*}\)

saadaan laskettua nopeuden neliö $$v(\alpha)^2=1-\frac{1}{(2\alpha^2+1)^2}.$$Tälle tulee päteä \(0 \leq v(\alpha)^2 < 1\), mikä toteutuu, kun \(\alpha \in (-\infty,\infty)\). Kaikki reaaliset \(\alpha\) ovat siis mahdollisia, ja raja-arvo \(\alpha \to \pm \infty\) vastaa valon nopeuden lähestymistä. Funktiolle \(v^2\) pätee lisäksi \(v(-\alpha)^2=v(\alpha)^2\). Itse asiassa koko puskumatriisille pätee \(B(-\alpha)=B(\alpha)\).

Sitten yksi juttu, mitä en aiemmin huomannut. Rotaatiomatriisi, jonka sain laskettua, oli nimittäin alunperin muodossa

$$R(\alpha)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & \frac{2\sqrt{\alpha ^2}}{1+\alpha ^2} & 0 \\
0 & -\frac{2\sqrt{\alpha ^2}}{1+\alpha ^2} & \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

Kirjoitin tarkemmin ajattelematta \(\sqrt{\alpha^2} = \alpha\). Tämä pitäisi kuitenkin säilyttää alkuperäisessä muodossa tai olisi pitänyt kirjoittaa osoittajiin \(2|\alpha|\) ja \(-2|\alpha|\). Rotaatiomatriisille pätee siis myös \(R(-\alpha)=R(\alpha)\). Tämähän tarkoittaa sitä, että \(-\alpha\) ja \(\alpha\) antavat samat matriisit, joten parametrin voi rajoittaa välille \(\alpha \in [0,\infty)\).

Rotaatiomatriisissa \(\cos(\theta)=\frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2}\). Oikean puolen globaali maksimi \(\max\left( \frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} \right) = 1\), kun \(\alpha = 0\). Tuo arvo tuottaa kuitenkin yksikkömatriisin \(\Lambda(0)=B(0)R(0)=\mathbb{I}_{4x4}\), mikä ei ole null-rotaatio. Arvo \(\alpha=0\) ei ole siis mahdollinen. Oikean puolen funktiolla ei ole globaalia minimiä, mutta on olemassa raja-arvo $$\lim_{\alpha\to\infty} \left(\frac{1-\alpha ^2}{1+\alpha ^2} \right ) = -1.$$Rotaatiosta \(R(\theta=\pi)\) saatava null-rotaatio vaatisi valon nopeuden, sillä puskumatriisissa \(\alpha\to\infty\) tarkoittaa valon nopeuden lähestymistä.

Rotaatiomatriisin toinen elementti on \(\sin(\theta)=\frac{2|\alpha|}{1+\alpha^2}\). Oikean puolen maksimi \(\max\left(\frac{2|\alpha|}{1+\alpha^2} \right) = 1\), kun \(\alpha = 1\). Globaali minimi \(\min\left(\frac{2|\alpha|}{1+\alpha^2} \right) = 0\), kun \(\alpha=0\), mikä tuottaisi yksikkömatriisin. Siispä kulman \(\theta=\pi\) lisäksi myöskään \(\theta=0\) ei johda null-rotaatioon.

Päättelisin edellisten perusteella ainakin, että parametri \(\alpha \in (0,\infty)\) tai vaihtoehtoisesti \(\alpha \in (-\infty,0)\). Rotaatiosta ja puskusta muodostettu null-rotaatio ei ole mahdollinen kiertokulmilla \(\theta=0\) ja \(\theta=\pi\).

[QS]

Tuossa mun edellisessä on asioita pielessä. Väitteeni \(B(-\alpha)=B(\alpha)\) ei tietysti pidä paikkaansa, kun komponentitn \(2\alpha\) näkee sokea kanakin (paitsi minä). No, täytyy miettiä joskus uusiksi.

[QS]

Kylläpä tämä matriisitulo \(BR=\Lambda\) taistelee vastaan, jotta saa ominaisuutensa salattua. Kertakaikkisen erikoinen otus, mutta sain ehkä jotain selville. Tarkastellaan matriisitulon komponenttia \({(BR)^0}_2\)

\(B(\alpha)\ R(\alpha) =
\begin{bmatrix}
. & . & \frac{2 \alpha \left(1-\alpha ^2+2 \alpha\sqrt{\frac{\alpha^2}{(1+\alpha^2)^2}}(1+\alpha^2)\right)}{1+\alpha ^2} \\
. & .& . \\
. & . & . \\
\end{bmatrix}\)

ja null-rotaation komponenttia \({\Lambda^0}_2\)

\(\Lambda=\begin{bmatrix}
. & . & 2 \alpha \\
. & .& . \\
. & . & . \\
\end{bmatrix}\)

Nuo komponentit ovat samat, kun oletetaan \(\alpha \in \mathbb{R}\) ja

\(\begin{align*}\frac{2 \alpha \left(1-\alpha ^2+2 \alpha\sqrt{\frac{\alpha^2}{(1+\alpha^2)^2}}(1+\alpha^2)\right)}{1+\alpha ^2} = 2\alpha\\\\
4 \alpha ^2 \left( \frac{ \sqrt{\alpha ^2}-\alpha}{1+\alpha ^2}\right)=0
\end{align*}\)

Tämä toteutuu vain, kun \(\alpha \ge 0\). Jos tämän nyt yhdistää aiempaan viestiini, niin väittäisin, että null-rotaation parametri rajoittuu arvoihin \(\alpha > 0\).

[Disputator]

QS:

Kylläpä tämä matriisitulo \(BR=\Lambda\) taistelee vastaan, jotta saa ominaisuutensa salattua. Kertakaikkisen erikoinen otus, mutta sain ehkä jotain selville. Tarkastellaan matriisitulon komponenttia \({(BR)^0}_2\)

\(B(\alpha)\ R(\alpha) =
\begin{bmatrix}
. & . & \frac{2 \alpha \left(1-\alpha ^2+2 \alpha\sqrt{\frac{\alpha^2}{(1+\alpha^2)^2}}(1+\alpha^2)\right)}{1+\alpha ^2} \\
. & .& . \\
. & . & . \\
\end{bmatrix}\)

ja null-rotaation komponenttia \({\Lambda^0}_2\)

\(\Lambda=\begin{bmatrix}
. & . & 2 \alpha \\
. & .& . \\
. & . & . \\
\end{bmatrix}\)

Nuo komponentit ovat samat, kun oletetaan \(\alpha \in \mathbb{R}\) ja

\(\begin{align*}\frac{2 \alpha \left(1-\alpha ^2+2 \alpha\sqrt{\frac{\alpha^2}{(1+\alpha^2)^2}}(1+\alpha^2)\right)}{1+\alpha ^2} = 2\alpha\\\\
4 \alpha ^2 \left( \frac{ \sqrt{\alpha ^2}-\alpha}{1+\alpha ^2}\right)=0
\end{align*}\)

Tämä toteutuu vain, kun \(\alpha \ge 0\). Jos tämän nyt yhdistää aiempaan viestiini, niin väittäisin, että null-rotaation parametri rajoittuu arvoihin \(\alpha > 0\).

Aamupäivää! Tuo lainaustoiminto ei anna kirjoittaa mitään lainauksen yläpuolelle suoraan, se pitää tehdä ilmeisesti ennen lainausta.

Tässä on ollut kiireitä ja tuo ylläoleva jäi kommentoimatta, mikä olikin tavallaan hyvä, koska huomasin tänään jotain tärkeää asiaan liittyen, mistä alla tarkemmin.

Sitten itse asiaan:

Vaikuttaisi hyvinkin oikealta päättelyltä, neliöjuuri neliöstä, siis \(\sqrt{\alpha^2}\) on aina sellainen murheenkryyni. Lopputulos on ainakin oikein, sillä mun lähteeni esitteli nuo null-rotaation matriisit ehdolla \(\alpha>0\).

Nuo null-rotaatiot hämmentävät kuitenkin edelleen mieltäni.

Kopsaan edellisestä viestistäni tuon null-rotaation ja annan sille uuden nimen, varsin oletettavalla tavalla, käytin tätä nimeä koneella laskiessani:
$$
nul(\alpha)=\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

$$
Jos sallitaan tuossa ylläolevassa \(\alpha\in\mathbf{R}\), niin silloin pätee \(\forall\:\alpha_1,\alpha_2\in\mathbf{R}\):

\(nul(\alpha_1+\alpha_2)=nul(\alpha_1)nul(\alpha_2)\)

Noin määriteltynä "null-rotaatiot" muodostavat 1-parametrisen SO(1,3) aliryhmän Nul tms.Yksikkömatriisi ei ole tietenkään null-rotaatio, mutta näin saadaan ryhmärakenne noille matriiseille.

Laitoin tuon null-rotaation lainausmerkkeihin, jos siis parametrin arvolla \(\alpha<0 \) määritellyt rotaatiot \(nul(\alpha)\) eivät ole oikeasti null-rotaatioita (lähteeni ja laskusi vaativat \(\alpha>0\)). Käytän nyt jatkossa nimeä null-rotaatio ilman lainausmerkkejä.

Tuosta ylläolevasta kaavasta näkyy, että \(nul(-\alpha)\):n käänteisalkio on \(nul(-alpha)\), joka on matriisina:

$$
nul(-\alpha)=\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & -2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & -2\alpha & 0\\
-2\alpha & 2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

$$
Tuon matriisin ainoa valonlaatuinen ominaisvektori on edelleen (1,1,0,0) ja toinen on paikanlaatuinen (0,0,0,1)

JUURI NYT!! käänsin lähteeni sivua ja siellä sanotaan, että nuo matriisit muodostavat null-rotaatiot, kun \(\alpha\neq 0\) eli ehtoa \(\alpha>0\) ei tarvita. Siis ihan oikeasti huomasin tuon juuri äsken.

Ihmeellistä kyllä, sama lähteeni ensin määrittelee parametrin \(\alpha\) s.e. \(\alpha>0\) ja sitten ilman eri mainintaa (tai en löytänyt) kaikki arvot käyvät.

Kaavan \(nul(\alpha_1+\alpha_2)=nul(\alpha_1)nul(\alpha_2)\) voi perustella suoralla laskulla (koneella) tai sitten käyttää Lie algebra-teoriaa seuraavasti, määritellään Lie-algebran matriisi \(A\in so(1,3)\) seuraavasti (aikaisempi viestini):

$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Laskemalla saadaan:

\(nul(\alpha) = exp(\alpha A)\)

Koska kyseessä on 1-parametrinen Lien aliryhmä,saadaan :

\(nul(\alpha_1+\alpha_2) = exp((\alpha_1+\alpha_2) A)= exp(\alpha_1 A+\alpha_2 A)=
exp(\alpha_1 A) exp(\alpha_2 A)= nul(\alpha_1)nul(\alpha_2)

\)

Sorry tosiaan tuosta virheellisestä vaatimuksesta \(\alpha>0\)..