Ajankääntö ja pariteetti fysiikassa

[Disputator]

Myöhäisiltaa!

Avaan tälläisen ketjun nyt, vaikka en tänään kirjoita mitään tarkempaa, jätän aiheen nyt vain ns. hautumaan. Ajankääntö merkitsee klassisesti muunnosta:

\(t\to-t\)

missä siis ajan \( t\) suunta vaihtuu eli katsomme fysikaalista tilannetta videolta lopusta alkuun, normaalin alusta loppuun katselun sijasta.

Toinen otsikossa mainittu on pariteettimuunnos, eli paikkavektorille \(\textbf{r}\in \mathbf{R}^3\) muunnos on:

\(\textbf{r}\to -\textbf{r} \).

Kyseiset muunnokset vaikuttavat melko harmittomilta esimerkiksi klassisessa mekaniikassa, mutta niissä on paljon mielenkiintoisia ja haastavia ongelmakohtia, erityisesti kvanttimekaniikassa. Mutta niistä tarkemmin myöhemmin.

[Keckman]

Ajankäännöstä tulevat (tietysti) mieleen takyonit, hypoteettiset hiukkaset, jotka kulkevat valoa nopeammin ja siksi ajassa taaksepäin. Ne eivät voi koskaan saapua rajan tälle puolen ja kulkea hitaammin kuin valo. Yleensä väitetään, että Einsteinin teoriat tekevät mahdottomiksi valoa nopeammat hiukkaset, mutta se on paskapuhetta. Se raja, valonnopeus, on mahdoton massallisille hiukkasille, koska siinä jakajaksi tulee nolla ja nollalla ei saa jakaa.

[QS]

Inspiroiduin otsikosta, kun näissä asioissa voi avata Weinbergin teoksen Quantum Theory of Fields.

Tässä on nyt monta P-kirjaimen notaatiota: \(\mathscr P\) on Lorentzin ryhmän matriisi, \(P\) on Poincaren ryhmän liikemäärän generaattori, ja \(\mathrm P\) on Hilbertin avaruuden unitaarinen pariteettioperaattori (hiukkastila on Poincaren ryhmän ääretönulotteinen, unitaarinen ja redusoitumaton esitys). Lisäksi \(p\) on neliliikemäärä, \(\mathbf p\) sen avaruudelliset komponentit, ja \(\mathbf P\) on kvanttitilan liikemääräoperaattori, jossa on kolme komponettia \(P_1\), \(P_2\) ja \(P_3\).

Weinbergin konventioilla nelivektorin aikakomponentti on viimeisenä, mutta muutin järjestykseen \((t,\mathbf x)\) tai \((E,\mathbf p)\). Aluksi vain pariteetti, katsotaan ajankääntö erikseen.

Pariteetti on Lorentzin ryhmän \(O(1,3)\) diskreetti muunnos, jonka matriisiesitys on \(\mathscr P = \text{diag}(1,-1,-1,-1)\), ja \(\det \mathscr P = -1\). Komponentit ovat siis \(\mathscr P^0{_0}=1\) ja \(\mathscr P^1{_1}=\mathscr P^2{_2}=\mathscr P^3{_3}=-1\).

Voidaan olettaa unitaarinen operaattori \(\mathrm P\), joka toteuttaa pariteetin Hilbertin avaruudessa siten, että Poincare-ryhmän unitaarinen operaattori \(U(\Lambda,a)\) muuntuu unitaarisena

\(\mathrm P\ U(\Lambda,a)\ \mathrm P^{-1} =U(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1},\mathscr P a)\).

Muunnos \((\Lambda,a)\) rakentuu Lorentz-muunnoksesta ja translaatiosta, eli siis \(\Lambda^\mu{_\nu} \in SO^+(1,3)\) ja \(a^\mu \in \mathbb R^4\). Poincaren algebran hermiittiset generaattorit ovat \(J^{\rho\sigma}=J^{\rho\sigma\dagger}\) ja \( P^\mu=P^{\mu\dagger}\), joihin pariteetti kohdistuu seuraavasti

\(\begin{align}
\mathrm P\ iJ^{\rho\sigma}\ \mathrm P^{-1} &= i\ \mathscr P_\mu{^\rho}\ \mathscr P_\nu{^\sigma}J^{\mu\nu} \\
\mathrm P\ iP^\rho\ \mathrm P^{-1} &= i\ \mathscr P_\mu{^\rho}\ P^\mu
\end{align}\)

Oikealla puolella muunnos on lausuttu Lorentz-matriisilla \(\mathscr P\). Energia-operaattorin \(H=P^0\) muunnos on

\(\mathrm P\ iH\ \mathrm P^{-1} = iH\).

Jos \(\mathrm P\) olisi anti-unitaarinen ja anti-lineaarinen, niin silloin \(\mathrm P\ i\ \mathrm P^{-1} = -i\), ja muunnos olisi \(\mathrm P\ H\ \mathrm P^{-1} = -H\), mikä tarkoittaisi energian \(P^0\) muuttumista negatiiviseksi. Voidaan päätellä, että \(\mathrm P\) on unitaarinen ja lineaarinen, jotta energia pysyy positiivisena. Kun tämä määrittely on tehty, niin muunnokset kvanttitilan operaattoreille ovat

\(\begin{align}
\mathrm P\ \mathbf J\ \mathrm P^{-1} &= +\mathbf J \\
\mathrm P\ \mathbf K\ \mathrm P^{-1} &= -\mathbf K \\
\mathrm P\ \mathbf P\ \mathrm P^{-1} &= -\mathbf P
\end{align}\)

Kulmaliikemäärä \(\mathbf J\) ei vaihda etumerkkiä, mutta pusku \(\mathbf K\) ja liikemäärä \(\mathbf P\) vaihtavat. Kirjoitetaan massallinen (\(m>0\)) yksihiukkastila \(\ket {k, \sigma}\), missä \(k\) on neliliikemäärä ja \(\sigma\) on spin. Tässä tarkastellaan hiukkasta levossa, jolloin \(k^\mu=(m,0,0,0)\), ja kyseessä on eräänlainen perustila.

Tuo \(\ket {k, \sigma}\) on operaattorien \(\mathbf P\), \(H\) ja \(J_3\) ominaisvektori, ja ominaisarvot ovat \(0\), \(m\) ja \(\sigma\). Pariteetti tuottaa tilan \(\mathrm P\ \ket {k, \sigma}\), joka on edelleen kolmen operaattorin ominaisvektori, ja ominaisarvot ovat samat \(0\), \(m\) ja \(\sigma\). Tästä voidaan päätellä, että tilat poikkeavat toisistaan korkeintaan vaihekertoimella siten, että

\(\mathrm P\ \ket {k, \sigma} = \eta\ \ket {k, \sigma}\)

missä vaihekerroin (\(|\eta|=1\)) on nimeltään 'sisäinen pariteetti'. Kirja johtaa muunnoksen myös tilavektorille, jolla on äärellinen liikemäärä \(p=(\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}, \mathbf p)\). Muunnos on

\(\mathrm P\ \ket {p, \sigma} = \eta\ \ket {\mathscr P\ p, \sigma}\)

missä \(\mathscr P\ p=(\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}, -\mathbf p)\), ja liikemäärän \(\mathbf p\) etumerkki on siis vaihtunut. Tässä tuo tilavektori on kirjoitettu spin-kannassa, eikä helisiteetti-kannassa. Jos kirjoitettaisiin helisiteetti-kannassa niin helisiteetti \(\lambda = \mathbf J \cdot \hat p\) vaihtaisi etumerkkiä, kun yksikkövektorin \( \hat p = \mathbf p / |\mathbf p|\) etumerkki vaihtuu.

Tässä voi kysyä, että mitä tämä edellä johdettu tarkoittaa? Se tarkoittaa sitä, että \(\mathrm P\) on massallisen spin-esityksen \( \ket {p, \sigma}\) symmetria, sillä muunnoksen jälkeinen tila esittää samaa hiukkasta kuin ennen muunnosta (pl. vaihe ja liikemäärän kääntyminen).

Seuraavaksi käsitellään massaton (\(m=0\)) yksihiukkastila \(\ket {k, \lambda}\), jonka z-akselin suuntainen liikemäärä on \(k^\mu=(\kappa,0,0,\kappa)\). Weinberg ei erottele helisiteetin notaatiota \(\lambda\) ja spinin notaatiota \(\sigma\), mutta korvasin \(\sigma\):n tässä \(\lambda\):lla. Massattomat hiukkaset luokitellaan (Wigner luokittelu) liikemäärällä \(k\) ja helisiteetillä \(\lambda\).

Massaton perustila \(\ket {k, \lambda}\) on \(P^\mu\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on \(k^\mu=(\kappa,0,0,\kappa)\). Helisiteetti määritellään \(\lambda = \mathbf J \cdot \hat k\), ja Weinbergin perustila \(\ket {k, \lambda}\) on \(J_3\):n ominaisvektori, ja ominaisarvo on \(\lambda\).

Pariteetti \(\mathrm P\) vaihtaa liikemäärän etumerkin, koska \((\mathscr Pk)^\mu = (\kappa,0,0,-\kappa)\). Myös helisiteetti \(\lambda\) vaihtaa etumerkkiä, kun yksikkövektorin \(\hat k\) etumerkki vaihtuu. Pariteetti siis muuttaa massattoman spin-hiukkasen helisiteetin vastakkaiseksi. Jos halutaan teoria, jossa pariteetti on symmetria, niin on oltava fysikaalinen hiukkanen, jonka helisiteetti voi olla vastakkainen.

Äärelliselle liikemäärälle ja helisiteetille kirja johtaa muunnoksen

\(\mathrm P\ \ket{p,\lambda}=\eta_\lambda\ e^{\mp i\pi\lambda}\ \ket{\mathscr P\ p,-\lambda}\)

missä \(\lambda\) ja \(p\) vaihtavat etumerkin, ja eteen tulee vaihekerroin, joka riippuu liikemäärän \(p\) komponenttien etumerkeistä. Tuo vaihekerroin on peräisin massattoman tilan määrittelyyn käytetystä rotaatiomatriisista, mutta en ensi lukemalla saanut selvää miten vaihe muodostuu. Ydinajatus tässä on kuitenkin se, että helisiteetin etumerkki vaihtuu.

Jos nyt vetäisi jotain yhteen, niin fotonilla on kaksi fysikaalista helisiteetti-tilaa \(\lambda = \pm 1\), joten pariteetti on fotonin symmetria. Massaton Diracin kenttä sisältää helisiteetit \(\lambda = \pm \frac 1 2\), joten pariteetti on tässäkin symmetria.

Sähkömagneettinen vuorovaikutus kytkeytyy niin sanottuun vektorivirtaan \(\bar\psi\gamma^\mu\psi\) (tästä oli juttua jossain toisessa ketjussa), joka ei riipu Diracin kentän kiraalisuudesta tai helisiteetistä, joten pariteetti on sähkömagnetismin symmetria.

Mutta heikko vuorovaikutus kytkeytyy vain vasenkiraaliseen Diracin fermioniin (massattoman Diracin fermionin kiraalisuus on sama kuin helisiteetti). Näin ollen pariteetti ei ole symmetria, sillä heikko vuorovaikutus ei kytkeydy pariteettimuunnoksen oikeakiraaliseen fermioniin.

Tällaista aluksi

[Disputator]

Inspiroiduin otsikosta, kun näissä asioissa voi avata Weinbergin teoksen Quantum Theory of Fields.
...
Tällaista aluksi

Erittäin hyvä kirjoitus, ehkä liiankin hyvä koska jos joku siteraa Weinbergin teoksesta, on tiedossa todella vakavaa settiä. Mutta sun kirjoituksessa on jotain sellaista jota tunnistan ilman Weinbergiä. Jotkut otsikon teemat ja sun kirjoituksen tietyt kohdat ovat läsnä jo epärelativistisessa kvanttimekaniikassa ja palaan niihin ja yritän vertailla niitä sitten Weinbergin esitykseen. Samalla toivottavasti opin sitten Weinbergin esityksestä jotakin.

Otsikon aihe on tosiaan epätriviaali ja palaan kyllä tähän.

[QS]

Otsikon aihe on tosiaan epätriviaali ja palaan kyllä tähän.

Kyllä, päällisin puolin helppo, mutta yksityiskohdissa ties mitä paholaisia.

Olisi kyllä helpompi aloittaa epärelativistisesta km:sta, ja sitten vasta Weinbergin poluille, mutta samalla kun luin asiaan johdattelevat luvut, niin löytyi sieltä uusia näkökulmia kvanttimekaniikkaakin. Pidemmälle vietynä juttu jakautuu jälleen kahteen haaraan, jotka ovat tilavektorin pariteetti ja relativtisen kentän pariteetti. Tuossa johdatuksessa oli vain tilavektori.

[Disputator]

Iltapäivää!

Inspiroiduin otsikosta, kun näissä asioissa voi avata Weinbergin teoksen Quantum Theory of Fields.

Tässä on nyt monta P-kirjaimen notaatiota: \(\mathscr P\) on Lorentzin ryhmän matriisi, \(P\) on Poincaren ryhmän liikemäärän generaattori, ja \(\mathrm P\) on Hilbertin avaruuden unitaarinen pariteettioperaattori (hiukkastila on Poincaren ryhmän ääretönulotteinen, unitaarinen ja redusoitumaton esitys). Lisäksi \(p\) on neliliikemäärä, \(\mathbf p\) sen avaruudelliset komponentit, ja \(\mathbf P\) on kvanttitilan liikemääräoperaattori, jossa on kolme komponettia \(P_1\), \(P_2\) ja \(P_3\).

Tosiaankin, onneksi LaTeX tuottaa erottuvia merkkejä, käsin kirjoittaessa on soppa todella sakea (kokeilin).

Weinbergin konventioilla nelivektorin aikakomponentti on viimeisenä, mutta muutin järjestykseen \((t,\mathbf x)\) tai \((E,\mathbf p)\). Aluksi vain pariteetti, katsotaan ajankääntö erikseen.

Pariteetti on Lorentzin ryhmän \(O(1,3)\) diskreetti muunnos, jonka matriisiesitys on \(\mathscr P = \text{diag}(1,-1,-1,-1)\), ja \(\det \mathscr P = -1\). Komponentit ovat siis \(\mathscr P^0{_0}=1\) ja \(\mathscr P^1{_1}=\mathscr P^2{_2}=\mathscr P^3{_3}=-1\).

Voidaan olettaa unitaarinen operaattori \(\mathrm P\), joka toteuttaa pariteetin Hilbertin avaruudessa siten, että Poincare-ryhmän unitaarinen operaattori \(U(\Lambda,a)\) muuntuu unitaarisena

\(\mathrm P\ U(\Lambda,a)\ \mathrm P^{-1} =U(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1},\mathscr P a)\).

Muunnos \((\Lambda,a)\) rakentuu Lorentz-muunnoksesta ja translaatiosta, eli siis \(\Lambda^\mu{_\nu} \in SO^+(1,3)\) ja \(a^\mu \in \mathbb R^4\).

Tuossa ylläolevassa kun määritellään \(\mathrm P\ U(\Lambda,a)\ \mathrm P^{-1}\) kaavana

\(\mathrm P\ U(\Lambda,a)\ \mathrm P^{-1} =U(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1},\mathscr P a)\),

jäin ihmettelemään minkälainen lauseke \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\) oikestaan on? Eikun kokeilemaan, tässä on hyvä nähdä visuaalisesti se lopputulos. Matriisi \(\Lambda\) oli siis

\(\Lambda=\begin{bmatrix}
{\Lambda^0}_{0} & {\Lambda^0}_{1} & {\Lambda^0}_{2} & {\Lambda^0}_{3}\\
{\Lambda^1}_{0} &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
{\Lambda^2}_{0} &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
{\Lambda^3}_{0} & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Lasketaan \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\) sitten. Se on

\(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}=\begin{bmatrix}
{\Lambda^0}_{0} & -{\Lambda^0}_{1} & -{\Lambda^0}_{2} & -{\Lambda^0}_{3}\\
-{\Lambda^1}_{0} &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
-{\Lambda^2}_{0} &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
-{\Lambda^3}_{0} & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Se, mitä hain takaa on se, että matriisi \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\in SO^+(1,3)\), sillä jos \( \Lambda\in SO^+(1,3) \), niin \(\det(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1})=\det(\Lambda)=1\) ja \({[\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}]^0}_0={\Lambda^0}_{0}\geq 1\)

Vastaava toimii ajankäännölle eli lasketaan \(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}\). Sekin on:

\(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}=\begin{bmatrix}
{\Lambda^0}_{0} & -{\Lambda^0}_{1} & -{\Lambda^0}_{2} & -{\Lambda^0}_{3}\\
-{\Lambda^1}_{0} &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
-{\Lambda^2}_{0} &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
-{\Lambda^3}_{0} & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}\).

Koska tämä on sama kuin \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\), niin myös \(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}\in SO^+(1,3)\).

Kokeillaan sitten tilannetta, jossa \(\Lambda\) on tavallinen rotaatio, silloin

\(\Lambda=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
0 &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
0 & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{R^1}_{1} & {R^1}_{2} & {R^1}_{3}\\
0 &{ R^2}_{1} &{R^2}_{2}& {R^2}_{3}\\
0 & {R^3}_{1} & {R^3}_{2} &{R^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

ja siis:

\(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{R^1}_{1} & {R^1}_{2} & {R^1}_{3}\\
0 &{ R^2}_{1} &{R^2}_{2}& {R^2}_{3}\\
0 & {R^3}_{1} & {R^3}_{2} &{R^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Pariteetilla konjugoitu rotaatiomatriisi on siis sama. Tämä vastannee antamaasi kaavaa, jossa sinulla on nuo operaattorit Hilbert-avaruudessa, mutta ylläolevan kaavan infinitesimaalinen muotoilu antanee algebrallisesti saman tuloksen:

\(\mathrm P\ \mathbf J\ \mathrm P^{-1} = +\mathbf J \)

Ajankäännölle saadaan vastaavasti:

\(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{R^1}_{1} & {R^1}_{2} & {R^1}_{3}\\
0 &{ R^2}_{1} &{R^2}_{2}& {R^2}_{3}\\
0 & {R^3}_{1} & {R^3}_{2} &{R^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Eli ajankääntö ei näy tuossa matriisissa mitenkään. Tämä on huolestuttavaa, kun sitä olettaisi, että aktiivinen muunnos kääntää kulman \(\phi \)verran niin ajankäännössä pitäisi kääntyminen tapahtua kulman \(-\phi\) verran. Weinbergin mukaan
pitäisi tuossa mun laskussa olla miinusmerkki mukana:

\(\mathrm T\ \mathbf J\ \mathrm T^{-1} = -\mathbf J \)

Huomaa miinusmerkki. Vaikka sulla operaattorit \(T\) ja \(\mathbf J\) asuvat Siinä Hilbert-avaruuden operaattoreiden luokassa, tuo algebrallinen muoto pitäisi olla sama ihan Lie-algebran generaattoreille ja siksi mulla pitäisi tuossa ylläolevassa olla miinusmerkki??

Päättelen kyllä nyt jotain pieleen pahasti , tai sitten laskuvirhe tms. Tai sitten se tulee siitä, että T on antilineaarinen ja siksi miinusmerkkejä jää uupumaan mulla. Kuvaus \(\mathscr T\) on kyllä 4x4-matriisina ihan lineaarinen.

[Disputator]

Jatkan vielä hieman ylläolevasta, laskeskelin muutaman esimerkin.

Jos merkitsen x-akselin suuntaisen puskun \(B_1 (w) \) generaattoria ylläolevien notaatioiden mukaisesti, jossa kaunokirjoituskirjaimet viittaavat Lie-algebran generaattoreihin (4x4-matriiseja) saan:

\( \mathscr K_1=\begin{bmatrix}
0 & i & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 &0
\end{bmatrix}\),

niin silloin saan (tarkistus):

\(B_1 (w)=\exp(-i w \mathscr K_1 )=\begin{bmatrix}
\cosh(w) & \sinh(w) & 0 & 0\\
\sinh(w) & \cosh(w) & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 &1
\end{bmatrix}\).

Ok.

Vastaavasti rotaatio \(R_3(\phi)\) z-akselin ympäri voidaan esittää rotaation generaattorin \( \mathscr L_3\) avulla:

\( \mathscr L_3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 &0
\end{bmatrix}\),

ja siten siis (tarkistus)

\(R_3 (w)=\exp(-i \phi \mathscr L_3 )=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos(\phi) & \sin(\phi) & 0\\
0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0\\
0 & 0 & 0 &1
\end{bmatrix}\).


Nyt saan laskemalla:

\(
\begin{align}
\mathscr P\: \mathscr L_3\: \mathscr P^{-1}&= \mathscr L_3\\
\mathscr T\: \mathscr L_3\: \mathscr T^{-1}&= \mathscr L_3\\
\mathscr P\: \mathscr K_1\: \mathscr P^{-1}&= -\mathscr K_1\\
\mathscr T\: \mathscr K_1\: \mathscr T^{-1}&= -\mathscr K_1\\
\end{align}\)

Ajan suhteen konjugoidut generaattorit eroavat merkiltään Weinbergin vastaavista kaavoista (tähän esimerkkikeissiin sovitettuina):

\(\begin{align}
T\: L_3\: T^{-1} &= -L_3\\
T\: K_1\: T^{-1} &= K_1\\
\end{align}
\)

Weinberg tarkastelee toki tilannetta Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\) jossa hän käyttää Lie-algebran esityksiä \(\pi \) avaruuden hermiittisinä operaattoreina eli esimerkiksi \(\pi(\mathscr L_3)=L_3\).

Tuo ajankääntö hävittää siis miinusmerkkejä, kun siirrytään esitykseen \(\pi\). Weinbergillä on kyllä joku ovela systeemi kyllä tässä.

Edit:

Ihan pieni huomio tähän vielä:

Weinberg tosiaankin tarkastelee tilannetta Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\). Hänellä puskujen generaattoreita \( \mathscr K_i\) vastaa Hibert-avaruuden \(\mathscr H\) hermiittiset operaattorit \(K_i\), mutta itse Lie-algebran alkiot \( \mathscr K_i\) ovat antihermiittisiä, siis:

\(
\begin{align}
\mathscr K_i^{\dagger}&=-\mathscr K_i\\
K_i^{\dagger}&=K_i\\
\end{align}.
\)

[QS]

Tuossa ylläolevassa kun määritellään \(\mathrm P\ U(\Lambda,a)\ \mathrm P^{-1}\) kaavana

\(\mathrm P\ U(\Lambda,a)\ \mathrm P^{-1} =U(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1},\mathscr P a)\),

Iltaa! Ollaan jälleen asioiden ytimissä, eli pienissä paholaisissa. Kopioin Weinbergista vastaavan ajankäännön operaattorille

\(\mathrm T\ U(\Lambda,a)\ \mathrm T^{-1} =U(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1},\mathscr T a)\)

jonka muoto on täsmälleen sama. Koetan ensimmäisenä pitää mielessä, että oikea puoli on tosiaan ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden operaattori, jolla on kaksi suluissa olevaa parametria, ja itse operaattori ei siis kuulu Lorentz- tai Poincare-ryhmään.

jäin ihmettelemään minkälainen lauseke \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\) oikestaan on? Eikun kokeilemaan, tässä on hyvä nähdä visuaalisesti se lopputulos. Matriisi \(\Lambda\) oli siis

\(\Lambda=\begin{bmatrix}
{\Lambda^0}_{0} & {\Lambda^0}_{1} & {\Lambda^0}_{2} & {\Lambda^0}_{3}\\
{\Lambda^1}_{0} &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
{\Lambda^2}_{0} &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
{\Lambda^3}_{0} & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Lasketaan \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\) sitten. Se on

\(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}=\begin{bmatrix}
{\Lambda^0}_{0} & -{\Lambda^0}_{1} & -{\Lambda^0}_{2} & -{\Lambda^0}_{3}\\
-{\Lambda^1}_{0} &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
-{\Lambda^2}_{0} &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
-{\Lambda^3}_{0} & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Se, mitä hain takaa on se, että matriisi \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\in SO^+(1,3)\), sillä jos \( \Lambda\in SO^+(1,3) \), niin \(\det(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1})=\det(\Lambda)=1\) ja \({[\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}]^0}_0={\Lambda^0}_{0}\geq 1\)

Näin on. Pariteetti muuntaa ajan suunnan säilyttävän Lorentzmuunnoksen ajan suunnan säilyttävksi Lorentzmuunnokseksi, kyllä.

Vastaava toimii ajankäännölle eli lasketaan \(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}\). Sekin on:

\(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}=\begin{bmatrix}
{\Lambda^0}_{0} & -{\Lambda^0}_{1} & -{\Lambda^0}_{2} & -{\Lambda^0}_{3}\\
-{\Lambda^1}_{0} &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
-{\Lambda^2}_{0} &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
-{\Lambda^3}_{0} & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}\).

Koska tämä on sama kuin \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}\), niin myös \(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}\in SO^+(1,3)\).

Nyt kun tuon auki laskit, niin vasta huomasin, että \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1} = \mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}\). Jännä yksityiskohta, että konjugoivat Lorentzmatriisin samoin. Mutta näin kai siinä käy, kun \( \mathscr T^{-1}=-\mathscr T\), \(\mathscr P^{-1}=-\mathscr P\), ja \(\mathscr P=-\mathscr T\), niin etumerkit kumoutuvat, ja lopputulos sama.

No, muistutan itseäni, että ei huolta, nämä näkyvät operaattorin parametreissa, ja asiat varmaan loksahtavat kohdalleen myöhemmin.

Kokeillaan sitten tilannetta, jossa \(\Lambda\) on tavallinen rotaatio, silloin

\(\Lambda=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{\Lambda^1}_{1} & {\Lambda^1}_{2} & {\Lambda^1}_{3}\\
0 &{ \Lambda^2}_{1} &{\Lambda^2}_{2}& {\Lambda^2}_{3}\\
0 & {\Lambda^3}_{1} & {\Lambda^3}_{2} &{\Lambda^3}_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{R^1}_{1} & {R^1}_{2} & {R^1}_{3}\\
0 &{ R^2}_{1} &{R^2}_{2}& {R^2}_{3}\\
0 & {R^3}_{1} & {R^3}_{2} &{R^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

ja siis:

\(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{R^1}_{1} & {R^1}_{2} & {R^1}_{3}\\
0 &{ R^2}_{1} &{R^2}_{2}& {R^2}_{3}\\
0 & {R^3}_{1} & {R^3}_{2} &{R^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Pariteetilla konjugoitu rotaatiomatriisi on siis sama. Tämä vastannee antamaasi kaavaa, jossa sinulla on nuo operaattorit Hilbert-avaruudessa, mutta ylläolevan kaavan infinitesimaalinen muotoilu antanee algebrallisesti saman tuloksen:

\(\mathrm P\ \mathbf J\ \mathrm P^{-1} = +\mathbf J \)

Totta, pariteetti ei muuta rotaatioita. Ja myöskään ajankääntö ei muuta, kuten totesit:

Ajankäännölle saadaan vastaavasti:

\(\mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\
0 &{R^1}_{1} & {R^1}_{2} & {R^1}_{3}\\
0 &{ R^2}_{1} &{R^2}_{2}& {R^2}_{3}\\
0 & {R^3}_{1} & {R^3}_{2} &{R^3}_{3}
\end{bmatrix}\)

Eli ajankääntö ei näy tuossa matriisissa mitenkään. Tämä on huolestuttavaa, kun sitä olettaisi, että aktiivinen muunnos kääntää kulman \(\phi \)verran niin ajankäännössä pitäisi kääntyminen tapahtua kulman \(-\phi\) verran. Weinbergin mukaan
pitäisi tuossa mun laskussa olla miinusmerkki mukana:

\(\mathrm T\ \mathbf J\ \mathrm T^{-1} = -\mathbf J \)

Huomaa miinusmerkki. Vaikka sulla operaattorit \(T\) ja \(\mathbf J\) asuvat Siinä Hilbert-avaruuden operaattoreiden luokassa, tuo algebrallinen muoto pitäisi olla sama ihan Lie-algebran generaattoreille ja siksi mulla pitäisi tuossa ylläolevassa olla miinusmerkki??

Päättelen kyllä nyt jotain pieleen pahasti , tai sitten laskuvirhe tms. Tai sitten se tulee siitä, että T on antilineaarinen ja siksi miinusmerkkejä jää uupumaan mulla. Kuvaus \(\mathscr T\) on kyllä 4x4-matriisina ihan lineaarinen.

Tässä menee aivot helposti lukkoon. Jos ajatellaan Lorentzryhmän nelivektori-esitystä, niin kuten todettu, \(\mathscr P\Lambda \mathscr P^{-1} = \mathscr T\Lambda \mathscr T^{-1}\), eli pariteetti ja ajankääntö antavat siis samat muunnokset, jotka ovat puhtaalle rotaatiolle \(R\) ja puhtaalle puskulle \(B(v)\)

\(\begin{align}
\mathscr P\ R\ \mathscr P^{-1} &= \mathscr T\ R\ \mathscr T^{-1} = R \\
\mathscr P\ B(v)\ \mathscr P^{-1} &= \mathscr T\ B(v)\ \mathscr T^{-1} = B(-v) \\
\end{align}\)

Tämän voi kai ajatella \(\mathbb{R}^4\):ssä siten, että kappaleen kulmaliikemäärä on \(\mathbf J = \mathbf r \times \mathbf p\). Peilatussa avaruudessa \(\mathbf r\) ja \(\mathbf p\) vaihtavat etumerkkiä, joten \(\mathbf J\) ei vaihda. Ajankääntö ei myöskään vaihda etumerkkiä.

Kun tehdään pusku nopeudell \(\mathbf v\), niin peilatussa avaruudessa suunta on vastakkainen, jonka takia pusku parametrilla \(-\mathbf v\). Ja ajankäännössä sama.

Hilbertin avaruuden operaattorille Weinberg perustelee erot unitaarisuudesta ja antiunitaarisuudesta. Poincare-generaattori \(P^0\) (energia) muuntuu pariteetissa ja ajankäännössä

\(\begin{align}
\mathrm P\ iP^0\ \mathrm P^{-1} &= i \mathscr P_0{^0}\ P^0=iP^0 \\
\mathrm T\ iP^0\ \mathrm T^{-1} &= i \mathscr T_0{^0}\ P^0=-iP^0
\end{align}\)

missä siis \(\mathscr P_0{^0}=1\) ja \(\mathscr T_0{^0}=-1\). Oikean puolen \(i\):t pitää saada pois, mutta vasemmalla ne ovat operaattorien välissä. Oikealle jäävä \(P^0\) saa positiivisen etumerkin, kun \(\mathrm P\) on unitaarinen & lineaarinen, ja \(\mathrm T\) on antiunitaarinen & antilineaarinen. Nämä asettavat vasemman puolen \(i\):n etumerkit halutulla tavalla, kun tuodaan operaattorien eteen.

Kun \(\mathrm T\) on todettu antiunitaariseksi ja antilineaariseksi, niin kulmaliikemäärän muunnoksesta

\(\mathrm T\ iJ^{\rho\sigma}\ \mathrm T^{-1} = i\ \mathscr T_\mu{^\rho}\ \mathscr T_\nu{^\sigma}J^{\mu\nu}\)

ilmeisesti saadaan se miinus kulmaliikemäärän operaattorin eteen

\(\mathrm T\ \mathbf J\ \mathrm T^{-1} = -\mathbf J\)

No joo, tässä ei voi kirjoittaa konkreettista matriisia \(\mathrm T\), kun on ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden operaattori. Koetan joku päivä laskea, että tuleeko muunnetuista komponenteista \(J^{\rho\sigma}\) miinusmerkki, eli lopulta \(-\mathbf J\). Jos tulee, niin miinus on operaattorien ihmemaasta ja energian positiivisuudeta peräisin.

Kerkesitkin laittaa seuraavan viestin, mutta ihmettelen lisää viikonloppuna.

[QS]

ilmeisesti saadaan se miinus kulmaliikemäärän operaattorin eteen

Sain ainakin tämän miinusmerkin tarkistettua konkreettisesti. Luvussa 2.4 on määritelty kulmaliikemäärän operaattori

\(\mathbf J = \{ J_1, J_2, J_3 \} = \{ J^{23}, J^{31}, J^{12} \}\)

missä \(J^{jk}\) ovat Poincaren ryhmän generaattorit, ja tässä mukana vain avaruudellisia komponentteja generaattorista \(J^{\mu\nu}\). Tuon \(\mathbf J\):n komponentit toteuttavat tutut kommutoinnit \([J_i,J_j]=i \epsilon_{ijk} J_k\). Kun Lorentz-ryhmän ajankääntö on \(\mathscr T = \text{diag}(-1,1,1,1)\), niin voidaan laskea esimerkiksi komponentin \(J_1\) muunnos

\(\begin{align}
J_1 \to \mathrm T\ iJ^{23}\ \mathrm T^{-1} &= i\ \mathscr T_\mu{^2}\ \mathscr T_\nu{^3}J^{\mu\nu}\\
&=i\ \delta^2_\mu\ \delta^3_\nu\ J^{\mu\nu} \\
&=i J^{23}
\end{align}\)

Vasemman puolen \(\mathrm T\) todettiin energian positiivisuuden nojalla olevan antilineaarinen (ja antiunitaarinen), jolloin vasen puoli on \(-i\ \mathrm T\ J^{23}\ \mathrm T^{-1}\), ja oikean puolen etumerkki vaihtuu

\(J_1 \to \mathrm T\ J^{23}\ \mathrm T^{-1} = - J^{23}\).

Sama tulos muillekin komponenteille, ja ajankäännössä etumerkki tosiaan vaihtuu, eli siis \(\mathrm T\ \mathbf J\ \mathrm T^{-1} = -\mathbf J\).

...
Nyt saan laskemalla:

\(
\begin{align}
\mathscr P\: \mathscr L_3\: \mathscr P^{-1}&= \mathscr L_3\\
\mathscr T\: \mathscr L_3\: \mathscr T^{-1}&= \mathscr L_3\\
\mathscr P\: \mathscr K_1\: \mathscr P^{-1}&= -\mathscr K_1\\
\mathscr T\: \mathscr K_1\: \mathscr T^{-1}&= -\mathscr K_1\\
\end{align}\)

Ajan suhteen konjugoidut generaattorit eroavat merkiltään Weinbergin vastaavista kaavoista (tähän esimerkkikeissiin sovitettuina):

\(\begin{align}
T\: L_3\: T^{-1} &= -L_3\\
T\: K_1\: T^{-1} &= K_1\\
\end{align}
\)

Weinberg tarkastelee toki tilannetta Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\) jossa hän käyttää Lie-algebran esityksiä \(\pi \) avaruuden hermiittisinä operaattoreina eli esimerkiksi \(\pi(\mathscr L_3)=L_3\).

Tuo ajankääntö hävittää siis miinusmerkkejä, kun siirrytään esitykseen \(\pi\). Weinbergillä on kyllä joku ovela systeemi kyllä tässä.

Kyllä, \(\mathrm T\) on määrittelyssä lukittu antilineaariseksi, josta etumerkit ovat peräisin. Tämän on kohtuu epäintuitiivista, että ajankääntö ei muuta puskuoperaattorin etumerkkiä. Klassisesti ajateltuna puskun etumerkin pitää tietysti vaihtua, mutta kvanttioperaattorissa näin ei ole.

[QS]

Tämän on kohtuu epäintuitiivista, että ajankääntö ei muuta puskuoperaattorin etumerkkiä. Klassisesti ajateltuna puskun etumerkin pitää tietysti vaihtua, mutta kvanttioperaattorissa näin ei ole.

Jatkan vielä, kun ajatus meni jumiin siksi, kun en muistanut eilen kirjoittamaani: Oleellista on Hilbertin avaruuden operaattori, ei generaattori tai Lorentzryhmän matriisi. Mulla jäi tämän lasku kesken, jonka takia ihmettelin etumerkin vaihtumattomuutta.

Itse asiassa sanoit saman asian tässä:

...
Weinberg tarkastelee toki tilannetta Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\) jossa hän käyttää Lie-algebran esityksiä \(\pi \) avaruuden hermiittisinä operaattoreina eli esimerkiksi \(\pi(\mathscr L_3)=L_3\).

Tuo ajankääntö hävittää siis miinusmerkkejä, kun siirrytään esitykseen \(\pi\). Weinbergillä on kyllä joku ovela systeemi kyllä tässä.

Eli siis ajankäännössä \(\mathbf K \to \mathrm T\ \mathbf K\ \mathrm T^{-1} = \mathbf K\), ja etumerkki pysyy samana.

Jos nyt ajatellaan puskua x-akselin suuntaan, niin nelivektoriesitys oli se aiemmin kirjoittamasi \(B_1(w) = \exp(-iwK_1)\), joka on äärellinen 4x4-matriisi. Ja myös \(K_1\) on äärellinen matriisi.

Nyt kuitenkin tarkastelussa on ääretönulotteinen Hilbertin avaruus ja sen unitaarinen (tai antiunitaarinen) esitys, eli siis operaattori \(U(\Lambda)\), joka toteuttaa puskun. Erikoistapauksena vaikkapa x-akselin suuntainen puskuoperaattori

\(U(B_1(w)) = \exp(-i w K_1)\)

Koska kyseessä on ääretönulotteinen Hilbertin avaruus, niin \(K_1\) ei ole äärellinen matriisi vaan yleisemmin itseadjungoitu operaattori, ja tässä olisi selvästi aasinsilta Stonen lauseeseen, joka koskee yhden parametrin unitaarisia ryhmiä.

Ajankääntö operaattorille \(U(B_1(w))\) voidaankin nyt laskea

\(\mathrm T\ U(B_1(w)) \ \mathrm T^{-1} = \mathrm T\ \exp(-i w K_1) \ \mathrm T^{-1} = \exp\left[\ \mathrm T\ (-i w K_1) \ \mathrm T^{-1}\ \right] = \exp\left[+i w\ \mathrm T\ K_1\ \mathrm T^{-1}\ \right] = \exp(+i w K_1)\).

Vasta tässä vaiheessa näkyy puskun suunnan vaihtuminen ajankäännössä, kun eksponentin parametri on muuttunut \(w \to -w\). Etumerkki vaihtuu siksi, että \(\mathrm T\) on antilineaarinen.