Ajankääntö ja pariteetti fysiikassa

[Disputator]

Iltaa!

Kolmessa allaolevassa lainauksessa on mielenkiintoisella tavalla avattu ja käytetty ajankääntöoperaattorin \(\mathscr T\) esityksen T antiunitaarisuutta, muun asian ohella.

Hilbertin avaruuden operaattorille Weinberg perustelee erot unitaarisuudesta ja antiunitaarisuudesta. Poincare-generaattori \(P^0\) (energia) muuntuu pariteetissa ja ajankäännössä

\(\begin{align}
\mathrm P\ iP^0\ \mathrm P^{-1} &= i \mathscr P_0{^0}\ P^0=iP^0 \\
\mathrm T\ iP^0\ \mathrm T^{-1} &= i \mathscr T_0{^0}\ P^0=-iP^0
\end{align}\)

missä siis \(\mathscr P_0{^0}=1\) ja \(\mathscr T_0{^0}=-1\). Oikean puolen \(i\):t pitää saada pois, mutta vasemmalla ne ovat operaattorien välissä. Oikealle jäävä \(P^0\) saa positiivisen etumerkin, kun \(\mathrm P\) on unitaarinen & lineaarinen, ja \(\mathrm T\) on antiunitaarinen & antilineaarinen. Nämä asettavat vasemman puolen \(i\):n etumerkit halutulla tavalla, kun tuodaan operaattorien eteen.

Tuossa on ihan elegantisti perusteltu se, että miksi \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\) ovat sellaisia kuin ovat, käyttäen vaatimusta \(P^0\) positiivinen (ominaisarvot >0). Tämä on kuitenkin mulle hieman hämärää, miksi näin. Joo, toki \(E=mc^2\) jne. mutta esimerkiksi Klein-Gordon ja Dirac-yhtälöt sisältävät ratkaisuja joilla \(P^0\) negatiivinen. Yhtälöt pitää vain tulkita uudelleen oikein, mutta se on toisen keskustelun aihe.

...
Luvussa 2.4 on määritelty kulmaliikemäärän operaattori

\(\mathbf J = \{ J_1, J_2, J_3 \} = \{ J^{23}, J^{31}, J^{12} \}\)

missä \(J^{jk}\) ovat Poincaren ryhmän generaattorit, ja tässä mukana vain avaruudellisia komponentteja generaattorista \(J^{\mu\nu}\). Tuon \(\mathbf J\):n komponentit toteuttavat tutut kommutoinnit \([J_i,J_j]=i \epsilon_{ijk} J_k\). Kun Lorentz-ryhmän ajankääntö on \(\mathscr T = \text{diag}(-1,1,1,1)\), niin voidaan laskea esimerkiksi komponentin \(J_1\) muunnos

\(\begin{align}
J_1 \to \mathrm T\ iJ^{23}\ \mathrm T^{-1} &= i\ \mathscr T_\mu{^2}\ \mathscr T_\nu{^3}J^{\mu\nu}\\
&=i\ \delta^2_\mu\ \delta^3_\nu\ J^{\mu\nu} \\
&=i J^{23}
\end{align}\)

Vasemman puolen \(\mathrm T\) todettiin energian positiivisuuden nojalla olevan antilineaarinen (ja antiunitaarinen), jolloin vasen puoli on \(-i\ \mathrm T\ J^{23}\ \mathrm T^{-1}\), ja oikean puolen etumerkki vaihtuu
...

Joskus on tosiaan hyvä laskea auki esimerkkitapauksia jostain yleisestä kaavasta.

...siis ajankäännössä \(\mathbf K \to \mathrm T\ \mathbf K\ \mathrm T^{-1} = \mathbf K\), ja etumerkki pysyy samana.

Jos nyt ajatellaan puskua x-akselin suuntaan, niin nelivektoriesitys oli se aiemmin kirjoittamasi \(B_1(w) = \exp(-iwK_1)\), joka on äärellinen 4x4-matriisi. Ja myös \(K_1\) on äärellinen matriisi.

Nyt kuitenkin tarkastelussa on ääretönulotteinen Hilbertin avaruus ja sen unitaarinen (tai antiunitaarinen) esitys, eli siis operaattori \(U(\Lambda)\), joka toteuttaa puskun. Erikoistapauksena vaikkapa x-akselin suuntainen puskuoperaattori

\(U(B_1(w)) = \exp(-i w K_1)\)

Koska kyseessä on ääretönulotteinen Hilbertin avaruus, niin \(K_1\) ei ole äärellinen matriisi vaan yleisemmin itseadjungoitu operaattori, ja tässä olisi selvästi aasinsilta Stonen lauseeseen, joka koskee yhden parametrin unitaarisia ryhmiä.

Ajankääntö operaattorille \(U(B_1(w))\) voidaankin nyt laskea

\(\mathrm T\ U(B_1(w)) \ \mathrm T^{-1} = \mathrm T\ \exp(-i w K_1) \ \mathrm T^{-1} = \exp\left[\ \mathrm T\ (-i w K_1) \ \mathrm T^{-1}\ \right] = \exp\left[+i w\ \mathrm T\ K_1\ \mathrm T^{-1}\ \right] = \exp(+i w K_1)\).

Vasta tässä vaiheessa näkyy puskun suunnan vaihtuminen ajankäännössä, kun eksponentin parametri on muuttunut \(w \to -w\). Etumerkki vaihtuu siksi, että \(\mathrm T\) on antilineaarinen.

Tuo ajankäännön laskeminen eli \(\mathrm T\ U(B_1(w)) \ \mathrm T^{-1}\)-lausekkeen veivaus on todella hyvä! Tosiaan tuo vaatii se ajankäännön antilineaarisuuden, jotta merkki on oikein.

[Disputator]

Myöhäistä iltaa!

...
Ajankääntö operaattorille \(U(B_1(w))\) voidaankin nyt laskea

\(\mathrm T\ U(B_1(w)) \ \mathrm T^{-1} = \mathrm T\ \exp(-i w K_1) \ \mathrm T^{-1} = \exp\left[\ \mathrm T\ (-i w K_1) \ \mathrm T^{-1}\ \right] = \exp\left[+i w\ \mathrm T\ K_1\ \mathrm T^{-1}\ \right] = \exp(+i w K_1)\).

Vasta tässä vaiheessa näkyy puskun suunnan vaihtuminen ajankäännössä, kun eksponentin parametri on muuttunut \(w \to -w\). Etumerkki vaihtuu siksi, että \(\mathrm T\) on antilineaarinen.

Tämä lasku vaikuttaa oikealta, mutta nyt matemaattinen demoni kuiskuttelee korvaani kaikenlaista. Ongelmana on tuo kuvauksen \(\mathrm T\) antilineaarisuus ja siitä mahdollisesti seuraavat hankaluudet. Lineaarikuvaukset ovat tavallaan "helppoja", mutta näin pikaisesti aiheeseen tutustuttuani vaikuttaa siltä, että monet lineaarikuvausten tai matriisien lainalaisuudet eivät enää päde sellaisenaan, vaan saadaan välillä kummallisia tuloksia. Tässä siis lineaarisuus tarkoittaa \( \mathbb C\)-lineaarisuutta.

Tuossa onneksi \(\mathrm T\ U(B_1(w)) \ \mathrm T^{-1}\) sekä eksponentin sisällä olevat \(\mathrm T\ (-i w K_1) \ \mathrm T^{-1}\) ja \(i w\ \mathrm T\ K_1\ \mathrm T^{-1}\) ovat lineaarisia, eivätkä antilineaarisia ja siten ei synny ongelmia. Siis kaavoissa vain lineaarisia kuvauksia.

[QS]

Hilbertin avaruuden operaattorille Weinberg perustelee erot unitaarisuudesta ja antiunitaarisuudesta. Poincare-generaattori \(P^0\) (energia) muuntuu pariteetissa ja ajankäännössä

\(\begin{align}
\mathrm P\ iP^0\ \mathrm P^{-1} &= i \mathscr P_0{^0}\ P^0=iP^0 \\
\mathrm T\ iP^0\ \mathrm T^{-1} &= i \mathscr T_0{^0}\ P^0=-iP^0
\end{align}\)

missä siis \(\mathscr P_0{^0}=1\) ja \(\mathscr T_0{^0}=-1\). Oikean puolen \(i\):t pitää saada pois, mutta vasemmalla ne ovat operaattorien välissä. Oikealle jäävä \(P^0\) saa positiivisen etumerkin, kun \(\mathrm P\) on unitaarinen & lineaarinen, ja \(\mathrm T\) on antiunitaarinen & antilineaarinen. Nämä asettavat vasemman puolen \(i\):n etumerkit halutulla tavalla, kun tuodaan operaattorien eteen.

Tuossa on ihan elegantisti perusteltu se, että miksi \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\) ovat sellaisia kuin ovat, käyttäen vaatimusta \(P^0\) positiivinen (ominaisarvot >0). Tämä on kuitenkin mulle hieman hämärää, miksi näin. Joo, toki \(E=mc^2\) jne. mutta esimerkiksi Klein-Gordon ja Dirac-yhtälöt sisältävät ratkaisuja joilla \(P^0\) negatiivinen. Yhtälöt pitää vain tulkita uudelleen oikein, mutta se on toisen keskustelun aihe.

Tämä on hyvä ja oleellinenkin kysymys, joka liittyy käsittääkseni siihen, että Weinberg rakentaa teorian siten, että lähtökohta on tilavektori. Luvussa 2.5 on luokiteltu yhden hiukkasen tilavektorit siten, että liikemäärän ja massan avulla saadaan kuusi luokkaa (signatuuri -+++)

\(\begin{array}{r@{\qquad}l@{\qquad}r@{\qquad}l@{\qquad}}
& & & \text{Standard }k^\mu & \text{Little Group}\\
\text{a)} & p^2=-m^2 & p^0>0 & (m,0,0,0) & SO(3)\\
\text{b)} & p^2=-m^2 & p^0<0 & (-m,0,0,0) & SO(3)\\
\text{c)} & p^2=0 & p^0>0 & (\kappa,0,0,\kappa) & ISO(2)\\
\text{d)} & p^2=0 & p^0<0 & (-\kappa,0,0,\kappa) & ISO(2)\\
\text{e)} & p^2=n^2>0 & & (0,0,n,0) & SO(2,1)\\
\text{f)} & p^\mu=0 & & & SO(3,1)
\end{array}\)

Tuhersin taulukon Weinbergia mukaillen, kun on tavallaan kivijalka relativistiselle kenttäteorialle. Little Group on Wignerin little group, ja \(p^0\) on energia. Vain luokat a), c) ja f) tulkitaan fysikaalisina tiloina. Luokka a) on massalliset hiukkaset, luokka c) massattomat, ja f) on vakuumi. Nuo a) ja c) ovat positiivisen energian spin-\(\sigma\) perustilat \(\ket{k,\sigma}\). Energian etumerkki on tosin valittu fysiikkaan perustuen, ja mikään matematiikan fakta ei käsittääkseni estäisi negatiivista energiaa.

Perustiloista johdetaan rotaatioiden ja puskujen unitaariset muunnokset \(U(\Lambda)\), missä \(\Lambda \in SO+(1,3)\). Ja myös unitaariset \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\), jotka toteuttavat \(O(1,3)\)-ryhmän pariteetin ja ajankäännön.

Tilavektorin merkitystä korostetaan myöhemmin luvussa 5.1: "Traditionally in quantum field theory one begins with field equations or with the Lagrangian from which they are derived, and then uses them to derive the expansion of the fields in terms of one-particle annihilation and creation operators."

Tuossa viitataan Klein-Gordon, Maxwell ja Dirac -yhtälöihin, niiden ratkaisuihin, ja varmasti negatiiviseen energiaankin. Weinberg ottaa toisen lähestymistavan:

"In the approach followed here, we start with the particles, and derive the fields according to the dictates of Lorentz invariance, with the field equations arising almost incidentally as a byproduct of this construction"

Tämä tekee Weinbergin kirjasta mielenkiintoisen rakennustyömaan, kun kenttäyhtälötkin löytyvät tilavektorien (=particle) symmetrioista. Tehtävä ei tietysti ole helppo, mutta monen mutkan kautta luvussa 5.5 kirjoitetaan vapaa Diracin kenttä:

\(\begin{align}
\psi_\ell^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)

Weinbergin notaatiolla \(p\cdot x = - p^0 t+\mathbf p \cdot \mathbf x\). Diracin 'negatiivinen energia' näkyy eksponenteissa \(\pm i p\cdot x\), mutta operaattorikentän liikemäärä on \(p^\mu=(p^0,\mathbf p)\), ja energia \(E_{\mathbf p} \equiv p^0 =-p_0 = +\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\), joka ei ole kääntynyt negatiiviseksi. En nyt selaamalla löytänyt Hamiltonia, mutta on varmasti alapuolelta rajoitettu, ja myös antihiukkaselle. Yleensä Hamiltonissa on \(E_{\mathbf p}\), jonka kertoimena hiukkasten ja antihiukkasten lukumäärän operaattori.

Meni ohi aiheesta, mutta mulla on projektina ymmärtää miten Weinberg rakentaa pariteetin ja ajankäännön noille operaattorikentille.

[QS]

Ja myös unitaariset \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\) ...

--> unitaarisen \(\mathrm P\) ja antiunitaarisen \(\mathrm T\) ...

[Disputator]

Iltapäivää!

Hilbertin avaruuden operaattorille Weinberg perustelee erot unitaarisuudesta ja antiunitaarisuudesta. Poincare-generaattori \(P^0\) (energia) muuntuu pariteetissa ja ajankäännössä

\(\begin{align}
\mathrm P\ iP^0\ \mathrm P^{-1} &= i \mathscr P_0{^0}\ P^0=iP^0 \\
\mathrm T\ iP^0\ \mathrm T^{-1} &= i \mathscr T_0{^0}\ P^0=-iP^0
\end{align}\)

missä siis \(\mathscr P_0{^0}=1\) ja \(\mathscr T_0{^0}=-1\). Oikean puolen \(i\):t pitää saada pois, mutta vasemmalla ne ovat operaattorien välissä. Oikealle jäävä \(P^0\) saa positiivisen etumerkin, kun \(\mathrm P\) on unitaarinen & lineaarinen, ja \(\mathrm T\) on antiunitaarinen & antilineaarinen. Nämä asettavat vasemman puolen \(i\):n etumerkit halutulla tavalla, kun tuodaan operaattorien eteen.

Tuossa on ihan elegantisti perusteltu se, että miksi \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\) ovat sellaisia kuin ovat, käyttäen vaatimusta \(P^0\) positiivinen (ominaisarvot >0). Tämä on kuitenkin mulle hieman hämärää, miksi näin. Joo, toki \(E=mc^2\) jne. mutta esimerkiksi Klein-Gordon ja Dirac-yhtälöt sisältävät ratkaisuja joilla \(P^0\) negatiivinen. Yhtälöt pitää vain tulkita uudelleen oikein, mutta se on toisen keskustelun aihe.

Tämä on hyvä ja oleellinenkin kysymys, joka liittyy käsittääkseni siihen, että Weinberg rakentaa teorian siten, että lähtökohta on tilavektori. Luvussa 2.5 on luokiteltu yhden hiukkasen tilavektorit siten, että liikemäärän ja massan avulla saadaan kuusi luokkaa (signatuuri -+++)

\(\begin{array}{r@{\qquad}l@{\qquad}r@{\qquad}l@{\qquad}}
& & & \text{Standard }k^\mu & \text{Little Group}\\
\text{a)} & p^2=-m^2 & p^0>0 & (m,0,0,0) & SO(3)\\
\text{b)} & p^2=-m^2 & p^0<0 & (-m,0,0,0) & SO(3)\\
\text{c)} & p^2=0 & p^0>0 & (\kappa,0,0,\kappa) & ISO(2)\\
\text{d)} & p^2=0 & p^0<0 & (-\kappa,0,0,\kappa) & ISO(2)\\
\text{e)} & p^2=n^2>0 & & (0,0,n,0) & SO(2,1)\\
\text{f)} & p^\mu=0 & & & SO(3,1)
\end{array}\)

Tuhersin taulukon Weinbergia mukaillen, kun on tavallaan kivijalka relativistiselle kenttäteorialle. Little Group on Wignerin little group, ja \(p^0\) on energia. Vain luokat a), c) ja f) tulkitaan fysikaalisina tiloina. Luokka a) on massalliset hiukkaset, luokka c) massattomat, ja f) on vakuumi. Nuo a) ja c) ovat positiivisen energian spin-\(\sigma\) perustilat \(\ket{k,\sigma}\). Energian etumerkki on tosin valittu fysiikkaan perustuen, ja mikään matematiikan fakta ei käsittääkseni estäisi negatiivista energiaa.

Yes, noista tuota ensimmäistähän me jauhettiin jossain ketjussa melkoisen perusteellisesti, mutta siellä oli kuitenkin jotain detaljeja jotka muistaakseni jäivät vähän vajaaksi tms. Itse asiassa nuo ansaitsisivat vielä kerran uudelleen lämmittelyt, koska tuossa listassa on muitakin tapauksia jossa tuo pieni ryhmä on esimerkiksi tason isometrioiden ryhmä ISO(2).

Mun ymmärryksen mukaan negatiivisen energian ratkaisuita ei kuitenkaan unohdeta vaan ne ovat antihiukkasia kuvaavia ratkaisuita, jos positiivisen energian ratkaisut kuvaavat tavallisia hiukkasia. Negatiivisen energian ratkaisuiden tulkinta positiivisen energian antihiukkasina ei ole ihan suoraviivainen, vaan siinä on kyllä hieman noituutta mukana.. Tuossa alhaalla kirjoitatkin tästä.

Perustiloista johdetaan rotaatioiden ja puskujen unitaariset muunnokset \(U(\Lambda)\), missä \(\Lambda \in SO+(1,3)\). Ja myös unitaariset \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\), jotka toteuttavat \(O(1,3)\)-ryhmän pariteetin ja ajankäännön.

Tilavektorin merkitystä korostetaan myöhemmin luvussa 5.1: "Traditionally in quantum field theory one begins with field equations or with the Lagrangian from which they are derived, and then uses them to derive the expansion of the fields in terms of one-particle annihilation and creation operators."

Tuossa viitataan Klein-Gordon, Maxwell ja Dirac -yhtälöihin, niiden ratkaisuihin, ja varmasti negatiiviseen energiaankin. Weinberg ottaa toisen lähestymistavan:

"In the approach followed here, we start with the particles, and derive the fields according to the dictates of Lorentz invariance, with the field equations arising almost incidentally as a byproduct of this construction"

Tämä tekee Weinbergin kirjasta mielenkiintoisen rakennustyömaan, kun kenttäyhtälötkin löytyvät tilavektorien (=particle) symmetrioista.

Weinberg QFT on kyllä varmasti elegantti teos, mutta se on hyvin hankala ainakin mulle oppia asioita, ja rakennustyömaa on kyllä ihan kuvaava! Kuitenkin, kuten niin monesti eri aiheissa, joskus on asiat opittava jostain maanläheisemmästä kirjasta ja sitten kun samoja juttuja lukee jostain Weinbergin kaltaisesta teoksesta, voi arvostaa tiivistä eleganssia, jossa jokaisella sanamuodolla on tarkkaan harkittu merkitys.

Tehtävä ei tietysti ole helppo, mutta monen mutkan kautta luvussa 5.5 kirjoitetaan vapaa Diracin kenttä:

\(\begin{align}
\psi_\ell^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)

Weinbergin notaatiolla \(p\cdot x = - p^0 t+\mathbf p \cdot \mathbf x\). Diracin 'negatiivinen energia' näkyy eksponenteissa \(\pm i p\cdot x\), mutta operaattorikentän liikemäärä on \(p^\mu=(p^0,\mathbf p)\), ja energia \(E_{\mathbf p} \equiv p^0 =-p_0 = +\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\), joka ei ole kääntynyt negatiiviseksi. En nyt selaamalla löytänyt Hamiltonia, mutta on varmasti alapuolelta rajoitettu, ja myös antihiukkaselle. Yleensä Hamiltonissa on \(E_{\mathbf p}\), jonka kertoimena hiukkasten ja antihiukkasten lukumäärän operaattori.

Antihiukkasella (kun se on oikein määritelty) on tosiaan myös positiivinen energia, mutta tämä saavutetaan ymmärtääkseni vasta muuntamalla/tulkitsemalla alunperin negatiivisen energian omaavan hiukkasen ratkaisut positiivisen energian omaaviksi antihiukkasiksi.

Meni ohi aiheesta, mutta mulla on projektina ymmärtää miten Weinberg rakentaa pariteetin ja ajankäännön noille operaattorikentille.

Ei haittaa ollenkaan!

[QS]

Antihiukkasella (kun se on oikein määritelty) on tosiaan myös positiivinen energia, mutta tämä saavutetaan ymmärtääkseni vasta muuntamalla/tulkitsemalla alunperin negatiivisen energian omaavan hiukkasen ratkaisut positiivisen energian omaaviksi antihiukkasiksi.

Iltaa! Tuo on totta, ja yhtälöstä selvästi esiin nouseva negatiivinen energia täytyy tulkita (eikä siis laskemalla todeta) positiivisen energian antihiukkaseksi. Toki eksperimentalisti sanoisi, että elektroni-positroni annihilaatiossa muodostuu kaksi 0,511 MeV fotonia. Ei ole mahdollista, että elektronin energia on 0,511 MeV ja positronin -0,511 MeV, koska fotoneita ei havaittaisi. Case closed, ja miettiminen on ajanhukkaa : D

Mutta jos jätetään eksperimentalistit pois juhlista, niin positiivisen energian perustelu teoreettisesti ei taida olla ihan helppoa. Hmm. Minäpä luen ajan kanssa lisää Weinbergia, jos sieltä löytyisi viisauksia ilman tulkintoja.

[Disputator]

Antihiukkasella (kun se on oikein määritelty) on tosiaan myös positiivinen energia, mutta tämä saavutetaan ymmärtääkseni vasta muuntamalla/tulkitsemalla alunperin negatiivisen energian omaavan hiukkasen ratkaisut positiivisen energian omaaviksi antihiukkasiksi.

Iltaa! Tuo on totta, ja yhtälöstä selvästi esiin nouseva negatiivinen energia täytyy tulkita (eikä siis laskemalla todeta) positiivisen energian antihiukkaseksi. Toki eksperimentalisti sanoisi, että elektroni-positroni annihilaatiossa muodostuu kaksi 0,511 MeV fotonia, joten ei ole mahdollista, että elektronin energia on 0,511 MeV ja positronin -0,511 MeV, jollon fotoneita ei voisi muodostua. Case closed, ja asian miettiminen on ajanhukkaa : D

Mutta jos jätetään eksperimentalistit pois juhlista, niin positiivisen energian perustelu teoreettisesti ei taida olla ihan helppoa. Hmm. Minäpä luen ajan kanssa lisää Weinbergia, jos sieltä löytyisi viisauksia ilman tulkintoja.

Joo, näin minäkin olen ymmärtänyt, että negatiivisten energioiden tulkinta positiivisten energioiden antihiukkasina on matemaattiseen teoriaan "päälleliimattu" asia, joka ei seuraa suoraan matemaattisesti mistään. Tämä on tekniikka, joka on kuitenkin osoittatunut hyvin hedelmälliseksi. Tämä kaikki johtaa Diraciin ja hänen ideoihinsa, siis mies joka keksi pohjimmiltaan antimaterian, joskin vasta muutaman mutkan kautta. Ja muitakin fyysikoita, Feynmania unohtamatta.

Mutta sellaista fysiikka parhaimmillaan on, todella upeaa!

[QS]

Kävin läpi Weinbergin Lorentz-muunnokset, pariteetit ja ajankäännöt tilavektorille ja operaattoreille. Kirjoitan aluksi muunnokset, mutta en pura niiden johtamista.

Tarkastelussa on massallinen (\(m>0\)) yhden hiukkasen tila \( \ket{p,\sigma}\), jonka liikemäärä on \(p=(p^0,\mathbf p)\), ja spin on \(\sigma\). Tilavektorin homogeeninen Lorentz-muunnos on unitaarinen operaattori \(U(\Lambda) \equiv U(\Lambda,0)\), ja muunnos on

\(\displaystyle U(\Lambda)\ket{p,\sigma} = \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\sum_{\sigma'} D^{(j)}_{\sigma'\sigma} \Big( W(\Lambda,p) \Big)\ \ket{\Lambda p,\sigma'}\)

Indeksi \(\sigma'\) ja \(\sigma\) on spin, jonka arvot ovat \(-j, -j+1, \dots ,j-1,j\). Arvoja on yhteensä \(2j+1\), ja vastaavat massalliset spin-\(j\) esitykset ovat

spin-0: \(\sigma =0\),
spin-1/2: \(\sigma = \{-1/2,1/2\}\), ja
spin-1: \(\sigma = \{-1,0,1\}\).

\(D^{(j)}\) on \((2j+1)\times(2j+1)\) -matriisi, ja mahdolliset arvot ovat siis \(j=\{0, 1/2, 1, \dots\}\). Spin-0 esityksen 1x1-matriisi on triviaali esitys \(D^{(0)}\). Spin-1/2 on 2x2-matriisi \(D^{(1/2)}\), ja spin-1 on 3x3-matriisi \(D^{(1)}\). Tuo unitaarinen matriisi \(D^{(j)}\) on spin-\(j\) rotaatioryhmän redusoitumaton esitys, ja kerroin matriisin edessä on relativistinen normitus.

Notaatiossa \(\sigma\) on vasemman puolen tilavektorin spin-arvo, esimerkiksi \(\sigma=1/2\). Oikealla summataan unitaarisen muunnoksen spinit \(\sigma'\). Esimerkiksi spin-1/2 tilavektorin \(\sigma'\) saa arvot \(\sigma' \in \{1/2, -1/2\}\). Matriisin yksittäinen alkio \(D^{(1/2)}_{\sigma'\sigma}\) on kerroin, joka on näkyy muunnoksen jälkeisten spin-arvojen \(\sigma'\) edessä amplitudina.

Muunnos \(\Lambda\) on pusku tai puhdas rotaatio. Molempiin liittyy Wignerin rotaatio \(W(\Lambda,p)\), joka määrittää matriisin \(D^{(j)}\) alkiot. Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on Wignerin little group esitys.

Muunnos tuottaa siis spin-arvojen lineaarikombinaation, jonka voi kirjoittaa (ilman normitusta) esimerkiksi

\(\displaystyle U(\Lambda)\ \ket{p,\frac 1 2}=D^{(1/2)}_{\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,\frac 1 2} + D^{(1/2)}_{-\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,-\frac 1 2}\).

Tässä edellä kyseessä oli siis Lorentz-ryhmän unitaarinen muunnos. Spin-\(\sigma\) tilan unitaarinen pariteetti on

\(\mathrm P\ \ket {p, \sigma} = \eta\ \ket {\mathscr P\ p, \sigma}\)

missä vaihekerroin \(\eta\) on sisäinen pariteetti, ja \(|\eta|=1\). Ajankääntö on antiunitaarinen

\(\mathrm T\ \ket {p, \sigma} = \xi(-1)^{j-\sigma}\ \ket {\mathscr P\ p, -\sigma}\)

missä \(\xi\) on vaihe. Esimerkiksi \(\sigma\)=-1/2 muuntuu siten, että oikean puolen kerroin on \(\xi (-1)^{\frac 1 2+\frac 1 2} = -\xi\). Pariteetin 4x4-matriisi \(\mathscr P\) kääntää liikemäärän etumerkin, eli siis \(\mathscr P\ p = (p^0,-\mathbf p)\).

Luvussa 4.2 määritellään luontioperaattorin (\(m>0\)) unitaarinen muunnos \(U(\Lambda,b)\)

\(\displaystyle U(\Lambda,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(\Lambda,b)=e^{-i(\Lambda p)\cdot b}\; \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)}_{\sigma' \sigma} \Big( W(\Lambda,p) \Big)a^\dagger(\mathbf p_\Lambda,\sigma')\)

missä \(\mathbf p_\Lambda\) on liikemäärän avaruudelliset komponentit. Tämä on saman kaltainen kuin tilavektorin muunnos, ja summan \(\sum_{\sigma'}\) seurauksena \(a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\) muuntuu spin-arvojen \(\sigma'\) lineaarikombinaatioksi.

Luontioperaattorin pariteetti ja ajankääntö määritellään

\(\begin{align}
\mathrm P\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} &=\eta\ a^\dagger(-\mathbf p,\sigma) \\\\
\mathrm T\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm T^{-1} &=\xi\ (-1)^{j-\sigma}\ a^\dagger(-\mathbf p,-\sigma)
\end{align}\)

Nämä ovat selkeitä, koska \(a^\dagger\) luo hiukkasen, johon on kohdistunut \(\mathrm P\) tai \(\mathrm T\), joten ovat tilavektorin muunnoksen kaltaisia. Luvussa 5.5 määritellään spin-1/2 hiukkasen poistolle ja antihiukkasen luonnille pariteetti

\(\begin{align}
\mathrm P\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} &=\eta^*\ a(-\mathbf p,\sigma) \\\\
\mathrm P\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} &=\eta^c\ a^{c\dagger}(-\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)

sekä ajankääntö

\(\begin{align}
\mathrm T\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm T^{-1} &=\xi^*(-1)^{\frac 1 2 -\sigma}\ a(-\mathbf p,-\sigma) \\\\
\mathrm T\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm T^{-1} &=\xi^c(-1)^{\frac 1 2 -\sigma}\ a^{c\dagger}(-\mathbf p,-\sigma)
\end{align}\)

Samassa luvussa päätellään, että hiukkasen ja antihiukkasen sisäisille pariteeteille \(\eta\) ja \(\eta^c\) pätee \(\eta^c = -\eta^*\). Ajankäännön vaiheille \(\xi^*\) ja \(\xi^c\) pätee \(\xi^c=\xi^*\).

Myöhemmin todetaan, että pariteetti on esityksen (A,B) symmetria vain, kun A = B, tai kun esitys on suora summa \((A,B) \oplus (B,A)\). Pariteetti ei ole Weylin spinorin \((0,\frac 1 2)\) tai \((\frac 1 2,0)\) symmetria, mutta on skalaarin (0,0) ja vektorin \((\frac 1 2,\frac 1 2)\) symmetria. Ja on myös Diracin spinorin \((\frac 1 2,0) \oplus (0,\frac 1 2)\) symmetria. Nämä viimeksi mainitut eivät tosin liity tilavektoriin ja operaattoriin, vaan ovat kentän (spinori, vektori, skalaari) symmetria-ominaisuuksia.

[Disputator]

Iltapäivä!

Kävin läpi Weinbergin Lorentz-muunnokset, pariteetit ja ajankäännöt tilavektorille ja operaattoreille. Kirjoitan aluksi muunnokset, mutta en pura niiden johtamista.

Tarkastelussa on massallinen (\(m>0\)) yhden hiukkasen tila \( \ket{p,\sigma}\), jonka liikemäärä on \(p=(p^0,\mathbf p)\), ja spin on \(\sigma\). Tilavektorin homogeeninen Lorentz-muunnos on unitaarinen operaattori \(U(\Lambda) \equiv U(\Lambda,0)\), ja muunnos on

\(\displaystyle U(\Lambda)\ket{p,\sigma} = \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\sum_{\sigma'} D^{(j)}_{\sigma'\sigma} \Big( W(\Lambda,p) \Big)\ \ket{\Lambda p,\sigma'}\)

Indeksi \(\sigma'\) ja \(\sigma\) on spin, jonka arvot ovat \(-j, -j+1, \dots ,j-1,j\). Arvoja on yhteensä \(2j+1\), ja vastaavat massalliset spin-\(j\) esitykset ovat

spin-0: \(\sigma =0\),
spin-1/2: \(\sigma = \{-1/2,1/2\}\), ja
spin-1: \(\sigma = \{-1,0,1\}\).

\(D^{(j)}\) on \((2j+1)\times(2j+1)\) -matriisi, ja mahdolliset arvot ovat siis \(j=\{0, 1/2, 1, \dots\}\). Spin-0 esityksen 1x1-matriisi on triviaali esitys \(D^{(0)}\). Spin-1/2 on 2x2-matriisi \(D^{(1/2)}\), ja spin-1 on 3x3-matriisi \(D^{(1)}\). Tuo unitaarinen matriisi \(D^{(j)}\) on spin-\(j\) rotaatioryhmän redusoitumaton esitys, ja kerroin matriisin edessä on relativistinen normitus.

Notaatiossa \(\sigma\) on vasemman puolen tilavektorin spin-arvo, esimerkiksi \(\sigma=1/2\). Oikealla summataan unitaarisen muunnoksen spinit \(\sigma'\). Esimerkiksi spin-1/2 tilavektorin \(\sigma'\) saa arvot \(\sigma' \in \{1/2, -1/2\}\). Matriisin yksittäinen alkio \(D^{(1/2)}_{\sigma'\sigma}\) on kerroin, joka on näkyy muunnoksen jälkeisten spin-arvojen \(\sigma'\) edessä amplitudina.

Muunnos \(\Lambda\) on pusku tai puhdas rotaatio. Molempiin liittyy Wignerin rotaatio \(W(\Lambda,p)\), joka määrittää matriisin \(D^{(j)}\) alkiot. Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on Wignerin little group esitys.

Muunnos tuottaa siis spin-arvojen lineaarikombinaation, jonka voi kirjoittaa (ilman normitusta) esimerkiksi

\(\displaystyle U(\Lambda)\ \ket{p,\frac 1 2}=D^{(1/2)}_{\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,\frac 1 2} + D^{(1/2)}_{-\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,-\frac 1 2}\).

Kyllä, näin se on Weinbergissä esitetty. Yksi pieni huomio kuitenkin tuosta\(\): Matriisit \(D^{(j)}\) eivät täsmälleen ottaen ole rotaatioryhmän \(SO(3)\) esityksiä, vaan ne ovat \(SU(2)\):n esityksiä. Vain kokonaislukuspineillä \(j\in\{0,1,2,3,..\}\) ne ovat myös ryhmän SO(3) esityksiä. Puolilukuiset SU(2):n esitykset määrittelevät kyllä SO(3):n projektiivisen esityksen. Erityisesti kvanttifysiikassa tällä ei ole lienee suuremmin merkitystä, mutta terminologia voi jättää väärän muistijäljen myöhempien keissien riesaksi .

Ryhmän \(G\) projektiivinen unitaarinen esitys Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\) voidaan määritellä vaikka siten että kaikilla \(g_1,g_2\in G\) pätee:

\(U(g_1 g_2)=r(g_1,g_2)U(g_1) U(g_2)\),

missä kompleksiluvulle \(r(g_1,g_2)\) pätee |\(r(g_1,g_2)|\)=1. Lisäksi assosiatiivisuus johtaa lisäehtoihin, josta sitten toisessa tilanteessa enemmän. Jos ylläolevassa\( r(g_1,g_2)=1\) kaikilla \(g_1,g_2 \in G\), on kyseessä (oikea) unitaarinen esitys.

Muutamia hajanaisia huomioita:

- oikea unitaarinen esitys on myös projektiivinen unitaarinen esitys.
- projektiivinen unitaarinen esitys ei ole välttämättä oikea unitaarinen esitys.
- projektiivisia unitaarisia esityksiä on enemmän kuin aitoja unitaarisia esityksiä.
- kvanttifysiikassa projektiiviset unitaariset esitykset (sisältäen aidot unitaariset) ovat OK

Matematiikassa kuitenkin erottelu projektiivisen unitaarisen ja oikean unitaarisen välillä on merkitsevä.

Poimin tuosta ylläolevasta pari kohtaa kommentoitavaksi:

Muunnos tuottaa siis spin-arvojen lineaarikombinaation, jonka voi kirjoittaa (ilman normitusta) esimerkiksi

\(\displaystyle U(\Lambda)\ \ket{p,\frac 1 2}=D^{(1/2)}_{\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,\frac 1 2} + D^{(1/2)}_{-\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,-\frac 1 2}\).

Tämä on hyvä huomio.

Tätä allaolevaa en täysin ymmärtänyt (syy toki voi olla mun vajavainen ymmärrys itse aiheesta )

Muunnos \(\Lambda\) on pusku tai puhdas rotaatio. Molempiin liittyy Wignerin rotaatio \(W(\Lambda,p)\), joka määrittää matriisin \(D^{(j)}\) alkiot. Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on Wignerin little group esitys.

Miksi tuossa \(\Lambda\) olisi puhdas rotaatio tai pusku? Mielestäni jokainen \( W\in W(\Lambda,p)\) kiinnittää Weinbergin alunperin mielivaltaisesti valitun referenssimomentin \(k^{\mu}\) eli \({W^\mu}_{\nu} k^{\nu}= k^{\mu}\). Tämän pitää olla totta kaikilla \(\Lambda\) ja \(p\). Mutta se mikä on merkitsevää, on mielestäni se, että tuo little group tai pikkuryhmän (? ) \(W(\Lambda,p)\) muoto (osana Lorentz-ryhmää) riippuu valitusta referenssimomentista \(k=k^{\mu}\) eli ehkä olisi parempi alustavasti merkitä \(W(\Lambda,p)_k\). Nyt tapauksessa \(p^2<0\) (massallinen hiukkanen) luultavasti millä tahansa referenssimomentin valinnoilla k ja k' Wignerin pikkuryhmät ovat isomorfisia keskenään eli \( W(\Lambda,p)_k \approx W(\Lambda,p)_{k'} \). Siis tässä on oltava \(k' = \Lambda^{ref}k\), missä \(\Lambda^{ref}\) on referenssimomentin muuttamiseen käytetty Lorentz-muunnos. Kuitenkin nokkelalla valinnalla \(k*=(m,0,0,0)\) saadaan, että \(W(\Lambda,p)_{k*} \approx SO(3)\) ja siis \(W(\Lambda,p)_k \approx SO(3)\), millä tahansa referenssimomentilla k.

[QS]

Yksi pieni huomio kuitenkin tuosta\(\): Matriisit \(D^{(j)}\) eivät täsmälleen ottaen ole rotaatioryhmän \(SO(3)\) esityksiä, vaan ne ovat \(SU(2)\):n esityksiä. Vain kokonaislukuspineillä \(j\in\{0,1,2,3,..\}\) ne ovat myös ryhmän SO(3) esityksiä. Puolilukuiset SU(2):n esitykset määrittelevät kyllä SO(3):n projektiivisen esityksen. Erityisesti kvanttifysiikassa tällä ei ole lienee suuremmin merkitystä, mutta terminologia voi jättää väärän muistijäljen myöhempien keissien riesaksi .

iltaa! No niinpä se on, että kirjoitin epätäsmälliseksi. Olisiko oikeammin sanoa, että spin-1/2 tapauksessa \(D^{(1/2)}\) on peiteryhmän SU(2) matriisiesitys. Lien algebrat \(\mathfrak{su}(2)\) ja \(\mathfrak{so}(3)\) ovat kyllä isomorfiset (tavallaan samat), mutta esim arvoja j=1 ja j=1/2 vastaavat esitykset eivät ole 'saman rotaationryhmän' esitykset.

Ryhmän \(G\) projektiivinen unitaarinen esitys Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\) voidaan määritellä vaikka siten että kaikilla \(g_1,g_2\in G\) pätee:

\(U(g_1 g_2)=r(g_1,g_2)U(g_1) U(g_2)\),

missä kompleksiluvulle \(r(g_1,g_2)\) pätee |\(r(g_1,g_2)|\)=1. Lisäksi assosiatiivisuus johtaa lisäehtoihin, josta sitten toisessa tilanteessa enemmän. Jos ylläolevassa\( r(g_1,g_2)=1\) kaikilla \(g_1,g_2 \in G\), on kyseessä (oikea) unitaarinen esitys.

Muutamia hajanaisia huomioita:

- oikea unitaarinen esitys on myös projektiivinen unitaarinen esitys.
- projektiivinen unitaarinen esitys ei ole välttämättä oikea unitaarinen esitys.
- projektiivisia unitaarisia esityksiä on enemmän kuin aitoja unitaarisia esityksiä.
- kvanttifysiikassa projektiiviset unitaariset esitykset (sisältäen aidot unitaariset) ovat OK

Matematiikassa kuitenkin erottelu projektiivisen unitaarisen ja oikean unitaarisen välillä on merkitsevä.

Projektiiviset esitykset ovat mielenkiintoinen sivuhaara, ja palataan niihin kun olen asiaa hiukan kerrannut.

Poimin tuosta ylläolevasta pari kohtaa kommentoitavaksi:

Muunnos tuottaa siis spin-arvojen lineaarikombinaation, jonka voi kirjoittaa (ilman normitusta) esimerkiksi

\(\displaystyle U(\Lambda)\ \ket{p,\frac 1 2}=D^{(1/2)}_{\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,\frac 1 2} + D^{(1/2)}_{-\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,-\frac 1 2}\).

Tämä on hyvä huomio.

Tätä allaolevaa en täysin ymmärtänyt (syy toki voi olla mun vajavainen ymmärrys itse aiheesta )

Muunnos \(\Lambda\) on pusku tai puhdas rotaatio. Molempiin liittyy Wignerin rotaatio \(W(\Lambda,p)\), joka määrittää matriisin \(D^{(j)}\) alkiot. Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on Wignerin little group esitys.

Miksi tuossa \(\Lambda\) olisi puhdas rotaatio tai pusku? Mielestäni jokainen \( W\in W(\Lambda,p)\) kiinnittää Weinbergin alunperin mielivaltaisesti valitun referenssimomentin \(k^{\mu}\) eli \({W^\mu}_{\nu} k^{\nu}= k^{\mu}\). Tämän pitää olla totta kaikilla \(\Lambda\) ja \(p\). Mutta se mikä on merkitsevää, on mielestäni se, että tuo little group tai pikkuryhmän (? ) \(W(\Lambda,p)\) muoto (osana Lorentz-ryhmää) riippuu valitusta referenssimomentista \(k=k^{\mu}\) eli ehkä olisi parempi alustavasti merkitä \(W(\Lambda,p)_k\). Nyt tapauksessa \(p^2<0\) (massallinen hiukkanen) luultavasti millä tahansa referenssimomentin valinnoilla k ja k' Wignerin pikkuryhmät ovat isomorfisia keskenään eli \( W(\Lambda,p)_k \approx W(\Lambda,p)_{k'} \). Siis tässä on oltava \(k' = \Lambda^{ref}k\), missä \(\Lambda^{ref}\) on referenssimomentin muuttamiseen käytetty Lorentz-muunnos. Kuitenkin nokkelalla valinnalla \(k*=(m,0,0,0)\) saadaan, että \(W(\Lambda,p)_{k*} \approx SO(3)\) ja siis \(W(\Lambda,p)_k \approx SO(3)\), millä tahansa referenssimomentilla k.

Joo, mun kirjoituksessa oli virheitä. Muunnos \(\Lambda\) ei ole pusku tai rotaatio, vaan yleinen muunnos \(\Lambda \in SO^+(1,3)\), joka voidaan toki hajottaa puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\). Wignerin rotaatio määritellään

\(W(\Lambda,p) = L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L(p)\)

missä \(L(p)\) muuntaa perusliikemääräksi valitun vektorin \(k^\mu=(m,0,0,0)\) siten, että saadaan \(p = L(p)\ k\). Seuraavaksi \(p\) muunnetaan yleisellä Lorentz-muunnoksella, ja saadaan vektori \(p'=\Lambda p = \Lambda\ L(p) k\). Lopuksi vektoriin \(p'\) kohdistetaan käänteinen muunnos \(L^{-1}(\Lambda p)\), ja saadaan \(L^{-1}(\Lambda p)\ p' = k\).

Muunnos \(W \in SO^+(1,3)\) on siis little groupin alkio tuolle valitulle vektorille \(k\).

Se on totta mitä sanoit \(k\):n valinnasta. On valittu \(k\) siten, että voidaan kirjoittaa mielivaltainen liikemäärä muodossa \(p^\mu=L^\mu{_\nu}(p)\ k^\nu\). Tuo \(L^\mu{_\nu}(p)\) riippuu liikemäärästä \(p\), mutta myös valitusta vektorista \(k\). Jos \(k\):n tilalle valitaan \(k'\), niin vektori \(p^\mu\) saadaan eri muunnoksella \(L'^\mu{_\nu}(p)\ k'\). Ja tästä seuraa sitten eri Wignerin rotaatio \(W'(\Lambda,p)\).

Mielestäni valita \(k\) tai \(k'\) vastaa jossain mielessä kantavektorien valinta, jonka seurauksena \(W\) muuntuu. Hmm. Tätä pitää pohtia. Mutta fysiikkaan valinnan ei pitäisi vaikuttaa.

Kun \(W\) esitetään spin-\(j\) tilavektorin Hilbertin avaruudessa, niin käytetään matriisia \(D^{(j)} \Big( W(\Lambda,p) \Big)\), joka on spin-j esitysmatriisi (äärellinen ja unitaarinen) tuolle kyseiselle Wignerin little groupin alkiolle \(W(\Lambda,p) \in SO^+(1,3)\), joka tässäkin riippuu lopulta valitusta vektorista k.

Kirjoitin aiemmin jostain syystä näin: "Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on wignerin little group esitys". Tuossa mulla on ajatusvirhe. Liikemäärävektorit \(k=(m,0,0,0)\) ja \(p = L(p) k\) eivät tietysti ole nollavektoreita, joten pitää kirjoittaa \(W(R,p)\). Nollavektoria on turha pyörittää : )

Mun olisi pitänyt todeta, että puhdasta rotaatiota \(\Lambda = R\) ja liikemäärää \(k\) vastaa Wignerin rotaatio \(W(R,k)=R\), joka on little groupin alkio. Ja tälle on olemassa spin-\(j\) matriisiesitys on \(D^{(j)}(R)\).

Ainakin jotain onnistuin korjaamaan edellisestä sotkusta?