Ajankääntö ja pariteetti fysiikassa

[Eusa]

Yksi pieni huomio kuitenkin tuosta\(\): Matriisit \(D^{(j)}\) eivät täsmälleen ottaen ole rotaatioryhmän \(SO(3)\) esityksiä, vaan ne ovat \(SU(2)\):n esityksiä. Vain kokonaislukuspineillä \(j\in\{0,1,2,3,..\}\) ne ovat myös ryhmän SO(3) esityksiä. Puolilukuiset SU(2):n esitykset määrittelevät kyllä SO(3):n projektiivisen esityksen. Erityisesti kvanttifysiikassa tällä ei ole lienee suuremmin merkitystä, mutta terminologia voi jättää väärän muistijäljen myöhempien keissien riesaksi .

iltaa! No niinpä se on, että kirjoitin epätäsmälliseksi. Olisiko oikeammin sanoa, että spin-1/2 tapauksessa \(D^{(1/2)}\) on peiteryhmän SU(2) matriisiesitys. Lien algebrat \(\mathfrak{su}(2)\) ja \(\mathfrak{so}(3)\) ovat kyllä isomorfiset (tavallaan samat), mutta esim arvoja j=1 ja j=1/2 vastaavat esitykset eivät ole 'saman rotaationryhmän' esitykset.

Ryhmän \(G\) projektiivinen unitaarinen esitys Hilbert-avaruudessa \(\mathscr H\) voidaan määritellä vaikka siten että kaikilla \(g_1,g_2\in G\) pätee:

\(U(g_1 g_2)=r(g_1,g_2)U(g_1) U(g_2)\),

missä kompleksiluvulle \(r(g_1,g_2)\) pätee |\(r(g_1,g_2)|\)=1. Lisäksi assosiatiivisuus johtaa lisäehtoihin, josta sitten toisessa tilanteessa enemmän. Jos ylläolevassa\( r(g_1,g_2)=1\) kaikilla \(g_1,g_2 \in G\), on kyseessä (oikea) unitaarinen esitys.

Muutamia hajanaisia huomioita:

- oikea unitaarinen esitys on myös projektiivinen unitaarinen esitys.
- projektiivinen unitaarinen esitys ei ole välttämättä oikea unitaarinen esitys.
- projektiivisia unitaarisia esityksiä on enemmän kuin aitoja unitaarisia esityksiä.
- kvanttifysiikassa projektiiviset unitaariset esitykset (sisältäen aidot unitaariset) ovat OK

Matematiikassa kuitenkin erottelu projektiivisen unitaarisen ja oikean unitaarisen välillä on merkitsevä.

Projektiiviset esitykset ovat mielenkiintoinen sivuhaara, ja palataan niihin kun olen asiaa hiukan kerrannut.

Poimin tuosta ylläolevasta pari kohtaa kommentoitavaksi:

Muunnos tuottaa siis spin-arvojen lineaarikombinaation, jonka voi kirjoittaa (ilman normitusta) esimerkiksi

\(\displaystyle U(\Lambda)\ \ket{p,\frac 1 2}=D^{(1/2)}_{\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,\frac 1 2} + D^{(1/2)}_{-\frac1 2,\frac1 2}\ \ket{\Lambda p,-\frac 1 2}\).

Tämä on hyvä huomio.

Tätä allaolevaa en täysin ymmärtänyt (syy toki voi olla mun vajavainen ymmärrys itse aiheesta )

Muunnos \(\Lambda\) on pusku tai puhdas rotaatio. Molempiin liittyy Wignerin rotaatio \(W(\Lambda,p)\), joka määrittää matriisin \(D^{(j)}\) alkiot. Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on Wignerin little group esitys.

Miksi tuossa \(\Lambda\) olisi puhdas rotaatio tai pusku? Mielestäni jokainen \( W\in W(\Lambda,p)\) kiinnittää Weinbergin alunperin mielivaltaisesti valitun referenssimomentin \(k^{\mu}\) eli \({W^\mu}_{\nu} k^{\nu}= k^{\mu}\). Tämän pitää olla totta kaikilla \(\Lambda\) ja \(p\). Mutta se mikä on merkitsevää, on mielestäni se, että tuo little group tai pikkuryhmän (? ) \(W(\Lambda,p)\) muoto (osana Lorentz-ryhmää) riippuu valitusta referenssimomentista \(k=k^{\mu}\) eli ehkä olisi parempi alustavasti merkitä \(W(\Lambda,p)_k\). Nyt tapauksessa \(p^2<0\) (massallinen hiukkanen) luultavasti millä tahansa referenssimomentin valinnoilla k ja k' Wignerin pikkuryhmät ovat isomorfisia keskenään eli \( W(\Lambda,p)_k \approx W(\Lambda,p)_{k'} \). Siis tässä on oltava \(k' = \Lambda^{ref}k\), missä \(\Lambda^{ref}\) on referenssimomentin muuttamiseen käytetty Lorentz-muunnos. Kuitenkin nokkelalla valinnalla \(k*=(m,0,0,0)\) saadaan, että \(W(\Lambda,p)_{k*} \approx SO(3)\) ja siis \(W(\Lambda,p)_k \approx SO(3)\), millä tahansa referenssimomentilla k.

Joo, mun kirjoituksessa oli virheitä. Muunnos \(\Lambda\) ei ole pusku tai rotaatio, vaan yleinen muunnos \(\Lambda \in SO^+(1,3)\), joka voidaan toki hajottaa puskuksi \(B\) ja rotaatioksi \(R\). Wignerin rotaatio määritellään

\(W(\Lambda,p) = L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L(p)\)

missä \(L(p)\) muuntaa perusliikemääräksi valitun vektorin \(k^\mu=(m,0,0,0)\) siten, että saadaan \(p = L(p)\ k\). Seuraavaksi \(p\) muunnetaan yleisellä Lorentz-muunnoksella, ja saadaan vektori \(p'=\Lambda p = \Lambda\ L(p) k\). Lopuksi vektoriin \(p'\) kohdistetaan käänteinen muunnos \(L^{-1}(\Lambda p)\), ja saadaan \(L^{-1}(\Lambda p)\ p' = k\).

Muunnos \(W \in SO^+(1,3)\) on siis little groupin alkio tuolle valitulle vektorille \(k\).

Se on totta mitä sanoit \(k\):n valinnasta. On valittu \(k\) siten, että voidaan kirjoittaa mielivaltainen liikemäärä muodossa \(p^\mu=L^\mu{_\nu}(p)\ k^\nu\). Tuo \(L^\mu{_\nu}(p)\) riippuu liikemäärästä \(p\), mutta myös valitusta vektorista \(k\). Jos \(k\):n tilalle valitaan \(k'\), niin vektori \(p^\mu\) saadaan eri muunnoksella \(L'^\mu{_\nu}(p)\ k'\). Ja tästä seuraa sitten eri Wignerin rotaatio \(W'(\Lambda,p)\).

Mielestäni valita \(k\) tai \(k'\) vastaa jossain mielessä kantavektorien valinta, jonka seurauksena \(W\) muuntuu. Hmm. Tätä pitää pohtia. Mutta fysiikkaan valinnan ei pitäisi vaikuttaa.

Kun \(W\) esitetään spin-\(j\) tilavektorin Hilbertin avaruudessa, niin käytetään matriisia \(D^{(j)} \Big( W(\Lambda,p) \Big)\), joka on spin-j esitysmatriisi (äärellinen ja unitaarinen) tuolle kyseiselle Wignerin little groupin alkiolle \(W(\Lambda,p) \in SO^+(1,3)\), joka tässäkin riippuu lopulta valitusta vektorista k.

Kirjoitin aiemmin jostain syystä näin: "Kun kyseessä on puhdas rotaatio \(R\), niin \(W(R,0)\) on spin-\(j\) rotaatiomatriisi, joka on wignerin little group esitys". Tuossa mulla on ajatusvirhe. Liikemäärävektorit \(k=(m,0,0,0)\) ja \(p = L(p) k\) eivät tietysti ole nollavektoreita, joten pitää kirjoittaa \(W(R,p)\). Nollavektoria on turha pyörittää : )

Mun olisi pitänyt todeta, että puhdasta rotaatiota \(\Lambda = R\) ja liikemäärää \(k\) vastaa Wignerin rotaatio \(W(R,k)=R\), joka on little groupin alkio. Ja tälle on olemassa spin-\(j\) matriisiesitys on \(D^{(j)}(R)\).

Ainakin jotain onnistuin korjaamaan edellisestä sotkusta?

Koska olette jo törmänneet siihen tosiasiaan, että SO(3):n puolilukuiset esitykset vaativat peiteryhmän SU(2) käyttöä ja projektiivisia esityksiä, Spin-ryhmät tarjoavat tähän luonnollisen ja eksaktin matemaattisen kielen.

SU(2) on Spin(3): Kun otatte käyttöön Spin(n)-ryhmät, voitte todeta suoraan, että \(Spin(3) ≅ SU(2)\). Tämä tekee matematiikassa vaadituista projektiivisista esityksistä peiteryhmän aitoja esityksiä ja siivoaa terminologiaa huomattavasti sekä vähentää väärinkäsitysten riskiä myöhemmin.

Kun tarkastellaan muunnoksia Λ ∈ SO\(^+\)(1,3), näiden kvanttimekaaninen käsittely vaatii siirtymistä Lorentz-ryhmän peiteryhmään SL(2,\(ℂ\)), joka on suoraan isomorfinen ryhmän Spin(1,3) kanssa. Spin-ryhmien käyttö auttaa ymmärtää syvälliseti, miksi fermioneja kuvataan juuri siten relativistisessa fysiikassa.

Oma teoreettinen löydökseni on, että tyhjön operatiivinen rakenne kuvautuu luonnollisesti Spin(3,1)-kimpulla, mutta viittaa syvemmällä tasolla 6-ulotteiseen split-rakenteeseen, joka voidaan tulkita Spin(3,3)-symmetriana. Tämän lisäksi konforminen ja holonominen sulkeuma näyttäytyy Spin(4,2)-rakenteena, jota voidaan kuvata holonomisena konnektiohyperboliana...

[QS]

jokainen \( W\in W(\Lambda,p)\) kiinnittää Weinbergin alunperin mielivaltaisesti valitun referenssimomentin \(k^{\mu}\) eli \({W^\mu}_{\nu} k^{\nu}= k^{\mu}\). Tämän pitää olla totta kaikilla \(\Lambda\) ja \(p\). Mutta se mikä on merkitsevää, on mielestäni se, että tuo little group tai pikkuryhmän (? ) \(W(\Lambda,p)\) muoto (osana Lorentz-ryhmää) riippuu valitusta referenssimomentista \(k=k^{\mu}\) eli ehkä olisi parempi alustavasti merkitä \(W(\Lambda,p)_k\). Nyt tapauksessa \(p^2<0\) (massallinen hiukkanen) luultavasti millä tahansa referenssimomentin valinnoilla k ja k' Wignerin pikkuryhmät ovat isomorfisia keskenään eli \( W(\Lambda,p)_k \approx W(\Lambda,p)_{k'} \). Siis tässä on oltava \(k' = \Lambda^{ref}k\), missä \(\Lambda^{ref}\) on referenssimomentin muuttamiseen käytetty Lorentz-muunnos. Kuitenkin nokkelalla valinnalla \(k*=(m,0,0,0)\) saadaan, että \(W(\Lambda,p)_{k*} \approx SO(3)\) ja siis \(W(\Lambda,p)_k \approx SO(3)\), millä tahansa referenssimomentilla k.

Selvitin miten Weinberg tätä referenssimomenttia ja Wigner rotaatiota \(W\) käsittelee. Määritelmä oli

\(W(\Lambda,p) = L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L(p)\)

missä \(L(p)\) on muunnos, joka riippuu riippuu vektorin \(k\) valinnasta, ja muunnos tuottaa halutun vektorin \(p = L(p)\ k\). Kun \(\Lambda\) on puhdas rotaatio \(\mathscr{R} \in SO^+(1,3)\), niin kaikille vektoreille \(p\) pätee \(W(\mathscr{R},p) = \mathscr{R}\), mutta kirjassa tämä käsitellään vain, kun valinta on \(k=(m,0,0,0)\). Tässä tapauksessa puhtaalle rotaatiolle voidaan kirjoittaa

\(L(p) = R(\hat{\mathbf p})\ B(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\hat{\mathbf p})\)

missä \(\mathbf p\) on liikemäärän avaruudelliset komponentit. Tämän \(L(p)\):n nimitys 'standard boost', tarkoittaa sitä, että pusku \(B(|\mathbf p|)\) on z-akselin suuntainen. Rotaatiot \(R\) ja \(R^{-1}\) pyöräyttävät z-akselin suuntaisen puskun siten, että suunta on \(\hat{\mathbf p}\). Näin saadaan vektori \(p\), jonka nopeus on \(|\mathbf p|\), ja suunta on \(\hat{\mathbf p}\).

Kun \(\Lambda = \mathscr{R}\) on puhdas rotaatio, niin voidaan kirjoittaa

\(\begin{align}
W(\mathscr{R},p) &= L^{-1}(\mathscr{R} p)\ \mathscr{R}\ L(p) \\
&= \left[ R(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ B(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\mathscr{R}\hat{\mathbf p}) \right]^{-1}\ \mathscr{R}\ \left[ R(\hat{\mathbf p})\ B(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\hat{\mathbf p}) \right] \\
&=\left[R(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ B^{-1}(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\right]\ \mathscr{R}\ \left[ R(\hat{\mathbf p})\ B(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\hat{\mathbf p}) \right] \\
\end{align}\)

Kolmas rivi saadaan käänteismatriisista \((RBR^{-1})^{-1}=RB^{-1}R^{-1}\). Keskellä on matriisi

\(R^{-1}(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ \mathscr{R}\ R(\hat{\mathbf p})\)

joka pyöräyttää ensin z-akselin samaan suuntaan kuin vektori \(\hat{\mathbf p}\), ja tämän jälkeen pyöräyttää suuntaan \(\mathscr{R} \hat{\mathbf p}\), ja lopuksi \(R^{-1}(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\) vie takaisin z-akselin suuntaiseksi. Tästä päätellään, että tuo matriisi on rotaatio \(R(\theta)\), joka on rotaatio kulmalla \(\theta\), mutta vain z-akselin ympäri.

Nyt \(W\) voidaan kirjoittaa

\(\begin{align}
W(\mathscr{R},p) &= \left[R(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ B^{-1}(|\mathbf p|)\right]\ R^{-1}(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ \mathscr{R}\ R(\hat{\mathbf p})\ \left[B(|\mathbf p|)\ R^{-1}(\hat{\mathbf p}) \right] \\
&=R(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ R^{-1}(\mathscr{R}\hat{\mathbf p})\ \mathscr{R}\ R(\hat{\mathbf p})\ R^{-1}(\hat{\mathbf p}) \\
&= \mathscr{R}
\end{align}\)

missä ensimmäisellä rivillä keskellä \(R(\theta)\). Toinen rivi saadaan, kun tiedetään että z-akselin rotaatio \(R(\theta)\) ja z-akselin pusku \(B(|\mathbf p|)\) kommutoivat. Voidaan siis todeta, että vektorista \(p\) riippumatta \(W(\mathscr{R},p) = \mathscr{R}\), kun on valittu \(k=(m,0,0,0)\).

Jos valitaan kuitenkin kirjoittamasi \(k' = \Lambda^{ref}\ k\), niin tästä seuraa, että \(p =L'(p)\ k' = L(p) (\Lambda^{ref})^{-1} k'\), ja näin ollen \(L'(p) = L(p) (\Lambda^{ref})^{-1}\). Tämä muunnettu standard boost näkyy Wignerin rotaation kaavassa

\(\begin{align}
W'(\Lambda,p) &= L'^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L'(p) \\
&= \Lambda^{ref} L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L(p) (\Lambda^{ref})^{-1} \\
&= \Lambda^{ref}\ W(\Lambda,p)\ (\Lambda^{ref})^{-1}
\end{align}\)

Jos tuo tulos nyt on oikein, niin kyseessä ei ole tosiaan ole rotaatio \(\mathscr{R}\), vaan puskusta ja rotaatiosta rakentuva Lorentz-muunnos. Kai nuo \(W\), \(W'\) ja \(SO(3)\) ovat kuitenkin isomorfiset? Jos eivät olisi, niin tämän koneiston rakenteessa olisi joku isompi probleemi. Ja jos ymmärrän tämän oikein, niin \(W'\) on kantamuunnoksen jälkeinen \(W\), joten isomorfiset ne ovat.

[Disputator]

Iltaa!

...
Jos valitaan kuitenkin kirjoittamasi \(k' = \Lambda^{ref}\ k\), niin tästä seuraa, että \(p =L'(p)\ k' = L(p) (\Lambda^{ref})^{-1} k'\), ja näin ollen \(L'(p) = L(p) (\Lambda^{ref})^{-1}\). Tämä muunnettu standard boost näkyy Wignerin rotaation kaavassa

\(\begin{align}
W'(\Lambda,p) &= L'^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L'(p) \\
&= \Lambda^{ref} L^{-1}(\Lambda p)\ \Lambda\ L(p) (\Lambda^{ref})^{-1} \\
&= \Lambda^{ref}\ W(\Lambda,p)\ (\Lambda^{ref})^{-1}
\end{align}\)

Jos tuo tulos nyt on oikein, niin kyseessä ei ole tosiaan ole rotaatio \(\mathscr{R}\), vaan puskusta ja rotaatiosta rakentuva Lorentz-muunnos. Kai nuo \(W\), \(W'\) ja \(SO(3)\) ovat kuitenkin isomorfiset? Jos eivät olisi, niin tämän koneiston rakenteessa olisi joku isompi probleemi. Ja jos ymmärrän tämän oikein, niin \(W'\) on kantamuunnoksen jälkeinen \(W\), joten isomorfiset ne ovat.

Ihan lyhyt vastaus nyt, on ollut kiireitä. Tutustun tarkemmin ajan kanssa laskuihisi, mutta kyllä \(W\) ja \(W'\) ovat isomorfiset. Asiaa voi fysikaalisesti ajatella silleen (kuen sanoitkin kantamuunnoksista), että tavalliset rotaatiot \(R_0\in SO(3)\) ovat ihan oikeita rotaatioita tietyssä koordinaatistossa, mutta puskun \(B_0\) jälkeen (passiivisena koordinaatistomuunnoksena, ei aktiivisena) ne näyttäytyvät juuri jonkinlaisina puskun \(B \) (tai \(B'\)) ja rotaation (\(R\) tai \(R'\)) yhdistelmänä \(R_0 = B R\) tai \(R_0=R' B'\).

Formaalisti: Alkiot \( \Lambda R_0 \Lambda^{-1}\), missä \( R_0\) on oikea rotaatio ja \( \Lambda\) Lorentz-muunnos, muodostavat ryhmän joka on isomorfinen \(SO(3)\):n kanssa.

[QS]

Olen välillä tankannut kenttäoperaattorien pariteettia ja ajankääntöä Weinbergista niiltä osin, kun olen asian ymmärtänyt. \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\) ovat peräisin ryhmän \(O(1,3)\) diskreeteistä alkioista \(\mathscr P\) ja \(\mathscr T\), jonka takia operaattorien unitaarista muunnosta ei voida johtaa unitaarisesta Lorentzmuunnoksesta \(U(\Lambda,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(\Lambda,b)\).

Luvun 4.2 perusteella homma on kuitenkin suoraviivainen. Yhden hiukkasen tilavektorin pariteetti määriteltiin \(\mathrm P\ \ket{\mathbf p, \sigma} = \eta\ \ket{-\mathbf p,\sigma}\), missä \(\eta\) on 'sisäinen pariteetti'. Tilavektori voidaan kirjoittaa

\(\ket{\mathbf p, \sigma} = a^\dagger(\mathbf p,\sigma) \ket{0}\)

Vakuumi \(\ket{0}\) on kaikissa muunnoksissa invariantti, joten \(\mathrm P\ \ket {0} = \ket {0}\). Tätä käyttämällä

\(\mathrm P\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} \ket{0}=\eta\ a^\dagger(-\mathbf p,\sigma) \ket{0}\)

mistä nähdään operaattorin \(a^\dagger\) pariteetti on
$$\mathrm P\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} =\eta\ a^\dagger(-\mathbf p,\sigma) \tag 1$$
Vastaavasti todetaan ajankääntö
$$\mathrm T\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm T^{-1} =\xi\ (-1)^{j-\sigma}\ a^\dagger(-\mathbf p,-\sigma) \tag 2$$

Poisto \(a\) ja luonti \(a^\dagger\) ovat adjungaatteja, eli siis \((a)^\dagger = a^\dagger\). Muunnokset (1) ja (2) voidaan adjungoida

\(\begin{align}
(\mathrm P\ a^\dagger\ \mathrm P^{-1})^\dagger&=\mathrm P\ a \mathrm\ P^{-1} \\
(\mathrm T\ a^\dagger\ \mathrm T^{-1})^\dagger&=\mathrm T\ a \mathrm\ T^{-1}
\end{align}\)

ja todeta, että poisto-operaattorin pariteetti ja ajankääntö ovat
$$\begin{align}
\mathrm P\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} &=\eta^*\ a(-\mathbf p,\sigma) \\
\mathrm T\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm T^{-1} &=\xi^*\ (-1)^{j-\sigma}\ a(-\mathbf p,-\sigma)
\end{align} \tag 3$$
missä \(\eta\) ja \(\xi\) on kompleksikonjugoitu, ja tämä riippumatta siitä, ovatko \(\mathrm P\) ja \(\mathrm T\) unitaarisia tai antiunitaarisia. Luontioperaattorin vaihekertoimet ovat \(\eta\) ja \(\xi\), ja poisto-operaattorin vastaavat \(\eta^*\) ja \(\xi^*\).

Luvussa 5.5 kirjoitetaan Diracin operaattorikenttä, johon sisältyy hiukkasen poisto \(\psi^+\) ja antihiukkasen luonti \(\psi^{-c}\)

\(\begin{align}
\psi^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)

missä \(u\) ja \(v\) ovat spinorit. Kentän pariteetit kirjoitetaan

\(\begin{align}
\mathrm P\ \psi^+(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^* (2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(-\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot \mathscr P x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\mathrm P\ \psi^{-c}(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^c (2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v(-\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot \mathscr P x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)

Tässä on nyt yksityiskohtia. Tuosta nähdään, että muunnettu kenttä on muotoa \(\psi(\mathscr P x)\), mikä näkyy oikealla puolella siten, että koordinaatit muuntuvat \(x \to \mathscr P x\). Kenttien edessä on vaihekertoimet \(\eta^*\) (poisto-operaattorille konjugointi) ja \(\eta^c\) (luontioperaattorille ei konjugointia).

Operaattorien \(a\) ja \(a^{c\dagger}\) parametri, joka on siis \(\mathbf p\), ei ole vaihtanut etumerkkiä. Muunnokset (1) ja (3) kuitenkin selvästi vaihtavat etumerkin. Mulla kesti hetki ymmärtää, että miksi näin.

Syy on Minkowski-koordinaatin muunnos \(x \to \mathscr P x = (x^0,-\mathbf x)\). Termin \(e^{ip \cdot x}\) eksponentissa on sisätulo \(p \cdot x = \mathbf p \cdot \mathbf x - p^0 x^0\). Kun koordinaatti muuntuu \(x \to \mathscr P x\), niin sisätulo muuntuu

\(p \cdot x \to p \cdot \mathscr P x = \mathbf p \cdot (-\mathbf x) - p^0 x^0\)

Tämä sisätulo on väärin, jos ei huomioida aika-avaruuden liikemäärän muunnosta \((p^0,\mathbf p) \to (p^0, -\mathbf p)\). Vaikka \(\mathbf p\) ei olekaan kentän \(\psi\) koordinaatti, niin sen täytyy muuntua samalla, kun \(x\) muuntuu. Tämän seurauksena muunnosten (1) ja (3) jälkeinen etumerkki on alkuperäinen, ja muunnoshan ei ole parametrin muunnos vaan operaattorin muunnos. Samasta syystä spinorin \(u\) ja \(v\) liikemäärän etumerkki vaihtuu, ja notaatio \(u(-\mathbf p,\sigma)\) ja \(v(-\mathbf p,\sigma)\) tarkoittaa spinorin pariteettia.

Spinorin pariteettiin tarvitaan \(\gamma^0\)-matriisi, josta muodostetaan pariteetti-matriisi \(\beta = i\gamma^0\). Weinbergin konventiolla

\(\gamma^0=-i\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad \beta = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\)

missä \(1\) on 2x2-yksikkömatriisi, ja \(\beta=\beta^{-1}\). Tämän avulla saadaan Diracin matriisien pariteetit

\(\beta \gamma^i \beta = -\gamma^i, \quad \beta \gamma^0 \beta = \gamma^0.\)

Seuraavaksi pitää palata lukuun 5.1, jossa \(u(\mathbf p,\sigma)\) ja \(v(\mathbf p,\sigma)\) muodostetaan käyttämällä nolla-liikemäärän spinoreita \(u(\mathbf 0,\sigma)\) ja \(v(\mathbf 0,\sigma)\). Esimerkiksi

\(\displaystyle u_{\ell'} (\mathbf p,\sigma) = \sqrt{\frac{m}{p^0}} \sum_{\ell} D_{\ell'\ell}(L(p))\ u_\ell(\mathbf 0,\sigma)\)

Tämä on mahdollisimman yleinen muoto, ja \(\displaystyle \sum_{\ell} D_{\ell'\ell}(L(p))\) riippuu Lorentzryhmän esityksestä. Luku 5.7 johtaa eksplisiittiset matriisit, mutta aihe on lähes kandityön laajuinen kokonaisuus, joten tässä nyt vain spinori-esityksen \((1/2,0) \oplus (0,1/2)\) muoto, joka on

\(\begin{align}
u(\mathbf p,\sigma)&=\sqrt{m/p^0}\ D(L(\mathbf p))\ u(\mathbf 0,\sigma) \\
v(\mathbf p,\sigma)&=\sqrt{m/p^0}\ D(L(\mathbf p))\ v(\mathbf 0,\sigma)
\end{align}\)

Spinorin pariteetti saadaan \(\beta\)-matriisilla

\(\begin{align}
u(-\mathbf p,\sigma)&=\sqrt{m/p^0}\ \beta\ D(L(\mathbf p))\ \beta\ u(\mathbf 0,\sigma) \\
v(-\mathbf p,\sigma)&=\sqrt{m/p^0}\ \beta\ D(L(\mathbf p))\ \beta\ v(\mathbf 0,\sigma)
\end{align}\)

Pariteeetissa vasen- ja oikeakätiset Weylin spinorit \((1/2,0)\) ja \((0,1/2)\) vaihtavat paikkaa Diracin 4-komponenttisessa spinorissa. Lopullinen operaattorikentän pariteetti kirjoitetaan tiiviisti

\(\mathrm P\ \psi(x)\ \mathrm P^{-1}=\eta^* \beta\ \psi(\mathscr P x)\)

tai kahtena eri kenttänä

\(\begin{align}
\mathrm P\ \psi^+(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^* \beta\ \psi^+(\mathscr P x) \\
\mathrm P\ \psi^{-c}(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^c \beta\ \psi^{-c}(\mathscr P x)
\end{align}\)

missä vaihekertoimille pätee \(\eta^c = -\eta^*\). Tässä oli vain pariteetti, mutta sekin jäi hiukan tyngäksi, kun yksityiskohtia olisi vaikka kuinka paljon. Esimerkiksi kysymys, että miksi pariteetin täytyy nimen omaan vaihtaa kuvatulla tavalla Weylin spinorien paikat.