Matematiikan syvin olemus

[Varaktori]

Sehän jo herra Henri Poincare oli tämän kolmen kappaleen ongelman kimpussa joskus 1800-luvulla. Siitä työstä sitten kumpusi kaaosteorian perustuksia, Pointcaren paluukartta jolla on ollut käyttöä niin dynaamisten järjestelmien kuin sitten tuon kaaosteoriankin tutkimisessa ja vähän muutakin. Ettei vaan olisi jokin matikkakilpailunkin voittanut tähän aiheeseen liittyen. Niin ja herra osoitti että tätä ongelmaa ei voi ratkaista millään yksinkertaisella matemaattisella kaavalla.

Muistan että siellä alkuperäisellä tiede-lehden foorumilla oli joku yliopistossa fysiikkaa opiskeleva nuori herra joka ilmeisesti kaiken vapaan aikansa uhrasi tälle ongelmalle. Kirjoitteli sitten aiheesta kyseiselle foorumille moninaiset tarinat. Tästä on jo vuosia ja olisi kiva tietää valmistuiko koskaan. 

[Kvarkkivalo]

Tästä voisi poimia jotain. Ihmisen matematiikka on suuresta voimastaan huolimatta joskus pandakarhua muistuttavan kömpelö, lähes evoluutiokelvoton. Esimerkkinä three-body-problem. Tiedetään, että luonnossa 3 kappaleen systeemi pyörii helposti ilman prosessorin ylikuumenemista. Mutta ihmisen matematiikka hyytyy jo tässä 3 kappaleen tapauksessa lähes paikalleen.

Tosin ongelma ei ole se, etteikö ihmisen matematiikka voisi tilannetta kuvata (yhtälöt ja lainalaisuudet sellaisenaan), vaan se, että ratkaisun muodostamisen teho on matala. Toisaalta tässä voidaan myös todeta, että ei universumin tarvitse "ratkaista" mitään vaan toimia tietyillä säännöillä. Ratkaisujen tekeminen on otusten tehtävä, ja se ei välttämättä ole minkään sivilisaation symbolisella kielellä triviaali homma. Tämä palautuu jotenkin jälleen "matematiikka"-käsitteen määrittelyyn.

Kolmen kappaleen ongelma on käsittääkseni siinä, ettei luonto noudata newtonilaista eikä vetovoimana tulkittua einsteinilaistakaan logiikkaa, vaan lainalaisuus on kenttäosien yhteensulautumisessa - kappaleet eivät ole säilyviä massapisteitä vaan muuttuvia kenttiä.

 

Tämä on itseasiassa mielenkiintoinen pointti, ihan makrotasollakin ajateltuna.
(Hirvittää käyttää sanaa "makrotaso", kun taas varmaan menee käsitteet jotenkin kieroon).
Mutta eniveis, tarkoitan juuri vaikka tuota kun heitetään ämpärillinen tennispalloja seinälle. Jokainen ponnahdus tosiaan aiheuttaa vaikkapa muodonmuutoksia, jotka itsessään muuttava vuorovaikuttavan objektin painopisteen paikkaa dynaamisesti.
Puhumattakaan jos alamme tarkastelemaan pallon rakennetta ja sitä, miten pyöreä ja homogeeninen sen rakenne on mm. kimmomoduulin suhteen.
Eli aika äkkiä ollaan jo tälläkin tasolla todella kompleksissa systeemeissä.

Tästä voisi poimia jotain. Ihmisen matematiikka on suuresta voimastaan huolimatta joskus pandakarhua muistuttavan kömpelö, lähes evoluutiokelvoton. Esimerkkinä three-body-problem. Tiedetään, että luonnossa 3 kappaleen systeemi pyörii helposti ilman prosessorin ylikuumenemista. Mutta ihmisen matematiikka hyytyy jo tässä 3 kappaleen tapauksessa lähes paikalleen.

 

Mitä tulee tuohon matematiikan-pandakarhuun, takoitin itse juuri lähinnä sitä että ihminen on niin monimutkainen härveli, että sen heittäminen monimutkaiseen ympäristöön vuorovaikuttamaan, tuottaa monimutkaisia ilmiöitä.
Esim. kokonaisuus nimeltä matematiikka, kaikkine teorioineen, instituutioineen ja keskustelufoorumeineen, on aika kompleksinen syy-seuraus -lopputulos, verrattuna esim. tennispallon pomppaamiseen seinästä.
Mutta ilman muuta olen samaa mieltä matematiikan työkaluista, johon tuossa pandakarhu-vertauksessa viitattiin.

Jossain toisessa data-ulottivuudessa QS-tyyppinen nimimerkki puhui minusta siitä, miten homma voi toimia myös toisin päin. Eli matematiikka löytää itse itsestään ilmiön. Ja tälle ilmiölle lähdetään hakemaan vastinetta fysiikasta.
Tämä oli mielenkiintoinen tulokulma. Enpä ole itse ainakaan tätä puolta pohdiskellut syvällisemmin koskaan. Ennakko-oletus kun on usein se, että matematiikka pyrkii pelkästään kuvamaan havaintojamme, eikä itse löydä mitään.

Tästä päädyin pohdintaan myös kultaisesta leikkauksesta. Kumpi on ollut ensin, intuitiivis-esteettinen käsitys kultaisesta leikkauksesta, vai sen matemaattinen kuvaus? Jos tämä intuitio on ollut ensin, niin onko kuitenkin matemaattinen kuvaus myöhemmin tarkentanut asiaa. Se on tuotu sitten tarkempana esim. arkkitehtuuriin ja taiteeseen, ja ihmisen käsitys siitä on alkanut terävöitymään. Ja tänään huomaammekin kultaisen leikkauksen myös intuitiivisesti tarkemmin. Koska olemme viljelleet sitä ympäristöömme. Kylpeneet sen matematiikassa.

[QS]

Kolmen kappaleen ongelma on käsittääkseni siinä, ettei luonto noudata newtonilaista eikä vetovoimana tulkittua einsteinilaistakaan logiikkaa, vaan lainalaisuus on kenttäosien yhteensulautumisessa - kappaleet eivät ole säilyviä massapisteitä vaan muuttuvia kenttiä.

Niin. Näkisin, että kenttäteoria ei ongelmaa poista. Ratkaisun löytäminen on vielä työläämpää, kun yhtälöt ovat epälineaarisia tai joudutaan käyttämään häiriöteoriaa.

Kysymys onkin enemmän siitä, että onko ratkaisun löytäminen suljetussa muodossa oikea mittari matematiikan voimalle. Ei välttämättä ole. Yhtälöiden ratkaisemisen voi nähdä "matematiikan symbolisen kielen" lisäosana, jonka ihminen tarvitsee hahmottaakseen tilanteen numeerisesti. No, tämän asian pohtimiseen tarvittaisiin matematiikan filosofeilta näkemys. Ei ole mun vahvuusalueilla.

Jos villisti visioi, niin voidaan ajatella pitkälle kehittynyt sivilisaatio, jonka aivot ovat täysin eri tasolla kuin ihmisen. Otuksille suljetun muodon ratkaisut voivat olla toissijainen asia, kun aivot näkevät epälineaarisetkin tilanteet kuin itsestään. Samoin kuin ihminen näkee kolme omenaa, joista otetaan yksi pois, jäljellä on kaksi. Tähän ei edes "matematiikkan symbolista kielijärjestelmää" tarvita.

Eli matematiikka löytää itse itsestään ilmiön. Ja tälle ilmiölle lähdetään hakemaan vastinetta fysiikasta.
Tämä oli mielenkiintoinen tulokulma. Enpä ole itse ainakaan tätä puolta pohdiskellut syvällisemmin koskaan. Ennakko-oletus kun on usein se, että matematiikka pyrkii pelkästään kuvamaan havaintojamme, eikä itse löydä mitään.

Kyllä. Tämä on mielestäni matematiikan hämmästyttävin ominaisuus. Kieltä itseään tutkimalla löydetään kieleen lisää ominaisuuksia. Ja myöhemmin huomataan, että keinotekoisesti löydetty ominaisuus pulpahtaa esiin universumista.

Esimerkkinä arkipäiväinen kuva. Kirja kierretään ensin x-akselin ja sitten y-akselin ympäri. Tai ensin y-akselin ja sitten x-akselin ympäri. Tulos ei ole sama.

3d-rotaatio.png (56.19 KiB) Katsottu 886 kertaa

Tylsä perusjuttu puutarhasta. Mutta matematiikan kielellä asia on erittäin kiehtova. Kun matemaatikko rakentaa tästä yleisemmän teorian, niin tulos on lähes tajunnanräjäyttävä

Saman lainalaisuuden seurauksena kvarkit sitoutuvat toisiinsa gluoneilla, jotka välittävät 9 eri värikombinaatiota. Nämä eivät "pyöri" 3d-avaruudessa, mutta säännön erityispiirre johtaa siihen, että tämä on ainoa mahdollisuus, jolla kvarkit sitoutuvat toisiinsa.

Sääntö on tavallaan tallessa universumin rakenteessa, ilman ihmistä. Pelkästään kieltä tutkimalla on löydetty "piilotettu" sääntö, joka on osa universumin toimintaa.

[Varaktori]

Tarvitaanko tässä Paul Feyerabendin epistemologista anarkismia? Se on ehkä erikoisin filosofinen näkemys minkä voi kuin kaniinin hatusta tähän keskusteluun nostaa. Kaveri kyseenalaisti tieteen metodit todeten, että tiede kehittyy usein epäjärjestyksen ja sattuman kautta. Kaverin näkemysten takana oli tieteen historian analyysiä, jonkinlainen erikoinen näkemys tieteen moniarvoisuudesta ja skeptisyys auktoriteetteja kohtaan. Jos tällä ei saada filosofeja palstalle, niin sitten ei millään. 

Jospa tällä löydetään matematiikan syvin olemus ja kolmen kappaleen ongelmastakin löydetään aivan uusia ulottuvuuksia.

[QS]

Tarvitaanko tässä Paul Feyerabendin epistemologista anarkismia? Se on ehkä erikoisin filosofinen näkemys minkä voi kuin kaniinin hatusta tähän keskusteluun nostaa. Kaveri kyseenalaisti tieteen metodit todeten, että tiede kehittyy usein epäjärjestyksen ja sattuman kautta. Kaverin näkemysten takana oli tieteen historian analyysiä, jonkinlainen erikoinen näkemys tieteen moniarvoisuudesta ja skeptisyys auktoriteetteja kohtaan. Jos tällä ei saada filosofeja palstalle, niin sitten ei millään.

Jospa tällä löydetään matematiikan syvin olemus ja kolmen kappaleen ongelmastakin löydetään aivan uusia ulottuvuuksia.

Tuo näkemys saattaisi ärsyttää myös puhdasta matematiikkaa tutkivaa matemaatikkoa ;D

Mun käsittääkseni jopa todella puhtaan puritaanisilla matemaatikoilla on hankaluuksia kuvailla matematiikan ja luonnon välistä suhdetta. Jotkut näkevät matmatiikan hyvin voimakkaana ja ehdottomana järjestelmänä, joka edustaa tavallaan abosluuttista totuutta. Mutta kun he miettivät miksi luonto on valinnut [nimenomaan näin päin: luonto valinnut, tai luontoon valikoitunut] osan ^(*) näistä absoluuttisista totuuksista toimintasäännöikseen, niin aivot menevät jumiin. Samalla tavalla kuin tavallisella tallaajallakin.

(*) matematiikalla löydetään myös rakenteita, joita ei ole meidän universumissa. Josstain toisessa voisi olla. Tämän voisi nähdä jopa matematiikan metauniversaalisena ylivoimana, joka ei rajoitu vain tietyn tyyppisiin universumeihin

[Varaktori]

Tarvitaanko tässä Paul Feyerabendin epistemologista anarkismia? Se on ehkä erikoisin filosofinen näkemys minkä voi kuin kaniinin hatusta tähän keskusteluun nostaa. Kaveri kyseenalaisti tieteen metodit todeten, että tiede kehittyy usein epäjärjestyksen ja sattuman kautta. Kaverin näkemysten takana oli tieteen historian analyysiä, jonkinlainen erikoinen näkemys tieteen moniarvoisuudesta ja skeptisyys auktoriteetteja kohtaan. Jos tällä ei saada filosofeja palstalle, niin sitten ei millään.

Jospa tällä löydetään matematiikan syvin olemus ja kolmen kappaleen ongelmastakin löydetään aivan uusia ulottuvuuksia.

Tuo näkemys saattaisi ärsyttää myös puhdasta matematiikkaa tutkivaa matemaatikkoa ;D

Mun käsittääkseni jopa todella puhtaan puritaanisilla matemaatikoilla on hankaluuksia kuvailla matematiikan ja luonnon välistä suhdetta. Jotkut näkevät matmatiikan hyvin voimakkaana ja ehdottomana järjestelmänä, joka edustaa tavallaan abosluuttista totuutta. Mutta kun he miettivät miksi luonto on valinnut [nimenomaan näin päin: luonto valinnut, tai luontoon valikoitunut] osan ^(*) näistä absoluuttisista totuuksista toimintasäännöikseen, niin aivot menevät jumiin. Samalla tavalla kuin tavallisella tallaajallakin.

(*) matematiikalla löydetään myös rakenteita, joita ei ole meidän universumissa. Josstain toisessa voisi olla. Tämän voisi nähdä jopa matematiikan metauniversaalisena ylivoimana, joka ei rajoitu vain tietyn tyyppisiin universumeihin

No juu fyysikolla loppuu ulottuvuudetkin nopeasti kesken vaikka säieteoreetikot ovat yrittäneet tehdä asialle jotain. Matemaatikolla ei ole tätä ongelmaa. 

[Varaktori]

Laitetaas foliohattu päähän:

$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty$$
$$\langle \{a_n\}, \{b_n\} \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \overline{b_n}$$

No joo antaas nyt olla. 
Jos mä jatkaisin niin toi lähtis taas lapasesta. Jätetään nämä teille jotka osaatte.
 

[Disputator]

Matematiikka on toisaalta ihmisen luoma keksintö/käsitejärjestelmä tms. Esimerkiksi koiralle ei kannata luennoida planeettojen radoista, suhteellisuusteoriasta tms. koska koira luultavasti pitkästyy ja sanoo hau hau ja tuo kepin, jota sitten pitäisi heittää. Koira ei siis ymmärrä ihmisten luomia ajatusrakennelmia. Jos sitten on olemassa joku miljoonia vuosia meitä edistyneemmän ulkoavaruuden olioiden luoma käsitejärjestelmä, jota he kutsuvat myös matematiikaksi ja sitten he saapuvat avaruusaluksilla luennoimaan, niin me emme ymmärrä siitä mitään ja luultavasti edes emme tajua, että jotain yritetään selittää meille, analogisesti koiran ja ihmisen kohtaamisessa.

Ihmisen logiikka on ylivertainen (jossain mielessä) koiran logiikkaan ja vastaavasti alienien logiikka voi olla samalla tavalla ihmisten saavuttamattomissa, vaikka kuinka yrittäisimme ymmärtää. Luultavasti emme edes ymmärtäisi sitä, että joku alien yrittää selittää jotain hänelle ihan triviaalia juttua, koska se on meidän kognitiivisten kykyjen saavuttamattomissa.

Aika masentavaa tavallaan.

[Kvarkkivalo]

Matematiikka on toisaalta ihmisen luoma keksintö/käsitejärjestelmä tms. Esimerkiksi koiralle ei kannata luennoida planeettojen radoista, suhteellisuusteoriasta tms. koska koira luultavasti pitkästyy ja sanoo hau hau ja tuo kepin, jota sitten pitäisi heittää. Koira ei siis ymmärrä ihmisten luomia ajatusrakennelmia. Jos sitten on olemassa joku miljoonia vuosia meitä edistyneemmän ulkoavaruuden olioiden luoma käsitejärjestelmä, jota he kutsuvat myös matematiikaksi ja sitten he saapuvat avaruusaluksilla luennoimaan, niin me emme ymmärrä siitä mitään ja luultavasti edes emme tajua, että jotain yritetään selittää meille, analogisesti koiran ja ihmisen kohtaamisessa.

Ihmisen logiikka on ylivertainen (jossain mielessä) koiran logiikkaan ja vastaavasti alienien logiikka voi olla samalla tavalla ihmisten saavuttamattomissa, vaikka kuinka yrittäisimme ymmärtää. Luultavasti emme edes ymmärtäisi sitä, että joku alien yrittää selittää jotain hänelle ihan triviaalia juttua, koska se on meidän kognitiivisten kykyjen saavuttamattomissa.

Aika masentavaa tavallaan.

 

Tässä on pari eri tulokulmaa mitä voisi mielestäni pohtia.
Yksi vapauttava asia on se, että ymmärtää ihmisen olevan elukka. Ei minkään sortin erikoisolento. Meillä on tapana hämmästellä kovasti tietoisuutemme ja älyämme, koska olemme tällä pallolla niin ilmiömäisiä. Tietoisuutemme hämmästyttää itseämmekin. Hauskaa tässä on se että näin tosiaan on, mutta ei välttämättä isossa kuvassa.
Tämä ilmiömäisyytemme luo mielestäni filosofisen takaisinkytkennän, joka saa meidät kokemaan itsemme liian erityiseksi. Alamme keksiä kaikenlaisia hähmäisiä filosofioita, vain ymmärtääksemme jotenkin itse kokemamme poikkeuksellisuuden.
Olemme toki kerrassaan upea, näyttävä ja ihmeellinen laji, mutta toisaalta vain osa eläinkuntaa. Jotenkin meidän pitäisi hyväksyä molemmat puolet samaan aikaan. Jotta emme kuvittelisi itsestämme liikaa, mutta toisaalta tunnistaisimme myös mikä valta meillä on maapallolla. Että emme taantuisi eläimen tasolle. Vaan pyrkisimme yhdessä eteenpäin. Kohti tasapainoa, ja jotain uusia kirkkauksia ja korkeuksia. Parempaa maailmaa. Kaikille elikoille.


Mitä tulee alien-opettajattarien saapumiseen pallolle:
Mielestäni koira-vertauksesi oli osuva. Mutta toisaalta, miten paljon ja nopeasti voisimmekaan saavuttaa, jos joku ylivertainen opettaisi meitä? Vaikea kuvitella. Koiratkin kykenevät aivan uskomattomiin asioihin jos niitä opetetaan.
Jos mietitään että maailman kärki-älyköt ja tiedemaailman nimet laitettaisiin alien-yliopistoon 10 vuodeksi. Miten paljon he voisivat saada irti?

Tätä voi yksilötasolla pohtia esim. sitä kautta, että miten pitkällä sinä olisit matematiikassa jos kukaan ei olisi koskaan opettanut sinua? Esim. phytagoraan lausetta tai derivointia? Siis, jos olisit joutunut keksimään kaiken itse?
Näen alien-opettajattarien saapumisessa planeetallemme siis myös potentiaalia ja mahdollisuuksia.

[QS]

Matematiikka on toisaalta ihmisen luoma keksintö/käsitejärjestelmä tms. Esimerkiksi koiralle ei kannata luennoida planeettojen radoista, suhteellisuusteoriasta tms. koska koira luultavasti pitkästyy ja sanoo hau hau ja tuo kepin, jota sitten pitäisi heittää. Koira ei siis ymmärrä ihmisten luomia ajatusrakennelmia. Jos sitten on olemassa joku miljoonia vuosia meitä edistyneemmän ulkoavaruuden olioiden luoma käsitejärjestelmä, jota he kutsuvat myös matematiikaksi ja sitten he saapuvat avaruusaluksilla luennoimaan, niin me emme ymmärrä siitä mitään ja luultavasti edes emme tajua, että jotain yritetään selittää meille, analogisesti koiran ja ihmisen kohtaamisessa.

Ihmisen logiikka on ylivertainen (jossain mielessä) koiran logiikkaan ja vastaavasti alienien logiikka voi olla samalla tavalla ihmisten saavuttamattomissa, vaikka kuinka yrittäisimme ymmärtää. Luultavasti emme edes ymmärtäisi sitä, että joku alien yrittää selittää jotain hänelle ihan triviaalia juttua, koska se on meidän kognitiivisten kykyjen saavuttamattomissa.

Aika masentavaa tavallaan.

kyllä. Tämä on se realistinen skenaario, ja se on masentava. Älyllisten otusten rahtaaminen asuttujen kivipallukoiden välillä on sekin käytännössä mahdotonta. Tod näk koskee myös hyvinkin älyllisiä.

Jotta ei vaivu masennukseen, niin oletus olisi, että on suunnilleen ihmisen älysiä eläimiä, ja miettiä löytäisivätkö perusteiltaan saman kaltaisen järjestelmän kuin ihminen. Mielestäni vastaus on järjellisesti ajateltuna kyllä. "Matematiikoissa" olisi yhteiset piirteet ja ehkä samoja aksioomia.