Disputator kirjoitti: ↑22.11.2025, 12:49
Alkavaa iltapäivää!
No olipas hyvä tuo sun selitys tuolle mystiselle "integraalille":
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\),
mikä ei auennut mulle mitenkään.
QS kirjoitti:
...
Oikea puoli on Riemannin integraalin määritelmä, joten
\(\displaystyle \ln\left(\int_{a}^{b}f(x)^{dx}\right) = \int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\)
ja tästä sitten seuraa (rumpujen pärinää)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b} \ln\ f(x)\ dx\right)\).
Sun esitys oli oikein hyvä ja ymmärrettävä. Toki siinä on jotain matemaattista detaljia matkan varrella, mutta lopputulos on varmastikin oikea sopivilla funktioilla \(f\).
QS kirjoitti:
Kiinnostuin "integraalin" notaatiosta siksi, että pystyin kuvittelemaan 1900-luvun alun kvanttikenttäteoreetikon, joka on saanut Dysonin sarjansa niin perhanan sotkuun, että integraali sievenee saman näköiseksi kuin tehtävässä
Dysonin sarja kuulosti hämärästi tutulta ja löytyihän se sitten ihan omasta kvanttimekaniikan kirjasta, jossa lasketaan Schrödingerin yhtälön aikakehitysoperaattorin \(U(t,t_0)\) lauseketta annetulla Hamiltonin operaattorilla H. Siis ilman kvanttikenttäteoriaa.
Piti ihan katsoa, mistä on kysymys ja jonkinlainen yksinkertaistettu problematiikka tulee myös vastaan kun ratkaistaan differentiaaliyhtälöä:
\(x'(t)= A(t)x(t)\),
missä \(x(t)\in \mathbb{R}^n\) ja A(t) on \(n\times n\) matriisi, joka riippuu parametrista t. Jos A on vakiomatriisi \(A(t)=A_0,\) niin ratkaisu on, kun \(x(0)=x_0\):
\(x(t)= e^{A_0 t}x_0\).
Jos A riippuu parametrista t, mutta eri parametrin arvoilla t ja t' matriisit \(A(t)\) ja\( A(t')\) kommutoivat, on ratkaisu samanlainen, eksponentissa on vain matriisin A(t) aikaintegraali:
\(x(t)= e^{\int_0^t A(t) dt}x_0\).
Kolmas tapaus on se, että matriisit A(t) ja A(t') eivä kommutoi ja silloin saadaan se Dyson-sarjan vastine, josta en kyllä ymmärä mitään. Mutta on tosiaankin mielenkiintoista, että antamasi tulointegraali liittyy tälläisiin juttuihin. Ja oli hyvä Wikipedialinkki, thanks!
Jes, tähän liittyy varmasti yksityiskohtia ja ehtoja kuten se, että geometrinen integraali
\(\displaystyle \prod_{a}^{b} f(x)^{dx} = \exp\left(\int_{a}^{b}\ln\ f(x)\ dx\right)\)
on voimassa (reaalilukujen joukossa) vain kun \(f(x) \gt 0\) ja \(f(x)\) on skalaarifunktio. Mutta jos jättää detaljit sikseen, niin asialla on yhteys Dysonin sarjaan. Tulointegraali voidaan yleistää aikariippuvalle ja ei-kommutoivalle operaattorille \(A(t)\), kun integraali määritellään
\(\displaystyle \mathcal P \prod_{a}^{b} (1+A(t)\ dt) := \lim_{\max \Delta t_i \to 0} \prod_{i=1}^{n} (1 + A(\xi_i)\Delta t_i)\)
missä \(1\) on yksikkömatriisi. Oikean puolen tulo \(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\) on järjestetty siten, että pienin \(t\) on kauimpana oikealla, ja t kasvaa, kun tullaan lausekkeessa vasemmalle. Järjestys on ilmaistu symbolilla \(\mathcal P\). Operaattorien kertolasku on siis määritelty tiettyyn järjestykseen
\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} A_i := A_n\ A_{n-1} \dots A_1\)
ja aikaväliä pienennetään raja-arvolla kohiti nollaa, josta saadaan tulointegraalin määritelmä. Kvanttimekaniikan ja -kenttäteorian vuorovaikutus-kuvassa aikakehitys-operaattorille \(U(t,t_0)\) on voimassa
\(\displaystyle i\frac{d}{dt}\ U = H(t)\ U\)
Tuo \(U(t,t_0)\) on unitaarinen, jolle pätee lisäksi \(U(t_1,t_3) = U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)\). Yhtälön ratkaisussa on mukana Hamilton H(t), joka ei kuitenkaan ole funktio, vaan sekin on operaattori. Yhtälön ratkaisu on aika-järjestetty operaattori
\(\displaystyle U(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i\int_{t_0}^{t}H(t')\ dt'\right)\)
missä \(\mathcal T\) tarkoittaa koko oikean puolen lausekkeen järjestämistä t:n suhteen siten, että oikeanpuolimmaisin on pienimmän ajan \(t_0\) termi, ja vasemmalle tultaessa aika kasvaa kohti arvoa \(t\). Aika-järjestetty lauseke ja (ei-kommutatiivinen) tulointegraali ovat siis aivan samaa muotota
\(\displaystyle \mathcal T \exp\left(\int_{a}^{b} A(t)\ dt\right) = \mathcal P \prod_{a}^{b}(1 + A(t)\ dt)\)
Dysonin sarja on itse asiassa tämän lausekkeen "sarjakehitelmä"
\(\begin{align}
\displaystyle \mathcal T \exp\left(\int_{a}^{b} A(t)\ dt\right) = 1 &+ \int_{a}^{b} dt_1\ A(t_1) \\
&+ \int_{a}^{b} dt_1 \int_{a}^{t_1} dt_2\ A(t_1)\ A(t_2) \\
&+ \int_{a}^{b} dt_1 \int_{a}^{t_1} dt_2 \int_{a}^{t_2} dt_3\ A(t_1)\ A(t_2)\ A(t_3)\\
&+ \dots
\end{align}\)
En tiedä valaisiko tämä mitään, mutta ainakin periaatteessa Dysonin sarja on menetelmä, jolla voi laskea konkreettisesti ei-kommutatiivisen tulointegraalin (karkeasti ottaen "operaattorien Taylorin sarja"). Ja Feynmanin diagrammit ovat kenio, jolla Dysonin sarjan termit ilmaistaan graafeina.
Toivottavasti en tehnyt paljon virheitä, kun asia on melko hapokas jo notaationsakin puolesta.
. Mutta jos oikein vapautuneeksi heittäytyy, niin likimäärin ehkä kyllä. Mitään vakavaa argumenttia asian todenperäisyydestä en kyllä uskalla antaa.
hyviä likiarvoja.