Kevyt kesän kompleksianalyysiketju

[Disputator]

Iltaa!

Avasin tälläisen ketjun (KKK-ketju lyhyesti ), koska kompleksianalyysiä ( myös nimellä funktioteoriaa ym.) käytetään jatkuvasti fysiikassa, esimerkiksi laskettaessa propagaattoreita (tai joskus Greenin funktioita), mutta fyysikoiden perustelut erilaisten integraalien laskemiseksi ovat horjuvia ja miksi tiettyjä integraaleja edes lasketaan ovat vähän epämääräistä välillä.

Palaan asiaan kaavojen kanssa myöhemmin eli jätän tämän nyt avauksen vain avaukseksi ja aiheen "kypsymään".

Residylause on usein avainasemassa laskiessa reaalimuuttujan integraaleja, jotka ovat hankalia tai jopa sellaisia, joille ei oikein löydy integraalifunktioita, joihin voisi tehdä sijoituksen ja päätellä siten integraalin arvon.

Kompleksianalyysissä käytetään kompleksimuuttujan \(z\) funktioita, \(f(z)\) joille voidaan tietyin edellytyksin kehittää differentiaali-ja integraalilaskentaa ja tälläinen lähestymistapa onkin todella toimiva. Keskeisin käsite tässä on analyyttinen funktio \(f(z)\), joka tarkoittaa funktiota jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat muuttujan \(z\) suhteen määrittelyalueessa \(U\). Tälläiselle funktiolle pätee se, että kompleksinen integraali pitkin sulkeutuvaa polkua \( \gamma\) on:

\(\oint_{\gamma} f(z) dz =0,
\)

kun polku \(\gamma\) sijaitsee avoimessa ja yhdesti yhtenäisessä (topologinen käsite) alueessa \(U\) (alue on avoin ja yhtenäinen \(\mathbf{C} \):n osajoukko, toinen topologinen käsite).

Jos U sisältää funktion f singulaarisia pisteitä (pisteitä, joissa f ei ole määritelty) esimerkiksi äärellisen määrän \(\{z_1,\cdots, z_n,\}\) niin ylläoleva integraali ei ole nolla, vaan integraali on summa funktion residyistä singulaarisissa pisteissä kerrottuna kokonaisluvulla, joka määräytyy kuinka monta kertaa polku \(\gamma \)"kiertää" kyseisen singulariteetin. Residy pisteessä \(z_i \) on luku \(R(z_i, f)\), joka määräytyy esimerkiksi funktion\( f(z)\) Laurent-kehitelmästä tämän pisteen ympäristössä.

Wikipedian artikkeli selventää asiaa.

Residylause:

Residue theorem.

Residylauseen voi lukea topologisesti niin, että logaritmisen differentiaalin periodi mittaa silmukan kiertolukua:

\(
\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{dz}{z}
=
\operatorname{wind}(\gamma,0)\in\mathbb Z.
\)

Kysytään nyt hieman toisin: mitä tapahtuu, jos samaistetaan vastakkaiset pisteet \(z\sim -z\)? Puhkaistulla tasolla tämä vastaa kaksilehtistä peitettä

\(
p:\mathbb C^\times\to\mathbb C^\times,\qquad w=p(z)=z^2.
\)

Tällöin

\(
\frac{dz}{z}
=
p^*\left(\frac12\frac{dw}{w}\right).
\)

Yksi suljettu kierros \(w\)-tasolla nostuu \(z\)-tasolle poluksi, joka alkaa pisteestä \(z\) ja päättyy pisteeseen \(-z\). Nostetun polun integraali on

\(
\int \frac{dz}{z}=\pi i,
\)

tai vastaavasti suljetulla alasilmukalla

\(
\oint \frac12\frac{dw}{w}=\pi i.
\)

Tässä kiertoluku ei varsinaisesti puolitu. Puolikas ilmestyy normalisoituun periodiin, ja periodin luokka modulo \(\mathbb Z\) kertoo, vaihtuiko peitteen lehti:

\(
\frac12\mathbb Z/\mathbb Z\cong\mathbb Z/2.
\)

Sama yleistyy kuvaukseen \(w=z^n\). Tällöin

\(
\frac{dz}{z}
=
p^*\left(\frac1n\frac{dw}{w}\right),
\)

ja yhden silmukan tapauksessa saadaan kolme eri tasoa:

\(
\text{kiertoluku }m\in\mathbb Z,
\qquad\)\(
\text{normalisoitu periodi }\frac mn\in\frac1n\mathbb Z,
\qquad\)\(
\text{monodromia }m\bmod n\in\mathbb Z/n.
\)

Residyn arvo ei siis muutu suoraan deck-ryhmän alkioksi. Residy on edelleen kompleksiarvoinen, mutta siihen liittyvä monodromia on peiteryhmäarvoista kirjanpitoa.

Tästä herää kiinnostava jatkokysymys: voidaanko joitakin tavallisesti etumerkillä tai orientaatiolla ilmaistuja erotteluja järjestää peitteen lehti- tai monodromiadatana? Tämä ei vielä ole “positiividefiniitti residylasku”, mutta se antaa täsmällisen testitapauksen ajatukselle, jossa merkki ei häviä vaan siirtyy rakenteelliseksi lisädataksi.

Ei-suuntautuvilla pinnoilla, kuten \(\mathbb{RP}^2\), kysymys kannattaa ehkä muotoilla näin: missä residyn orientaatiomerkki elää, jos pinnalla ei ole globaalia orientaatiota? Luonteva epäily on, että merkki ei vain katoa, vaan tallentuu esimerkiksi orientaation kaksoispeitteeseen tai sopivaan lokaalisysteemiin.

[QS]

Päivää. Tämä on aika mielenkiintoinen avaus. Residylause on tosiaan mukana fysiikassa, ja tietysti jälleen hähmäisin soppa löytyy kvanttikenttäteoriasta.

Kirjoitan tähän jotain mitä tuli mieleen, mutta en tarkemmin lähde vielä arpomaan täsmällistä käsittelyä, kun vaatii asiaan paneutumista ja kertaamista. Esimerkiksi kvanttikentän propagaattoreissa on integraaleja, jotka ovat muotoa

\(\displaystyle \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p\ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}\)

missä \(p\) on neli-liikemäärävektori, ja sisätulo \(p(x-y) = p^0(x^0-y^0) - \mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y)\), joka toki riippuu valitusta signatuurista.

Integraaliin liittyy sitten se kuuluisa ongelma, että piste \(p^0 = \pm E_{\mathbf p}\) on singulaari piste eli napa, joka sijaitsee reaaliakselilla. Napa on seuraus asiaan liittyvän vapaan kentän (Klein-Gordon, Dirac, Proca...) aaltoyhtälön ratkaisusta, johon sisältyy ehto \(p^2=m^2\) (niin sanottu massakuori, mass shell).

Energian ja liikemäärän avulla lausuttuna ehto on \((p^0)^2-\mathbf p^2=m^2\), ja tästä sitten seuraa

\(p^0=\pm E_{\mathbf p}, \qquad E_{\mathbf p}=\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\)

Napojen kiertämiseen on fysiikasta tuttu \(i\varepsilon\) kikka, jolla navat siirretään pois reaaliakselilta. Tämä näyttäytyy muodossa

\(\displaystyle \frac{1} {p^2 - m^2 \pm i\varepsilon}\)

Epsilonin kanssa touhuaminen vaikuttaa hiukan hatusta vedetyltä, mutta isossa kuvassa asian voin nähdä hyvänä juttuna: Alussa minitun integraalin 'onglmalliset navat' ovat lähtökohta siihen, että varsinainen fysiikka ilmestyy propagaattoreihin, ja lopulta residylauseen takia