Ajankääntö ja pariteetti fysiikassa

[QS]

Piti selvitellä Weinbergin operaattorien rakenne, mutta samalla tuli selvennettyä myös kausaalisuus \([\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \gt 0\), joka on siis edellytys sille, että Dysonin sarjana kirjoitettu \(S\)-operaattori toteuttaa Lorentz-symmetrian.

'4 Cluster decomposition principle' esittelee teoreeman, jonka mukaan kaikki operaattorit \(\mathcal O\) voidaan muodostaa summasta, jonka termit ovat poisto- ja luontioperaattorien tuloja

\(\begin{align}
\mathcal O = &\sum_{N=0}^{\infty} \sum_{M=0}^{\infty}\int dq_1' \dots dq_N'\ dq_1 \dots dq_M \\
&\times\ a^\dagger(q'_1) \dots a^\dagger(q_N')\ a(q_M) \dots a(q_1)\\
&\times\ C_{NM}(q_1' \cdots q_N'\ ,\ q_1 \dots q_M)
\end{align}\)

Ruuhkaisesta notaatiosta huolimatta tämä ei ole niin vaikea kuin miltä näyttää. \(M\) on poisto-operaattorien \(a(q)\) lukumäärä, ja nämä poistavat hiukkaset \(q_1 \dots q_M\). Vastaavasti \(N\) on luontioperaattorien \(a^\dagger(q')\) lukumäärä, ja nämä luovat hiukkaset \(q_1' \dots q_N'\). Operaattorit ovat 'normal ordered', eli luonti vasemmalla ja poisto oikealla. Kertoimet \(C_{NM}\) ovat amplitudeja, jotka liittyvät siihen, mikä on M-hiukkasen tilan ja N-hiukkasen tilan välinen siirtymä

\(\displaystyle \bra{q_1' \cdots q_N'}\ \mathcal O\ \ket{q_1 \cdots q_M}\)

Periaatteessa tuo tarkoittaa matriisialkioita, mutta kenttäteoriassa asia ei ole yhtä suoraviivainen kuin KM:ssa, koska mukana on normitusta, kommutointia, deltafunktioita jne. Karkeasti ottaen voi silti ajatella kuten KM:ssa.

Melko helpot operaattorit \(F\) ovat sellaisia, jotka summaavat tilavektorin \(\Phi\) ominaisarvoja

\(F \Phi_{q_1 \dots q_N}=(f(q_1)+ \dots + f(q_N))\Phi_{q_1 \dots q_N}.\)

Näissä operaattoreissa on yksi poisto- ja yksi luontioperaattori (\(M=N=1\)), ja kerroin on \(C_{11}(q',q) = \delta(q'-q)\ f(q)\)

\(\displaystyle F = \int dq'dq\ a^\dagger(q')a(q)\ C_{11}(q',q) = \int dq'dq\ a^\dagger(q')a(q)\ \delta(q'-q)\ f(q) = \int dq\ a^\dagger(q)a(q)f(q)\)

Esimerkkejä ovat vapaa Hamilton ja varausoperaattori

\(\begin{align}
H_0 &= \int dq\ a^\dagger(q)a(q)E(q) \\
Q &= \int dq\ a^\dagger(q)a(q)Q(q)
\end{align}\)

missä energiaa vastaa kerroin \(C_{11}=\delta(q'-q)E(q)\), ja varausta \(C_{11}=\delta(q'-q)Q(q)\). Energia määritellään \(E(\mathbf p)=+\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), ja se on positiivinen siksi, että tilavektori \(\Phi\) on positiivisen energian ja positiivisen massan (tai nollamassan) Poincare-ryhmän esitys.

Ei-niin-helppoja ovat vuorovaikutus-operaattorit, joista melko helppo esimerkki on kahden hiukkasen sironta (\(M=N=2\))

\(\displaystyle \mathcal O = \int dq_1' dq_2' dq_1 dq_2\ a^\dagger(q_1') a^\dagger(q_2') a(q_1) a(q_2)\ C_{22}(q_1' q_2' ; q_1 q_2)\)

Tällä saadaan (periaatteessa) amplitudi \(\bra{q_1' q_2'} \mathcal O \ket{q_1 q_2}\), jolla on sitten yhteys siirtymän todennäköisyyteen. Hamiltonissa \(H(t)\) on vuorovaikutustermi, joka rakentuu edellisen operaattorikonstruktion avulla

\(\displaystyle \mathcal O = V(t) = \int d^3x\ \mathscr H(t,\mathbf x).\)

Esimerkiksi skalaari-hiukkasten (tässä vaiheessa ei ole vielä kenttää) vuorovaikutustiheys voisi olla muotoa

\(\displaystyle \mathscr H(t,\mathbf x)=\mathscr H(x) \sim g :\phi^\dagger(x) \phi(x) \phi^\dagger(x) \phi(x):\)

missä \(\phi\) sisältää operaattorit \(a^\dagger(q')\) ja \(a(q)\) sekä näiden 'normal ordered' tulot.

Kun \(\mathscr H(x)\) integroidaan \(d^3 x\), niin saadaan vuorovaikutuksen operaattori \(\mathcal O = V(t)\), ja myös kertoimet \(C_{NM}\). Nuo kertoimet muodostuvat itse asiassa kentän integroinnista, mutta tässä vain periaate, ja oletus, että ovat olemassa.

'5 Quantum Fields and Antiparticles' toteaa sitten sen, että \(S\)-operaattorin Lorentz-symmetrian takia tuo mainittu \(\mathcal O\), ja sen \(a\) ja \(a^\dagger\) eivät riitä, vaan eteen on valittava kertoimet \(u\) ja \(v\)

\(\begin{align}
\psi_\ell^+(x) &= \int d^3p\ u_\ell(x,\mathbf p)\ a(\mathbf p) = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ u_\ell(\mathbf p)e^{ip \cdot x}\ a(\mathbf p)\\
\psi_\ell^-(x) &= \int d^3p\ v_\ell(x,\mathbf p)\ a^\dagger(\mathbf p) = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ v_\ell(\mathbf p)e^{-ip \cdot x}\ a^\dagger(\mathbf p)
\end{align}\)

Noiden \(u\) ja \(v\) muunnosominaisuudet takaavat sen, että \(\mathscr H\) muuntuu skalaarin kaltaisesti. Mutta unohdetaan toistaiseksi \(\psi^-\), ja oletetaan, että poisto- ja luontikentät ovat \(\psi^+\) ja \((\psi^+)^\dagger\), tai kevennetyllä notaatiolla \(\psi\) ja \(\psi^\dagger\). Poisto ja luonti kahdessa tapahtumassa \(x\) ja \(y\) voitaisiin kirjoittaa

\(\begin{align}
\psi(x) &= (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ u(\mathbf p)\ e^{ip \cdot x}\ a(\mathbf p)\\
\psi^\dagger(y) &= (2\pi)^{-3/2} \int d^3q\ u^\dagger(\mathbf q)\ e^{-iq \cdot y}\ a^\dagger(\mathbf q)
\end{align}\)

Näistä muodostetaan \(\mathscr H\), ja lasketaan\(\left[ \mathscr H(x),\mathscr H(y) \right]\) käyttämällä luvussa 4.2 johdettuja kommutointeja

\(\left[a(p'),a^\dagger(p)\right]=\delta(p'-p), \quad \left[a^\dagger(p'),a^\dagger(p)\right]=0, \quad \left[a(p'),a(p)\right]=0\)

Lasketaan

\(\begin{align}
\left[\psi(x),\psi^\dagger(y)\right] &= \psi(x) \psi^\dagger(y)-\psi^\dagger(y) \psi(x) \\
&=(2\pi)^{-3} \int d^3p\ d^3q\ u(\mathbf p)u^\dagger(\mathbf q)\ e^{i p \cdot x} e^{-i q \cdot y}\ \left[a(\mathbf p),a^\dagger(\mathbf q)\right] \\
&=(2\pi)^{-3} \int d^3p\ d^3q\ u(\mathbf p)u^\dagger(\mathbf q)\ e^{i p \cdot x -i q \cdot y}\ \delta(\mathbf p-\mathbf q) \\
&=(2\pi)^{-3} \int d^3p\ u(\mathbf p) u^\dagger(\mathbf p)\ e^{i p \cdot (x-y)}
\end{align}\)

Selvästi \(\left[\psi(x),\psi^\dagger(y)\right] \neq 0\), joten ehtoa \(\left[\mathscr H(x),\mathscr H(y)\right]=0\) ei saada toteutumaan, kun \(\psi(x)\) muodostetaan vain positiivisen taajuuden termistä. Tämä on Weinbergin johtolanka siihen, että tarvitaan molemmat positiivinen ja negatiivinen kulmataajuus

\(\begin{align}
\psi(x) &= \psi^+ + \psi^{-c} = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ \left[\ u(\mathbf p)\ e^{ip \cdot x}\ a(\mathbf p) + v(\mathbf p)\ e^{-ip \cdot x}\ a^{c \dagger}(\mathbf p)\ \right]\\
\psi^\dagger(y) &= \psi^{-\dagger} + \psi^{+c\dagger} = (2\pi)^{-3/2} \int d^3q\ \left[\ u^\dagger(\mathbf q)\ e^{-iq \cdot y}\ a^\dagger(\mathbf q) + v^\dagger(\mathbf q)\ e^{iq \cdot y}\ a^c(\mathbf q)\ \right]
\end{align}\)

Riippumatta mitä Lorentz-ryhmän esityksiä \(u\) ja \(v\) ovat, voidaan näille kuitenkin laskea kommutoinnin yleinen muoto

\(\displaystyle \left[\psi(x),\psi^\dagger(y)\right] = (2\pi)^{-3} \int d^3p\ \left[u(\mathbf p) u^\dagger(\mathbf p) e^{i p \cdot (x-y)}\ -\ v(\mathbf p) v^\dagger(\mathbf p)e^{-ip \cdot (x-y)} \right]\)

Tuosta ei voi suoraan päätellä, että oikea puoli saadaan nollaksi, kun \((x-y)^2 \gt 0\), mutta se on silti mahdollista. Taajuus +/- on kenttäoperaattorien yleisempi ominaisuus, ei vain Diracin kentän.

'5.7 General Causal Fields' johtaa esityksille \(u\) ja \(v\) ehdot (kertoimet, normitus jne), joiden voimassa ollessa kausaalisuus \(\left[\psi(x),\psi^\dagger(y)\right] = 0\) toteutuu, kun \(x-y\) on paikanluonteinen. Tehtävä on varsin epätriviaali, mutta tulokset pätevät skalaarille, vektorille, spinorille ja tarvittaessa myös eksoottisemmille esityksille.

Tuo luku voisi olla osion '5 Quantum Fields and Antiparticles' alussa, mutta saattaisi käydä niin, että kukaan ei ymmärtäisi hölyn pöläystä tapahtumien kulusta. Olen Genral Causal Fields -lukua koettanut omaksua hitaasti ja ajatuksella, ja joka kerta se lipsahtaa pois hallinnasta. Onnistuin kuitenkin poimimaan spin-\(j\) operaattorikentälle yleisen muodon (ehkä oikein, ehkä ei)

\(\displaystyle \psi_{ab}(x)=(2\pi)^{-3/2} \sum_{\sigma=-j}^{j}\ \int d^3p\ \left[\ a(\mathbf p,\sigma)e^{ip \cdot x}u_{ab}(\mathbf p,\sigma)\ +\ (-1)^{2B} a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)e^{-ip \cdot x} v_{ab}(\mathbf p,\sigma)\right]\)

Ensimmäinen termi on positiivisen taajuuden \(\psi^+\) ja toinen negatiivisen taajuuden \(\psi^{-c}\). Positiivinen poistaa hiukkasen, ja negatiivinen luo antihiukkasen. Indeksit ovat \(a = -A, -A+1, \dots, +A\) ja \(b = -B, -B+1, \dots, +B\). Nämä vastaavat Lorentz-ryhmän esitystä \((A,B)\), joka on redusoitumaton. Kenttä on muodostettu siten, että \([\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \gt 0\).

Tässä ei nyt ollut antikommutointeja, mutta tulevat melko itsestään mukaan. Ja Weinbergin tyyliin kertaakaan ei viitattu klassiseen aaltoyhtälöön. Kaunista kertakaikkiaan!

[Disputator]

Iltaa!

Olen kyllä jonkin verran kriittinen tuohon Weinbergin tyyliin. Ei siksi, että Weinberg olisi missään väärässä, mutta kirja sopii tosiaankin edistyneelle lukijalle ja samalla sivuuttaa paljon detaljeja. Detaljeissa asuu paholainen ja myös monesti asian oikea ymmärtäminen. Weinberg antaa varmasti kunnollisen yleiskuvan aiheesta olettaen samalla lukijakunnan tuntevan aiheen jo ennakkoon esimerkiksi luomis-ja hävitysoperaattoreineen.

Jossain mielessä Weinbergin looginen lukeminen luvusta 2 alkaen voi muistuttaa kehäpäättelyä: A->B koska A->B eli luku 1 mielestäni muodostaa pohjan jatkolle ja luku 1 vastaa sitä kvanttikenttäteorian perusteiden kurssia. Mutta joo, en ole Weinbergiä lukenut niin tarkkaan, vaan tämä on mun yleinen käsitys aiheesta. Luen kuitenkin aiheesta koko ajan (enimmäkseen muista lähteistä) ja kommentoin varmasti osaavammin ajan kanssa!

Weinbergin kääntäminen ymmärrettäväksi on kyllä toki palkitseva projekti, kuten jossain jo sanoitkin muistaakseni. Esimerkkinä tästä kirjoittamasi:

Cluster decomposition principle' esittelee teoreeman, jonka mukaan kaikki operaattorit \(\mathcal O\) voidaan muodostaa summasta, jonka termit ovat poisto- ja luontioperaattorien tuloja

\(\begin{align}
\mathcal O = &\sum_{N=0}^{\infty} \sum_{M=0}^{\infty}\int dq_1' \dots dq_N'\ dq_1 \dots dq_M \\
&\times\ a^\dagger(q'_1) \dots a^\dagger(q_N')\ a(q_M) \dots a(q_1)\\
&\times\ C_{NM}(q_1' \cdots q_N'\ ,\ q_1 \dots q_M)
\end{align}\)

Ruuhkaisesta notaatiosta huolimatta tämä ei ole niin vaikea kuin miltä näyttää. \(M\) on poisto-operaattorien \(a(q)\) lukumäärä, ja nämä poistavat hiukkaset \(q_1 \dots q_M\). Vastaavasti \(N\) on luontioperaattorien \(a^\dagger(q')\) lukumäärä, ja nämä luovat hiukkaset \(q_1' \dots q_N'\). Operaattorit ovat 'normal ordered', eli luonti vasemmalla ja poisto oikealla. Kertoimet \(C_{NM}\) ovat amplitudeja, jotka liittyvät siihen, mikä on M-hiukkasen tilan ja N-hiukkasen tilan välinen siirtymä

\(\displaystyle \bra{q_1' \cdots q_N'}\ \mathcal O\ \ket{q_1 \cdots q_M}\)

Periaatteessa tuo tarkoittaa matriisialkioita, mutta kenttäteoriassa asia ei ole yhtä suoraviivainen kuin KM:ssa, koska mukana on normitusta, kommutointia, deltafunktioita jne. Karkeasti ottaen voi silti ajatella kuten KM:ssa.

Tätä kannattaa avata enemmän auki. Tuo on jossain määrin ymmärrettävä hyvin formaalilla "operatiivisella" tasolla, operaattori \(\mathcal O\) on siis Fockin avaruudessa määritelty operaattori. Kun Weinberg sanoo, että "kaikki operaattorit" voidaan esittää kyseisessä muodossa, hänen täytyy viitata Fockin avaruuden "kaikkiin operaattoreihin". Osa Fockin avaruuden operaattoreista voidaan "generoida" yhden hiukkasen Hilbert-avaruuden \( \mathcal H_1\) operaattoreista, mutta ei kaikki, vuorovaikutuksia kuvaavat, monia "hiukkasia" sisältävät operaattorit ovat sitten Fockin avaruuden operaattoreita jotka eivät ole peräisin 1-hiukkasoperaattoreista.

[QS]

Cluster decomposition principle' esittelee teoreeman, jonka mukaan kaikki operaattorit \(\mathcal O\) voidaan muodostaa summasta, jonka termit ovat poisto- ja luontioperaattorien tuloja

\(\begin{align}
\mathcal O = &\sum_{N=0}^{\infty} \sum_{M=0}^{\infty}\int dq_1' \dots dq_N'\ dq_1 \dots dq_M \\
&\times\ a^\dagger(q'_1) \dots a^\dagger(q_N')\ a(q_M) \dots a(q_1)\\
&\times\ C_{NM}(q_1' \cdots q_N'\ ,\ q_1 \dots q_M)
\end{align}\)

Ruuhkaisesta notaatiosta huolimatta tämä ei ole niin vaikea kuin miltä näyttää. \(M\) on poisto-operaattorien \(a(q)\) lukumäärä, ja nämä poistavat hiukkaset \(q_1 \dots q_M\). Vastaavasti \(N\) on luontioperaattorien \(a^\dagger(q')\) lukumäärä, ja nämä luovat hiukkaset \(q_1' \dots q_N'\). Operaattorit ovat 'normal ordered', eli luonti vasemmalla ja poisto oikealla. Kertoimet \(C_{NM}\) ovat amplitudeja, jotka liittyvät siihen, mikä on M-hiukkasen tilan ja N-hiukkasen tilan välinen siirtymä

\(\displaystyle \bra{q_1' \cdots q_N'}\ \mathcal O\ \ket{q_1 \cdots q_M}\)

Periaatteessa tuo tarkoittaa matriisialkioita, mutta kenttäteoriassa asia ei ole yhtä suoraviivainen kuin KM:ssa, koska mukana on normitusta, kommutointia, deltafunktioita jne. Karkeasti ottaen voi silti ajatella kuten KM:ssa.

Tätä kannattaa avata enemmän auki. Tuo on jossain määrin ymmärrettävä hyvin formaalilla "operatiivisella" tasolla, operaattori \(\mathcal O\) on siis Fockin avaruudessa määritelty operaattori. Kun Weinberg sanoo, että "kaikki operaattorit" voidaan esittää kyseisessä muodossa, hänen täytyy viitata Fockin avaruuden "kaikkiin operaattoreihin". Osa Fockin avaruuden operaattoreista voidaan "generoida" yhden hiukkasen Hilbert-avaruuden \( \mathcal H_1\) operaattoreista, mutta ei kaikki, vuorovaikutuksia kuvaavat, monia "hiukkasia" sisältävät operaattorit ovat sitten Fockin avaruuden operaattoreita jotka eivät ole peräisin 1-hiukkasoperaattoreista.

Hyvä huomio, ja liittyy siihen minkä Hilbertin avaruuden operaattoreista on kyse. Jätin asian referoimatta vaikka olisi pitänyt.

Kirjasta ei suoraan löydy, tai en ainakaan ole löytänyt, Fockin avaruuden tarkkaa määrittelyä , mutta '3.1 In and Out states' toteaa, että monen hiukkasen tila(-vektori) on sellainen, joka muuntuu epähomogeenisessa Lorentz-muunnoksessa kuten vastaavien yhden hiukkasen tilojen tulo. Moni-hiukkastila tarkoittaa ei-vuorovaikuttavia eli vapaita hiukkasia. Notaatio tilavektorille on

\(\Phi_{p_1,\sigma_1,n_1\ ;\ p_1,\sigma_1,n_1\ ;\ \dots}\)

missä \(p\) on liikemäärä, \(\sigma\) on spin ja \(n\) hiukkastyyppi. Tälle on tietysti unitaarinen muunnos \(U(\Lambda,a)\), jota en kopioi tähän, koska ei ole kaunis. Normituksen logiikka on sama kuin kuin yhden hiukkasen tilassa \((\Phi_{p',\sigma'},\Phi_{p,\sigma})=\delta_{\sigma' \sigma}\ \delta^{(3)}(\mathbf p'-\mathbf p)\). Moni-hiukkastilan normitukseen liittyy tosin bosoni/fermioni -permutaation sääntöjä, jotka ehkä hyvä ohittaa tässä kohti.

N-hiukkastila määritellään luvussa '4.2 Creation and Annihilation Operators' siten, että N kpl (äärellinen määrä) luontioperaattoreita kohdistuu vakuumiin \(\Phi_0\)

\(a^\dagger(q_1)a^\dagger(q_2) \cdots a^\dagger(q_N)\ \Phi_0 = \Phi_{q_1 \cdots q_N}\)

missä notaatio \(q = (\mathbf p, \sigma, n)\) tarkoittaa kaikkia kvanttilukuja yhdistettynä. Ket-notaatiolla vektori on \(\ket{q_1, \dots ,q_N}\). Poisto-operaattorin ominaisuudet määritellään toki myös. Yhden hiukkasen Hilbertin avaruus on tosin ääretönulottinen, kun liikemäärän aliavaruus on ääretönulotteinen. Joten myös moni-hiukkastilan Fockin avaruus on ääretönolotteinen, vaikka siinä olisi vain äärellinen määrä hiukkasia.

Ääretönulotteisiin Hilbertin avaruuksiin liittyy ärsyttäviä komplikaaatoita, mutta oli miten oli, noin määriteltynä N- ja M-hiukkastilan vektorit näyttävät kyllä siltä, että \(\mathcal O\):n kaava on uskottava, ja matriisialkiot ovat

\(\displaystyle \bra{q_1' \cdots q_N'}\ \mathcal O\ \ket{q_1 \cdots q_M}\)

Jos olisi jokin yleisempi ja ääretönulotteinen Hilbertin avaruus, niin ei olisi toimiva operaattorin määrittelyyn.

Ihmettelen tosin miksi summassa \(\displaystyle \sum_{N=0}^{\infty} \sum_{M=0}^{\infty}\) on \(N \to \infty\) ja \(M \to \infty\). Hmm.

Weinbergin kääntäminen ymmärrettäväksi on kyllä toki palkitseva projekti, kuten jossain jo sanoitkin muistaakseni.

On jotenkin palkitseva. Mulla on esim projektina ymmärtää miksi luontikenttä \(\psi^-\) on nimen omaan negatiivisen ja poistokenttä \(\psi^+\) positiivisen taajuuden. Miksi ei toisin päin. Olen lähes saavuttanut ymmärryksen, mutta vähän vielä kesken.

Samalla kun katson kirjaa, niin hahmottuu miksi nimi on muotoa "Quantum Theory of Fields" eikä "Quantum Field Theory". Weinbergilla Quantum on teoria, ja fields on seuraus, kun taas muissa field on teoria ja quantum sovellutus.

[QS]

...
Mulla on esim projektina ymmärtää miksi luontikenttä \(\psi^-\) on nimen omaan negatiivisen ja poistokenttä \(\psi^+\) positiivisen taajuuden. Miksi ei toisin päin. Olen lähes saavuttanut ymmärryksen, mutta vähän vielä kesken.

Tämä jäi kesken, ja nyt sain homman järjestykseen, tai ainakin uskon näin. Weinberg ei suoraan perustele taajuuden etumerkkiä noille poisto/luontikentille, mutta lukuisiin yksityiskohtiin on piilotettu ihan järjellinen syy.

Luku 4.2 määrittelee unitaarisen muunnoksen operaattorille \(a\) ja \(a^\dagger\) seuraavasti

\(\begin{align}
U(\Lambda,b)\ a(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(\Lambda,b)&=e^{+i(\Lambda p)\cdot b}\ \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)}_{\sigma \sigma'} \Big( W^{-1}(\Lambda,p) \Big)a(\mathbf p_\Lambda,\sigma')\\
U(\Lambda,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(\Lambda,b)&=e^{-i(\Lambda p)\cdot b}\ \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)*}_{\sigma \sigma'} \Big( W^{-1}(\Lambda,p) \Big)a^\dagger(\mathbf p_\Lambda,\sigma')
\end{align}\)

missä \(U\) on vapaan hiukkasen tilavektorin muunnos, joka on johdettu luvussa 2.5. Näiden muunnosten puhtaat translaatiot ovat
$$\begin{align}
U(1,b)\ a(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(1,b)&=e^{+i p \cdot b}\ a(\mathbf p,\sigma)\\
U(1,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(1,b)&=e^{-i p \cdot b}\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)
\end{align} \tag 1$$
Translaatioissa eteen tulee vaihekerroin \(e^{+i p \cdot b}\) tai \(e^{-i p \cdot b}\). Myöhemmin luvussa 5.1 johdetaan poisto- ja luontikenttien yleinen muoto

\(\begin{align}
\psi_\ell^+ &= \sum_{\sigma} \int d^3p\ u_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^- &= \sum_{\sigma} \int d^3p\ v_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)

missä kertoimet \(u_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\) ja \(v_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\) ovat paikasta \(x\) riippuvia, ja kertoimet on valittu siten, että ne muuntuvat äärellisulotteisella Lorentz-ryhmän esityksellä \(D(\Lambda)\). Kenttien \(\psi_\ell^+\) ja \(\psi_\ell^-\) unitaariset muunnokset ovat

\(\begin{align}
U(\Lambda, b)\psi_\ell^+U^{-1}(\Lambda,b)&=\sum_{\ell'} D_{\ell\ell'} (\Lambda^{-1})\psi_{\ell'}^+(\Lambda x+b) \\
U(\Lambda, b)\psi_\ell^-U^{-1}(\Lambda,b)&=\sum_{\ell'} D_{\ell\ell'} (\Lambda^{-1})\psi_{\ell'}^-(\Lambda x+b)
\end{align}\)

ja näistä saadaan puhtaat translaatiot
$$\begin{align}
U(1, b)\ \psi_\ell^+\ U^{-1}(1,b)&=\psi_\ell^+(x+b) \\
U(1, b)\ \psi_\ell^-\ U^{-1}(1,b)&=\psi_\ell^-(x+b)
\end{align} \tag 2$$
Luvun 5.1 kohta 'Translations' toteaa "We see immediately that \(u_\ell(x,\mathbf p, \sigma)\) and \(v_\ell(x,\mathbf p, \sigma)\) must take the form...". No, rehellisesti sanoen näen vain edellisen sivun hard core algebran.

Mutta onnistuin ehkä poimimaan kohdat, joista eksponentin etumerkit + ja - tulevat. Tässä on jo mukana yläindeksi, mutta tarkastellaan luontikenttää \(\psi^-\) ikään kuin ilman yläindeksiä. Kirjoitetaan translaatio \((2)\) siten, että \(a^\dagger\):n translaatio on kaavan \((1)\) mukainen
$$\begin{align}
U(1, b)\ \psi^-(x)\ U^{-1}(1,b) &=
\sum_{\sigma} \int d^3p\ v(x,\mathbf p,\sigma)\ U(1,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U^{-1}(1,b)\\
&=\sum_{\sigma} \int d^3p\ v(x,\mathbf p,\sigma)\ e^{-ip\cdot b} a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\\
\end{align} \tag 3$$
Muunnos \((2)\) kuitenkin vaatii, että oikealla puolella on \(\psi^-(x+b)\). Ehdon voi kirjoittaa konkreettisemmin

\(\displaystyle U(1,b)\ \psi^-(x)\ U^{-1}(1,b) = \psi^-(x+b) = \sum_{\sigma} \int d^3p\ v(x+b,\mathbf p,\sigma)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\)

mikä tarkoittaa sitä, translaatio täytyy toteuttaa muunnoksella, joka kohdistuu vain kertoimeen \(v(x,\mathbf p,\sigma)\). Kun tätä verrataan muunnokseen \((3)\), niin kertoimen on oltava

\(v(x,\mathbf p,\sigma) = v(\mathbf p,\sigma) e^{-i p \cdot x}\)

Tämä siksi, että \(e^{-i p \cdot x}\ e^{-i p \cdot b} = e^{-i p \cdot (x+b)}\), jolloin muunnoksen (2) oikea puoli on \(\psi^-(x+b)\), ja translaation muoto on oikein, eli siis \(\psi^-(x) \to \psi^-(x+b)\). Näin ollen kenttä voidaan kirjoittaa

\(\displaystyle \psi^-(x)=\sum_{\sigma}\ (2\pi)^{-3/2}\int d^3p\ v(\mathbf p,\sigma)\ e^{-i p \cdot x} a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\)

Eteen on lisätty 3-dim Fourier-kerroin \((1/\sqrt{2\pi})^3\), joka voitaisiin upottaa kertoimeen \(v\), mutta Weinberg siirtää sen kentän eteen. Signatuurilla (-,+,+,+) eksponentti on

\(\displaystyle e^{-i p \cdot x}=e^{-i(-p^0 t+\mathbf p \cdot \mathbf x)}= e^{i(-(-p^0 t)+(-\mathbf p) \cdot \mathbf x)}\)

missä negatiivinen kulmataajuus \(-p^0\). Poistokentälle \(\psi^+\) saadaan vastaavalla laskulla positiivinen kulmataajuus. Konjugointi \(\psi^\dagger\) vaihtaa etumerkit

\(\begin{align}
\psi^\dagger &= (\psi^+)^\dagger + (\psi^{-c})^\dagger \\
&= \int d^3p\ u^\dagger e^{-ip\cdot x}\ a^\dagger + \int d^3p\ v^\dagger e^{ip\cdot x}\ a^c \\
&= \psi^{-\dagger} + \psi^{+c\dagger}
\end{align}\)

Negatiivinen taajuus \(\psi^{-\dagger}\) luo hiukkasen, ja positiivinen \(\psi^{+c\dagger}\) poistaa antihiukkasen, ja varauskonjugoinnin c-notaatio mukana. On kuitenkin perusteltava miksi muunnos \((1)\) tuottaa juuri nuo kyseiset vaihekertoimet, joista seuraa positiivinen ja negatiivinen taajuus.

Kohta '2.4 The Poincare Algebra', ja kaava (2.4.3) antaa Hilbertin avaruuden infinitesimaalin ja unitaarisen muunnoksen
$$U(1+\omega,\epsilon) = 1 + \frac 1 2 i \omega_{\rho\sigma}J^{\rho\sigma}-i\epsilon_\rho P^\rho + \dots \tag 4$$
missä \(\omega\) ja \(\epsilon\) ovat infinitesimaaleja. \(J^{\rho\sigma}\) ja \(P^\rho\) ovat hermiittisiä. Energian ja liikemäärän operaattori on \(P^\rho=(P^0,P^1,P^2,P^3)\), ja tämä on translaatioiden generaattori. Äärellinen translaatio \(b^\mu\) esitetään Hilbertin avaruuden unitaarisella operaattorilla

\(U(1,b) = e^{-i P^\mu b_\mu}\)

Tässä edellä on siis mukana vain translaatioiden generaattori \(P^\rho\) kaavasta \((4)\). Luku '2.5 One-Particle States' määrittelee tilavektorin \(\Psi_{p,\sigma} = \ket{p,\sigma}\) siten, että se on liikemääräoperaattorin \(P^\mu\) ominaisvektori, jonka translaatio on unitaarinen

\(\begin{align} P^\mu \ket{p,\sigma} &= p^\mu \ket{p,\sigma} \\
U(1,b)\ \ket{p,\sigma} &= e^{-i p \cdot b} \ket{p,\sigma} \end{align}\)

Vaihekertoimesta seuraa luontioperaattorin translaatio \((1)\), ja poisto-operaattorin vastaava Hermiten konjugaatti, ja näistä sitten \(\psi^-\):n negatiivinen ja \(\psi^+\):n positiivinen taajuus.

Mutta miksi \(U(1,b)\) tuottaa tilavektoriin vaiheen \(e^{-i p \cdot b}\), eikä \(e^{+i p \cdot b}\). Kaavan (4) kohdalla sivun alahuomautus toteaa, että Poincare-algebran kommutointi sallii geneeraattorille molemmat etumerkit, \(+P^\mu\) tai \(-P^\mu\). Tätä en tarkistanut, mutta uskon että noin on. Kaavassa (4) termin \(-\epsilon_\rho P^\rho\) etumerkki on siis sopimuskysymys. Kirja tekee valinnan luvussa 3.1, jossa käsitellään Hamiltonia \(P^0\) ja ajansiirtoa.

Ajansiirto on \(b=(\tau, 0,0,0)\), ja Weinbergin signatuurilla \(p \cdot b = -p^0 \tau\). Ajansiirron operaattorin eteen valitaan miinusmerkki

\(\displaystyle U(1,b) = e^{-i (-P^0) \tau} = e^{+i P^0 \tau} = e^{i H \tau}\)

Tämä siksi, että monihiukkastila \(\Psi_\alpha\) on energian ominaistila

\(H \Psi_\alpha = E_\alpha \Psi_\alpha\)

Ominaisarvo \(E_\alpha\) on yksihiukkastilojen energian summa \(E_\alpha = p_1^0 + p_2^0 + \cdots\), missä kaikki energiat ovat positiivisia. Tämän takia kaavan \((4)\) Poincare-generaattorin \(P^\mu\) eteen valitaan miinus, josta seuraa miinus ajan- ja paikansiirron vaiheeseen. Näistä seuraa muunnos \((1)\), ja sitä kautta luontikentän negatiivinen \(-p^0\), ja poistokentän positiivinen \(+p^0\) taajuus.

Tilavektoreista sen verran, että \(\Psi_\alpha\) ei ole Schrödingerin tila, jonka aikakehitys olisi \(U(1,b) = e^{i H \tau}\), vaan tila on siinä mielessä aikariippumaton, että se on 'in' ja 'out' -tila, kun \(t \to -\infty\) ja \(t \to +\infty\).

\(U(1,b)\) toteuttaa Poincareryhmän ajansiirron 'In' ja 'Out' -tiloihin \(\Psi_\alpha^+\) ja \(\Psi_\alpha^-\). Operaattori ei muuta fysikaalista tilaa, vaan se muuntaa vektorin eri ajanhetkeen (eri havaitsijan tilavektoriksi), joka on fysikaalisesti ekvivalentti alkuperäisen tilan kanssa. In ja out -tilojen määrittelyssä on tosin yksityiskohtia, mutta yleisesti ottaen näin.

Tällä perusteella sanoisin, että taajuuden etumerkit ovat seuraus siitä, että yhden hiukkasen tilaksi on valittu Poincare-ryhmän unitaarisella esityksellä muuntuva tilavektori, jolla on positiivinen energia.