Toisessa ketjussa oli puhetta otsikon otuksista, ja avasin ketjun näille. Tein jaon kolmeen osaan: Greenin funktio, Feynmanin propagaattori ja Wightman funktio.
Kaikki liittyvät toisiinsa, mutta perustana on Greenin funktio. Käytän esimerkkinä Klein-Gordon yhtälöä, osin klassisena ja osin kvanttikenttäversiona, joka kuvaa skalaarihiukkasen kenttää.
On laaja aihealue, ja yhteen viestiin ei voi kirjoittaa kaikkea, joten tässä lähinnä määrittelyjä, tuloksia ja nimeämiskäytäntöjä. Ja kuten kvanttiteorioissa on tapana, niin eri lähteissä leijailee runsaasti \(\pm i\) -kertoimia, joiden oikeellisuutta en tässä voi taata. Voidaan tarkistaa myöhemmin, kun mennään yksityiskohtiin.
Asiat tapahtuvat Minkowskin avaruudessa, ja signatuurissa (+,-,-,-). Tapahtuma \(x=(t,\mathbf x)=(x^0,x^i)\) ja vastaava \(y\) ovat Minkowskiavaruuden tapahtumia, \(p=(p^0, \mathbf p)\) on neliliikemäärä, ja sisätulo merkitään \(px=p_0 x^0 - \mathbf p \cdot \mathbf x\).
D'Alembertin operaattori \(\displaystyle \Box = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}\).
Greenin funktio ja differentiaalioperaattorin ydin
Epähomogeeninen Klein-Gordon yhtälö kirjoitetaan
\((\Box +m^2)\phi(x)=J(x)\)
missä \(J(x)\) on niin sanottu lähdetermi, ja \(\phi(x)\) on yhtälön klassinen kenttäratkaisu. Yhtälön differentiaalioperaattori on
\(\mathcal L = \Box + m^2\)
Differentiaalioperaattorin ydin määritellään joukkona ratkaisuja \(\phi\), jotka toteuttavat homogeenisen differentiaaliyhtälön
\(\mathcal L \phi = 0\)
Ydin merkitään usein \(\ker \mathcal L\), ja Klein-Gordon differentiaalioperaattorin ydin on siis joukko ratkaisuja
\(\ker \mathcal L = \ker (\Box + m^2) = \left\{ \phi\ |\ (\Box + m^2)\phi = 0\right\}\)
Nämä ovat fysiikassa vapaan kentän ratkaisuja, joista puuttuu lähde \(J(x)\). Voidaan todeta, että esimerkiksi tasoaalto \(\phi(x) = e^{-ipx}\) on eräs tällainen ratkaisu, mutta vain tietyllä ehdolla. Tasoaallon homogeeninen KG yhtälö on
\((\Box + m^2) e^{-ipx} = -(p^2-m^2) e^{-ipx}\)
mistä nähdään, että oikea puoli on nolla, kun \(p^2-m^2=0\). Fysiikassa ehdon nimi on massakuori (mass shell), ja ehto kirjoitetaan positiivisena energiana \(E_\mathbf p = \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\) sekä positiivisena/negatiivisena taajuutena \(\omega = p^0 = \pm E_\mathbf p\).
Greenin funktio \(G(x,y)\) määritellään differentiaalioperaattorille \(\mathcal L\) siten, että \(G(x,y)\) on ratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön, jonka lähdetermi on deltafunktio
\(\mathcal L_x\ G(x,y) = \delta^{(4)}(x-y)\)
Kvanttikenttäteorian KG-yhtälölle tuo Greenin funktio saadaan ratkaisemalla (\(-i\) mukana erinäisistä syistä)
\((\Box_x + m^2)\ G(x,y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\)
missä oikealla lähdetermi \(J(x) = -i \delta^{(4)}(x-y)\). Greenin funktion \(G(x,y)\) voi tulkita siten, että se kuvaa klassisen kentän \(\phi\) käyttäytymistä tapahtumassa \(x\), kun kenttään vaikuttaa pistemäinen lähde tapahtumassa \(y\). Operaattori \(\Box_x\) kohdistuu tässä tapahtumaan \(x\). Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(\phi(x)\) saadaan Greenin funktiosta ja lähdetermistä seuraavasti
\(\displaystyle \phi(x) = i \int d^4y\ G(x,y)\ J(y) + \phi_h(x)\)
missä \(\phi_h(x)\) on homogeenisen yhtälön ratkaisu. \(G(x,y)\) on voimakkuus, jolla lähde \(J\) pisteessä \(y\) vaikuttaa kenttään \(\phi\) pisteessä \(x\). Minkowskin avaruus on translaatioissa invariantti. Kun \(G\) riippuu vain tapahtumista \(x\) ja \(y\), voidaan se kirjoittaa tapahtumien välisen etäisyyden funktiona \(G(x,y) = G(x-y, 0) = G(x-y)\). Tässä muodossa \(G\):n Fourier muunnos on
\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)
Käyttämällä \(\delta\)-funktion määritelmää
\(\displaystyle \delta^{(4)}(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\)
saa edellä mainittu epähomogeeninen KG yhtälö muodon
\(-(p^2 - m^2) \tilde G(p) = -i\)
Tuosta saadaan suoraan Greenin funktion liikemääräesitys
\(\displaystyle \tilde G(p) = \frac{i}{p^2-m^2}\)
Paikkaesitys saadaan käänteisellä Fourier-muunnoksella
\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)
Tässä on kuitenkin kolme asiaa, jotka pitää huomioida: Tapahtumien \(x\) ja \(y\) aikajärjestys ja kausaalisuus, epähomogeenisen yhtälön reunaehto, ja Greenin funktion singulaarinen piste \(p^2-m^2 = 0\). Nämä tulevat huomioiduksi, kun määritellään edistetty (advanced) Greenin funktio \(G_A(x-y)\), viivästetty (retarted) Greenin funktio \(G_R(x-y)\) ja Feynmanin propagaattori \(D_F(x-y)\).
Feynmanin propagaattori
Tarkastellaan vapaan skalaarihiukkasen kvanttikenttää \(\Phi(x)\), joka toteuttaa homogeenisen KG yhtälön. Voidaan kysyä, että mikä on todennäköisyysamplitudi sille, että tapahtumaan \(y\) preparoitu hiukkanen löydetään tapahtumasta \(x\). Periaatteessa tähän voitaisiin vastata käyttämällä operaattorikenttää \(\Phi(x)\) sekä näiden kommutointeja, ja laskemalla
\(\displaystyle D(x-y) = \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)}\)
Tässä \(p^0 = E_\mathbf p = +\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), eli \(p^0\) on rajoitettu massakuorelle. Todellisuudessa \(D(x-y)\) ei ole oikein, koska kvanttikentän paikkaesitys ei anna lokalisoitua hiukkasta, ja normitukseen liittyy ongelmia. Kyseessä ei siis ole mitattava todennäköisyyamplitudi. Mutta \(D(x-y)\) on homogeenisen KG yhtälön ratkaisu, eli eräs KG differentiaalioperaattorin ytimen ratkaisuista.
Funktion \(D(x-y)\) nimi on joskus 'propagaattori', ja sen muodosta voi päätellä, että sillä on jokin yhteys Greenin funktioon \(G(x,y)\), vaikka sellaisenaan \(D(x-y)\) ei ole Greenin funktio. Silti \(D(x-y)\) on eräänlainen rakennuspalikka muiden propagaattorien muodostamiseen.
\(D(x-y)\) ei vielä tässä vaiheessa huomioi tapahtumien aikajärjestystä, joka voi olla \(x^0 \gt y^0\) tai \(x^0 \lt y^0\).
Aikajärjestys huomioidaan porrasfunktiolla \(\Theta\), joka saa arvon \(\Theta(x^0-y^0)=0\), kun \(x^0-y^0 \lt 0\), ja muulloin \(\Theta(x^0-y^0)=1\). Joskus määritellään lisäksi \(\Theta(0)=\frac 1 2\). Porrasfunktion avulla voidaan kirjoittaa aikajärjestetty propagaattori
\(\displaystyle D_F(x-y) = \bra 0 \mathcal T \{\Phi(x) \Phi(y)\} \ket 0 = \Theta(x^0-y^0)D(x-y) + \Theta(y^0-x^0)D(y-x)
=\begin{cases}
D(x-y), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
D(y-x), & \text{kun } x^0 < y^0 \\
\end{cases}\)
missä \(\mathcal T\) on aikajärjestyksen operaattori, joka kohdistetaan kvanttikenttään seuraavasti
\(\mathcal T \{\Phi(x) \Phi(y)\} = \Theta(x^0-y^0)\Phi(x)\Phi(y)+\Theta(y^0-x^0)\Phi(y)\Phi(x)\)
Funktion \(D_F(x-y)\) nimi on Feynmanin propagaattori, ja se on samalla KG yhtälön Greenin funktio
\((\Box_x + m^2)\ D_F(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\)
Greenin funktion ominaisuudet täyttyvät siksi, että \(D_F(x-y)\) sisältää aikajärjestyksen ja kenttäoperaattorien kommutoinnin. Tämä on mielenkiintoinen yksityiskohta, johon voisi joskus palata.
Alussa mainitusta 'propagaattorista' \(D(x-y)\) voidaan muodostaa myös viivästetty (retarted) propagaattori
\(D_R(x-y)
=\begin{cases}
D(x-y)-D(y-x), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
0, & \text{kun } x^0 < y^0 \\
\end{cases}\)
ja edistetty (advanced) propagaattori
\(D_A(x-y)
=\begin{cases}
0, & \text{kun } x^0 > y^0 \\
D(y-x)-D(x-y), & \text{kun } x^0 < y^0 \\
\end{cases}\)
Nämä molemmat ovat myös Greenin funktioita. \(D_R\) on hyödyllinen, kun tiedetään (klassisen) kentän konfiguraatio tapahtumassa \(x\), ja halutaan laskea miten kenttä kehittyy ajassa eteenpäin, kun lähde \(J(y)\) vaikuttaa. Viivästetty Greenin funktio tarkoittaa myös sitä, että kentässä ei nähdä muutosta ennen kuin lähde alkaa vaikuttaa.
\(D_A\):ta voidaan käyttää, kun halutaan tietää miten lähde on vaikuttanut kenttään menneisyydessä.
Joskus funktioita \(D_R\) ja \(D_A\) kutsutaan myös nimellä viivästetty ja edistetty Greenin funktio, \(G_R\) ja \(G_A\).
Skalaarikentän Feymanin propagaattorin konkreettinen määrittely on
\(\begin{align}
D_F(x-y)&= \bra 0 \mathcal T \{\Phi(x) \Phi(y)\} \ket 0 \\
&=\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p\ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} \\
&=\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^{3}\textbf{p}\left( \int_{-\infty}^{\infty} dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\varepsilon}\right)
\end{align}
\)
missä nimittäjän \(i\varepsilon\):ssä on pieni reaaliluku \(\varepsilon \gt 0\), jolla integraalin kaksi napaa siirretään pois reaaliselta \(p^0\)-akselilta. Integraali voidaan laskea residylauseen avulla, ja tulos eräässä yleisessä muodossa on
\(\displaystyle D_F(x-y)=\frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3 \mathbf p\ \frac{e^{-i E_\mathbf p |x^0-y^0|+ i \mathbf p \cdot(\mathbf x - \mathbf y)}}{2 E_\mathbf p}\)
Feynmanin propagaattori on kvanttikentän aikajärjestetty kahden pisteen korrelaatiofunktio, joka voidaan myös yleistää, kun pisteiden lukumäärä \(n \gt 2\) (n-point correlation function).
Kyseessä ei siis ole klassisen kentän propagaattori, vaan vakuumikorrelaatio, joka antaa kontribuution kvanttikenttäteorian todennäköisyysamplitudeihin. Eräs \(D_F\):n ominaisuus on se, että \(+i\varepsilon\):n avulla saadaan epähomogeenisen KG yhtälön reunaehdot, ja reunaehtoja vastaava Greenin funktio. Tähän asiaan voisi myös palata myöhemmin.
Mainittakoon vielä Feymanin propagaattorin liikemääräesitys
\(\displaystyle \tilde D_F(p) = \frac{i}{p^2-m^2+i\varepsilon}\)
Wightman funktio
Kahden pisteen korrelaatiofunktiot, jotka eivät ole aikajärjestettyjä, voidaan määritellä (massakuoriehto mukana)
\(\displaystyle D_+(x-y)= \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)} \\
\displaystyle D_-(x-y)= \bra 0 \Phi(y) \Phi(x) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{+ip(x-y)}\)
Näistä ensimmäinen on sama kuin edellä mainittu 'propagaattori' \(D(x-y)\), joka on tavallaan Greenin funktioiden ja Feynmanin propagaattorin rakennuspalikka. Jälkimmäisessä operaattorikentät ovat eri järjestyksessä. Lorentz-invarianssi näkyy, kun nämä funktiot kirjoitetaan muodossa
\(\displaystyle D_\pm(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^4p\ \delta(p^2-m^2)\ \Theta(p^0) \ e^{\mp ip(x-y)}\)
missä \(\delta\) -funktiolla saadaan massakuoriehto. Funktioita kutsutaan Wightman funktioiksi, ja ne eivät ole Greenin funktiota, mutta toteuttavat homogeenisen KG yhtälön
\((\Box_x + m^2) D_\pm(x-y) = 0\)
Wightman funktioiden eräs ominaisuus on \(D_+(x-y) = D_-(y-x)\). Näistä \(D_+\) edustaa positiivista kulmataajuutta \(+p^0\), ja \(D_-\) negatiivista taajuutta \(-p^0\). Feynmanin propagaattori voidaan muodostaa aikajärjestämällä Wightman funktiot
\(D_F(x-y) = \Theta(x^0-y^0)\ D_+(x-y)+\Theta(y^0-x^0)\ D_-(x-y)\).
Iltaa!
Nyt oli kyllä hyvä avaus, tuossa on juuri niitä asioita käsitelty, joita yritin selvitellä, kuten mainitsin siinä toisessa ketjussa, ainoastaan nuo Wightmanin funktiot sellaisia joita en ole edes yrittänyt ymmärtää. Kuitenkin nimi Wightman esiintyy aksiomaattisessa kvanttikenttäteoriassa, siis sellaisessa jossa pyritään kehittämään kvanttikenttäteoriaa matemaattisesti pitävässä muodossa.
Tuossa avauksessa on todella paljon asiaa ja siitä voi haarautua monenlaisia selvitystä vaativia kohtia. Palaan varmasti tähän lähipäivinä.
Nyt oli kyllä hyvä avaus, tuossa on juuri niitä asioita käsitelty, joita yritin selvitellä, kuten mainitsin siinä toisessa ketjussa, ainoastaan nuo Wightmanin funktiot sellaisia joita en ole edes yrittänyt ymmärtää. Kuitenkin nimi Wightman esiintyy aksiomaattisessa kvanttikenttäteoriassa, siis sellaisessa jossa pyritään kehittämään kvanttikenttäteoriaa matemaattisesti pitävässä muodossa.
Tuossa avauksessa on todella paljon asiaa ja siitä voi haarautua monenlaisia selvitystä vaativia kohtia. Palaan varmasti tähän lähipäivinä.
SI Resurrection!
Iltaa! Wightman funktioiden syvempi olemus on mullekin tuntematon, ja aksiomaattinen QFT myös. Tiedän vain, että aksiomaattisia viritelmiä on, mutta niihinkin ilmeisesti liittyy ongelmia.Disputator kirjoitti: ↑12.8.2026, 19:33....
nuo Wightmanin funktiot sellaisia joita en ole edes yrittänyt ymmärtää. Kuitenkin nimi Wightman esiintyy aksiomaattisessa kvanttikenttäteoriassa, siis sellaisessa jossa pyritään kehittämään kvanttikenttäteoriaa matemaattisesti pitävässä muodossa.
Wightman funktioista tiedän vain kaksi asiaa. Toinen on se, että Feynmanin propagaattori voidaan määritellä niiden avulla
\(D_F(x-y) = \Theta(x^0-y^0)\ D_+(x-y)+\Theta(y^0-x^0)\ D_-(x-y)\)
ja tästä voi aavistella, että \(D_\pm(x-y)\):llä on perustavanlaatuisempi rooli kuin \(D_F(x-y)\):llä. Toinen kiinnostava seikka on se, että kovariantti muoto
\(\displaystyle D_\pm(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^4p\ \delta(p^2-m^2)\ \Theta(p^0) \ e^{\mp ip(x-y)}\)
sisältää porrasfunktion \(\Theta(p^0)\), joka rajoittaa integraalin positiiviselle energialle \(p^0 \ge 0\). Massakuori \(p^2=m^2\) sallii myös energian \(p^0 \lt 0\).
Varsinainen juttu tässä on se, että porrasfunktio ei ole käsin lisätty, vaan positiivinen energia (!!!) tulee mukaan väistämättä, kun lasketaan kahden pisteen korrelaatio. Tai toisin ajateltuna korrelaatio on mahdollinen vain tulevaisuuteen suuntautuvassa valokartiossa.
Tämä erikoinen ja houkutteleva ominaisuus tekee funktioista kiinnostavan aksiomaattisesti ajateltuna. Mutta aksiomaattinen QFT on hc tavaraa ja tiukkaa funktioanalyysiä, jota en ole koskaan edes koettanut sisäistää.
Iltapäivää! Tämä sun avaus on tosiaankin laaja ja siinä on kaikenlaista pientä säätämistä piilotettuna.
:
\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)
on siinä mielessä jännä, että se ei oikeastaan ole käsittääkseni mitenkään hyvin määritelty, ainakaan jos tarkastellaan tavallisia funktioita. Kompleksianalyysiketjussa kirjoitit selventävästi tuota auki:
\(\begin{align}
\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p\ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}&=
\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^{3}\textbf{p}\left( \int dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}\right) \\\\
&=\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^{3}\textbf{p}\ e^{i\textbf p \cdot(\textbf x - \textbf y)}\left( \int dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip^0(x^0-y^0)}}{(p^0)^2 - E_{\mathbf p}^2}\right).
\end{align}\)
Nyt tuo sisäintegraali sun notaatioin :
\(I(\mathbf{p})= \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip^0(x^0-y^0)}}{(p^0)^2 - E_{\mathbf p}^2}\)
ei ole määritelty, johtuen integrandin navoista pisteissä, joissa \(p^2-m^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2 - m^2 = (p^0)^2 - E_\mathbf p^2=0\) eli \(p^0= \pm E_\mathbf p\), missä siis massakuorella \(E_{\mathbf p}=\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\).
Tuo määrittelemättömyys tarkoittaa sitä, että integraalia ei voi mitenkään järkevästi määritellä siten, että sillä olisi joku arvo, jota esimerkiksi voi merkitä \(I(\mathbf{p})\) eli merkintä on aidosti formaali.
Kuitenkin tuo integraali lasketaan käyttäen residylaskentaa. Todellisuudessa residylaskennassa valitaan suljettu integrointipolku kompleksitasossa siten, että se kiertää navat halutulla tavalla ja riippuen polun valinnasta saadaan erilaisia lopputuloksia \(I(\mathbf{p} )\) ja siten erilaisia propagaattoreita. Sama saavutetaan siirtämällä itse napoja. Tähän jo viittasitkin:
Tämä ketju oli kyllä 100% timanttinen avaus. Kommentoin kyllä heti lisää lähipäivinä.
Oikein hyvä, että on merkinnät esitelty ja kuten sanoit kaikenlaisia "ylimääräisiä" miinusmerkkejä ja imaginaariyksiköitä voi kuitenkin tulla vastaan jatkossa.QS kirjoitti: ↑12.8.2026, 19:05Toisessa ketjussa oli puhetta otsikon otuksista, ja avasin ketjun näille. Tein jaon kolmeen osaan: Greenin funktio, Feynmanin propagaattori ja Wightman funktio.
Kaikki liittyvät toisiinsa, mutta perustana on Greenin funktio. Käytän esimerkkinä Klein-Gordon yhtälöä, osin klassisena ja osin kvanttikenttäversiona, joka kuvaa skalaarihiukkasen kenttää.
On laaja aihealue, ja yhteen viestiin ei voi kirjoittaa kaikkea, joten tässä lähinnä määrittelyjä, tuloksia ja nimeämiskäytäntöjä. Ja kuten kvanttiteorioissa on tapana, niin eri lähteissä leijailee runsaasti \(\pm i\) -kertoimia, joiden oikeellisuutta en tässä voi taata. Voidaan tarkistaa myöhemmin, kun mennään yksityiskohtiin.
Asiat tapahtuvat Minkowskin avaruudessa, ja signatuurissa (+,-,-,-). Tapahtuma \(x=(t,\mathbf x)=(x^0,x^i)\) ja vastaava \(y\) ovat Minkowskiavaruuden tapahtumia, \(p=(p^0, \mathbf p)\) on neliliikemäärä, ja sisätulo merkitään \(px=p_0 x^0 - \mathbf p \cdot \mathbf x\).
D'Alembertin operaattori \(\displaystyle \Box = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}\).
Tuo sun viimeinen kaava (tässä ketjussa, not in real life...QS kirjoitti:
Greenin funktio ja differentiaalioperaattorin ydin
Epähomogeeninen Klein-Gordon yhtälö kirjoitetaan
\((\Box +m^2)\phi(x)=J(x)\)
missä \(J(x)\) on niin sanottu lähdetermi, ja \(\phi(x)\) on yhtälön klassinen kenttäratkaisu. Yhtälön differentiaalioperaattori on
\(\mathcal L = \Box + m^2\)
Differentiaalioperaattorin ydin määritellään joukkona ratkaisuja \(\phi\), jotka toteuttavat homogeenisen differentiaaliyhtälön
\(\mathcal L \phi = 0\)
Ydin merkitään usein \(\ker \mathcal L\), ja Klein-Gordon differentiaalioperaattorin ydin on siis joukko ratkaisuja
\(\ker \mathcal L = \ker (\Box + m^2) = \left\{ \phi\ |\ (\Box + m^2)\phi = 0\right\}\)
Nämä ovat fysiikassa vapaan kentän ratkaisuja, joista puuttuu lähde \(J(x)\). Voidaan todeta, että esimerkiksi tasoaalto \(\phi(x) = e^{-ipx}\) on eräs tällainen ratkaisu, mutta vain tietyllä ehdolla. Tasoaallon homogeeninen KG yhtälö on
\((\Box + m^2) e^{-ipx} = -(p^2-m^2) e^{-ipx}\)
mistä nähdään, että oikea puoli on nolla, kun \(p^2-m^2=0\). Fysiikassa ehdon nimi on massakuori (mass shell), ja ehto kirjoitetaan positiivisena energiana \(E_\mathbf p = \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\) sekä positiivisena/negatiivisena taajuutena \(\omega = p^0 = \pm E_\mathbf p\).
Greenin funktio \(G(x,y)\) määritellään differentiaalioperaattorille \(\mathcal L\) siten, että \(G(x,y)\) on ratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön, jonka lähdetermi on deltafunktio
\(\mathcal L_x\ G(x,y) = \delta^{(4)}(x-y)\)
Kvanttikenttäteorian KG-yhtälölle tuo Greenin funktio saadaan ratkaisemalla (\(-i\) mukana erinäisistä syistä)
\((\Box_x + m^2)\ G(x,y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\)
missä oikealla lähdetermi \(J(x) = -i \delta^{(4)}(x-y)\). Greenin funktion \(G(x,y)\) voi tulkita siten, että se kuvaa klassisen kentän \(\phi\) käyttäytymistä tapahtumassa \(x\), kun kenttään vaikuttaa pistemäinen lähde tapahtumassa \(y\). Operaattori \(\Box_x\) kohdistuu tässä tapahtumaan \(x\). Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(\phi(x)\) saadaan Greenin funktiosta ja lähdetermistä seuraavasti
\(\displaystyle \phi(x) = i \int d^4y\ G(x,y)\ J(y) + \phi_h(x)\)
missä \(\phi_h(x)\) on homogeenisen yhtälön ratkaisu. \(G(x,y)\) on voimakkuus, jolla lähde \(J\) pisteessä \(y\) vaikuttaa kenttään \(\phi\) pisteessä \(x\). Minkowskin avaruus on translaatioissa invariantti. Kun \(G\) riippuu vain tapahtumista \(x\) ja \(y\), voidaan se kirjoittaa tapahtumien välisen etäisyyden funktiona \(G(x,y) = G(x-y, 0) = G(x-y)\). Tässä muodossa \(G\):n Fourier muunnos on
\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)
Käyttämällä \(\delta\)-funktion määritelmää
\(\displaystyle \delta^{(4)}(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\)
saa edellä mainittu epähomogeeninen KG yhtälö muodon
\(-(p^2 - m^2) \tilde G(p) = -i\)
Tuosta saadaan suoraan Greenin funktion liikemääräesitys
\(\displaystyle \tilde G(p) = \frac{i}{p^2-m^2}\)
Paikkaesitys saadaan käänteisellä Fourier-muunnoksella
\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)
Tässä on kuitenkin kolme asiaa, jotka pitää huomioida: Tapahtumien \(x\) ja \(y\) aikajärjestys ja kausaalisuus, epähomogeenisen yhtälön reunaehto, ja Greenin funktion singulaarinen piste \(p^2-m^2 = 0\). Nämä tulevat huomioiduksi, kun määritellään edistetty (advanced) Greenin funktio \(G_A(x-y)\), viivästetty (retarted) Greenin funktio \(G_R(x-y)\) ja Feynmanin propagaattori \(D_F(x-y)\).
...
:\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)
on siinä mielessä jännä, että se ei oikeastaan ole käsittääkseni mitenkään hyvin määritelty, ainakaan jos tarkastellaan tavallisia funktioita. Kompleksianalyysiketjussa kirjoitit selventävästi tuota auki:
\(\begin{align}
\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p\ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}&=
\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^{3}\textbf{p}\left( \int dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}\right) \\\\
&=\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^{3}\textbf{p}\ e^{i\textbf p \cdot(\textbf x - \textbf y)}\left( \int dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip^0(x^0-y^0)}}{(p^0)^2 - E_{\mathbf p}^2}\right).
\end{align}\)
Nyt tuo sisäintegraali sun notaatioin :
\(I(\mathbf{p})= \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip^0(x^0-y^0)}}{(p^0)^2 - E_{\mathbf p}^2}\)
ei ole määritelty, johtuen integrandin navoista pisteissä, joissa \(p^2-m^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2 - m^2 = (p^0)^2 - E_\mathbf p^2=0\) eli \(p^0= \pm E_\mathbf p\), missä siis massakuorella \(E_{\mathbf p}=\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\).
Tuo määrittelemättömyys tarkoittaa sitä, että integraalia ei voi mitenkään järkevästi määritellä siten, että sillä olisi joku arvo, jota esimerkiksi voi merkitä \(I(\mathbf{p})\) eli merkintä on aidosti formaali.
Kuitenkin tuo integraali lasketaan käyttäen residylaskentaa. Todellisuudessa residylaskennassa valitaan suljettu integrointipolku kompleksitasossa siten, että se kiertää navat halutulla tavalla ja riippuen polun valinnasta saadaan erilaisia lopputuloksia \(I(\mathbf{p} )\) ja siten erilaisia propagaattoreita. Sama saavutetaan siirtämällä itse napoja. Tähän jo viittasitkin:
Olen käynyt tarkemmin läpi noita eri polkuja tai napojen siirtelyä ja se on kyllä opettavaista ja varmastikin hyödyllistä.QS kirjoitti:Tässä on kuitenkin kolme asiaa, jotka pitää huomioida: Tapahtumien \(x\) ja \(y\) aikajärjestys ja kausaalisuus, epähomogeenisen yhtälön reunaehto, ja Greenin funktion singulaarinen piste \(p^2-m^2 = 0\). Nämä tulevat huomioiduksi, kun määritellään edistetty (advanced) Greenin funktio \(G_A(x-y)\), viivästetty (retarted) Greenin funktio \(G_R(x-y)\) ja Feynmanin propagaattori \(D_F(x-y)\).
Tämä ketju oli kyllä 100% timanttinen avaus. Kommentoin kyllä heti lisää lähipäivinä.
SI Resurrection!
Tässä alla on yksi kohta joka mielestäni on hieman hämärä, mutta se varmasti oikein, mutta nostan asian esille, koska siinä on tiettyä piilotettua asiaa mukana:
\((\Box_x + m^2)\ D(x-y) = 0.\)
Varmastikin on (en epäile), mutta sen todistaminen on ilmeisesti hieman hankalaa, siis suoraan laskemalla.
Voisi olettaa (en tarkastanut mitenkään), että myös:
\((\Box_x + m^2)\ D(y-x) = 0.\)
Antamasi esitys viivästyneelle propagaattorille on:
\(D_R(x-y)
=\begin{cases}
D(x-y)-D(y-x), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
0, & \text{kun } x^0 < y^0 \\.
\end{cases}\)
Nyt jos testaan, toteuttaako viivästynyt propagaattori KG-yhtälön (ilman \( \delta\)-lähdetermiä), ja saan laskemalla, koska KG-yhtälö on lineaarinen, tuloksen:
\((\Box_x + m^2)\ D_R (x-y) = 0.\)
Hmm, kuitenkin \(D_R(x-y)\) toteuttaa:
\((\Box_x + m^2)\ D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\).
Mikä meni pieleen? Mun lasku on selvästi virheellinen , jos oletan että \(D_R(x-y)\) toteuttaa KG-yhtälön. Eli mun laskuni ei tuottanut \(\delta\)-funktio-termiä. Mulla on 95% varmuus, mistä laskuni virhe syntyy, mutta en osaa nyt heti muotoilla oikeaa tapaa laskea.
Tässä vielä lainaus:
Onko antamasi \(D(x-y)\) KG-yhtälön ratkaisu (siis ilman \(\delta\)-lähdetermiä) ? Siis onko tosi, että:QS kirjoitti: ↑12.8.2026, 19:05...
Feynmanin propagaattori
Tarkastellaan vapaan skalaarihiukkasen kvanttikenttää \(\Phi(x)\), joka toteuttaa homogeenisen KG yhtälön. Voidaan kysyä, että mikä on todennäköisyysamplitudi sille, että tapahtumaan \(y\) preparoitu hiukkanen löydetään tapahtumasta \(x\). Periaatteessa tähän voitaisiin vastata käyttämällä operaattorikenttää \(\Phi(x)\) sekä näiden kommutointeja, ja laskemalla
\(\displaystyle D(x-y) = \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)}\)
Tässä \(p^0 = E_\mathbf p = +\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), eli \(p^0\) on rajoitettu massakuorelle. Todellisuudessa \(D(x-y)\) ei ole oikein, koska kvanttikentän paikkaesitys ei anna lokalisoitua hiukkasta, ja normitukseen liittyy ongelmia. Kyseessä ei siis ole mitattava todennäköisyyamplitudi. Mutta \(D(x-y)\) on homogeenisen KG yhtälön ratkaisu, eli eräs KG differentiaalioperaattorin ytimen ratkaisuista.
\((\Box_x + m^2)\ D(x-y) = 0.\)
Varmastikin on (en epäile), mutta sen todistaminen on ilmeisesti hieman hankalaa, siis suoraan laskemalla.
Voisi olettaa (en tarkastanut mitenkään), että myös:
\((\Box_x + m^2)\ D(y-x) = 0.\)
Antamasi esitys viivästyneelle propagaattorille on:
\(D_R(x-y)
=\begin{cases}
D(x-y)-D(y-x), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
0, & \text{kun } x^0 < y^0 \\.
\end{cases}\)
Nyt jos testaan, toteuttaako viivästynyt propagaattori KG-yhtälön (ilman \( \delta\)-lähdetermiä), ja saan laskemalla, koska KG-yhtälö on lineaarinen, tuloksen:
\((\Box_x + m^2)\ D_R (x-y) = 0.\)
Hmm, kuitenkin \(D_R(x-y)\) toteuttaa:
\((\Box_x + m^2)\ D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\).
Mikä meni pieleen? Mun lasku on selvästi virheellinen , jos oletan että \(D_R(x-y)\) toteuttaa KG-yhtälön. Eli mun laskuni ei tuottanut \(\delta\)-funktio-termiä. Mulla on 95% varmuus, mistä laskuni virhe syntyy, mutta en osaa nyt heti muotoilla oikeaa tapaa laskea.
Tässä vielä lainaus:
QS kirjoitti:Funktion \(D(x-y)\) nimi on joskus 'propagaattori', ja sen muodosta voi päätellä, että sillä on jokin yhteys Greenin funktioon \(G(x,y)\), vaikka sellaisenaan \(D(x-y)\) ei ole Greenin funktio. Silti \(D(x-y)\) on eräänlainen rakennuspalikka muiden propagaattorien muodostamiseen.
...
SI Resurrection!
Tuossa kirjoitusvirhe, oikea muoto on:Disputator kirjoitti: ↑Eilen, 19:38
Mikä meni pieleen? Mun lasku on selvästi virheellinen , jos oletan että \(D_R(x-y)\) toteuttaa KG-yhtälön. Eli mun laskuni ei tuottanut \(\delta\)-funktio-termiä. Mulla on 95% varmuus, mistä laskuni virhe syntyy, mutta en osaa nyt heti muotoilla oikeaa tapaa laskea.
Mikä meni pieleen? Mun lasku on selvästi virheellinen , jos oletan että \(D(x-y)\) toteuttaa KG-yhtälön. Eli mun laskuni ei tuottanut \(\delta\)-funktio-termiä. Mulla on 95% varmuus, mistä laskuni virhe syntyy, mutta en osaa nyt heti muotoilla oikeaa tapaa laskea.
SI Resurrection!
iltaa! Aletaan päästä detaljeihin, ja ei se tosiaan viimeinen lasku ollut mitä kirjoitin 
Mulla oli alun perin tarkoitus laskea vaiheittain \(D_F\):ää, mutta aloin seurata Weinbergin kirjaa (tietysti, jotta elämä ei olisi helppo), jonka signatuuri on eri ja \(+i\) -kerroin on eri kuin muissa lähteissä, jonka seurauksena mulla on etumerkit sekaisin kuin seinäkello. Jätin sikseen, katsotaan myöhemmin.
Toteamuksesi funktion \(I(\mathbf p)\) määritelemättömyydestä oli ihan totta. Sinne pitää lisätä \(\pm i\varepsilon\).
\(\begin{align}
(\Box_x + m^2)\ D(x-y) &= (\Box_x + m^2) \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ (\Box_x + m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ (-p^2+m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = 0
\end{align}\)
Massakuori \(p^2 = m^2\) johtaa siihen, että tulos on nolla. Näin ainakin olen asian ymmärtänyt. Ja saman pitäisi toimia myös \(D(y-x)\):lle. Nämä lausekkeet ovat aiemmin mainitut Wightman funktiot \(D_+\) ja \(D_-\).
Porrasfunktion derivaatalla ja deltafunktiolla on yhteys: https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function#Relationship_with_Dirac_delta
En tosin nyt ole ihan varma mistä aloitusviestini \(-i\) ilmestyy deltan eteen. No, pitää joskus selvittää.
Mulla oli alun perin tarkoitus laskea vaiheittain \(D_F\):ää, mutta aloin seurata Weinbergin kirjaa (tietysti, jotta elämä ei olisi helppo), jonka signatuuri on eri ja \(+i\) -kerroin on eri kuin muissa lähteissä, jonka seurauksena mulla on etumerkit sekaisin kuin seinäkello. Jätin sikseen, katsotaan myöhemmin.
Toteamuksesi funktion \(I(\mathbf p)\) määritelemättömyydestä oli ihan totta. Sinne pitää lisätä \(\pm i\varepsilon\).
Joo hyvä kysymys. Mielestäni laskun pitäisi onnistua, kun tässä tapauksessa differentiaalioperaattori \((\Box_x + m^2)\) voidaan siirtää integraalin sisään. En ainakaan näe estettä? Vasen puoli on sittenDisputator kirjoitti: ↑Eilen, 19:38Tässä alla on yksi kohta joka mielestäni on hieman hämärä, mutta se varmasti oikein, mutta nostan asian esille, koska siinä on tiettyä piilotettua asiaa mukana:Onko antamasi \(D(x-y)\) KG-yhtälön ratkaisu (siis ilman \(\delta\)-lähdetermiä) ? Siis onko tosi, että:QS kirjoitti: ↑12.8.2026, 19:05...
Feynmanin propagaattori
Tarkastellaan vapaan skalaarihiukkasen kvanttikenttää \(\Phi(x)\), joka toteuttaa homogeenisen KG yhtälön. Voidaan kysyä, että mikä on todennäköisyysamplitudi sille, että tapahtumaan \(y\) preparoitu hiukkanen löydetään tapahtumasta \(x\). Periaatteessa tähän voitaisiin vastata käyttämällä operaattorikenttää \(\Phi(x)\) sekä näiden kommutointeja, ja laskemalla
\(\displaystyle D(x-y) = \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)}\)
Tässä \(p^0 = E_\mathbf p = +\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), eli \(p^0\) on rajoitettu massakuorelle. Todellisuudessa \(D(x-y)\) ei ole oikein, koska kvanttikentän paikkaesitys ei anna lokalisoitua hiukkasta, ja normitukseen liittyy ongelmia. Kyseessä ei siis ole mitattava todennäköisyyamplitudi. Mutta \(D(x-y)\) on homogeenisen KG yhtälön ratkaisu, eli eräs KG differentiaalioperaattorin ytimen ratkaisuista.
\((\Box_x + m^2)\ D(x-y) = 0.\)
Varmastikin on (en epäile), mutta sen todistaminen on ilmeisesti hieman hankalaa, siis suoraan laskemalla.
Voisi olettaa (en tarkastanut mitenkään), että myös:
\((\Box_x + m^2)\ D(y-x) = 0.\)
\(\begin{align}
(\Box_x + m^2)\ D(x-y) &= (\Box_x + m^2) \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ (\Box_x + m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ (-p^2+m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = 0
\end{align}\)
Massakuori \(p^2 = m^2\) johtaa siihen, että tulos on nolla. Näin ainakin olen asian ymmärtänyt. Ja saman pitäisi toimia myös \(D(y-x)\):lle. Nämä lausekkeet ovat aiemmin mainitut Wightman funktiot \(D_+\) ja \(D_-\).
Tässä saattaa olla paholainen kätketty \(D_R\):n ja \(D_A\):n paloittain määrittelyihin, joissa on implisiittisesti Heavisiden porrasfunktio \(\Theta(x-y)\). Tällä saadaan tuo määrittelyn nolla, kun \(x^0 < y^0\) tai vastaavasti \(x^0 > y^0\).Disputator kirjoitti: ↑Eilen, 19:38
Antamasi esitys viivästyneelle propagaattorille on:
\(D_R(x-y)
=\begin{cases}
D(x-y)-D(y-x), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
0, & \text{kun } x^0 < y^0 \\.
\end{cases}\)
Nyt jos testaan, toteuttaako viivästynyt propagaattori KG-yhtälön (ilman \( \delta\)-lähdetermiä), ja saan laskemalla, koska KG-yhtälö on lineaarinen, tuloksen:
\((\Box_x + m^2)\ D_R (x-y) = 0.\)
Hmm, kuitenkin \(D_R(x-y)\) toteuttaa:
\((\Box_x + m^2)\ D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\).
Mikä meni pieleen? Mun lasku on selvästi virheellinen , jos oletan että \(D_R(x-y)\) toteuttaa KG-yhtälön. Eli mun laskuni ei tuottanut \(\delta\)-funktio-termiä. Mulla on 95% varmuus, mistä laskuni virhe syntyy, mutta en osaa nyt heti muotoilla oikeaa tapaa laskea.
Porrasfunktion derivaatalla ja deltafunktiolla on yhteys: https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function#Relationship_with_Dirac_delta
En tosin nyt ole ihan varma mistä aloitusviestini \(-i\) ilmestyy deltan eteen. No, pitää joskus selvittää.
Tuo \(−i\) on kommutaattorin imaginaarisuus kirjattuna lähdetermiin; se on \(ℏ\) Lorentz-puvussa, ja puku riisutaan vaihtamalla signatuuria.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Selasin Peskin & Schroeder, An Introduction to QFT. Kirja laskee asian hyvinkin lyhyeen pakattuna seuraavasti (KG skalaarikenttä):QS kirjoitti: ↑Eilen, 20:42Tässä saattaa olla paholainen kätketty \(D_R\):n ja \(D_A\):n paloittain määrittelyihin, joissa on implisiittisesti Heavisiden porrasfunktio \(\Theta(x-y)\). Tällä saadaan tuo määrittelyn nolla, kun \(x^0 < y^0\) tai vastaavasti \(x^0 > y^0\).Disputator kirjoitti: ↑Eilen, 19:38
Antamasi esitys viivästyneelle propagaattorille on:
\(D_R(x-y)
=\begin{cases}
D(x-y)-D(y-x), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
0, & \text{kun } x^0 < y^0 \\.
\end{cases}\)
Nyt jos testaan, toteuttaako viivästynyt propagaattori KG-yhtälön (ilman \( \delta\)-lähdetermiä), ja saan laskemalla, koska KG-yhtälö on lineaarinen, tuloksen:
\((\Box_x + m^2)\ D_R (x-y) = 0.\)
Hmm, kuitenkin \(D_R(x-y)\) toteuttaa:
\((\Box_x + m^2)\ D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\).
Mikä meni pieleen? Mun lasku on selvästi virheellinen , jos oletan että \(D_R(x-y)\) toteuttaa KG-yhtälön. Eli mun laskuni ei tuottanut \(\delta\)-funktio-termiä. Mulla on 95% varmuus, mistä laskuni virhe syntyy, mutta en osaa nyt heti muotoilla oikeaa tapaa laskea.
Porrasfunktion derivaatalla ja deltafunktiolla on yhteys: https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function#Relationship_with_Dirac_delta
En tosin nyt ole ihan varma mistä aloitusviestini \(-i\) ilmestyy deltan eteen. No, pitää joskus selvittää.
\(\begin{align}
(\partial^2+m^2)D_R(x-y) &= \left(\partial^2 \Theta(x^0-y^0)\right)(\bra{0}\ [\Phi(x),\Phi(y)]\ \ket{0}) + 2\left(\partial_\mu \Theta(x^0-y^0)\right)\left(\partial^\mu \bra{0}\ [\Phi(x),\Phi(y)]\ \ket{0}\right) + \Theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\bra{0}\ [\Phi(x),\Phi(y)]\ \ket{0} \\
& =-\delta(x^0-y^0) \bra{0}\ [\Pi(x),\Phi(y)]\ \ket{0} + 2\delta(x^0-y^0) \bra{0}\ [\Pi(x),\Phi(y)]\ \ket{0} + 0 \\
& = -i\delta^{(4)}(x-y)
\end{align}\)
Konjugaattikenttä \(\Pi(x) = \dot{\Phi}(x) = \partial_0 \Phi(x)\).
Näin se varmaankin sitten menee, ja \(-i\) tulee kenttäoperaattorien kommutoinnista.